\input exos
\fiche{Suites et séries de fonctions}


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\ex Étude de convergence

Soit $α∈ℝ$ et $f_n(x) = n^αx(1-x)ⁿ$ pour $x∈{[0,1]}$.

\qq Trouver la limite simple des fonctions $f_n$.
\qq Y a-t-il convergence uniforme ?
    \reponse{$∥f_n∥_∞ = f_n(\frac1{n+1}) \sim en^{α-1}$.}


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\ex Étude de convergence

On pose $f_n(x) = xⁿ(1-x)$ et $g_n(x) = xⁿ\sin(πx)$.

\qq Montrer que la suite $(f_n)$ converge uniformément vers la fonction
    nulle sur $[0,1]$.
\qq En déduire qu'il en est de même pour la suite $(g_n)$
    (on utilisera la concavité de sin sur $[0,π]$).


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\ex Non interversion limite-intégrale

Soit $f_n(x) = n\cosⁿx\sin x$.

\qq Chercher la limite simple, $f$, des fonctions $f_n$.
\qq Vérifier que $∫_{t=0}^{π/2} f(t)\,𝕕t≠\lim_{n→∞} ∫_{t=0}^{π/2} f_n(t)\,𝕕t$.


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\ex Non interversion limite-intégrale

\qq Déterminer la limite simple des fonctions
    $f_n : x ↦ \dfrac{xⁿe^{-x}}{n!}$
    sur $ℝ⁺$ et montrer qu'il y a convergence uniforme
    (on admettra la formule de Stirling : $n! \sim nⁿe^{-n}√{2πn}$).
\qq Calculer $\lim_{n→∞}∫_{t=0}^{+∞} f_n(t)\,𝕕t$.
    \reponse{Intégrale constante = 1.}

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\ex Étude de convergence

Soit $\appmult {f_n} {[0,+∞[} {ℝ}
                     {x ⩽n    &(1- x/n)ⁿ \cr
                      x > n   &0.         \cr}$

\qq Déterminer la limite simple, $f$, des fonctions $f_n$. \reponse{$e^{-x}$.}
\qq Montrer que : $∀x∈ ℝ⁺$, $0⩽f_n(x)⩽f(x)$.
\qq Montrer que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur tout segment $[0,a]$.
\qq Démontrer que la convergence est uniforme sur $ℝ⁺$.


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\ex Étude de convergence

Étudier la convergence simple, uniforme, de la suite de fonctions :
$f_n : x ↦ (1+x/n)^{-n}$.
\reponse{CVU sur tout compact par encadrement du logarithme.}


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\ex Étude de convergence

Soit $f_n(x) = \dfrac {nx}{1+n²x²}$.
Étudier la convergence simple, puis uniforme des $f_n$
sur $ℝ⁺$ puis sur $[α,+∞[$, pour $α > 0$.


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\ex $f(nx)$, $f(x/n)$

Soit $f:ℝ⁺→ℝ$ continue, non identiquement nulle, telle que $f(0) = 0$
et $f(x)⟶_{x→+∞}0$.

On pose $f_n(x) = f(nx)$ et $g_n(x) = f(x/n)$.

\qq Donner un exemple de fonction $f$.
\qq Montrer que $f_n$ et $g_n$ convergent simplement vers la fonction nulle,
    et que la convergence n'est pas uniforme sur $ℝ⁺$.
\qq Si $∫_{t=0}^{+∞} f(t)\,𝕕t$ converge, chercher
       $\lim_{n→∞} ∫_{t=0}^{+∞} f_n(t)\,𝕕t$ et
       $\lim_{n→∞} ∫_{t=0}^{+∞} g_n(t)\,𝕕t$.

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\ex Équation différentielle dépendant d'un paramètre

Soit $y_n$ la solution de l'équation :
$(*_n) ⟺ (1+\frac1n)y'' - (2+\frac1n)y' + y = 0$
vérifiant les conditions initiales~: $y(0) = 0$, $y'(0) = 1$.

\qq Calculer explicitement $y_n$.
    \reponse{$y_n = (n+1)(e^x - e^{nx/(n+1)})$.}
\qq Déterminer la limite simple, $y$, des fonctions $y_n$.
    \reponse{$y = xe^x$.}
\qq Vérifier que $y$ est solution de l'équation limite de $(*_n)$ avec les mêmes
    conditions initiales.

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\ex $f∘f∘…∘f$

Soit $f:[-1,1]→[-1,1]$ une fonction continue vérifiant :
$∀x ≠ 0$, $|f(x)| < |x|$.

On pose $f_0(x) = x$, puis $f_{n+1}(x) = f(f_n(x))$.
Étudier la convergence simple des $f_n$.

\reponse{%
$(|f_n(x)|)$ décroît donc tend vers $L$. On extrait une
sous suite $(f_{φ(n)})$ convergeant vers $ℓ ⇒ |ℓ| = L$.

La sous suite $(f_{φ(n)+1})$ converge vers
$f(ℓ) ⇒ |f(ℓ)| = L ⇒ L = 0$.}


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\ex Étude de convergence

On pose $f_0(t) = 0$, $f_{n+1}(t) = √{t+f_n(t)}$, pour $t⩾0$.

