\input exos
\fiche{Suites $u_{n+1} = f(u_n)$}


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\ex Étude de suites

Étudier la convergence de la suite $(u_n)$ définie par :
\def\qq{\global\advance\qqnum1\hbox to7mm{\hfil\bf\the\qqnum) }\ignorespaces}
\halign{&\hskip\leftskip\qq#\hfil\cr
%
$u₀ = a > 1$, $u_{n+1} = ½(u_n + a/u_n)$.
\reponse{$u_n\searrow√a$, et $u_n-√a < \dfrac{a-√a}{(2√a)^{2ⁿ-1}}$.}
&
$0 < u₀ < \dfrac {√5-1}2$, $u_{n+1} = 1 - u_n²$.
\reponse{$u_{2n}→0$, $u_{2n+1}→1$.}
\cr
$u_{n+1} = u_n-u_n²$.
\reponse{Si $0⩽u₀⩽1$ : $u_n\searrow0$, sinon $u_n\searrow-∞$.}
&
$u₀ = 0$, $u_{n+1} = u_n²+α$.
\reponse{\vtop{\halign{&#\hfil\cr
   $¼ < α$                   &: &$u_n→∞$.\cr
   ${\scriptstyle-}¾ < α ⩽¼$ &: &$u_n→\dfrac{1-√{1-4a}}2$.\cr
   $-1 < α ⩽{\scriptstyle-}¾$&: &un point fixe et deux points réciproques.
                                 $(u_n)$ ne converge pas.\cr
}}}
\cr
$u_{n+1} = u_n + \dfrac{1+u_n}{1+2u_n}$.
\reponse{Si $u₀ > {\scriptstyle-}½$, $u_n→∞$;
         si $u₀ < {\scriptstyle-}½$, $u_n→-1$.
        }
&
$u₀∈[0,1]$, $u_{n+1} = \dfrac{√{u_n}}{√{u_n}+√{1-u_n}}$.
\reponse{$u_n→½$.}
\cr
$u_{n+1} = √{2-u_n}$.
\reponse{Thm du point fixe sur $]-∞, \frac74] ⇒ u_n→1$.}
&
$u_{n+1} = √{4-3u_n}$.
\reponse{Si $u₀≠1$, $∃n \tq 4-3u_n< 0⇒$ suite finie.}
\cr
$u_{n+1} = \dfrac{u_n-\ln(1+u_n)}{u_n²}$.
\reponse{$u_n→α ≈ 0.39754$.}
&
$u_{n+1} = \dfrac3{2u_n²+1}$.
\reponse{1 est point fixe, il y a deux points réciproques.
         $(u_n)$ ne converge pas.}
\cr
$u₀ > 0$, $u_{n+1} = u_n^α$.
\reponse{\vtop{\halign{&#\hfil\cr
   $1 < α$    &: &$u_n→0 \text{ si } u₀<1$, $u_n→∞\text{ si } u₀>1$.\cr
   $-1< α <1$ &: &$u_n→1$.\cr
   $α ⩽-1$ &: &si $u₀ ≠1$, $(u_n)$ diverge.\cr
}}}
&
$u₀ > 0$, $u_{n+1} = α^{u_n}$.
\reponse{\vtop{\halign{&#\hfil\cr
   $e^{1/e} < α$          &: &$u_n→∞$.\cr
   $1     < α <  e^{1/e}$ &: &deux pts fixes, $β<γ$.
                              $u_n→β \text{ si } u₀<γ$,
                               et $u_n→∞ \text{ si } u₀>γ$. \cr
   $e^{-e} ⩽ α <  1$      &: &un pt fixe, $β$, et $u_n→β$.\cr
   $        α <  e^{-e}$  &: &un point fixe et deux points réciproques.
                             $(u_n)$ ne converge pas.\cr
}}}
\cr}
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\ex Convergence quadratique

Soit $k∈ℂ$ fixé. Étudier la convergence de la suite $(a_n)$ définie par :
$a₀∈ℂ$, $a_{n+1} = ka_n²$.
\reponse{CV (vers 0) ssi $|ka₀| < 1$.}

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\ex $u_{n+1}(1-u_n) > ¼$

Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que pour tout entier $n$ :
$u_n∈[0,1]$ et $u_{n+1}(1-u_n) > ¼$.\par
Montrer que cette suite converge vers $½$.

