\input exos
\fiche{Espaces vectoriels normés}


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                               %|  Géométrie  |
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\titre{Géométrie}

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\ex Unicité du centre et du rayon d'une boule
Soit $E$ un evn non nul et $a,a'∈E$, $r,r' > 0$ tels que
$\overline B(a,r) = \overline B(a',r')$.
Montrer que $a = a'$ et $r = r'$.

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\ex $x+y+z = 0$
Soient $x,y,z$ trois vecteurs d'un evn $E$ tels que $x+y+z = 0$.

Montrer que : $∥x-y∥ + ∥y-z∥ + ∥z-x∥ ⩾ \frac32(∥x∥+∥y∥+∥z∥)$.

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\ex Médiatrice
Dans $ℝ²$ on considère les points $O=(0,0)$ et $A=(1,2)$.
Pour chacune des trois normes classiques, déterminer l'ensemble des
points $X=(x,y)$ équidistants de $O$ et~$A$.
\reponse{Pour $∥\ ∥₁$~: $⦃(x,\frac32),\ x⩽0⦄∪[(\frac32,0),(1,½)]∪⦃(x,½),\ x⩾1⦄$.

Pour $∥\ ∥_∞$~: $⦃(x,1-x),\ x⩽0⦄∪⦃(x,1),\ 0⩽x⩽1⦄∪⦃(x,2-x),\ x⩾1⦄$.}

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\ex Une boule est convexe
Soit $E$ un evn, $a∈E$, $r > 0$.
On note $\overline B = \overline B(a,r)$ et $\interieur B = \interieur B(a,r)$.

\qq Montrer que $\overline B$ et $\interieur B$ sont convexes.
\qq Si la norme est euclidienne, montrer que si $u,v∈\overline B$ avec
    $u≠v$, alors ${]u,v[}⊂\interieur B$.

    $(]u,v[ = ⦃(1-t)u + tv\tq t∈{]0,1[}⦄)$
\qq En déduire que si la norme est euclidienne, toute partie $A$ telle que
    $\interieur B⊂A⊂\overline B$ est convexe.
\qq Donner un contre-exemple avec une norme non euclidienne.

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\ex Distance à un ensemble
Soit $E$ un evn et $A⊂E$ une partie non vide.
Pour $x∈E$ on pose :
$d(x,A) = \inf⦃∥x-a∥\tq a∈A ⦄$.

\qq Montrer que : $∀x,y∈E$, $|d(x,A) - d(y,A)|⩽∥x-y∥$.
\qq Montrer que l'application $x ↦ d(x,A)$ est continue.

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\ex Distance à un ensemble (ENS Cachan MP 2002)

Soit $A$ une partie de~$ℝⁿ$ non vide. On note pour $x∈ℝⁿ$~:
$d_A(x) = \inf⦃∥x-y∥\tq y∈A⦄$.

\qq Montrer que $d_A$ est continue.
\reponse{Pour $x,x'∈ℝⁿ$ et $y∈A$ on a $d_A(x)⩽∥x-y∥⩽∥x-x'∥ + ∥x'-y∥$.
    En prenant la borne inférieure sur~$y$ on obtient $d_A(x)⩽∥x-x'∥ + d_A(x')$.
    Par symétrie on a aussi $d_A(x')⩽∥x-x'∥ + d_A(x)$ d'où
    $|d_A(x)-d_A(x')⩽∥x-x'∥$.}
\qq Soient deux parties de $ℝⁿ$ non vides $A,B$. Donner une condition équivalente
    à $d_A=d_B$.
\reponse{On sait que $\overline A = ⦃x∈ℝⁿ\tq d_A(x)=0⦄$.
    Donc $d_A = d_B⇒\overline A = \overline B$ et la réciproque résulte
    de la propriété facile $d_A = d_{\overline A}$.}
\qq On note $ρ(A,B) = \sup⦃|d_A(y)-d_B(y)|$, $y∈ℝⁿ⦄$, valant éventuellement~$+∞$.

    Montrer que l'on a $ρ(A,B) = \max\Bigl(\sup\limits_{x∈A} d_B(x),\ \sup\limits_{x∈B} d_A(x)\Bigr)$.
\reponse{On note~: $M = \sup⦃|d_A(y)-d_B(y)|,\ y∈ℝⁿ⦄$,
    $α = \sup⦃d_B(x), x∈A⦄$ et $β=\sup⦃d_A(x),\ x∈B⦄$.
    Par restriction de $y$ à $A∪B$ on obtient $M ⩾ \max(α,β)$.
    Par ailleurs, pour $y∈ℝⁿ$, $a∈A$ et $b∈B$ on a
    $∥y-a∥-∥y-b∥⩽∥a-b∥$ d'où $d_A(y)-∥y-b∥⩽d_A(b)$ puis
    $d_A(y)-d_B(y)⩽β$. Par symétrie on a aussi
    $d_B(y)-d_A(y)⩽α$ donc $|d_A(y)-d_B(y)|⩽\max(α,β)$
    et finalement $M⩽\max(α,β)$.}

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\ex Distance entre un fermé et un compact
Soient $A,B$ deux parties compactes non vides de $ℝⁿ$.

Montrer qu'il existe $a∈A$ et $b∈B$ tels que
$∥a-b∥ = \min⦃∥x-y∥\tq x∈A$, $y∈B⦄$.

Montrer que ceci est encore vrai si on suppose $A$ compact et $B$ fermé.

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\ex Diamètre
Soit $E$ un evn de dimension finie et $A⊂E$ borné, fermé, non vide.
Montrer qu'il existe $a,b∈A$ tels que
$∥a-b∥ = \max( ∥x-y∥\tq x,y∈A )$
(considérer l'ensemble $A×A$ dans l'evn $E×E$).

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\ex Diamètres concourants (Ens Ulm MP$^*$ 2003)
\qq Soit~$K$ un compact convexe de~$ℝ²$ d'intérieur non vide.
    Soit~$O∈\interieur K$. Montrer qu'il existe une fonction
    $f:ℝ→ℝ^+$ continue $2π$-périodique telle qu'en coordonnées polaires
    de centre~$O$, $K$ est défini par~$ρ⩽f(θ)$.
    \reponse{Pour~$θ∈ℝ$, la demi-droite d'origine~$O$ et d'angle
    polaire~$θ$ coupe~$K$ selon un intervalle non trivial ($K$ est convexe
    et $O$ est interieur à~$K$), fermé borné ($K$ est compact).
    On note~$f(θ)$ la longueur de cet intervalle, ce qui définit
    $f:ℝ→ℝ^{+*}$, $2π$-périodique telle que $K = ⦃M(ρ,θ)\tq  0⩽ρ⩽f(θ)⦄$.
    \medskip
    Continuité de~$f$~: soit~$θ₀∈ℝ$ et $ε>0$. Soit
    $M(ρ₀,θ₀)$ tel que $f(θ₀)-ε<ρ₀<f(θ₀)$.
    Donc $M∈\interieur K$ et il existe~$α>0$ tel que la boule de
    centre~$M$ et de rayon~$α$ est incluse dans~$K$ (faire un dessin).
    Ainsi, pour tout~$θ$
    suffisament proche de~$θ₀$ on a~$f(θ)⩾ OM > f(θ₀)-ε$.
    Considérons alors une hypothétique suite~$(θ_k)$ de réels convergeant
    vers~$θ₀$ telle que la suite $(f(θ_k))$ ne converge pas vers~$f(θ₀)$.
    Comme la suite $(f(θ_k))$ est bornée on peut, quitte à extraire une
    sous-suite, supposer qu'elle converge vers un réel~$ℓ$ et le raisonnement
    précédent montre que~$ℓ>f(θ₀)$. Si $M_k$ désigne le point de~$K$
    à la distance~$f(θ_k)$ dans la direction d'angle polaire~$θ_k$
    alors la suite $(M_k)$ converge vers le point $M(ℓ,θ₀)$ qui doit
    appartenir à~$K$ par compacité, mais qui contredit la définition de~$f(θ₀)$.}

\qq Soit~$g:[0,1]→ℝ$ continue telle que
    $∫_{x=0}^{π}g(x)\cos(x)\,𝕕x = ∫_{x=0}^{π}g(x)\sin(x)\,𝕕x = 0$.
    Montrer que~$g$ s'annule au moins deux fois sur~$]0,π[$.
    \reponse{Si $g$ ne s'annule pas alors $∫_{x=0}^{π}g(x)\sin(x)\,𝕕x≠0$.
    Si $g$ ne s'annule qu'en~$α∈{[0,π]}$ alors $g$ est de signe constant
    sur~$[0,α]$ et sur~$[α,π]$, les signes sont opposés, et on obtient encore
    une contradiction en considérant $∫_{x=0}^{π}g(x)\sin(x-α)\,𝕕x$
    qui vaut~$0$ (développer le sinus).}

\qq Soit~$G$ le centre de gravité de~$K$. Montrer que~$G$ est le milieu
    d'au moins trois « diamètres » de~$K$ (trois segments joignant deux points de
    la frontière).
    \reponse{On choisit $O=G$. On a 
    $∬_{M∈K}\overrightarrow{OM} = 0$, soit
    ${∫_{θ=0}^{2π} f³(θ)\cosθ\,𝕕θ =
     ∫_{θ=0}^{2π} f³(θ)\sinθ\,𝕕θ = 0}$, soit encore~:
    $∫_{θ=0}^{π} (f³(θ)-f³(θ+π))\cosθ\,𝕕θ =
     ∫_{θ=0}^{π} (f³(θ)-f³(θ+π))\sinθ\,𝕕θ = 0$.
    D'après la question précédente, il existe $α≠β∈{]0,π[}$ tels que
    $f(α) = f(α+π)$ et $f(β) = f(β+π)$, ce qui prouve qu'il y
    a au moins deux diamètres de~$K$ dont~$O=G$ est le milieu. On prouve
    l'existence d'un troisième diamètre en décalant l'origine des angles
    polaires de façon à avoir $f(0) = f(π)$, ce qui est possible vu l'existence
    de~$α,β$.}

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\ex $x/\max(1,∥x∥)$, Centrale MP 2005

Soit $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x}{\max(1,∥x∥)}$. Montrer que $f$ est $2$-lipschitzienne.
\reponse{%
Pour $∥x∥⩽1$ et $∥y∥⩽1$ on a $∥f(x)-f(y)∥ = ∥x-y∥$.

Pour $∥x∥⩽1<∥y∥$ on a
$∥f(x)-f(y)∥⩽∥x-y∥ + \Bigr∥y - \dfrac y{∥y∥}\Bigr∥
= ∥x-y∥ + ∥y∥ - 1⩽∥x-y∥ + ∥y∥ - ∥x∥⩽2∥x-y∥$.

Pour $1 < ∥x∥⩽∥y∥$ on a $∥f(x) - f(y)∥ ⩽
\Bigl∥\dfrac x{∥x∥} - \dfrac y{∥x∥}\Bigr∥ + 
\Bigl∥\dfrac y{∥x∥} - \dfrac y{∥y∥}\Bigr∥ ⩽
\dfrac{∥x-y∥ + ∥y∥ - ∥x∥}{∥x∥}⩽\dfrac{2∥x-y∥}{∥x∥}$.

\medskip
Remarque~: dans le cas où la norme est euclidienne, $f(x)$ est le projeté
de $x$ sur la boule unité, c'est-à-dire le point de la boule unité le plus
proche de~$x$. Dans ce cas, $f$ est $1$-lipschitzienne. Dans le cas d'une norme
non euclidienne on peut avoir $∥f(x)-f(y)∥ > ∥x-y∥$, par exemple
avec $x=(1,1)$ et $y=(½,\frac32)$ dans $ℝ²$ pour $∥\ ∥_∞$.}

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                                %|  Suites  |
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\xe\titre{Suites}

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\ex $u_n$ colinéaire à $v_n ⇒ \lim u_n$ colinéaire à $\lim v_n$
Soit $E$ un evn de dimension finie et $({u}_n)$, $({v}_n)$
deux suites de vecteurs telles que :
$$∀n∈ℕ,\ {u}_n \text{ est colinéaire à } {v}_n,\qquad
  {u}_n ⟶_{n→∞} u,\qquad
  {v}_n ⟶_{n→∞} v.$$
Montrer que $u$ et $v$ sont colinéaires
(raisonner par l'absurde et compléter $(u,v)$ en une base de $E$).

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\ex Suites de Cauchy
Soient $(u_n)$, $(v_n)$ deux suites d'un evn $E$ telles que
$u_n - v_n ⟶_{n→∞} 0$ et $(u_n)$ est de Cauchy.
Montrer que $(v_n)$ est de Cauchy.

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\ex Suite de Cauchy non convergente
Soit $E = ℝ[X]$ muni de la norme : $∥⅀ a_kX^k ∥ = \max(|a_k|,\ k∈ℕ)$.
On note $P_n = 1 + X + \dfrac{X²}2 + … + \dfrac{Xⁿ}n$.
Montrer que la suite $(P_n)$ est de Cauchy, mais ne converge pas.

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\ex termes d'une suite
Soit $(u_n)$ une suite convergeant vers~$ℓ$ et $f:ℕ→ℕ$.

\qq Si $f$ est injective, que peut-on dire de la suite $(u_{f(n)})$~?
\qq Si $f$ est surjective, que peut-on dire de la suite $(u_{f(n)})$~?

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\ex Mines PC 1998
Soit $B$ une matrice antisymétrique.
On suppose que la suite $(Bⁿ)$ converge vers une matrice~$C$.
Que peut-on dire de $C$~?

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\ex Suite de matrices inversibles
Soit $(A_n)$ une suite de matrices de $𝓜_p(ℝ)$ vérifiant les propriétés
suivantes :
$$1:A_n⟶_{n→∞} A∈𝓜_p(ℝ) \qquad
  2:\text{pour tout $n$, $A_n$ est inversible} \qquad
  3:A_n^{-1}⟶_{n→∞} B∈𝓜_p(ℝ).$$

\qq Montrer que $A$ est inversible et $A^{-1} = B$.
\qq Peut-on retirer la propriété 3 ?