\qq Déterminer la limite simple, $ℓ$, des fonctions $f_n$.
    \reponse{$ℓ(t) = \dfrac {1+√{1+4t}}2$ et $ℓ(0)=0$.}
\qq Y a-t-il convergence uniforme sur $ℝ⁺$ ?
\qq Démontrer que : $∀t>0$,
    $|f_{n+1}(t)-ℓ(t)|⩽\dfrac{|f_n(t)-ℓ(t)|}{2f_{n+1}(t)}$.
    \reponse{Accroissements finis.}
\qq En déduire que la suite $(f_n)$ converge uniformément sur tout intervalle
    $[a,+∞[$, avec $a>0$
    (remarquer que $f_n - ℓ$ est bornée pour $n⩾1$).

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\ex Approximation de la racine carrée par la méthode de Newton

On définit une suite de fonctions $f_n:ℝ^{+*}→ℝ^{+*}$
par :
$f_{n+1}(x) = ½(f_n(x) + x/f_n(x))$,
$f_0(x) = x$.
Étudier la convergence simple, puis uniforme des $f_n$.
On pourra considérer $g_n(x)= \dfrac {f_n(x) - √x}{f_n(x) + √x}$.

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\ex Approximation polynomiale de la racine carrée

On considère la suite $(f_n)$ de fonctions sur $[0,1]$ définie par les
relations :
$f_{n+1}(t) = f_n(t) + ½(t-f_n²(t))$,
$f_0 = 0$.
Étudier la convergence simple, uniforme, des fonctions $f_n$.
\reponse{%
$f_n(t)→√t$ par valeurs croisantes, il y a convergence uniforme.}

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\ex Suite ayant deux limites

Trouver une suite de polynômes $(P_n)$ convergeant simplement
(resp. uniformément) vers la fonction nulle sur $[0,1]$ et vers la fonction
constante égale à 1 sur $[2,3]$.

Remarque~: une telle suite a donc des limites distinctes dans $ℝ[x]$
pour les normes de la convergence uniforme sur $[0,1]$ et sur $[2,3]$.

\reponse{Prolonger en une fonction continue sur $[0,3]$ et utiliser
Stone-Weierstrass.}


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\ex Fonction orthogonale à $ℝ[X]$

Soit $f:[a,b]→ℝ$ continue telle que pour tout entier~$k$ on
a $∫_{t=a}^b f(t)t^k\,𝕕t = 0$. Que peut-on dire de~$f$~?

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\ex Approximation de $f$ et $f'$

Soit $f:[a,b]→ℝ$ de classe $𝓒¹$.

\qq Montrer qu'il existe une suite de polynômes $(P_n)$ telle que
    $P_n$ converge uniformément
    vers $f$ et $P_n'$ converge uniformément vers $f'$.

\qq Si $f$ est $𝓒^∞$, peut-on trouver une suite de polynômes
    $(P_n)$ telle que pour tout $k$ la suite $(P_n^{(k)})$ converge
    uniformément vers $f^{(k)}$~?

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\ex Limite de $f_n(x_n)$

Soient $f_n:D→ℝ$ des fonctions continues convergeant vers une
fonction continue $f$ et $(x_n)$ une suite d'éléments de $D$ convergeant vers
$x∈D$.

\qq Si les fonctions $f_n$ convergent uniformément, montrer que
    $f_n(x_n)⟶_{n→∞}f(x)$.
\qq Donner un contre-exemple lorsqu'il y a seulement convergence simple
    (avec quand même $f_n$ et $f$ continues).

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\ex Compositon et convergence

Soit $f_n$ convergeant uniformément vers $f$, et $g$ une fonction
{\it uniformément\/} continue.
Démontrer que $g∘f_n → g∘f$ uniformément.


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\ex $f_n∘g_n$

Soit $f_n:[a,b]→[c,d]$ et $g_n:[c,d]→ℝ$
des fonctions continues convergeant uniformément vers les fonctions $f$ et $g$.
Montrer que $g_n∘f_n$ converge uniformément vers $g∘f$.
\reponse{$|g_n(f_n(x))-g(f(x))| ⩽|g_n(f_n(x))-g(f_n(x))| + |g(f_n(x))-g(f(x))|$
         et $g$ est uniformément continue.}

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\ex Limite simple de polynômes de degrés bornés

Soit $p∈ℕ$ fixé et $(P_n)$ une suite de fonctions polynomiales
de degrés inférieurs ou égaux à $p$ convergeant simplement vers $f$ sur un
intervalle $[a,b]$.

\qq Démontrer que $f$ est polynomiale de degré inférieur ou égal à $p$,
    et que les coefficients des $P_n$ convergent vers ceux de $f$.
    \reponse{Polynôme de Lagrange.}
\qq Montrer que la convergence est uniforme.

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\ex Polynômes à coefficients entiers, ENS Lyon MP$^*$ 2005

On considère $f:x↦2x(1-x)$ définie sur $[0,1]$. 