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\ex Radicaux itérés

Trouver $\lim_{n→∞} √{1 + √{1 + … + √{1}}}$ ($n$ radicaux).
\reponse{$ℓ = \frac{1+√5}2$.}

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\ex Radicaux itérés

On considère la suite $(u_n)$ définie par :
$u₀ > 0$, $u_{n+1} = √{ u₀ + … + u_n }$.
Montrer que $u_n ⟶_{n→∞} +∞$.
\reponse{$u_{n+1} = √{ u_n² + u_n } ⩾ u_n$. Il n'y a pas de point fixe.}

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\ex Radicaux itérés

On pose $u_n = √{1 + √{2 + √{ … + √{n-1 +√n}}}}$
     et $v_n = √{1 + √{2 + √{ … + √{n-1 +√{2n}}}}}$.

\qq Montrer que ces suites sont convergentes.
\qq On note $λ = \lim_{n→∞}(u_n)$.
    Montrer que $λ-u_n ⩽\dfrac n{2ⁿ√{n!}}$.
    Indication : $√a - √b = (a-b)/(√a + √b)$.

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\ex Suites homographiques

Soient $a,b ∈ ℝ^*$. On définit la suite $(u_n)$ par :
$u₀∈ℝ^*$ et $u_{n+1} = a + b/u_n$.

On suppose $u₀$ choisi de sorte que pour tout $n∈ℕ$, $u_n≠0$.

\qq Quelles sont les limites possibles pour $(u_n)$ ?
\qq On suppose que l'équation $x² = ax + b$ possède deux racines réelles
    $α,β$ avec $|α| > |β|$.

    Étudier la suite $(v_n) = (u_n-α)/(u_n-β)$
    et en déduire $\lim u_n$.

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\ex Système d'ordre 1

Soient $0 < x₀ < y₀$ et $(x_n)$, $(y_n)$ les suites définies par :
 $x_{n+1} = \dfrac {x_n²}{x_n+y_n}$ et $y_{n+1} = \dfrac {y_n²}{x_n+y_n}$.

Montrer qu'elles sont convergentes et calculer leurs limites.
\reponse{$y_n-x_n = \text{c}^{\text{te}} ⇒ x_n →0,\ y_n→y₀-x₀$.}

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\ex Système d'ordre 1

Étudier la convergence des suites $(x_n)$, $(y_n)$ définies par :

$0 <x₀<y₀$, $x_{n+1} = ⅓(2x_n+y_n)$ et $y_{n+1} = ⅓(2y_n+x_n)$.
\reponse{$y_n-x_n =\dfrac{y₀-x₀}{3ⁿ}$ et $y_n+x_n = y₀+x₀ ⇒ x_n,y_n → ½(y₀+x₀)$.}

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\ex Système d'ordre 1

Étudier la convergence des suites $(x_n)$, $(y_n)$ définies par :

$0<y₀<x₀$, $x_{n+1} = \dfrac{x_n+y_n}2$ et $y_{n+1} = \dfrac{2x_ny_n}{x_n+y_n}$.
\reponse{$x_ny_n = \text{c}^{\text{te}} ⇒ x_n,y_n → √{x₀y₀}$.}

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\ex Système d'ordre 1

Soient $0<a<b$ et $(x_n),(y_n)$ les suites définies par :

$x₀ = a$, $y₀ = b$, $x_{n+1} = ½(x_n+y_n)$ et $y_{n+1} = √{x_{n+1}y_n}$.