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\ex Suite de matrices inversibles
Soit $A∈𝓜_p(ℝ)$ quelconque. Montrer qu'il existe une suite de matrices inversibles
convergeant vers $A$.

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\ex DSE de $I-A$
Soit $A∈𝓜_p(ℝ)$. On suppose que la suite de matrices :
$A_n = I + A + A² + … + Aⁿ$ converge vers une matrice $B$.
Montrer que $I-A$ est inversible, et $B = (I-A)^{-1}$.

Remarque : La réciproque est fausse, c'est à dire que la suite $(A_n)$
peut diverger même si $I-A$ est inversible~; chercher un contre-exemple.

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\ex Ensam PSI 1998
Soit $A∈𝓜_n(ℂ)$ telle que la suite $(A^k)$ converge vers une matrice~$P$.
Montrer que $P$ est une matrice de projection.

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\ex Suites de fonctions
Soient $E = 𝓒([a,b],ℝ)$, $(f_n)$ une suite de fonctions de $E$
et $f∈E$.
Comparer les énoncés :
$$1 : ∥f_n-f∥₁ ⟶_{n→∞} 0\qquad
  2 : ∥f_n-f∥₂ ⟶_{n→∞} 0\qquad
  3 : ∥f_n-f∥_∞ ⟶_{n→∞} 0.$$

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\ex 
On note $E$ l'espace vectoriel des suites réelles $(x_n)$ telles que la série $⅀ x_n²$
converge. On le munit du produit scalaire $(x│y)=⅀_{n=0}^∞ x_ny_n$.
Soit $(y^s)$ une suite bornée d'éléments de $E$. Montrer qu'on peut en
extraire une sous-suite convergent faiblement, c'est-à-dire qu'il existe $z$
telle que pour tout $x$ de $E$ on ait $(x│y^{s_k})⟶_{k→∞}(x│z)$.
\reponse{On construit $(s_k)$ de proche en proche de sorte que pour tout~$n$ fixé
la suite $(y_n^{s_k})$ soit convergente vers $z_n$.
Comme $⅀_{n⩽N}(y_n^{s_k})²$ est bornée indépendamment de~$N$ et~$k$ la série
$⅀_nz_n²$ a ses sommes partielles bornées donc converge.
On a alors $(x│y^{s_k})⟶_{k→∞}(x│z)$ pour toute suite~$x$
à support fini, puis pour toute suite de carré sommable par interversion de
limites.}

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\ex ENS Lyon MP 2002
Soit $E$ un espace vectoriel normé sur $ℝ$ ou $ℂ$ de dimension finie,
et $u∈𝓛(E)$ tel que pour tout $x∈E$ la suite $(uⁿ(x))_{n∈ℕ}$ est
bornée.

\qq Montrer que la suite $(\∥uⁿ\∥)_{n∈ℕ}$ est bornée.
\reponse{Soit $(e₁,…,e_p)$ une base de~$E$. On remplace la norme sur $E$
         par la norme infinie associée à $(e₁,…,e_p)$. Alors
         $\∥uⁿ\∥⩽⅀_{i=1}^p∥uⁿ(e_i)∥$.}
\qq Déterminer la limite quand $n→∞$ de $\frac1{n+1}⅀_{i=0}ⁿ u^i(x)$.
\reponse{Trigonaliser fortement $u$ (ou son prolongement au complexifié de~$E$).
         Comme $(uⁿ)$ est borné, les valeurs propres de~$u$ sont de module inférieur
         ou égal à~$1$, et pour celles de module $1$ le bloc triangulaire associé
         est en fait diagonal.
         On trouve $\frac1{n+1}⅀_{i=0}ⁿ u^i ⟶_{n→∞}$ projection sur
         $\Ker(u-\id)$ parallèlement à $\Im(u-\id)$.}

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                                %|  Normes  |
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\xe\titre{Normes}

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\ex Norme bizarre
Montrer que $(x,y)↦ \sup\limits_{t∈ℝ} \dfrac{|x+ty|}{1+t+t²}$ est
une norme sur $ℝ²$ ; dessiner la boule unité.

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\ex Normes de polynômes
Soit $E = ℝ[X]$. Pour $P = ⅀_{k=0}ⁿ a_kX^k$, on pose :
$$∥P∥₁ = ⅀_{k=0}ⁿ|a_k|,\qquad
  ∥P∥_∞ = \max⦃|a₀|,…,|a_n|⦄,\qquad
  ∥P∥_* = \max⦃|P(t)|\tq 0⩽t⩽1⦄.$$
Montrer que ce sont des normes, et qu'elles sont deux à deux non équivalentes

(on considèrera $P_n(t) = (t-1)ⁿ$ et $Q_n(t) = 1 + t + t² + … + tⁿ$).

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\ex Norme de polynômes
Soit $E = ℝ[X]$. Pour $P∈E$ on pose
$∥P∥ = \sup(|P(t)-P'(t)|\tq t∈{[0,1]})$.

Montrer qu'on définit ainsi une norme sur $E$.

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\ex Normes de polynômes

Soit $a∈ℝ$. On pose pour $P∈ℝ[X]$~: $N_a(P) = |P(a)| + ∫_{t=0}¹ |P'(t)|\,𝕕t$.
Montrer que…

\qq $N_a$ est une norme.
\qq $N₀$ et $N₁$ sont équivalentes.
\qq Si $a,b∈{[0,1]}$, alors $N_a$ et $N_b$ sont équivalentes.
\qq Soit $P_n = (X/2)ⁿ$. Déterminer pour quelles normes $N_a$ la suite
    $(P_n)$ est convergente et quelle est sa limite.
    \reponse{$(P_n)$ converge vers $0$ pour $a∈{]-2,2[}$ et vers $1$ pour $a=2$.
    La suite est non bornée si $|a| > 2$~; elle est bornée divergente pour $a=-2$.}

\qq Si $0⩽a<b$ et $b>1$
    alors aucune des normes $N_a$, $N_b$ n'est plus fine que l'autre.
    \reponse{$(X/b)ⁿ$ converge vers $1$ pour $N_b$ et vers $0$ pour $N_a$.} 

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\ex Normes sur $ℝ[X]$
Soit $(λ_n)$ une suite de réels strictement positifs.
On lui associe la norme sur $ℝ[x]$ :
$N(⅀a_ix^i) = ⅀λ_i|a_i|$.

Soient $(λ_n)$ et $(λ'_n)$ deux suites et $N$, $N'$ les normes
associées.
Montrer que $N$ et $N'$ sont équivalentes si et seulement si les suites
$(λ_n/λ'_n)$ et $(λ'_n/λ_n)$ sont bornées.

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\ex Centrale MP 2006
$E$ est l'ensemble des fonctions $f$ de classe $𝓒²$ sur $[0,1]$ telles que $f(0) = f'(0) =0$.
Pour $f∈E$, on pose :

$$N_{∞}(f) = \sup_{x∈[0,1]}{|f(x)|},\qquad
 N(f) = \sup_{x∈[0,1]}{|f(x) + f''(x)|},\qquad
 N_{1}(f) = \sup_{x∈[0,1]}{|f''(x)|} + \sup_{x∈[0,1]}{|f(x)|}.$$

\qq Montrer que $N_{∞}$, $N$ et $N_{1}$ sont des normes sur $E$.

\qq Montrer que $N_{∞}$ n'est équivalente ni à $N_{1}$ ni à $N$.

\qq Montrer que $N$ et $N_{1}$ sont équivalentes (introduire l'équation différentielle $y'' + y = g$).
    \reponse{$f(x)=∫_{t=0}^x\sin(x-t)(f(t)+f''(((t))\,𝕕t$,
    $f''(x) = (f(x)+f''(x))-f(x)$.}
 
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\ex Norme de Frobenius
Pour $A∈𝓜_n(ℝ)$, on pose $∥A∥ = \sqrt{\tr({}^tAA)}$.

Montrer que c'est une norme et que : $∀A,B∈𝓜_n(ℝ)$, $∥AB∥⩽∥A∥×∥B∥$.
\reponse{%
$(AB)_{ij} = ⅀_{k=1}ⁿ A_{ik}B_{kj} ⇒
 (AB)_{ij}²⩽⅀_{k=1}ⁿ A_{ik}²×⅀_{k=1}ⁿ B_{kj}²$.}

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\ex Semi-norme
Soit $p$ une semi-norme sur $𝓜_n(ℂ)$ (ie. il manque juste l'axiome
$p(A)=0⇒ A=0$). On suppose de plus que $∀(A,B)∈(𝓜_n(ℂ))²$,
$p(AB)⩽p(A)p(B)$. Montrer que $p=0$ ou $p$ est en fait une norme.
\reponse{Si $A$ est une matrice de rang $r>0$ telle que $p(A) = 0$
alors pour toute matrice $M$ de rang $<r$ on peut trouver $P$ et $Q$
telles que $M=PAQ$ d'où $P(M)=0$. Donc $p$ est nulle sur toute matrice
de rang~$1$ et par inégalité triangulaire sur toute matrice.}

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\ex Normes produit
Soient $E,F$ deux evn et $G = E×F$.
On pose pour $u = (x,y)∈G$ :
$$∥u∥₁ = ∥x∥_E + ∥y∥_F,\quad
  ∥u∥₂ = \sqrt{∥x∥_E² + ∥y∥_F²},\quad
  ∥u∥_∞ = \max(∥x∥_E , ∥y∥_F).$$

\qq Montrer que ce sont des normes sur $G$ et qu'elles sont deux à deux équivalentes
    (sans hypothèse de dimension finie).
\qq On prend $E=F$. Montrer que pour chacune de ces normes, l'application
    $\application{} G E {(x,y)} {x+y}$ est continue.

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\ex Normes sur les suites
Soit $E$ l'ensemble des suites $u=(u_n)$ réelles bornées.
On pose $\cases{ ∥u∥ = \sup(|u_n|\tq n∈ℕ) \cr
                 N(u) = \sup(|u_n|+|u_{2n}|\tq n∈ℕ). \cr }$

Montrer que ce sont des normes sur $E$ et qu'elles sont équivalentes.

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\ex Norme sur les suites
Soit $E$ l'ensemble des suites réelles $u = (u_n)_{n⩾1}$ telles que la suite
$(\root n\of{|u_n|})$ est bornée.
Pour $u∈E$, on pose $∥u∥ = \sup(\root n\of{|u_n|}\tq  n∈ℕ^*)$.
Montrer que $E$ est un $ℝ$-ev et que $∥\;.\;∥$ {\it n'est pas\/} une norme sur $E$.

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\ex Fonctions lipschitziennes
Soit $E$ l'ensemble des fonctions $ℝ→ℝ$ lipschitziennes.
Pour $f∈E$, on pose :
$$∥f∥ = |f(0)| + \sup\left( \left|\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|\tq x≠y \right),\qquad
  N(f)  = |f(0)| + \sup\left( \left|\dfrac{f(x)-f(0)}{x}\right|\tq x≠0 \right).$$

\qq Montrer que $E$ est un $ℝ$-ev.
\qq Montrer que $∥\;.\;∥$ et $N$ sont des normes sur $E$.
\qq Sont-elles équivalentes ?

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\ex Fonctions $𝓒¹$
Soit $E$ l'ensemble des fonctions $f:[0,1]→ℝ$ de classe $𝓒¹$.
Pour $f∈E$, on pose :
$N₁(f) = \sup(|f| + |f'|)$,
$N₂(f) = \sup|f| + \sup|f'|$.
Montrer que $N₁$ et $N₂$ sont deux normes équivalentes sur $E$.

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\ex Norme sur les fonctions continues
$E=𝓒([0,1],ℝ)$. Soit $g∈E$. Pour tout $f∈E$ on pose
$N(f)=\sup⦃|f(x)g(x)|,\ x∈[0,1]⦄$.

\qq Donner une condition nécessaire et suffisante sur $g$ pour que $N$ soit une
norme sur $E$.
\qq Si pour tout $x∈[0,1]$, $g(x)≠0$, montrer qu'alors $N$ et $∥\ ∥_{∞}$
sont des normes sur $E$ équivalentes.
\qq Démontrer la réciproque de la proposition précédente.

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\ex Comparaison de normes (ENS MP 2002)

\qq Soit $E$ un espace préhilbertien réel et $u₁,…,u_n$ des éléments de~$E$.
    Calculer $⅀_σ\bigl∥⅀_{i=1}ⁿσ(i)u_i\bigr∥²$ où $σ$
    parcourt l'ensemble des fonctions de~$⟦1,n⟧$ dans $⦃-1,1⦄$.
\reponse{$2ⁿ⅀_{i=1}ⁿ∥u_i∥²$.}
\qq On se place dans l'ensemble des fonctions continues de~$[0,1]$ dans~$ℝ$.
    Montrer que la norme infinie n'est équivalente à aucune norme euclidienne.
\reponse{Supposons qu'il existe une norme euclidienne $∥\ ∥$ et deux réels
    $α,β>0$ tels que $α∥u∥_∞⩽∥u∥⩽β∥u∥_∞$
    pour tout $u∈𝓒([0,1],ℝ)$.
    On pose $u(x) = 1-2|x|$ pour $x∈[-½,½]$ et $u(x) = 0$
    sinon. Soit $n∈ℕ$ et pour $1⩽i⩽n$~: $u_i(x) = u((n+1)x-i)$.
    Alors $⅀_σ\bigl∥⅀_{i=1}ⁿσ(i)u_i\bigr∥²⩽2ⁿβ²$
    et $2ⁿ⅀_{i=1}ⁿ∥u_i∥² ⩾ 2ⁿnα²$ donc ces deux sommes ne peuvent
    rester égales quand $n→∞$.}
\qq Même question avec la norme $∥\ ∥_p$, $p∈{[1,+∞[}∖⦃2⦄$.
\reponse{Même construction. On trouve
    $$⅀_σ\bigl∥⅀_{i=1}ⁿσ(i)u_i\bigr∥²⩽2ⁿβ²∥u∥_p²\Bigl(\dfrac{n}{n+1}\Bigr)^{2/p}$$
    et $2ⁿ⅀_{i=1}ⁿ∥u_i∥² ⩾ 2ⁿα²∥u∥_p²\dfrac{n}{(n+1)^{2/p}}$.}

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\ex Jauge
Soit $(E,∥\ ∥)$ un $ℝ$-evn et $K⊂E$ une partie convexe, bornée,
symétrique par rapport à l'origine et telle que
$0∈\interieur K$.
Pour $x∈E$, on pose $n(x) = \inf⦃|λ|\tq x∈λK⦄$.
Montrer que $n$ est une norme équivalente à $∥\ ∥$ pour laquelle
la boule unité est $\overline K$.