\qq Étude de la suite de fonction $g_{n}$, avec $g_{n}=f^{n}=f∘…∘f$.
\reponse{Il y a convergence simple vers la fonction nulle en $0$ et $1$ et
         égale à $1/2$ ailleurs. La convergence
         est uniforme sur tout $[a,b]⊂ {]0,1[}$.}

\qq Soit $[a,b]⊂ {]0,1[}$ et $h$ continue sur $[a,b]$. Montrer que $h$ est
    limite uniforme sur $[a,b]$ d'une suite de polynômes à coefficients
    entiers. 
\reponse{La question précédente donne le résultat pour $1/2$,
         il suffit alors d'utiliser le théorème de
         Weierstrass et les nombres dyadiques.}

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\ex Théorèmes de Dini

Soit $(f_n)$ une suite de fonctions numériques continues sur $[a,b]$.
convergeant simplement vers une fonction continue $f$.

\qq On suppose que chaque fonction $f_n$ est croissante. Montrer qu'il y a
    convergence uniforme.
\qq On suppose qu'à $x$ fixé la suite $(f_n(x))$ est croissante. Montrer qu'il
    y a convergence uniforme.

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\ex Théorème d'Ascoli

Soit $(f_n)$ une suite de fonctions : $[a,b]→ℝ$ convergeant simplement vers $f$.
On suppose que toutes les fonctions $f_n$ sont $k$-lipschitziennes
avec le même $k$.

\qq Soit $(a_0,a_1,…,a_N)$ une subdivision régulière de $[a,b]$.

    On note $M_n = \max⦃|f_n(a_i)-f(a_i)|\tq 0⩽i⩽N⦄$.
    Encadrer $∥f_n-f∥_{∞}$ à l'aide de $M_n$.

\qq Montrer que $f_n$ converge uniformément vers $f$.

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\ex Dérivées bornées
Soit $(f_n:ℝ→ℝ)$ une suite de fonctions dérivables convergeant simplement
vers une fonction~$g$.
\qq On suppose $∥f_n'∥_∞⩽1$ pour tout~$n$. Montrer que $g$ est continue.
\qq Donner un exemple avec $∥f_n'∥_∞=n$ et $g$ discontinue.
\qq Donner un exemple avec $∥f_n'∥_∞=n$ et $g$ continue.

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\ex Équicontinuité

Soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues sur $D ⊂ ℝ$ convergeant
uniformément vers une fonction $f$.
Montrer que les fonctions $f_n$ sont {\it équi-continues\/} c'est à dire :
$$∀x∈ D,\ ∀ε>0,\ ∃δ > 0 \tq ∀n∈ℕ,\ ∀y∈{]x-δ,x+δ[}∩D,\ |f_n(x)-f_n(y)|<ε.$$

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\ex Limite simple de fonctions convexes

Soit $f_n:[a,b]→ℝ$ des fonctions continues convexes convergeant simplement
vers une fonction continue~$f$. Montrer que la convergence est uniforme.
\reponse{Prendre une subdivision régulière de $[a,b]$ et encadrer $f_n$ par
les cordes associées.}

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\ex Fonction définie par une série

On pose $f(x) = ⅀_{n=0}^∞ \dfrac{\arccos(\cos nx)}{n!}$.

\qq Montrer que $f$ est définie sur $ℝ$, continue, paire et $2π$-périodique.
\qq Calculer $f(0)$, $f(π)$, $f(\fracπ2)$.
    \reponse{$f(0) = 0$, $f(π) = π\sh 1$,
             $f(\fracπ2) = \fracπ2(e-\cos 1)$.}

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\ex Fonction définie par une série (Centrale MP 2003)
Soit~$f(a) = ⅀_{n=0}^∞ e^{-a²n²}$ sous réserve de convergence $(a∈ℝ$).

\qq Domaine de définition de~$f$~?
    \reponse{$ℝ^*$.}
\qq Limite de~$f(a)$ quand $a→+∞$~?
    \reponse{TCM~: $f(a)⟶_{a→+∞}1$.}
\qq Limite de~$af(a)$ quand $a→0$~?
    \reponse{CSI~: $\dfrac{√π}{2a} = ∫_{x=0}^∞ e^{-a²x²}\,𝕕x
                    ⩽f(a)
                    ⩽∫_{x=0}^∞ e^{-a²x²}\,𝕕x + 1
                    = \dfrac{√π}{2a} + 1$.
             Donc $af(a)⟶_{a→0⁺}\dfrac{√π}2$.}

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\ex Fonction $ζ$ de Riemann

Soit $ζ(x) = ⅀_{n=1}^∞ \dfrac1{n^x}$.

\qq Déterminer le domaine de définition de $ζ$.
    Montrer que $ζ$ est de classe $𝓒^∞$ sur ce domaine.

\qq Prouver que $ζ(x)⟶_{x→+∞}1$ (majorer
    $⅀_{n=2}^∞ \dfrac1{n^x}$ par comparaison à une intégrale).

\qq Prouver que $ζ(x)⟶_{x→1⁺}+∞$.