\qq Montrer que ces suites convergent vers la même limite.
\qq On pose $a = b\cosφ$. Exprimer cette limite en fonction de $b$ et $φ$.
    \reponse{$ℓ = b\dfrac{\sinφ}{φ}$.}

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\ex Moyennes arithmétique, géométrique, harmonique

\qq Soient $x,y,z ⩾ 0$. Montrer que $x³+y³+z³ - 3xyz ⩾ 0$
    (mettre $x+y+z$ en facteur).
    \reponse{%
    $x³+y³+z³ - 3xyz = ½(x+y+z)((x-y)² + (y-z)² + (z-x)²)$.}
\qq Étudier la convergence des suites $(a_n)$, $(b_n)$, $(c_n)$ définies par :
    $$0 < a₀ < b₀ < c₀,\quad \text{et}\quad
     \cases{\dfrac 3{a_{n+1}} = \dfrac 1{a_n} + \dfrac 1{b_n} + \dfrac 1{c_n} \cr
            b_{n+1} = \root3\of{a_nb_nc_n} \cr
            3c_{n+1} = a_n + b_n + c_n. \cr}$$
    \reponse{$3c_{n+1}-3b_{n+1} = a_n+b_n+c_n - 3\root3\of{a_nb_nc_n} ⩾ 0
             ⇒ b_{n+1} ⩽c_{n+1}$.\par
             $\dfrac 3{a_{n+1}} - \dfrac 3{b_{n+1}} =
              \dfrac 1{a_n} + \dfrac 1{b_n} + \dfrac 1{c_n}
              - \dfrac 3{\root3\of{a_nb_nc_n}}
              ⩾ 0 ⇒ a_{n+1} ⩽b_{n+1}$.
              \par
              Donc $(a_n)$ croît et $(c_n)$ décroît :
              $a_n → a$, $b_n → b$, $c_n → c$
              avec $2a = \dfrac 1b + \dfrac 1c$, $b² = ac$ et $2c = a+b$
              d'où $a=b=c$.}

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\ex Centrale MP 2000

On considère la fonction $f$ : $x↦\ln \bigl(\dfrac{e^x-1}{x}\bigr)$
et la suite définie par $u₀∈ℝ^*$ et $u_{n+1}=f(u_n)$.
Étudier la suite $(u_n)$, puis la série $⅀u_n$.
\reponse{Pour $u₀>0$ on a $u_n\searrow0$ et pour $u₀<0$ on a $u_n\nearrow0$.
         $f'(0)=½$ donc $u_{n+1}∼½u_n$ et la série $⅀u_n$ converge absolument
         (d'Alembert).}

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\ex $u_{n+1}-u_n → 0$
Soit $f : [a,b] → [a,b]$ continue et la suite $(u_n)$ définie par
$u₀∈[a,b]$ et $u_{n+1} = f(u_n)$. Montrer que si $\lim(u_{n+1}-u_n) = 0$
alors la suite $(u_n)$ converge.
\reponse{L'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite est un intervalle
         dont tous les éléments sont points fixes par $f$.
         S'il y a plusieurs valeurs d'adhérence il faut passer de l'une
         à l'autre avec une longueur de saut qui tend vers zéro, on doit
         tomber sur point fixe entre les deux, contradiction.}

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\ex suites récurrentes, Mines MP 2010
Soient $a,b,c∈{]0,1[}$ et $(u_n)$, $(v_n)$ les suites définies par~:
$$u₀=a,\quad
  u₁=b,\quad
  u_{n+1}=cu_n²+(1-c)v_n²,\quad
  v_{n+1}=cv_n²+(1-c)u_n².$$
Étudier la convergence de ces suites.
\reponse{Par récurrence, $u_n,v_n∈{]0,1[}$.
         Soit $w_n=\max(u_n,v_n)$~: on a $w_{n+1}⩽w_n²$ et $w₀<1$ d'où
         $w_n⟶_{n→∞}0$ et les deux suites convergent vers~$0$.}

\bye