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\ex Polytechnique MP$^*$ 2006
Soit $E$ un espace vectoriel réel.
On considère une application $N:E→ℝ^+$ telle que~:
    $$\eqalign{(i)\qquad&∀λ,x,\ \ N(λ x) = |λ|N(x)\ ;\cr
               (ii)\qquad&∀x,\ N(x)=0 ⇔ x=0.\cr}$$

\qq Montrer que $N$ est une norme si et seulement $B = ⦃x \tq N(x)⩽1⦄$
    est convexe.
\qq Montrer que si $N$ vérifie aussi
    $$\eqalign{(iii)\qquad&∀x,y,\ N(x+y)²⩽2N(x)² + 2N(y)²\cr}$$
    alors c'est une norme.
    \reponse{On prouve la convexité de~$B$. Soient $x,y∈B$, $t∈{[0,1]}$
    et $z=(1-t)x + ty$. On a $N²(z)⩽2t² + 2(1-t)²$, d'où $N(z)⩽1$
    si $t=½$. Ceci prouve déjà que $B$ est stable par milieu, et on en
    déduit par récurrence sur~$n∈ℕ$ que $z∈B$ si $t$ est de la
    forme $a/2ⁿ$ avec $a∈{⟦0,2ⁿ⟧}$.
    Si $t$ n'est pas de cette forme, on écrit $t$ comme barycentre
    de deux nombres dyadiques~$t=u\dfrac{a}{2ⁿ} + (1-u)\dfrac{b}{2ⁿ}$ en
    faisant en sorte que $u$ soit arbitrairement proche de $½$.
    Si c'est possible,
    on obtient que $z$ est barycentre de deux éléments de~$B$ avec les
    coefficients $u$ et $1-u$, d'où $N²(z)⩽2u²+2(1-u)²⟶_{u→½}1$.
    Reste donc à choisir $n$, $a$, $b$~: pour $n$ donné,
    on choisit $a = {[2ⁿ]}-n$ et $b={[2ⁿ]}+n$. C'est possible car
    $[2ⁿt]\sim 2ⁿt$ et on est dans le cas $0<t<1$
    donc on a bien $a,b∈{⟦0,2ⁿ⟧}$ si $n$ est suffisament grand.
    Il vient $u=\dfrac{b-2ⁿt}{b-a}$, quantité comprise entre $\frac{n-1}{2n}$
    et $½$ et donc qui tend bien vers~$½$.
    \medskip
    Remarque~: la condition $(iii)$ est aussi nécessaire, donc une norme
    est une application vérifiant $(i)$, $(ii)$ et $(iii)$.}

                               %+-------------+
                               %|  Topologie  |
                               %+-------------+

\xe\titre{Topologie}

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\ex Parties de $ℝⁿ$
Les parties suivantes sont-elles ouvertes ? fermées ? bornées ?

\qq $A = ⦃ (x,y)∈ℝ²\tq xy=1 ⦄$.
\qq $B = ⦃ (x,y)∈ℝ²\tq x²+xy+y² < 1 ⦄$.
\qq $C = ⦃ z∈ℂ\tq ℝe(z²)⩽1 ⦄$.

%-------------------------------------------------------------
\ex Addition de parties
Soient $A,B$ deux parties non vides d'un evn $E$.
On note $A+B = ⦃a + b\tq a∈A,\ b∈B ⦄$.

Montrer que …

\qq Si $A$ ou $B$ est ouvert, alors $A+B$ est ouvert.
\qq Si $A$ et $B$ sont fermés, alors $A+B$ n'est pas nécessairement fermé
    (prendre $A = ⦃(x,y)∈ℝ²\tq xy=1⦄$ et $B = ⦃(x,0)\tq x∈ℝ⦄$).
\qq Si $A$ et $B$ sont compacts, alors $A+B$ est compact.

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\ex Ouverts disjoints
Soient $U,V$ deux ouverts disjoints d'un espace vectoriel normé.
Montrer que $\interieur{\overline U}$ et $\interieur{\overline V}$ sont disjoints.
\reponse{%
Soit $a∈\interieur{\overline U} ∩ \interieur{\overline V}$ :
Il existe $B(a,r) ⊂ \overline U ∩ \overline V$.

Soit $b∈B(a,r) ∩ U$ : Il existe $B(b,r') ⊂ B(a,r) ∩ U$.
Donc $b ∉ \overline V$, contradiction.}

Donner un contrexemple lorsque $U$ et $V$ ne sont pas ouverts.


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\ex $A$ ouvert disjoint de $B$
Soient $A,B$ deux parties d'un espace vectoriel normé disjointes. Si $A$ est ouvert, montrer que
$A$ et $\overline B$ sont disjoints.

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\ex $\overline{\interieur{\overline U}} = \overline U$.
Soit $U$ un ouvert d'un espace vectoriel normé. Montrer que $\overline{\interieur{\overline U}} = \overline U$.
\reponse{%
$\interieur{\overline U} ⊂ \overline U ⇒ \overline{\interieur{\overline U}} ⊂ \overline U$.\par
$U ⊂ \overline U ⇒ U ⊂ \interieur{\overline U} ⇒ \overline U ⊂ \overline{\interieur{\overline U}}$.}

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\ex Frontière d'un ouvert
Soit $U$ un ouvert d'un espace vectoriel normé. Montrer que la frontière de $U$ est d'intérieur vide.
\reponse{%
Soit $a$ intérieur à $\fct{Fr}(U)$ : Il existe $B(a,r) ⊂ \overline U∖U$.
$B(a,r) ∩ U = ∅ ⇒ a ∉ \overline U$, contradiction.}

%-------------------------------------------------------------------------
\ex Diamètre de la frontière
Soit $A$ une partie non vide et bornée d'un evn $E$.
On note $δ(A) = \sup⦃d(x,y) \tq x,y\in A⦄$
({\it diamètre de $A$}).
Montrer que $δ(A) = δ(\fct{Fr}(A))$.

\reponse{%
Par passage à la limite, $δ(A) = δ(\overline A) ⩾ δ(\fct{Fr}(A))$.\par
Soient $x,y∈A$ distincts et $D$ la droite passant par $x$ et $y$.
$D$ coupe $A$ suivant un ensemble borné dont les extrémités appartiennent
à $\fct{Fr}(A)$. Donc $δ(\fct{Fr}(A)) ⩾ δ(A)$.}

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\ex Partie dense dans un compact
Soit $A$ une partie compacte d'un evn $E$.
Montrer qu'il existe une suite $(a_k)$ d'éléments de~$A$
qui est dense dans $A$.

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\ex Intersection emboitée
Soit $E$ un espace vectoriel normé,
$(K_n)$ une suite décroissante de compacts non vides de $E$ et $K = ⋂_n K_n$.

\qq Montrer que $K≠∅$.
\qq Soit $U$ un ouvert contenant $K$. Montrer qu'il existe $n$ tel que $K_n ⊂ U$.
\qq Montrer que $δ(K) = \lim_{n→∞} δ(K_n)$ ($δ$ est le diamètre).

\reponse{Soit $ℓ = \lim_{n→∞} δ(K_n)$.
Il existe $x_n,y_n∈K_n$ tels que $d(x_n,y_n) = δ(K_n)$.
Après extraction de sous-suites, on peut supposer que $x_n → x$ et
$y_n → y$. Pour $ε > 0$, $(\overline B(x,ε) ∩ K_n)$
et $(\overline B(y,ε) ∩ K_n)$ forment des suites décroissantes de
compacts non vides, donc $\overline B(x,ε) ∩ K$ et $\overline B(y,ε) ∩ K$
sont non vides. Par conséquent, $δ(K) ⩾ ℓ - 2ε$.}

%-------------------------------------------------------------------------
\ex Ensemble dérivé
Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E$. Un point $x∈E$ est dit
{\it point d'accumulation de $A$} si toute boule de centre $x$
contient une infinité de points de $A$.
On note $A'$ l'ensemble des points d'accumulation de $A$
({\it ensemble dérivé de $A$}).
Montrer que $A'$ est fermé, et comparer $A'$ et $\overline A$.

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\ex Voisinage fermé d'un fermé
Soit $F$ un fermé de $ℝⁿ$ et $r > 0$.
On pose $F' = ⋃_{x∈F} \overline B(x,r)$. Montrer que $F'$ est fermé.

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\ex Ev engendré par un ouvert
Soit $𝓞$ un ouvert non vide d'un ev normé $E$.
Montrer que $\vect(𝓞) = E$.

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\ex Adhérence et intérieur d'un sev
Soit $E$ un evn et $F$ un sev de $E$.

\qq Montrer que $\overline{F}$ est un sev de $E$.
\qq Si $E$ est de dimension finie, montrer que $F = \overline F$.
\qq Dans le cas général, montrer que $\interieur F = ∅$ ou $F = E$.

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\ex Cône convexe engendré par un ensemble fini, ENS ULM-Lyon-Cachan MP$^*$ 2005

$E$ est un $ℝ$-espace vectoriel normé et $a_{1},…,a_{n}∈E$.
On pose $C=\Bigl⦃⅀_{i=1}^{n}λ_{i}a_{i},\ λ_{i}⩾ 0\Bigr⦄$.

\qq Montrer que, pour tout $x∈E$, il existe $c∈C$ tel que $∥x-c∥=\inf ⦃∥x-a∥,a∈C⦄$.
\reponse{On procède par récurrence sur~$n$. Pour $n=1$, l'application ${[0,+∞[}∋λ₁↦ ∥x-λ₁a₁∥$
est continue, constante si $a₁ = 0$ et tend vers $+∞$ quand $λ₁→+∞$ si $a₁≠0$.
Dans les deux cas elle admet un minimum.

Pour $n⩾2$, soit $C'=\Bigl⦃⅀_{i=1}^{n-1}λ_{i}a_{i},λ_{i}⩾ 0\Bigr⦄$.
Soit pour $λ_n∈{[0,+∞[}$~ : $φ(λ_n) = d(x-λ_na_n,C')$.
La distance à $C'$ est 1-lipschitzienne donc
$φ(λ_n) ⩾ d(-λ_na_n,C') - ∥x∥ = λ_nd(-a_n,C') - ∥x∥⟶_{λ_n→+∞}+∞$.
Étant continue, $φ$ admet un minimum sur $[0,+∞[$ et on
applique l'hypothèse de récurrence à $x-λ_na_n$.}

\qq En déduire que $C$ est fermé.

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\ex Partie convexe dense
Soit $E$ un evn de dimension finie et $C⊂E$ convexe et dense.
Montrer que $C=E$.
\reponse{%
On procède par récurrence sur~$n=\dim E$. Pour $n=1$, en confondant $E$ et $ℝ$,
$C$ est un intervalle dense, c'est $ℝ$.
Pour $n⩾2$, soit $E = H⊕{<a>}$ où $H$ est un hyperplan de~$E$.
On montre ci-dessous que $C' = C ∩ H$ est une partie de~$H$ convexe et dense,
donc égale à~$H$, d'où $H⊂C$ et ce pour tout~$H$. Ainsi $C=E$.
\medskip
Densité de $C'$~: soit $x∈H$, et $(y_k)$, $(z_k)$ des suites d'éléments de~$C$
convergeant respectivement vers $x+a$ et $x-a$. On écrit $y_k = y'_k + λ_ka$
et $z_k = z'_k + µ_ka$ avec $y'_k,z'_k∈H$ et $λ_k,µ_k∈ℝ$.
Par équivalence des normes en dimension finie, on a $λ_k⟶_{k→∞}1$
et $µ_k⟶_{k→∞}-1$, donc le point $x_k = \dfrac{λ_kz_k-µ_ky_k}{λ_k-µ_k}$
est bien défini et appartient à~$C'$ pour $k$ assez grand, et converge vers~$x$.
\medskip
Remarque~: Si $E$ est de dimension infinie, alors il contient des hyperplans non fermés,
donc des parties strictes, convexes denses.}

%-------------------------------------------------------------
\ex L'ensemble des projecteurs est fermé
Soit $E$ un evn de dimension finie et $𝓟$ l'ensemble des projecteurs
de $E$. Montrer que $𝓟$ est fermé dans~$𝓛(E)$.