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\ex Fonction $ζ$ de Riemann et constante d'Euler

Soit $ζ(x) = ⅀_{n=1}^∞ \dfrac1{n^x}$ et
$γ = \lim_{n→∞}\left(\frac 11 + … + \frac 1n -\ln(n) \right)$.

Montrer que
$γ = 1 + ⅀_{n=2}^∞\left(\frac 1n + \ln\left(1-\frac 1n\right)\right)$
puis que $γ = 1 - ⅀_{k=2}^∞\dfrac{ζ(k)-1}k$.

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\ex Fonction définie par une série

\qq Étudier la convergence simple, uniforme, de la série de fonctions :
    $f(x) = ⅀_{n=0}^∞ ne^{-nx}$.

\qq Calculer $f(x)$ lorsque la série converge (intégrer terme à terme).
    \reponse{$f(x) = \dfrac{e^x}{(e^x-1)²}$.}

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\ex Fonction définie par une série

\qq Étudier la convergence de la série $f(x) = ⅀_{n=0}^∞ \dfrac1{1+xⁿ}$.
\qq Montrer que $f$ est de classe $𝓒¹$ sur son domaine de définition.
\qq Tracer la courbe représentative de $f$ sur $]1,+∞[$.

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\ex Fonction définie par une série

Soit $g(x) = ⅀_{n=0}^∞ \dfrac{(-1)ⁿ}{n!\,(x+n)}$.

\qq Déterminer le domaine, $D$ de définition de $g$ et prouver que $g$ est de
    classe $𝓒^∞$ sur $D$.
\qq Montrer que la quantité : $xg(x) - g(x+1)$ est constante sur $D$.
    \reponse{$xg(x) - g(x+1) = \frac1e$.}
\qq Tracer la courbe représentative de $g$ sur $]0,+∞[$.
    \reponse{CSA $⇒ g' < 0$. $g(x)⟶_{x→0⁺} +∞$, $g(x)⟶_{x→+∞}0$.}
\qq Donner un équivalent de $g(x)$ en $+∞$ et en $0⁺$.
    \reponse{$g(x) \sim 1/x$ en $0⁺$ et $g(x) \sim 1/(ex)$ en $+∞$.}

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\ex Fonction définie par une série

\qq Établir la convergence simple sur $ℝ$ de la série de fonctions :
    $f(x) = ⅀_{n=0}^∞ \dfrac {(\sin x)²}{\ch nx}$.

\qq  Montrer que la convergence est uniforme sur toute partie de la forme
     $ℝ∖[-α,α]$, $α > 0$.
     Que pouvez-vous en déduire pour $f$ ?

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\ex Fonction définie par une série

Soit $u_n(x) = (-1)ⁿ\ln\left(1+\dfrac x{n(1+x)}\right)$ et
$f(x) = ⅀_{n=1}^∞ u_n(x)$.

\qq Montrer que la série $f(x)$ converge simplement sur $ℝ⁺$.
\qq Majorer convenablement le reste de la série, et montrer qu'il y a
    convergence uniforme sur $ℝ⁺$.
    \reponse{CSA $⇒ |R_n(x)| ⩽|u_{n+1}(x)| ⩽ \ln\left(1+\frac1{n+1}\right)$.}
\qq Y a-t-il convergence normale ?
    \reponse{Non, $∥u_n∥_∞ = \ln\left(1+\frac1n\right)$.}

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\ex Fonction définie par une série

Soit $f(x) = ⅀_{n=0}^∞ \dfrac1{x(x+1)…(x+n)}$.

\qq Établir l'existence et la continuité de $f$ sur $ℝ^{+*}$.
\qq Calculer $f(x+1)$ en fonction de $f(x)$.
    \reponse{$f(x+1) = xf(x)-1$.}
\qq Tracer la courbe de $f$.

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\ex Fonction définie par une série

\qq Étudier la convergence simple, uniforme, de
    $f(x) = ⅀_{n=0}^∞(\arctan(x+n) - \arctan(n))$.
    \reponse{CVU sur tout $[a,b]$.}
\qq Montrer que $f$ est de classe $𝓒¹$ sur $ℝ$.
\qq Chercher une relation simple entre $f(x)$ et $f(x+1)$.
    \reponse{$f(x+1) = f(x) + \fracπ2 - \arctan x$.}
\qq Trouver $\lim_{x→+∞} f(x)$.
    \reponse{$f(x+1) - f(x) \sim 1/x$ donc la suite $(f(n))$ diverge et
    $f$ est croissante $⇒ \lim = +∞$.}

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\ex Conversion série-intégrale

Montrer, pour $x > 0$ : $⅀_{n=0}^∞ \dfrac{(-1)ⁿ}{n+x}
= ∫_{t=0}¹ \dfrac{t^{x-1}}{t+1}\,𝕕t$.