%-------------------------------------------------------------
\ex Adhérence et intérieur dans $𝓒([0,1],ℝ)$

\qq Soit $E = 𝓒([0,1],ℝ)$ muni de la norme de la convergence uniforme.
    Soit $P$ l'ensemble des fonctions de $E$ positives ou nulles.
    Chercher $\overline P$ et $\interieur P$.
    \reponse{$\overline P = P$,
             $\interieur P = ⦃\text{fonctions strictement positives}⦄$.}
\qq Mêmes questions avec la norme : $∥f∥ = ∫_{t=0}¹ |f(t)|\,𝕕t$.
    \reponse{$\overline P = P$,
             $\interieur P = ∅$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Mines MP 2000
On pose $E=C([0,1],ℝ)$ et on le munit de la norme $∥\ ∥_∞$. Soit 
$F=⦃f∈E \tq f(0)=f(1)⦄$.
Déterminer l'adhérence et l'intérieur de $F$.
\reponse{$\overline F = F$, $\interieur F = ∅$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Points isolés (Ens Ulm MP$^*$ 2003)

Les solutions de l'équation $u²=\id_{ℝⁿ}$ pour~$u∈𝓛(ℝⁿ)$
sont-elles isolées~?
\reponse{Oui pour $±\id_{ℝⁿ}$, non pour les autres (les symétries non triviales).
\medskip
$\id_{ℝⁿ}$ est isolé car si $u≠\id_{ℝⁿ}$ et $u²=\id_{ℝⁿ}$ alors $-1$
est valeur propre de~$u$ et $\∥u-\id_{ℝⁿ}\∥⩾ 2$. De même pour~$-\id_{ℝⁿ}$.
\medskip
Si $u$ est une symétrie non triviale, soit $(e₁,…,e_n)$ une base propre
de~$u$ avec $u(e₁)=e₁$ et $u(e₂)=-e₂$. Pour $p∈ℕ^*$ soit~$u_p∈𝓛(ℝⁿ)$
définie par $u_p(e₁)=e₁+e₂/p$ et $u_p(e_i)=u(e_i)$ pour~$i⩾2$.
On a $u_p²=\id_{ℝⁿ}$, $u_p≠u$ et $u_p⟶_{p→∞}u$.}

%-------------------------------------------------------------
\ex Adhérence et intérieur d'un convexe
Soit $A$ une partie convexe d'un evn $E$.

\qq Démontrer que $\overline A$ et $\interieur A$ sont aussi convexes
    (pour $\interieur A$ : faire un dessin).
\qq Montrer que l'application $x↦d(x,A)$ est convexe (c.a.d.
    $d(tx+(1-t)y,A)⩽td(x,A) + (1-t)d(y,A)$).

%-------------------------------------------------------------
\ex Théorème des fermés emboités
Soit $E$ un evn de dimension finie, et $(B_n = B(a_n,r_n))$ une suite de
boules fermées, décroissante pour l'inclusion, tq $r_n ⟶_{n→∞} 0$.

\qq Montrer que la suite $(a_n)$ admet une sous-suite convergeant vers $a∈E$.
\qq Montrer que $a_n ⟶_{n→∞} a$.
\qq Montrer que $⋂_{n∈ℕ} B_n = ⦃a⦄$.

%------------------------------------------------------------
\ex Intersection de boules
Soit $E$ un evn complet et $(B_n(a_n,r_n))$ une suite décroissante de boules
fermées dont le rayon ne tend pas vers 0.
Montrer que $⋂_n B_n$ est une boule fermée.
\reponse{Soit $r = \lim r_n$ :
$∥a_n - a_{n+k}∥ ⩽ r_n - r_{n+k}$ donc la suite $(a_n)$ est de Cauchy,
et converge vers $a$.

On a $∥a_n - a∥ ⩽ r_n - r$ donc $B(a,r) ⊂ B_n$.

Réciproquement, si $x∈⋂_n B_n$, alors $∥x-a_n∥ ⩽ r_n$ donc
$∥x-a∥ ⩽ r$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex X MP$^*$ 2001

On considère l'espace $𝓜_n(ℂ)$ muni d'une norme quelconque.

\qq Montrer que $GL_n(ℂ)$ est ouvert dense de $𝓜_n(ℂ)$.
    \reponse{$GL_n(ℂ) = \det^{-1}(ℂ∖⦃0⦄)$ est ouvert.
    Il est dense car $A∈𝓜_n(ℂ)$ quelconque est limite des matrices
    $A - \frac1p I$ inversibles pour presque tout entier $p$ ($A$ a un
    nombre fini de valeurs propres).}

\qq Soit $D_n(ℂ)$ l'ensemble des matrices diagonalisables de $𝓜_n(ℂ)$.
    Montrer que $D_n(ℂ)$ est dense dans $𝓜_n(ℂ)$.
    \reponse{Toute matrice triangulaire est limite de matrices triangulaires
    à coefficients diagonaux distincts.}

\qq Quel est l'intérieur de $D_n(ℂ)$~?
    \reponse{$\matr(λ &0\cr 0&λ\cr)
             = \lim_{p→∞}\matr(λ &1/p\cr 0&λ\cr)$
    donc une matrice triangulaire à valeurs propres non distinctes est
    limite de matrices non diagonalisables.
    Par conjugaison, la frontière de $D_n(ℂ)$ contient
    l'ensemble des matrices ayant au moins une valeur propre multiple.
    \medskip
    Réciproquement, soit $(A_k)$ une suite de matrices non diagonalisables
    convergeant vers une matrice~$A$. Les matrices $A_k$ ont toutes au moins une valeur
    propre multiple, et ces valeurs propres sont bornées
    (car si $λ$ est une valeur propre de~$M$ alors $|λ|⩽\∥M\∥$ en prenant une norme
    sur $𝓜_n(ℂ)$ subordonnée à une norme sur $ℂⁿ$) donc on peut trouver
    une suite $(z_k)$ de complexes convergeant vers un complexe $z$ telle
    que $χ_{A_k}(z_k) = χ'_{A_k}(z_k) = 0$. A la limite on a $χ_A(z) = χ'_A(z) = 0$ ce qui prouve
    que $A$ a au moins une valeur propre multiple.
    \medskip
    Conclusion~: la frontière de~$D_n(ℂ)$ est exactement l'ensemble des
    matrices diagonalisables ayant au moins une valeur propre multiple et l'intérieur
    de~$D_n(ℂ)$ est l'ensemble des matrices à valeurs propres distinctes.
    }

%-----------------------------------------------------------------------------
\ex Matrices nilpotentes, ENS Ulm-Lyon-Cachan MP$^*$ 2006
Soit $N∈𝓜_n(ℂ)$. Montrer que $N$ est nilpotente si et seulement si
la matrice nulle est adhérente à l'ensemble
$⦃P^{-1}NP$, $P∈GL_n(ℂ)⦄$.

\reponse{Si $N$ est nilpotente, on peut se ramener au cas où $N$
est triangulaire supérieure stricte.

Soit alors $P=\diag(1,α,…,α^{n-1})$ avec $α∈ℂ^*$.
Le coefficient général de $P^{-1}NP$ est $α^{j-i}N_{ij}⟶_{α→0}0$.

Réciproquement, s'il existe une suite $(N_k)$ de matrices semblables
à~$N$ convergeant vers la matrice nulle, alors par continuité du
polynôme caractéristique, on a $χ_N=(-X)ⁿ$ et $N$ est nilpotente.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Polynômes scindés (Ens Ulm-Lyon-Cachan MP$^*$ 2003)
Soit~$n∈ℕ^*$ et~$σ∈ℝⁿ$.
On note~$P_σ = Xⁿ - σ₁ X^{n-1} + … + (-1)^{n-1}σ_{n-1}X + (-1)ⁿσ_n$.

Soit~$Ω = ⦃σ∈ℝⁿ$ tq $P_σ$ est à racines réelles, distinctes$⦄$.

\qq $Ω$ est-il ouvert~? fermé~?
    \reponse{$Ω$ est ouvert~: si~$P$ a $n$ racines distinctes $a₁<a₂<…< a_n$
    on choisit $b₀ < a₁ < b₁ < a₂ <… < a_n < b_n$. La suite $(P(b₀),…,P(b_n))$
    est constituée de termes non nuls de signes alternés, il en est de même
    pour la suite $(Q(b₀),…,Q(b_n))$ où~$Q$ est un polynôme unitaire arbitraire
    suffisament proche de~$P$ (pour une norme quelconque).
    \medskip
    $Ω$ n'est pas fermé car $∅≠Ω≠ℝⁿ$ et $ℝⁿ$ est connexe.\medskip}

\qq Notons~$f$ : $σ ↦ P_σ$. Déterminer $f(\overline Ω)$.
    \reponse{Déjà, si l'on munit $ℝⁿ$ et $ℝ_n[X]$ de normes convenables,
    $f$ est une isométrie bicontinue donc $f(\overline Ω) = \overline{f(Ω)}$.
    Montrons que $\overline{f(Ω)}$ est l'ensemble $𝓢$ des
    polynômes de~$ℝ_n[X]$ unitaires et scindés sur~$ℝ$.

    Si $P = Xⁿ + a_{n-1}X^{n-1} + … + a₀$, notons~$M(P)$ la matrice compagne de~$P$.
    \medskip
    Si $P∈𝓢$ alors $M(P)$ est $ℝ$-trigonalisable, donc limite de matrices
    à valeurs propres réelles distinctes. Les polynômes caractéristiques de
    ces matrices, au signe près, appartienent à~$f(Ω)$ et convergent vers~$P$
    d'où $𝓢⊂\overline{f(Ω)}$.
    \medskip
    Si $(P_k)$ est une suite de polynômes de~$f(Ω)$ convergeant vers~$P$
    alors il existe une suite $(O_k)$ de matrices orthogonales telle que
    ${}^tO_kM(P_k)O_k$ est triangulaire supérieure (méthode de Schmidt). Quitte
    à extraire une sous-suite, on peut supposer que $O_k$ converge vers une
    matrice orthogonale~$O$ et donc ${}^tOM(P)O$ est aussi triangulaire
    supérieure ce qui implique que~$P∈𝓢$.}


                            %+-----------+
                            %| Compacité |
                            %+-----------+

\xe\titre{Compacité}
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\ex Recouvrement ouvert
Soit $A$ une partie compacte d'un evn $E$
et $(O_i)_{i∈I}$ un recouvrement ouvert
de $A$. Montrer qu'il existe $r > 0$ tel que toute partie de $A$ de diamètre inférieur
ou égal à $r$ soit incluse dans l'un des $O_i$.
\reponse{$U_{i,n} = ⦃x∈E \tq \overline B(x,1/n) ⊂ O_i⦄$ est ouvert
et les $U_{i,n}$ recouvrent $E$. On extrait un recouvrement fini
$⇒ r = \min(1/n)$.}

%-----------------------------------------------------------------
\ex Ensemble compact de suites
Soit $E = 𝓑(ℕ,ℝ) = ⦃ \text{suites } u = (u_n) \text{ bornées}⦄$.
On munit $E$ de la norme :
$∥u∥ = ⅀_{n=0}^∞ 2^{-n}|u_n|$.
Montrer que $A = ⦃u∈E \tq ∀n∈ℕ,\ 0⩽ u_n⩽ 1⦄$
est compact.
\reponse{Soit $(u^n)$ une suite de suites éléments de $A$ : $u^n = (u^n_k)$.
On peut trouver une sous-suite $(u^{n_{p₀}})$ telle que $(u^{n_{p₀}}₀)$ converge
vers $u₀∈{[0,1]}$, puis une sous-suite $(u^{n_{p₁}})$ telle que
$(u^{n_{p₁}}₀,u^{n_{p₁}}₁)$ converge vers $(u₀,u₁)∈{[0,1]}²$, etc.
Alors la suite $(u^{n_{p_k}})_k$ converge dans $A$ vers $(u₀,u₁,…)$.}

%-----------------------------------------------------------------------------
\ex $⅀|a_i|=1$, Mines MP 2010
Soit $E$ l'espace des suites $a∈ℝ^ℕ$ telles que $⅀|a_i|$ converge,
muni de la norme définie par~$$∥a∥_∞=\sup⦃|a_i|,\ i∈ℕ⦄.$$
Soit $F$ le sous-ensemble des suites $a$ telles que $⅀|a_i|=1$.
$F$ est-il ouvert~? fermé~? compact~? borné~?
\reponse{Non ouvert~: prendre une suite $a∈F$ et augmenter légèrement $|a₀|$.

Non fermé~: prendre $a∈F$ et la remplacer par $(a₀/2,a₀/2,a₁/2,a₁/2,…)$. En
itérant on obtient une suite d'éléments de~$F$ convergeant vers la suite nulle.

Non compact~: car non fermé.

Borné~: $a∈F⇒∥a∥_∞⩽1$.}

%-----------------------------------------------------------------
\ex Boule unité non compacte
Soit $E = 𝓒([0,2π],ℝ)$ muni de la norme $∥\ ∥₂$.
Pour $n∈ℕ$, on pose $f_n(x) = \cos(nx)$.

\qq Calculer $∥f_n-f_p∥₂$ pour $n,p∈ℕ$.
\qq En déduire que $\overline B(0,1)$ n'est pas compacte.

%-----------------------------------------------------------------
\ex Plus petite boule contenant une partie
Soit $∥\ ∥$ une norme sur $ℝ²$, $A ⊂ ℝ²$ une partie bornée contenant au moins deux points.

\qq Montrer qu'il existe une boule fermée de rayon minimum contenant $A$.
\qq Montrer que cette boule n'est pas nécessairement unique (on prendra $∥\ ∥ = ∥\ ∥_∞$).
\qq Montrer que si $∥\ ∥$ est une norme euclidienne, alors la boule précédente est unique.

%----------------------------------------------------------------------
\ex Thm. de Riesz, Stival 2003

Soit $E$ un evn de dimension infinie.

\qq Soit $F$ un sev de dimension finie et $a∈E∖F$.

\sq Montrer qu'il existe $b∈F$ tel que $∥a-b∥ = d(a,F)$.
\sq En déduire qu'il existe $c∈E$ tel que $∥c∥ = 1 = d(c,F)$.
\qq Montrer que la boule unité de~$E$ n'est pas compacte.