\reponse{$\dfrac1{t+1} = ⅀_{n=0}^∞ (-1)ⁿtⁿ$.}

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\ex Fonction $Γ$

Soit $f_n(x) = \dfrac{n^x}{(1+x)(1+x/2)…(1+x/n)}$.
\qq Étudier la convergence simple des fonctions $f_n$.
\reponse{$\dfrac{f_n(x)}{f_{n+1}(x)} = 1 - \dfrac{x(x+1)}{2n²}
         + o\left(\dfrac1{n²}\right)$
         donc la série $⅀\ln f_n(x)$ est convergente pour tout $x∉-ℕ^*$.}
\qq On note $f = \lim f_n$. Calculer $f(x)$ en fonction de $f(x-1)$ lorsque
    ces deux quantités existent.
\qq Montrer que $f$ est de classe $𝓒¹$ sur son domaine de définition
    (on calculera $f_n'(x)/f_n(x)$).
\reponse{$\dfrac{f_n'(x)}{f_n(x)} ⟶_{n→∞} -γ + ⅀_{k=1}^∞ \dfrac x{k(k+x)}$.}

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\ex Ensi Chimie P' 93

Étudier la convergence de la suite de fonctions définies par :
$f_n(x) = \dfrac{n(n+1)}{x^{n+1}}∫_0^x (x-t)^{n-1}\sin t\,𝕕t$.
\reponse{Poser $t = xu$ puis intégrer deux fois par parties :
         $f_n(x) = 1 - ∫_{u=0}¹ (1-u)^{n+1}x\sin(xu)\,𝕕u$
         donc $(f_n)$ converge simplement vers la fonction constante $1$, et
         la convergence est uniforme sur tout intervalle borné.}

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\ex Convergence de $f^{(n)}$

Soit $f∈ 𝓒^{∞}(ℝ)$. On définit la suite $(f_n)_{n∈ℕ^*}$ par
$f_n = {f}^{(n)}$ (dérivée $n$-ème).
On suppose que ${(f_n)}_{n⩾1}$ converge uniformément vers $φ$.
Que peut-on dire de $φ$ ?

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\ex Ensi PC 1999

Soit $f_n(x) = \dfrac{(-1)ⁿ\cosⁿx}{n+1}$.

\qq Étudier la convergence de $f(x) = ⅀_{n=0}^∞ f_n(x)$.
\reponse{cva si $|\cos x| < 1$, scv si $\cos x = 1$, dv si $\cos x = -1$.}
\qq Montrer la convergence de la série de terme général
    $u_n = ∫_{x=0}^{π/2} f_n(x)\,𝕕x$.
\reponse{TCM en regroupant les termes deux par deux.}
\qq En déduire $⅀_{n=0}^∞ u_n$ sous forme d'une intégrale.
\reponse{$∫_{x=0}^{π/2} \dfrac{\ln(1+\cos x)}{\cos x}\,𝕕x$.}

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\ex Développement de $\coth(x)$

\qq Décomposer en éléments simples sur $ℂ$ la fractions rationnelle~:
    $F_n(X) = \dfrac1{(1+X/n)ⁿ-1}$.
    \reponse{$F_n(X) = ⅀_{k=0}^{n-1}\dfrac{e^{2ikπ/n}}{X+n(1-e^{2ikπ/n})}$.}
\qq En déduire pour $x∈ℝ^*$~:
    $\coth x = \dfrac1{e^{2x}-1} - \dfrac1{e^{-2x}-1}
             = \dfrac1x + ⅀_{k=1}^∞\dfrac{2x}{x²+k²π²}$.
    \reponse{%
    $F_n(2x) - F_n(-2x) = ⅀_{k=0}^{n-1}\dfrac{4xe^{2ikπ/n}}{4x²-n²(1-e^{2ikπ/n})²}
                        = ⅀_{k=0}^{n-1}\dfrac{x}{x²e^{-2ikπ/n}+n²\sin(kπ/n)²}$.

    Supposons $n$ impair, et regroupons les termes conjugués obtenus pour
    $k$ et $n-k$~:

    $F_n(2x) - F_n(-2x) = \dfrac1x + ⅀_{k=1}^{(n-1)/2}\Bigl(\underbrace{
    \dfrac{x}{x²e^{-2ikπ/n}+n²\sin(kπ/n)²} + \dfrac{x}{x²e^{2ikπ/n}+n²\sin(kπ/n)²}
    }_{=u(k,n,x)}\Bigr)$.

    On transforme la somme en série de $k=1$ à $k=∞$ en posant $u(k,n,x) = 0$
    si $k>(n-1)/2$, puis on passe à la limite, sous réserve de justification,
    dans cette série pour $n→∞$, ce qui donne la formule demandée.
    \medskip
    Justification de l'interversion limite-série~:

    en utilisant $\sin(t)⩾\dfrac{2t}{π}$
    pour $0⩽t⩽\dfrac{π}2$ on a $|u(k,n,x)| ⩽\dfrac{2|x|}{4k²-x²}$ pour tout
    $k⩾|x/2|$, donc il y a convergence normale par rapport à $n$, à $x$ fixé.}

\qq En déduire la valeur de $ζ(2)$.
    \reponse{$⅀_{k=1}^∞\dfrac{2}{x²+k²π²} = \dfrac{\coth(x)}x-\dfrac1{x²}$
    est normalement convergente sur $ℝ$, on peut passer à la limite
    pour $x→0$.}

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\ex $⅀\sin(n)/n$

Pour $n∈ℕ^*$ et $x∈[-1,1]$ on pose $u_n(x)=\dfrac{xⁿ\sin(nx)}n$.

\qq Montrer que la série $⅀_{n=1}^∞ u_n(x)$ converge uniformément
    sur $[-1,1]$ vers une fonction continue, $f$.
    \reponse{Transformation d'Abel.}
\qq Justifier la dérivabilité de~$f$ sur $]-1,1[$ et calculer $f'(x)$.
    En déduire $f(x)$.
    \reponse{$f(x) = \arctan\left(\dfrac{x\sin x}{1-x\cos x}\right)$.}
\qq En déduire la valeur de $⅀_{n=1}^∞ \dfrac{\sin n}n$.
    \reponse{$\dfrac{π-1}2$.}

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\ex Fonctions $ζ$ et $η$

Pour $x>1$ on pose $ζ(x) = ⅀_{n=1}^∞ \dfrac1{n^x}$
et pour $x>0$~: $η(x) = ⅀_{n=1}^∞ \dfrac{(-1)^{n-1}}{n^x}$.

\qq Établir pour $x>1$~: $η(x) = (1-2^{1-x})ζ(x)$.
    En déduire $ζ(x) \sim \dfrac 1{x-1}$ pour $x→1⁺$.

\qq Montrer que $ζ(x) = \dfrac 1{x-1} + γ + o(1)$.
    On remarquera que $\dfrac 1{x-1} = ∫_{t=1}^{+∞} \dfrac{𝕕t}{t^x}$.
    \reponse{$ζ(x) - \dfrac 1{x-1} =
    ⅀_{n=1}^∞ \left(\dfrac 1{n^x} - ∫_{t=n}^{n+1} \dfrac{𝕕t}{t^x} \right)$.

    A $n$ fixé, $\dfrac 1{n^x} - ∫_{t=n}^{n+1} \dfrac{𝕕t}{t^x} ⟶_{x→1⁺}
                 \dfrac 1n - ∫_{t=n}^{n+1} \dfrac{𝕕t}t$
    et la convergence est monotone donc

    $ζ(x) - \dfrac 1{x-1}⟶_{x→1⁺}
    ⅀_{n=1}^∞ \left(\dfrac 1n - ∫_{t=n}^{n+1} \dfrac{d t}t\right) = γ$.}

\qq En déduire la valeur de $⅀_{n=1}^∞ \dfrac{(-1)ⁿ\ln n}n$.
    \reponse{$⅀_{n=1}^∞ \dfrac{(-1)ⁿ\ln n}n = η'(1) = γ\ln 2 - \dfrac12\ln(2)²$.}

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\ex Centrale MP 2000

Pour~$y∈ℝ$ et~$n∈ℕ^*$, on pose $a_n(y) = \dfrac{\cos(ny)}{√n}$.

\qq Déterminer le rayon de convergence de la série entière $⅀ a_n(y)xⁿ$.
\qq Soit~$D=⦃(x,y)∈ℝ²,\ |x|<1⦄$ et $F(x,y) = ⅀_{n=1}^{+∞} a_n(y)xⁿ$.
    Montrer que $F$, $∂F/∂x$ et $∂F/∂y$ existent en tout point de~$D$.

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\ex Série lacunaire
Soit $(p_n)$ une suite d'entiers naturels, strictement croissante
et telle que $p_n/n⟶_{n→∞}∞$. On pose pour $x∈{]-1,1[}$~:
$f(x)=⅀_{n=0}^∞ x^{p_n}$. Montrer que $(1-x)f(x)⟶_{x→1^-}0$.
\reponse{Pour $k$ fixé et $x∈{[0,1[}$ on a
$0⩽f(x) \le\text{polynôme}(x) + ⅀_{n=0}^∞ x^{kn}
 = \text{polynôme}(x) + \dfrac1{1-x^k}$
et $\dfrac1{1-x^k}\sim\dfrac1{k(1-x)}$ au voisinage de~$1$ donc
$0⩽f(x)⩽\dfrac2{k(1-x)}$ pour $x$ suffisament proche de~$1$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Fonctions réciproques (Pugin, MP$^*$-2001)

Soit $(f_n)$ une suite de fonctions $[a,b]→[c,d]$ continues, bijectives,
strictement croissantes, convergeant simplement vers une fonction
$f$ : $[a,b]→[c,d]$ elle aussi continue, bijective strictement croissante.

\qq Montrer qu'il y a convergence uniforme (2ème thm de Dini, considérer
    une subdivision de~$[a,b]$).
\qq Montrer que les fonctions réciproques $f_n^{-1}$ convergent simplement
    vers une fonction~$g$ et que $g = f^{-1}$.
\reponse{soit $y∈{[c,d]}$ et $x_n = f_n^{-1}(y)$. La suite $(x_n)$ admet au plus
         une valeur d'adhérence, $x = f^{-1}(y)$.}
\qq Montrer que $(f_n^{-1})$ converge uniformément vers~$f^{-1}$.