%-----------------------------------------------------------------------------
\ex Spectre compact ? ENS 2014
Soit~$K$ un compact de~$𝓜_n(ℝ)$ et~$σ(K)$ l'ensemble des valeurs propres complexes des
matrices de~$K$. Montrer que~$σ(K)$ est compact.
Que dire si on suppose seulement $K$ borné~?
\reponse{Si $(λ_p)$ est une suite d'éléments de~$σ(K)$, on considère $M_p∈K$ telle
         que $λ_p∈\sp(M_p)$, $X_p∈𝓜_{n,1}(ℂ)$ de norme~$1$ (pour une norme fixée sur~$𝓜_{n,1}(ℂ)$)
         tel que $M_pX_p=λ_pX_p$ et on extrait des sous-suites $(M_{φ(p)})$ convergeant vers~$M∈K$
         et $(X_{φ(p)})$ convergeant vers~$X$ de norme~$1$.
         La suite $(M_{φ(p)}X_{φ(p)})$ converge vers~$MX$ et $\rg(M_{φ(p)}X_{φ(p)},X_{φ(p)})=1$
         donc à la limite $\rg(MX,X)⩽1$ car tous les déterminants $2×2$ extraits de $(MX,X)$
         sont nuls. Ainsi $X$ est vecteur propre de~$M$ et en examinant une coordonnée non nulle
         de~$X$, on obtient $λ_{φ(p)}⟶_{p→∞}λ$, la valeur propre associée.
         \medskip
         Si $K$ est seulement fermé alors $σ(K)$ ne l'est pas nécessairement.
         Par exemple si $K=⦃M\tq \det(M)=1⦄$ alors $σ(K)=ℂ^*$ pour $n⩾2$ et $σ(K)=ℝ^*$ pour $n=1$.}
%------------------------------------------------------------


                     %+------------+
                     %| Complétude |
                     %+------------+

\xe\titre{Complétude}

%------------------------------------------------------------
\ex Norme pour les fonctions lipschitziennes
Soit $E = ⦃ \text{fonctions lipchitziennes } f:ℝ→ℝ ⦄$.
Pour $f∈E$, on pose
$∥f∥ = |f(0)| + \sup\limits_{x≠y} \left|\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|$.

Montrer que $E$ est complet.

%------------------------------------------------------------
\ex Intersection vide
Soit $E = 𝓑(ℕ,ℝ) = ⦃ \text{suites } u = (u_n) \text{ bornées}⦄$.
On munit $E$ de la norme : $∥u∥ = \sup⦃|u_n|,\ n∈ℕ⦄$.

\qq Montrer que $E$ est complet.
\qq Soit $F_k = ⦃ u∈E\tq ∥u∥ = 1\text{ et }u₀=…=u_k=0⦄$.
    Vérifier que les $F_k$ forment une suite de fermés bornés
    emboîtés dont l'intersection est vide.

%------------------------------------------------------------
\ex Théorème de Baire
Soit $E$ un espace vectoriel normé complet et $(F_n)$
une suite de fermés de $E$ d'intérieurs vides.
On pose $\smash{F = ⋃_n F_n}$. Montrer que $\interieur F = ∅$.
\reponse{Soit $a∈\interieur F$ et $B(a,r) ⊂ ⋃_n F_n$ :
$B ∖ F₁$ est un ouvert non vide donc contient une boule
$B₁(a₁,r₁)$.
De même, $B₁ ∖ F₂$ contient une boule $B₂(a₂,r₂)$ etc.
On peut imposer $r_n ⟶_{n→∞} 0$, donc il existe $c∈⋂_n B_n$,
c.a.d. $c∈B$ mais pour tout $n$, $c ∉ F_n$. Contradiction.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Centrale MP 2001

Montrer qu'un plan euclidien n'est pas réunion de cercles disjoints non
réduits à un point. {\it Indication~: considérer les disques fermés associée à un recouvrement
« circulaire » du plan et mettre en évidence une suite de disques emboités
dont les rayons tendent vers zéro.}
\reponse{Supposons qu'il existe une famille $(𝓒_i = 𝓒(a_i,R_i))_{i∈I}$ de cercles disjoints
dont la réunion est égale au plan $P$. On note $D_i$ le disque fermé de frontière $𝓒_i$.
Soit $i₀∈I$ choisi arbitrairement, $i₁$ tel que $a_{i₀}∈𝓒_{i₁}$,
$i₂$ tel que $a_{i₁}∈𝓒_{i₂}$ etc. On a $R_{i_k} < ½R_{i_{k-1}}$
donc la suite $(D_{i_k})$ vérifie le théorème des fermés emboités, l'intersection
des $D_{i_k}$ est réduite à un point $x$ par lequel ne passe aucun cercle $𝓒_j$.}

                               %+-------------+
                               %|  Connexité  |
                               %+-------------+

\xe\titre{Connexité}

%-------------------------------------------------------------
\ex Connexité d'un evn
Soit $E$ un evn et $A⊂E$. On suppose que $A$ est à la fois ouvert
et fermé.

\qq Exemples de telles parties ?
\qq On définit la fonction $\appmult f E ℝ
    {x &1 \text{ si } x∈A,\cr
     x &0 \text{ si } x ∉ A\cr}$

    \sq  Montrer que $f$ est continue.
    \sq On prend $a∈A$ et $b ∉ A$.
        Montrer que $\application φ {[0,1]} ℝ t {f(ta + (1-t)b)}$
        est continue.
    \sq Conclure.

%-------------------------------------------------------------
\ex $A≠E$ et $A≠∅ ⟹ \fct{Fr}(A)≠∅$
Soit $E$ un evn et $A$ une partie de $E$ ni vide, ni égale à $E$.
Montrer que $\fct{Fr}(A)≠∅$.

%---------------------------------------------------------
\ex Frontière connexe
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $A ⊂ E$ fermé.
Montrer que si $\fct{Fr}(A)$ est connexe, alors $A$ est connexe.
\reponse{Soient $F₁$, $F₂$ fermés non vides disjoints tels que
$F₁ ∪ F₂ = A$ : Alors $\fct{Fr}(A) = \fct{Fr}(F₁) ∪ \fct{Fr}(F₂)$.}

%---------------------------------------------------------
\ex $𝕌$ et $ℝ$ ne sont pas homéomorphes
Soit $𝕌$ le cercle unité de $ℂ$ et $f:𝕌→ℝ$ continue.
Montrer que $f$ n'est pas injective.

%---------------------------------------------------------
\ex $u_{n+1} - u_n → 0$
Soit $E$ un evn de dimension finie et
$(u_n)$ une suite bornée d'éléments de $E$ telle que $u_{n+1} - u_n ⟶_{n→∞} 0$.
Montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite est connexe.
\reponse{Soient $F₁$, $F₂$ fermés non vides disjoints tels que
$F₁ ∪ F₂ = ⦃\text{va de } u_n⦄$. Il existe $ε > 0$ tel que
$d(F₁,F₂) > ε$. Alors, à partir d'un certain rang,
tous les termes de la suite sont dans un seul des $F_i$.}

%---------------------------------------------------------
\ex Complémentaire d'une partie étoilée
Soit $Ω$ une partie bornée étoilée d'un evn réel de dimension supérieure
ou égale à 2. Montrer que le complémentaire de $Ω$ est connexe.

%---------------------------------------------------------
\ex Complémentaire d'un sev
Soit $E$ un $ℝ$-evn de dimension finie et $F$ un sev propre de $E$. Montrer que $E∖F$
est connexe si et seulement si $\codim(F) ⩾ 2$.
Que peut-on dire dans un $ℂ$-ev ?
%-------------------------------------------------------------
\ex Ouvert presque fermé.
Soit $E$ un evn de dimension supérieure ou égale à $2$
et $A,B$ deux parties de $E$ telles que
$A$ est ouvert non vide, $B$ est fini et $A∪B$ est fermé.
Montrer que $A∪B = E$.
\reponse{%
$E∖B$ est connexe par arcs et contient au moins un point $a∈A$.
Soit $x∈E∖B$ et $φ:[0,1]→E∖B$ un arc
continu joignant $a$ à $x$ dans $E∖B$.
Alors $φ^{-1}(A) = φ^{-1}(A∪B)$ est non vide, relativement ouvert
et relativement fermé dans $[0,1]$, donc c'est $[0,1]$ ce qui prouve
que $x∈A$.} 

%-------------------------------------------------------------
\ex Complémentaire d'un hyperplan (Ens Ulm MP$^*$ 2005)

Soit $E$ un evn réel et $H$ un hyperplan de~$E$.
Montrer que $E∖H$ est connexe par arcs si et seulement si
$H$ {\it n'est pas\/} fermé.
\reponse{
Le sens $H$ est fermé $⇒$ $E∖H$ n'est pas connexe (par arcs) est évident.
Réciproquement, si $H$ n'est pas fermé alors $\overline H = E$.
Soient $a,b∈E∖H$ et $(x_n)$ une suite d'éléments de~$H$ telle que
$x₀ = 0$ et $x_n⟶_{n→∞}a-b$. On définit un arc continu $φ:[0,1]→E∖H$
reliant $a$ à $b$ par~: $φ$ est affine sur $[\frac1{n+2},\frac1{n+1}]$,
$φ(\frac1{n+1})=b+x_n$ et $φ(0)=a$.}

                          %+-----------------------+
                          %|  Fonctions continues  |
                          %+-----------------------+

\xe\titre{Fonctions continues}

%-------------------------------------------------------------------------
\ex Caractérisation des fonctions continues
Soient $E$, $F$ deux espaces vectoriels normés et $f:E→F$.

Montrer que $f$ est continue …\par
\quad si et seulement si : $∀A ⊂ E,\ f(\overline A) ⊂ \overline{f(A)}$\par
\quad si et seulement si : $∀B ⊂ F,\ f^{-1}(\interieur B) ⊂ f^{-1}(B)^∘$.\par

\reponse{%
Si $f$ est continue :\par
\quad soit $x∈\overline A$ : $x = \lim a_n ⇒ f(x) = \lim f(a_n)∈\overline{f(A)}$.\par
\quad soit $x∈f^{-1}(B)^∘$ : $∃B(f(x),r) ⊂ B$,
$∃δ > 0 \tq f(B(x,δ)) ⊂ B(f(x),r)⇒B(x,δ) ⊂ f^{-1}(B)$.
\medskip
Si $f(\overline A) ⊂ \overline{f(A)}$ :
soit $B ⊂ F$ fermé et $A = f^{-1}(B)$ :
$f(\overline A) ⊂ B$ donc $\overline A ⊂ A$.
\medskip
Si $f^{-1}(\interieur B) ⊂ f^{-1}(B)^∘$ :
soit $B ⊂ F$ ouvert et $A = f^{-1}(B)$ :
$\interieur A \supset f^{-1}(\interieur B) = A$.}

%-----------------------------------------------------------------
\ex Graphe fermé
Soient $E,F$ deux espaces vectoriels normés et $f:E→F$.
On note $Gr(f) = ⦃(x,y)∈E×F\tq y = f(x)⦄$.

\qq Montrer que si $f$ est continue, alors $Gr(f)$ est fermé dans $E×F$.
\qq Prouver la réciproque lorsque $f(E)$ est inclus dans un compact de~$F$.
\qq Donner un contrexemple si $f(E)$ n'est pas inclus dans un compact.

%-----------------------------------------------------------------
\ex Image d'une intersection
Soient $E,F$ deux espaces vectoriel normés et $f:E→F$ continue.
Soit $(K_n)$ une suite décroissante de compacts de $E$.
Montrer que $f(⋂_nK_n) = ⋂_nf(K_n)$.

%------------------------------------------------------------
\ex Image d'une intersection de fermés
Soit $E$ un espace vectoriel normé complet, $F$ un espace vectoriel normé quelconque,
$f:E→F$ une application continue
et $(E_n)$ une suite décroissante de fermés de $E$ dont le diamètre tend
vers~0.

Montrer que $f(⋂_n E_n) = ⋂_n f(E_n)$.

%-----------------------------------------------------------------
\ex Fonction bicontinue sur un compact
Soit $A$ une partie compacte d'un evn $E$ et $f:A→F$ une fonction
continue et injective ($F$ = evn).

\qq Montrer que $f^{-1}:f(A)→A$ est aussi continue.
\qq Donner un exemple où $A$ n'est pas compact et $f^{-1}$ n'est pas continue.

%-----------------------------------------------------------------
\ex Isométries d'un compact
Soit $A$ une partie compacte d'un evn $E$ et $f:A→A$ telle que :
$∀x,y∈A,\ d(f(x),f(y)) ⩾ d(x,y)$.

\qq Soit $a∈A$ et $(a_n)$ la suite définie par :
    $a₀ = a$, $a_{n+1} = f(a_n)$. Montrer que $a$ est valeur d'adhérence de la
    suite $(a_n)$.
\qq Soient $a,b∈A$. Montrer que $d(f(a),f(b)) = d(a,b)$.
\qq Montrer que $f(A) = A$.

%-------------------------------------------------------------
\ex $(f(x)-f(y))/(x-y)$
Soit $f:ℝ→ℝ$ une fonction de classe $𝓒¹$ et
$\appmult g {ℝ²} ℝ {{(x,y)} &{\dfrac {f(x)-f(y)}{x-y} \text{ si } x≠y}\cr
 {(x,x)} &{f'(x)}\cr}$

Montrer que $g$ est continue
(attention : pour une fonction définie par cas, se placer au voisinage d'un
point $(x₀,y₀)$ et déterminer si un seul ou plusieurs cas sont à considérer
dans ce voisinage).

%-------------------------------------------------------------
\ex $\sup(f(x,y))$
Soit $f:ℝ²→ℝ$ continue.
On pose $g(x) = \sup(f(x,y)\tq y∈{[0,1]})$.
Montrer que $g$ est continue.
\reponse{Remarquer que la restriction de $f$ à toute partie compacte est uniformément
continue.}

%-------------------------------------------------------------
\ex Fonction tendant vers $+∞$ à l'infini
Soit $E$ un evn de dimension finie et $f:E→ℝ$ continue.
On suppose que $f(x) ⟶_{∥x∥→∞} +∞$, c'est à dire :
$$∀A∈ℝ,\ ∃B∈ℝ\tq  ∀x∈E,\ ∥x∥ ⩾ B ⇒ f(x)⩾ A.$$

\qq On prend $A = f(0)$ et $B$ le nombre correspondant.\par
    Montrer que $\inf⦃f(x)\tq x∈E⦄ =
         \inf⦃f(x)\tq ∥x∥⩽B ⦄$.
\qq En déduire que $f$ admet un minimum.
\qq Exemple : soit $E = ℝ_n[X]$ et $f:[a,b]→ℝ$ bornée.\par
    Montrer qu'il existe $P∈E\tq ∥f-P∥_∞ = \sup⦃|f(t)-P(t)|\tq t∈{[a,b]} ⦄$
    soit minimal
    ($P$ est appelé~: {\it un} polynôme de meilleure approximation de $f$ sur $[a,b]$).