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\ex Mines MP 2001

Soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues sur le compact $K$, à
valeurs réelles et convergent uniformément sur $K$ vers
la fonction $f$. A-t-on $\sup f_n⟶_{n→∞}\sup f$ ?

\reponse{Oui~: $|\sup f_n - \sup f| ⩽∥f_n-f∥_∞$.}

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\ex Mines MP 2001

Pour $x∈ℝ⁺$ et $n∈ℕ$, $n⩾2$ on pose $f_n(x) = \dfrac{xe^{-nx}}{\ln n}$
et $S(x) = ⅀_{n=2}^∞ f_n(x)$ sous réserve de convergence.

\qq Étudier la convergence simple, normale, uniforme de la série $⅀ f_n$
    sur $ℝ⁺$.
    \reponse{Il y a convergence normale sur tout intervalle $[a,+∞[$ avec $a>0$.
    Il n'y a pas convergence normale au voisinage de $0$ car
    $\sup\Bigl⦃\dfrac{xe^{-nx}}{\ln n},\ x⩾0\Bigr⦄ = \dfrac1{en\ln n}$
    atteint pour $x=\dfrac1n$ et
    $⅀\dfrac1{n\ln n}$ diverge (série de Bertrand).
    Par contre il y a convergence uniforme sur $[0,+∞[$ car
    $$0⩽⅀_{k=n}^∞ f_k(x) ⩽\dfrac1{\ln n}⅀_{k=n}^∞ xe^{-kx}
       = \dfrac{xe^{-nx}}{\ln n(1-e^{-x})}
       ⩽\dfrac{\sup⦃t/(1-e^{-t}),\ t⩾0⦄}{\ln n}.$$}

\qq Montrer que $S$ est de classe $𝓒¹$ sur $ℝ^{+*}$.
\qq Montrer que $S$ n'est pas dérivable à droite en $0$.
    \reponse{$\dfrac{S(x)-S(0)}x = ⅀_{n=2}^∞\dfrac{e^{-nx}}{\ln n}
    ⟶_{x→0⁺}⅀_{n=2}^∞\dfrac1{\ln n} = +∞$ par convergence monotone.}
\qq Montrer que $x^kS(x)$ tend vers $0$ en $+∞$ pour tout $k∈ℕ$.

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\ex Centrale MP 2001

Convergence et limite en $1^-$ de $f(x) = ⅀_{n=0}^∞ \dfrac{(1-x)xⁿ}{1+xⁿ}$.
\reponse{Comparaison série-intégrale, $f(x)⟶_{x→1^-}\ln(2)$.}

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\ex Centrale MP 2001

Soit $S(t) = ⅀_{n=1}^∞ \dfrac{tⁿ}{1-tⁿ}$.

\qq Pour quelles valeurs de $t$, $S$ est-elle définie~? Est-elle continue~?
\reponse{$-1<t<1$.}
\qq Montrer qu'au voisinage de~$1^-$ on a
    $S(t) = -\dfrac{\ln(1-t)}{1-t} + O\Bigl(\dfrac1{1-t}\Bigr)$.
    On pourra développer $\ln(1-t)$ en série entière.
\reponse{Pour $0⩽t<1$ et $n⩾2$ on a~:
$$\eqalign{
(1-t)\dfrac{tⁿ}{1-tⁿ}
&= \dfrac{tⁿ}{1+t+…+t^{n-1}}\cr
&= \dfrac{tⁿ}{n} + \dfrac{tⁿ((1-t) + (1-t²) + … + (1-t^{n-1}))}{n(1+t+…+t^{n-1})}\cr
&= \dfrac{tⁿ}{n} + \dfrac{(tⁿ-t^{n+1})((n-1) + (n-2)t + … + t^{n-2})}{n(1+t+…+t^{n-1})}\cr
}$$
d'où $0 ⩽(1-t)\dfrac{tⁿ}{1-tⁿ} - \dfrac{tⁿ}{n} ⩽\dfrac{n-1}{n}(tⁿ-t^{n+1}) ⩽tⁿ-t^{n+1}$
(vrai aussi si $n=1$) et en sommant~:
$$0⩽(1-t)S(t) + \ln(1-t) ⩽1.$$
}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Centrale MP 2002

On pose $φ(x)= d(x,ℤ)=\inf⦃ |x-n| \tq n∈ℤ⦄$.
\qq Montrer que $f$ : $ℝ∋x↦ ⅀_{n=0}^{+∞} (\frac34)ⁿφ(4ⁿx)$
    est définie et continue.
\reponse{La série converge normalement et $φ$ est continue.}
\qq Montrer que $φ$ est lipschitzienne. Que peut-on en déduire pour $f$~?
\reponse{$φ$ est $1$-lipschitzienne, mais on ne peut rien en déduire pour $f$~:

pour $N$ fixé et $0<h⩽\dfrac1{2.4ⁿ}$, on a $|f(h)-f(0)| = f(h)⩾⅀_{n=1}ⁿ3ⁿh = \dfrac{3^{N+1}-3}2h$
donc $f$ n'est pas lipschitzienne au voisinage de~$0$.}
\qq Montrer que $f$ n'est dérivable en aucun point.
\reponse{D'après ce qui précède, le taux d'accroissement de~$f$ en $0$ est
arbitrairement grand, donc $f$ n'est pas dérivable en~$0$.
On montre de même que $f$ n'est pas dérivable en $x∈ℝ$.}