%-------------------------------------------------------------
\ex Fonctions homogènes
On note $Ω = ℝ²∖ ⦃(0,0)⦄$ et $D = ⦃(x,y)∈ℝ²\tq 0 < x²+y²⩽1 ⦄$.
Soit $f:Ω→ℝ$. On dit que $f$ est
{\it positivement homogène de degré $α$} si :

$$ ∀(x,y)∈Ω,\ ∀t > 0,\ f(tx,ty) = t^α f(x,y). $$

\qq Donner des exemples de telles fonctions pour $α = 1,0,-2,½$.
\qq Soit $f$ continue, positivement homogène de degré $α$.
    Montrer que si $α ⩾ 0$, $f$ est bornée sur $D$ et que si $α > 0$,
    $f$ admet une limite finie en $(0,0)$.
    Examiner les cas $α = 0$, $α < 0$.

%-------------------------------------------------------------
\ex Fonction partiellement continue dans toutes les directions
Trouver une fonction $f:ℝ²→ℝ$ discontinue en $(0,0)$
mais telle que pour tous $α,β∈ℝ$,
$f(αt,βt) ⟶_{t→0} 0$.

%-------------------------------------------------------------
\ex Continuité du polynôme caractéristique
Soit $E = 𝓜_n(ℝ)$, $F = ℝ_n[X]$, et
$\application φ E F A {χ_A}$ (polynôme caractéristique).
Montrer que $φ$ est continue.

%-------------------------------------------------------------
\ex Ouverts et non ouverts
Soit $E = ℝ[X]$. Pour $P∈E$, on pose :
$\cases{ N₁(P) = \sup(|P(t)|\tq 0⩽t⩽1 )\cr
         N₂(P) = \sup(|P(t)|\tq 1⩽t⩽2 )\cr
         φ(P) = P(0). \cr }$

\qq Vérifier que $N₁$ et $N₂$ sont des normes.
\qq Montrer que $φ$ est continue pour $N₁$.
\qq Montrer que $φ$ est discontinue pour $N₂$ (considérer $P_n(t) = (1-t/2)ⁿ$).
\qq $N₁$ et $N₂$ sont-elles équivalentes ?
\qq Soit $𝓞 = ⦃ P∈E\tq P(0)≠0 ⦄$.
    Montrer que $𝓞$ est ouvert pour $N₁$ mais pas pour $N₂$.

%-------------------------------------------------------------
\ex Thm du point fixe
Soit $E$ un evn de dimension finie et $f:E→E$ une fonction
$k$-lipchitzienne avec $k < 1$.
On choisit $u₀∈E$ arbitrairement, et on considère la suite
$(u_n)$ telle que pour tout $n$ :
$u_{n+1} = f(u_n)$.

\qq Montrer que $∥u_{n+1} - u_n∥⩽kⁿ∥u₁ - u₀∥$.
\qq En déduire que la suite $(u_n)$ est de Cauchy.
\qq Soit $ℓ = \lim(u_n)$. Montrer que $ℓ$ est l'unique solution
    dans $E$ de l'équation $f(x) = x$.

%------------------------------------------------------------
\ex $f∘f$ est contractante
Soit $E$ un espace vectoriel normé complet et $f:E→E$ telle que $f∘f$
est contractante. Montrer que $f$ admet un unique point fixe.
\reponse{Soit $(a_n)$ définie par $a_{n+1} = f(a_n)$ : les sous-suites
$(a_{2n})$ et $(a_{2n+1})$ convergent vers le point fixe de $f∘f$.}

%-----------------------------------------------------------------
\ex Application presque contractante
Soit $A$ une partie compacte d'un evn $E$ et $f:A→A$ telle que :
$$∀x,y∈A,\ x≠y ⇒ d(f(x),f(y)) < d(x,y).$$

\qq Montrer que $f$ admet un point fixe unique, $a$.
\qq Soit $(x_n)$ une suite d'éléments de $A$ telle que $x_{n+1} = f(x_n)$.
    Montrer qu'elle converge vers $a$.
    \reponse{$d(x_n,a)$ décroit, donc tend vers $d$.
             Il existe une sous-suite $(x_{n_k})$ convergeant vers $ℓ$
             et $d(ℓ,a) = d$. La suite $(f(x_{n_k}))$ converge vers $f(ℓ)$
             et $d(f(ℓ),a) = d$, donc $ℓ = a$. Il y a une seule valeur
             d'adhérence, donc la suite converge.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Application presque contractante (Polytechnique MP$^*$ 2000, Mines MP 2003)
Soit $C$ un compact convexe d'un evn $E$. Soit~$f:C→C$, $1$-lipschitzienne.
Montrer que~$f$ admet un point fixe. On pourra utiliser la fonction
$f_n:x↦\frac1n a + (1-\frac1n)f(x)$ avec $a∈C$.
\reponse{$C$ est stable par~$f_n$ qui est $(1-\frac1n)$-lipschitzienne.
Donc il existe $x_n∈C$ tel que $f_n(x_n) = x_n$~; toute valeur d'adhérence de $(x_n)$
est point fixe de~$f$.}

%-------------------------------------------------------------
\ex Points fixes, ULM-Lyon-Cachan MP$^*$ 2005

\qq Montrer que les points fixes de $f$, continue sur $[0,1]$ à valeurs dans $[0,1]$,
    forment un ensemble fermé non vide.

\qq Montrer que tout fermé de $[0,1]$ non vide est l'ensemble des points fixes
    d'une fonction continue de $[0,1]$ dans~$[0,1]$.
\reponse{Soit $F$ est un tel fermé, et $a∈F$.
On prend $f(x) = x + d(x,F)$ si $0⩽x⩽a$
et $f(x) = x-d(x,F)$ si $a⩽x⩽1$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Racines de polynômes X MP$^*$ 2004
Soit~$E=ℂ_d[X]$ normé par $∥⅀a_iX^i∥ = ⅀|a_i|$,
$P∈E$ de degré~$d$ à racines simples et $P_n$ une suite de polynômes de~$E$ convergeant vers~$P$.
Soit~$z∈ℂ$ tel que $P(z) = 0$ et $δ>0$.

\qq Montrer que pour~$n$ assez grand, $P_n$ a au moins un zéro dans $\overline{B(z,δ)}$.
    \reponse{Pour simplifier, on suppose $z=0$ (sinon, se placer dans la base $(1,X-z,…,(X-z)^d)$
    et invoquer l'équivalence des normes en dimension finie).

    Soit $P_n(x) = a_{n,0} + a_{n,1}x + … + a_{n,d}x^d$. La suite $(P_n)$ étant convergente
    est bornée donc il existe $M∈ℝ$ tel que $|a_{n,k}|⩽M$ pour
    tous $n,k$. De plus, $a_{n,0}⟶_{n→∞} a₀=0$ et
    $a_{n,1}⟶_{n→∞}a₁≠0$.

    Posons alors $Q_n(x) = -\dfrac{\strut a_{n,0} + a_{n,2}x² + … + a_{n,d}x^d}{a_{n,1}}$
    (bien défini si $n$ est assez grand).
    On va montrer que $Q_n$ vérifie les hypothèses du théorème du point fixe sur
    $\overline{B(0,δ)}$ pour tout~$n$ assez grand si $δ$ est choisi assez petit,
    ce qui implique l'existence et l'unicité d'une racine pour $P_n$ dans $\overline{B(0,δ)}$.
    \medskip
    -- $Q_n(\overline{B(0,δ)})⊂\overline{B(0,δ)}$~?

    Soit $x∈\overline{B(0,δ)}$~: on a $|Q_n(x)|⩽\dfrac{|a_{n,0}| + M(δ²+…+δ^d)}{|a_{n,1}|}
    ⟶_{n→∞}\dfrac{M(δ²+…+δ^d)}{|a₁|}$.
    On choisit $δ>0$ tel que $\dfrac{M(δ+…+δ^{d-1})}{|a₁|}⩽\dfrac12$.
    Il existe alors $N₁∈ℕ$ tel que $\dfrac{|a_{n,0}| + M(δ²+…+δ^d)}{|a_{n,1}|}⩽δ$
    pour tout~$n⩾N₁$.
    \medskip
    -- $Q_n$ est contractante sur $\overline{B(0,δ)}$~?

    Soient $x,y∈\overline{B(0,δ)}$. On a~:
    $$\eqalign{|Q_n(x)-Q_n(y)|
    &⩽\dfrac{|a_{n,2}||x²-y²|+…+|a_{n,d}||x^d-y^d|}{|a_n,1|}\cr
    &⩽|x-y|\dfrac{|a_{n,2}||x+y|+…+|a_{n,d}||x^{d-1}+…+y^{d-1}|}{|a_{n,1}|}\cr
    &⩽|x-y|\dfrac{M(2δ+…+dδ^{d-1})}{|a_{n,1}|}.\cr}$$
    Quitte à diminuer $δ$ on peut imposer $\dfrac{M(2δ+…+dδ^{d-1})}{|a₁|}⩽\dfrac12$
    et donc $\dfrac{M(2δ+…+dδ^{d-1})}{|a_{n,1}|}⩽\dfrac23$ pour tout~$n⩾N₂$
    et $Q_n$ est $⅔$-lipschitzienne.
    }
\qq Montrer qu'il existe $δ₀>0$ tel que pour tout $δ∈{]0,δ₀]}$
    $P_n$ a exactement une racine dans $\overline{B(z,δ)}$ si $n$ est assez grand.
    \reponse{Voir réponse précédente. Y a-t-il une réponse plus simple pour~{\bf 1)}~?}
\qq Que peut-on dire si les zéros de~$P$ ne sont plus supposés simples~?
    \reponse{Si $z$ est zéro d'ordre~$k$ de~$P$ alors il existe $δ>0$ tel
    que pour tout~$n$ assez grand, $P_n$ a exactement $k$ racines comptées avec leur ordre de
    multiplicité dans~$\overline{B(0,δ)}$. Ceci est une conséquence du {\it théorème des
    résidus\/} largement hors programme…}

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\ex Une application polynomiale est fermée, ULM-Lyon-Cachan MP$^*$ 2005

Soit $f$ une fonction polynomiale sur~$ℂ$. Montrer que l'image par $f$ de tout
fermé est un fermé.

\reponse{Si $f$ est constante c'est évident. Sinon, on a facilement $|f(z)|⟶_{|z|→∞}∞$.
Considérons un fermé $F$ et une suite $(f(z_n))$ d'éléments de~$f(F)$ convergeant
vers $Z∈ℂ$. D'après la remarque, la suite $(z_n)$ est bornée, elle
admet une valeur d'adhérence $z∈F$ et $Z=f(z)∈f(F)$.
\medskip
Remarque~: ce résultat est faux pour une fonction polynomiale sur $ℂ^p$ avec $p⩾2$,
prendre par exemple $f(x,y) = x$ sur $ℂ²$ et $F = ⦃(x,y)∈ℂ²$ tq $xy=1⦄$.}


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\ex Principe du maximum, ULM-Lyon-Cachan MP$^*$ 2005

Soit $P∈ℂ[X]$ et $U$ un ouvert de~$ℂ$ borné.
Montrer que $\sup(|P(x)|,\ x∈U) = \sup(|P(x)|,\ x∈\fct{Fr}(U))$.

\reponse{On suppose $P$ non constant, sans quoi le résultat est trivial.
Soit $S(X) = \sup(|P(x)|,\ x∈X)$.
On a par inclusion et continuité~: $S(\fct{Fr}(U))⩽S(\overline U) = S(U)$.
Soit $x∈\overline U$ tel que $|P(x)| = S(\overline U)$. On démontre
par l'absurde que $x∈\fct{Fr}(U)$, ce qui entraîne l'égalité demandée.
Supposons donc $x∈U$ et soit $n=\deg(P)$. Alors pour $ρ>0$ suffisament petit,
et $θ∈ℝ$, on a $x+ρ e^{iθ}∈U$ et~:
$$P(x+ρ e^{iθ}) = P(x) + ρ e^{iθ}P'(X) + … + \dfrac{ρⁿ e^{inθ}}{n!}P^{(n)}(x).$$
avec $P^{(n)}(x) = P^{(n)}≠0$. On en déduit~:
$$2π |P(x)| = \Bigl|∫_{θ=0}^{2π} P(x+ρ e^{iθ})\,𝕕θ\Bigr|
⩽∫_{θ=0}^{2π} |P(x+ρ e^{iθ})|\,𝕕θ⩽2π S(U) = 2π|P(x)|.$$
On en déduit que les inégalités sont des égalités, et en particulier que
la quantité $|P(x+ρ e^{iθ})|$ est indépendante de $ρ$ et $θ$.
Il y a contradiction car $|P(x+ρ e^{iθ})|²$ est un polynôme de
degré $2n$ en $ρ$.}

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\ex Fonction presque additive, Centrale MP 2001

Soient $E,F$ deux $ℝ$-espaces vectoriels normés, $F$ étant complet.
Soit $f$ une application continue de $E$ dans $F$ telle qu'il existe $M∈ℝ^+$
vérifiant~:
$$∀x,y∈E,\ ∥f(x+y)-f(x)-f(y)∥⩽M.$$

\qq Dans le cas $M=0$ montrer que $f$ est linéaire. Ce résultat subsiste-t-il
    si $E$ et $F$ sont des $ℂ$-ev~?
    \reponse{$f(rx) = rf(x)$ pour tout $r∈ℕ$ par récurrence, puis pour
    tout $r∈ℤ$ par différence, pour tout $r∈ℚ$ par quotient et enfin
    pour tout $r∈ℝ$ par densité. Dans le cas de $ℂ$-ev $f$ est $ℝ$-linéaire
    mais pas forcément $ℂ$-linéaire, ctrex~: $z↦\overline z$ de $ℂ$
    dans $ℂ$.}

\qq On suppose $M>0$. Soit pour $x∈E$ et $n∈ℕ$~: $f_n(x) = 2^{-n}f(2ⁿx)$.
    Montrer que la suite $(f_n)$ converge simplement sur~$E$.
    \reponse{$∥f_{n+1}(x) - f_n(x)∥⩽M2^{-n-1}$ donc la série télescopique
    $⅀(f_{n+1}(x) - f_n(x))$ est uniformément convergente.}

\qq On note $g = \lim_{n→∞}f_n$. Montrer que $g$ est une application
    linéaire continue et que c'est l'unique application linéaire telle que
    $f-g$ soit bornée.
    \reponse{$∥f_n(x+y) - f_n(x) - f_n(y)∥⩽M2^{-n}$ donc
     $∥g(x+y) - g(x) - g(y)∥⩽0$ et $g$ est continue (limite uniforme des $f_n$)
     d'où $g$ est linéaire continue.
     $∥f(x) - g(x)∥ = ∥⅀_{k=0}^∞(f_{k}(x) - f_{k+1}(x))∥
                       ⩽2M$
     donc $f-g$ est bornée.
     Si $h$ est une application linéaire telle que $f-h$ est bornée alors $g-h$ est aussi
     bornée ce qui entraîne $g=h$ par linéarité.}

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\ex $f$ uc $⇒ f$(borné) est borné

Soit $A⊂E$ une partie non vide bornée et $f:A→F$ uniformément continue.
Montrer que $f$ est bornée dans les cas suivants~:

\qq $A$ est convexe.
\qq $A$ est quelconque et $E$ est de dimension finie.

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\ex ENS 2017
Soit~$A∈𝓜_n(ℝ)$. On définit la fonction $A^*:ℝ^n→ℝ^n$ par
$$∀v∈ℝ^n,\ ∀j∈⟦1,n⟧,\ [A^*v]_j = \min⦃v_i+A_{ij}, 1⩽i⩽n⦄.$$
\qq Montrer que $A^*$ est lipschitzienne.
    \reponse{Pour $v,w∈ℝ^n$ et $j∈⟦1,n⟧$, soient $k,ℓ$ tels que
             $[A^*v]_j = v_k+A_{kj}$ et $[A^*w]_j = w_ℓ+A_{ℓj}$.
             On a par définition
             $$[A^*v]_j = v_k+A_{kj} ⩽ v_ℓ+A_{ℓj} = (v_ℓ-w_ℓ) + (w_ℓ+A_{ℓj})
              = (v_ℓ-w_ℓ) + [A^*w]_j.$$
              On en déduit $[A^*v]_j - [A^*w]_j ⩽ v_ℓ-w_ℓ ⩽ ∥v-w∥_∞$
              puis, $∥A^*v - A^*w∥_∞ ⩽ ∥v-w∥_∞$.}
              
\qq Montrer que si $λ∈{]0,1[}$ alors $∃\!!\,v_λ∈ℝ^n\tq v_λ = A^*(λv_λ)$
    {\it (pour l'existence, on pourra introduire une suite construite par
    récurrence).}
    \reponse{Unicité~: si $A^*(λv) = v$ et $A^*(λw) = w$ alors
             $v-w = A^*(λv)-A^*(λw)$ d'où $∥v-w∥_∞ ⩽ λ∥v-w∥_∞$ et $v=w$.
             \medskip
             Existence~: on pose $x₀=0$ puis $x_{n+1} = A^*(λx_n)$.
             Alors $∥x_{n+1}-x_n∥_∞⩽λ∥x_n-x_{n-1}∥_∞$ donc la série télescopique
             associée à $(x_n)$ est absolument convergente.
             Par continuité de~$A^*$, la limite~$x$ vérifie $x=A^*(λx)$.}

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                   %+------------------------------------+
                   %|  Applications linéaires continues  |
                   %+------------------------------------+

\xe\titre{Applications linéaires continues}

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\ex $∥f(x)∥=1$
Soient $E$, $F$ deux $𝕂$-evn et $f∈𝓛(E,F)$.

Montrer que $f$ est continue si et seulement si
$⦃x∈E\tq∥f(x)∥=1⦄$ est fermé.

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\ex Applications linéaires continues

Soit $E$ un $ℝ$-ev de dimension finie et $u∈𝓛(E)$.
On pose $\∥u\∥ = \sup(∥u(x)∥\tq ∥x∥ = 1)$.

\qq Montrer que $\∥u\∥$ existe et que c'est un maximum.
\qq Montrer que $\∥\;.\;\∥$ est une norme sur $𝓛(E)$
    (appelée : {\it norme linéaire associée à\/} $∥\;.\;∥$).
\qq Montrer que : $∀x∈E,\ ∥u(x)∥⩽\∥ u\∥×∥x∥$.
\qq En déduire que : $∀u,v∈𝓛(E)$, $\∥ u∘v\∥⩽\∥u\∥×\∥v\∥$.

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\ex Centrale MP 2006
$E$ est l'ensemble des fonctions de $ℝ$ dans $ℝ$ continues et bornées sur $ℝ$.

Pour $p∈ℕ$ et $f∈E$ on pose : 
$N_{p}(f) = \sup⦃|t^{p} e^{-|t|} f(t)|,\ t∈ℝ⦄$.

\qq Montrer que $N_{p}$ est une norme sur $E$.

\qq Soit $c∈ℝ$ et $\application {P_{c}} E ℝ f {f(c).}$
    Étudier la continuité de $P_c$ sur $(E,N_p)$.
    \reponse{Si $c≠0$ alors $P_c$ est continue pour toutes les normes $N_p$
    et $\∥P_c\∥_{N_p}=|c|^{-p}e^{|c|}$.
    Par contre $P₀$ n'est continue que pour~$N₀$ car si $p>0$ alors
    $N_p(x↦e^{-n|x|})=\dfrac{p^pe^{-p}}{(n+1)^p}⟶_{n→∞}0$
    donc la suite $(x↦e^{-n|x|})$ converge vers la fonction nulle
    pour $N_p$, mais $P₀(x↦e^{-n|x|})=1\not→0$.}

\qq Montrer que, pour $p$ et $q$ distincts dans $ℕ$, les normes $N_p$ et $N_q$ ne sont pas équivalentes.
    \reponse{Si $p<q$ alors $N_p(x↦e^{-n|x|})/N_q(x↦e^{-n|x|})⟶_{n→∞}∞$.}
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\ex Applications linéaires continues
Soient $E,F$ deux evn de dimensions finies et $φ:E→F$ linéaire.
Montrer que $φ$ est continue.

En déduire que tout sev de $E$ est fermé.

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\ex Continuité du polynôme de Lagrange
Soient $x₁,…,x_n∈ℝ$ distincts.
A $(y₁,…,y_n)∈ℝⁿ$ on fait correspondre le polynôme
$P∈ℝ_{n-1}[X]$ tel que pour tout $i$ : $P(x_i) = y_i$.

\qq Montrer que l'application $(y₁,…,y_n) ↦ P$ est continue.
\qq Montrer que l'application réciproque est aussi continue.

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\ex Suites convergentes

Soit $E$ l'ensemble des suites réelles convergentes muni de la
norme~$∥u∥ = \sup⦃|u_n|, n∈ℕ⦄$.

Soit $\application L E ℝ u {ℓ = \lim_{n→∞} u_n.}$
Montrer que $L$ est une application linéaire continue et calculer sa norme.

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\ex Itération d'un endomorphisme
Soit $E$ un evn de dimension finie et $u∈𝓛(E)$.
On choisit $x₀∈E$, et on considère la suite $(x_n)$
définie par la relation de récurrence :
$x_{n+1} = u(x_n)/∥u(x_n)∥$.

On suppose que la suite $(x_n)$ converge. Montrer que la limite est un vecteur
propre de $u$.

Exemples :
{\bf 1)} $E = ℝ³$, $\fct{mat}(u) = \matr( 1 &2 &3 \cr 4 &5 &6 \cr 7 &8 &9 \cr)$.
{\bf 2)} $E = ℝ³$, $\fct{mat}(u) = \matr( 0 &0 &1 \cr 1 &0 &0 \cr 0 &1 &0 \cr)$.

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\ex Puissances de $u$
Soit $E$ un evn de dimension finie et $u∈𝓛(E)$ tel que $\∥u\∥⩽1$.
Montrer que la suite $(uⁿ)$ contient une sous-suite simplement convergente.
\reponse{Prendre une base.}

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\ex $id - u$ est bicontinu
Soit $E$ un $ℂ$-evn et $u∈𝓛_c(E)$ tel que $\id_E - u$ est
bicontinu.
Montrer que pour tout entier $n$, $\id_E - uⁿ$ est bicontinu et comparer son inverse
à $⅀_{k=0}^{n-1} \bigl(\id_E - e^{2ikπ/n}u\bigr)^{-1}$.

Indication : décomposer en éléments simples la fraction $\dfrac1{1-Xⁿ}$.
\reponse{$\dfrac1{1-Xⁿ} = \dfrac 1n ⅀_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{1-ω_kX}$,
$ω_k = e^{2ikπ/n}$.
Donc $1 = ⅀_{k=0}^{n-1} \dfrac{1-Xⁿ}{n(1-ω_kX)}$.

Il s'agit de polynômes, donc on peut remplacer $X$ par $u$, d'où :
$(\id_E - uⁿ)^{-1} = \dfrac1n ⅀_{k=0}^{n-1}\bigl(\id_E - e^{2ikπ/n}u\bigr)^{-1}$.}

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\ex Norme linéaire sur $ℝ$ = norme linéaire sur $ℂ$
Soit $A∈𝓜_n(ℝ)$ et $f∈𝓛(ℝⁿ)$, $g∈𝓛(ℂⁿ)$ les endomorphismes
canoniquement associés à $A$.
Montrer que si on munit $ℝⁿ$ et $ℂⁿ$ des normes euclidiennes usuelles, alors
$\∥f\∥ = \∥g\∥$.
\reponse{$∥X+iY∥² = ∥X∥² + ∥Y∥²$, $∥A(X+iY)∥² = ∥AX∥²+∥AY∥²
        ⩽\∥A\∥_ℝ²(∥X²∥+∥Y∥²)$ donc $\∥A\∥_ℂ⩽\∥A\∥_ℝ$.}

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\ex Applications linéaires sur $ℝ[x]$
Soit $E = ℝ[x]$ muni de la norme :
$\bigl∥⅀a_ix^i\bigr∥ = ⅀|a_i|$.

\qq Est-ce que $φ : P ↦ P(x+1)$ est continue ?
    \reponse{Non : $∥(x+1)ⁿ∥ = 2ⁿ$.}
\qq Est-ce que $ψ : P ↦ AP$ est continue ? ($A∈E$ fixé)
    \reponse{Oui : $\∥ψ\∥ = ∥A∥$.}

\qq Reprendre les questions précédentes avec la norme :
    $∥P∥ = \sup⦃e^{-|t|}|P(t)|,\ t∈ℝ⦄$.
    \reponse{$\∥φ\∥ = e$, $∥x^{n+1}∥/∥xⁿ∥ = \dfrac{(n+1)^{n+1}}{nⁿe}
    ⟶_{n→∞}∞$ donc $ψ$ est discontinue pour $A=x$.}

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\ex $uv - vu = id$
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $u,v∈𝓛(E)$ tels que
$u∘v - v∘u = \id_E$.

\qq Calculer $u∘ vⁿ - vⁿ ∘ u$ pour $n∈ℕ^*$.
    \reponse{$nv^{n-1}$.}
\qq Montrer que $u$ ou $v$ est discontinu.
    \reponse{Si $u$ et $v$ sont continus,
             $n\∥v^{n-1}\∥⩽2\∥u\∥\,\∥vⁿ\∥⩽2\∥u\∥\,\∥v^{n-1}\∥\,\∥v\∥$.\par
             S'il existe $k$ tel que $v^k = 0$, on peut remonter jusqu'à $v = 0$, absurde.
             Sinon, on a aussi une contradiction.}

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\ex La dérivation peut-elle être continue~?
On note $E=𝓒^∞([0,+∞[,ℝ)$ et $D$ l'endomorphisme de $E$ de dérivation~:
$D(f) = f'$.

\qq Montrer qu'il n'existe aucune norme sur~$E$ pour laquelle $D$ soit continu.
\qq Soit $F$ le sous-ev de~$E$ constitué des fonctions polynomiales.
    Trouver une norme sur~$F$ pour laquelle $D_{|F}$ est continu.
\reponse{$∥P∥ = N(P) + N(P') + N(P'') + …$ où $N$ est une
norme quelconque sur~$F$.}

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\ex Mines MP 2002
On munit $E_k = ℝ_k[X]$ de la norme $∥P∥_k = ⅀_{i=0}^k |P(i)|$.
Calculer $\∥φ\∥$ avec
$\application φ {E₂} {E_3} P {X²P'.}$
\reponse{Les formes linéaires $P↦P(0)$, $P↦P(1)$ et $P↦P(2)$
constituent une base de $E₂^*$ donc engendrent les formes linéaires
$P↦P'(1)$, $P↦P'(2)$ et $P↦P'(3)$. Après calculs, on trouve~:
$$∀P∈E₂,\quad\left⦃\matrix{
2P'(1) &= &P(2)  & &      &-&P(0)\cr
2P'(2) &= &3P(2) &-&4P(1) &+&P(0)\cr
2P'(3) &= &5P(2) &-&8P(1) &+&3P(0).\cr}\right.$$
En notant $P(0) = a$, $P(1) = b$ et $P(2) = c$ on doit
donc chercher~:
$$\∥φ\∥=½\sup⦃|c-a| + 4|3c-4b+a| + 9|5c-8b+3a|,\tq |a|+|b|+|c|⩽1⦄.$$
La fonction $f$~: $(a,b,c)↦|c-a| + 4|3c-4b+a| + 9|5c-8b+3a|$ est convexe donc
son maximum sur l'{\it icosaèdre\/} $I = ⦃(a,b,c)\tq |a|+|b|+|c|⩽1⦄$
est atteint en l'un des sommets $(±1,0,0)$, $(0,±1,0)$, $(0,0,±1)$.
Finalement,~$\∥φ\∥ = ½f(0,1,0) = 44$.
}

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\ex Normes sur les suites bornées
Soit $E$ l'ensemble des suites réelles $u = (u_n)$ bornées et $F$
le sev des suites telles que la série de terme général $|u_n|$ converge.
Pour $u∈E$, on pose $∥u∥_∞ = \sup\limits_n |u_n|$ et
pour $u∈F$ : $∥u∥₁ = ⅀\limits_n |u_n|$.

Soit $a∈E$ et $\application f E E u {au = (a_nu_n).}$

\qq Montrer que $f$ est une application linéaire continue de $E$ dans $E$ et calculer
    sa norme.
\qq Montrer que $F$ est stable par $f$ et calculer la norme de $f_{|F}$ quand on prend
    la norme $∥\ ∥₁$ sur $F$.

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\ex Thm de l'hyperplan fermé
Soit $E$ un $ℝ$-evn et $f∈E^*$.

\qq Montrer que $f$ est continue si et seulement si $\Ker f$ est fermé
    (pour la réciproque : supposer $\Ker f$ fermé, montrer que $⦃x\tq f(x) > 0⦄$
     est ouvert, puis étudier $⦃ x\tq -1 < f(x) < 1⦄$).
\qq On suppose $f$ continue. Soit $x∈E$. Montrer que $|f(x)| = \∥f\∥\,d(x,\Ker f)$.
    \reponse{Si $x ∉ \Ker f$ :
             $∀y∈\Ker f,\ |f(x)| = |f(x-y)|⩽\∥f\∥\,∥x-y∥$
             donc $|f(x)|⩽\∥f\∥d(x,\Ker f)$.\par
             Soit $z∈E : z = αx + y$ avec $y∈\Ker f$.
             Alors $|f(z)| = |α||f(x)|$ et $∥z∥ ⩾ |α|d(x,\Ker f)$

             donc $\dfrac{|f(z)|}{∥z∥}⩽\dfrac{|f(x)|}{d(x,\Ker f)}$.}

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\ex Théorème de Hahn-Banach (Polytechnique MP$^*$ 2003)
Soit~$E$ un espace vectoriel normé de dimension finie et~$F$ un hyperplan de~$E$.
Soit~$ε∈E$ tel que~$ℝε$ soit supplémentaire de~$F$.
Soit~$f$ une forme linéaire sur~$F$.

\qq Montrer que~: 
    $∀x₁,x₂∈F,\ f(x₁)-\∥f\∥\;∥x₁-ε∥
   ⩽\∥f\∥\;∥x₂+ε∥ - f(x₂)$.
    \reponse{$f(x₁)+f(x₂)⩽\∥f\∥\;∥x₁+x₂∥
                           ⩽\∥f\∥\;(∥x₁-ε∥ + ∥x₂+ε∥)$.}
\qq Montrer qu'il existe~$α∈ℝ$ tel que~:
    $∀x₁,x₂∈F,\ f(x₁)-\∥f\∥\;∥x₁-ε∥
   ⩽α⩽\∥f\∥\;∥x₂+ε∥ - f(x₂)$.
    \reponse{Prendre $α$ compris entre le sup du premier membre et l'inf du troisième.
    Le sup et l'inf sont dans cet ordre d'après la question précédente.}

\qq On définit $φ∈E^*$ par~$φ_{|F} = f$ et $φ(ε) = α$.
    Montrer que~$\∥φ\∥ = \∥f\∥$.
    \reponse{On a évidemment $\∥φ\∥ ⩾ \∥f\∥$
    puisque $φ$ prolonge~$f$, et il reste à montrer~:
    $$∀x∈F,\ ∀t∈ℝ,\ |f(x)+tα|⩽\∥f\∥\;∥x+tε∥.$$
    Pour~$t=0$ c'est un fait connu. Pour $t>0$, cela résulte de l'encadrement de~$α$
    en prenant $x₁=-x/t$ et $x₂=x/t$. Pour~$t<0$, prendre $x₁=x/t$ et $x₂=-x/t$.}

\qq On considère~$E = ⦃u = (u_n)_{n∈ℕ}∈ℝ^ℕ\tq ⅀_{n∈ℕ}|u_n|<+∞⦄$
    avec la norme définie par~:

    $∥u∥ = ⅀_{n∈ℕ}|u_n|$.
    Montrer que~$E$ est complet pour cette norme.
    \reponse{Si $u^k = (u^k_n)_{n∈ℕ}∈E$ et $(u^k)_{k∈ℕ}$ est une suite de Cauchy,
    alors pour tout~$n∈ℕ$ la suite réelle $(u^k_n)_{k∈ℕ}$ est de Cauchy dans~$ℝ$
    donc converge vers un réel~$ℓ_n$. De plus la suite $(u^k)_{k∈ℕ}$ est bornée dans~$E$ donc
    la suite~$ℓ$ ainsi mise en évidence est sommable (les sommes partielles de~$⅀|ℓ_n|$
    sont majorées), et on montre que $∥u^k-ℓ∥⟶_{k→∞}0$ par interversion
    de limites.}

\qq Donner une famille dénombrable de sev de~$E$ de dimensions finies dont la réunion
    est dense dans~$E$.
    \reponse{Prendre~$F_n = ⦃u∈E\tq u_k=0\text{ si }k⩾n⦄$.}

\qq Soit~$F$ un sev de~$E$ de dimension finie et~$f$ une forme linéaire sur~$F$.
    Montrer qu'il existe une forme linéaire~$φ$ sur~$E$ telle que
    $φ_{|F} = f$ et $\∥φ\∥ = \∥f\∥$.
    \reponse{D'après la question~{\bf 3)} on peut construire $f_n$, forme
    linéaire sur~$F+F_n$ telle que $f_{n+1}$ prolonge $f_n$ et a même norme que~$f_n$
    (donc $\∥f_n\∥ = \∥f\∥$).
    Soit~$G = ∪_{n∈ℕ}(F+F_n)$ et $g$ la forme linéaire sur~$G$ coïncidant avec
    chaque $f_n$ sur~$F+F_n$. $G$ est dense dans~$E$
    donc on peut prolonger~$g$ en $φ:E→ℝ$ par uniforme continuité. Il est alors
    clair que~$φ$ est une forme linéaire prolongeant~$f$ et a même norme
    que~$f$.}

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\ex Rayon spectral
Soit $E$ un evn de dimension finie et $u∈𝓛(E)$. On pose $x_n = \∥uⁿ\∥$.

\qq Montrer que $ρ = \inf⦃\root n\of{x_n},\ n∈ℕ⦄$ est indépendant de la norme
    choisie sur $E$.
\qq En utilisant l'inégalité : $x_{p+q}⩽x_p x_q$, montrer que
    la suite $(\root n\of {x_n})$ converge vers $ρ$.

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\ex Rayon spectral (Centrale MP 2001)

Soit $E$ un espace vectoriel complexe de dimension finie.
On considère un endomorphisme $f$ de~$E$ et on note
$ρ(f) = \sup⦃|λ|\tq λ∈\sp(f)⦄$
(rayon spectral de~$f$).
Soit $ν$ une norme sur $𝓛(E)$.

\qq Montrer que $ρ(f)⩽\lim_{p→∞}(ν(f^p)^{1/p})$.
    On pourra pour commencer supposer que $ν$ est la norme subordonnée
    à une norme sur~$E$.
    \reponse{Si $ν$ est subordonnée à $∥\ ∥$~:
    on a $|λ|⩽ν(f^p)^{1/p}$ pour toute valeur propre $λ$
    et tout $p⩾1$, donc il suffit de prouver que la suite $(x_p = ν(f^p)^{1/p})$
    est convergente. Soit $ℓ = \inf⦃x_p,\ p⩾1⦄$, $ε > 0$
    et $p⩾1$ tel que $x_p⩽ℓ+ε$. Pour $n>p$ on note
    $n-1=pq+r$ la division euclidienne de $n-1$ par $p$ et l'on a~:
    $$ν(fⁿ) = ν((f^p)^q∘f^{r+1})
              ⩽ν(f^p)^qν(f^{r+1})$$
    d'où~:
    $$ℓ⩽x_n⩽x_p^{pq/n}x_{r+1}^{(r+1)/n}⩽(ℓ+ε)^{pq/n}\max(x₁,…,x_p)^{(r+1)/n}.$$
    Le majorant tend vers $ℓ+ε$ quand $n$ tend vers l'infini
    donc pour $n$ assez grand on a $ℓ⩽x_n⩽ℓ+2ε$
    ce qui prouve la convergence demandée.
    \medskip
    Dans le cas où $ν$ est une norme quelconque sur $𝓛(E)$, il existe
    une norme subordonnée $µ$ et deux réels $a,b>0$ tels que $aµ⩽ν⩽bµ$
    et donc les suites $(ν(f^p)^{1/p})$ et  $(µ(f^p)^{1/p})$ ont même
    limite par le théorème des gens d'armes.
    Remarque~: il résulte de ceci que $\lim_{p→∞}(ν(f^p)^{1/p})$
    est indépendant de~$ν$.}

\qq Montrer que si $f$ est diagonalisable l'inégalité précédente est une égalité.
    \reponse{Considérer la matrice de $f^p$ dans une base propre pour~$f$.}

\qq Étudier le cas général.
    \reponse{On sait que $f^p = ⅀_{λ∈\sp(f)} λ^pP_λ(p)$
    où $P_λ$ est un polynôme. D'où $ρ(f)⩽ν(f^p)^{1/p}⩽ρ(f)+o(1)$
    et donc $ν(f^p)^{1/p}⟶_{p→∞} ρ(f)$ (thm du rayon spectral).}
    
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\ex Polytechnique MP$^*$ 2000
Soit~$u$ une application linéaire de~$ℝⁿ$ dans~$ℝ^m$. Prouver que
$u$ est surjective si et seulement si elle transforme tout ouvert
de~$ℝⁿ$ en ouvert de~$ℝ^m$.
\reponse{Si $u(\interieur B(0,1))$ est ouvert alors il engendre $ℝ^m$ donc
$u$ est surjective.
\medskip
Si $u$ est surjective, soit $A=u(\interieur B(0,1))$. $A$ est convexe,
borné, symétrique par rapport à~$0$ et la réunion des homothétiques
de~$A$ est égale à~$ℝ^m$~; la jauge associée à~$A$ est une norme
sur~$ℝ^m$ équivalente à l'une des normes usuelles donc
$A$ contient une boule de centre $0$ et, par homothétie-translation, tout
ouvert de~$ℝⁿ$ a une image ouverte dans~$ℝ^m$.
}

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\ex Sommes de Riemann
Soit $E=𝓒([0,1],ℝ)$ muni de $∥\ ∥_∞$.

Pour $f∈E$, on pose $µ(f) = ∫₀¹f$ et pour $n⩾1$, $µ_n(f) = \frac1n⅀_{k=0}^{n-1}f(k/n)$.

\qq Montrer que $µ$ et $µ_n$ sont des applications linéaires continues et calculer leurs normes.
\qq Montrer~: $∀f∈E$, $µ_n(f)⟶_{n→∞}µ(f)$.
\qq Montrer~: $∀n⩾1$, $\∥µ_n-µ\∥ = 2$.
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\ex Évaluation
Soit $E = 𝓒([0,1],ℝ)$ muni de $∥\ ∥_∞$. Pour $a∈[0,1]$ on considère la forme
linéaire $φ_a = f↦f(a)$.
\qq Montrer que $φ_a$ est continue et déterminer sa norme.
\qq Calculer $\∥φ_a-φ_b\∥$ pour $a,b∈[0,1]$.
\qq L'application $a→φ_a$ est-elle continue~?

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\ex $\Ker f=\Ker f²$, Mines MP 2012

Soit $E$ un $ℝ$-espace vectoriel de dimension finie et $f∈𝓛(E)$.
Montrer qu'il existe $C>0$ tel que, pour tout $x∈E$,
$∥f²(x)∥⩾C∥f(x)∥$ si et seulement si $\Ker f=\Ker f²$.
\reponse{Supposons qu'il existe $C>0$ tel que, pour tout $x∈E$,
         $∥f²(x)∥⩾C∥f(x)∥$. Soit $x∈\Ker f²$, alors $x∈\Ker f$,
         ce qui montre que $\Ker f² ⊂ \Ker f$. L'inclusion 
         $\Ker f⊂ \Ker f²$ est toujours vraie, par conséquent
         $\Ker f=\Ker f²$.
         \medskip
         Supposons $\Ker f=\Ker f²$.
         On écrit le polynôme caractéristique de $f$ sous la forme $X^kQ$
         avec $X∧Q=1$. On a alors $E=\Ker f^k⊕\Ker Q(f)=\Ker f ⊕ \Ker Q(f)$
         (car $\Ker f=\Ker f²$).
         $\Ker Q(f)$ est stable par $f$, appelons $g$ l'endomorphisme de
         $\Ker Q(f)$ induit par la restriction de $f$.
         $\Ker g=\Ker f∩\Ker Q(f)=⦃0⦄$, donc $g$ est un automorphisme de
         $\Ker Q(f)$. L'application réciproque est linéaire en dimension
         finie, donc continue. Ainsi il existe $C>0$ tel que
         $⟦g^{-1}(x)∥⩽C∥x∥$ pour tout~$x∈\Ker Q(f)$.

         On a donc, pour tout
         $y∈\Ker Q(f)$, $∥y∥⩽C∥g(y)∥$, puis
         $∥f(y)∥⩽C∥f²(y)∥$.
         Soit $x∈E$, $x=x_N+x_Q$, avec $x_N∈\Ker f$ et $x_Q∈\Ker Q(f)$.
         $∥f(x)∥=∥f(x_Q)∥⩽C∥f²(x_Q)∥=C∥f²(x)∥$.}

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\bye