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\ex ENS Lyon-Cachan MP 2002

Soin $(a_n)_{n⩾1}$ une suite complexe telle que la série $⅀ a_n$ converge.
On pose~:
$f(h) = ⅀_{n=1}^∞ a_n\dfrac{\sin²(nh)}{(nh)²}$ si $h≠0$ et
$f(0) = ⅀_{n=1}^∞ a_n$. Étudier le domaine de définition et la
continuité de~$f$.
\reponse{On suppose $h$ réel.
La série converge localement normalement sur $ℝ^*$ donc $f$ est définie
sur~$ℝ$ et continue sur $ℝ^*$. Continuité en~$0$~: on pose $A_n = ⅀_{k=n}^∞ a_k$
et $φ(t) = \dfrac{\sin²(t)}{t²}$ si $t≠0$, $φ(0) = 1$ ($φ$ est $𝓒^∞$
sur~$ℝ$ comme somme d'une série entière de rayon infini). Pour $h≠0$ on a~:
$$f(h) = ⅀_{n=1}^∞(A_n-A_{n+1})φ(nh)
       = A_1φ(h) + ⅀_{n=2}^∞ A_n(φ(nh)-φ((n-1)h))
       = A_1φ(h) + ⅀_{n=2}^∞ A_n∫_{t=(n-1)h}^{nh}φ'(t)\,𝕕t.$$
Cette dernière série est uniformément convergente sur~$ℝ$ car $A_n⟶_{n→∞}0$ et
$∫_{t=0}^{+∞}|φ'(t)|\,𝕕t$ est convergente.}

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\ex Centrale MP 2002

Soit $f:ℝ→ℝ$ continue et $2π$-périodique. Pour $n∈ℕ^*$, on pose
$F_n(x)=\dfrac{1}{n}∫_{t=0}ⁿf(x+t)f(t)\,𝕕t$.

\qq Montrer que la suite $(F_n)$ converge vers une fonction $F$ que l'on
    précisera.
\reponse{Soit $k=⎣n/2π⎦$.

    On a $F_n(x) =
    \dfrac{2kπ}n∫_{t=0}^{2π}f(x+t)f(t)\,𝕕t + \dfrac1n∫_{t=2kπ}ⁿf(x+t)f(t)\,𝕕t
    ⟶_{n→∞}∫_{t=0}^{2π}f(x+t)f(t)\,𝕕t$.}
\qq Nature de la convergence~?
\reponse{uniforme.}
\qq Prouver $∥F∥_{∞}= |F(0)|$.
\reponse{Cauchy-Schwarz.}

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\ex Approximation par des fractions rationnelles

Soit $f:ℝ→ℝ$ continue, ayant même limite finie~$ℓ$ en $±∞$.
Montrer que $f$ est limite uniforme sur~$ℝ$ de fractions rationnelles.

\reponse{%
$g = x↦f(\tan(x/2))$ est limite uniforme de polynômes trigonométriques.
}

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\ex Fonction définie par une série

On pose pour $x∈ℝ$~: $f(x) = ⅀_{n=1}^∞ \dfrac{(-1)^{n-1}}{√{n²+x²}}$.

\qq Déterminer $\lim_{x→∞}f(x)$.
\reponse{CSA~: $0⩽f(x)⩽\dfrac1{√{1+x²}}$ donc $f(x)⟶_{x→+∞}0$.}
\qq Chercher un équivalent de~$f(x)$ en $+∞$.
\reponse{%
$$\eqalign{xf(x)
&= ⅀_{p=0}^∞ \dfrac{x}{√{(2p+1)²+x²}} - \dfrac{x}{√{(2p+2)²+x²}}\cr
&= ⅀_{p=0}^∞∫_{t=2p+1}^{2p+2}\dfrac{xt}{(t²+x²)^{3/2}}\,𝕕t\cr
&= ⅀_{p=0}^∞∫_{u=(2p+1)/x}^{(2p+2)/x}\dfrac{u}{(u²+1)^{3/2}}\,𝕕u.\cr
}$$

On a $∫_{u=0}^∞\dfrac u{(u²+1)^{3/2}}\,𝕕u = 1 = a + b$ avec~:

$a = ⅀_{p=0}^∞∫_{u=(2p)/x}^{(2p+1)/x}\dfrac{u}{(u²+1)^{3/2}}\,𝕕u$ et
$b = ⅀_{p=0}^∞∫_{u=(2p+1)/x}^{(2p+2)/x}\dfrac{u}{(u²+1)^{3/2}}\,𝕕u = xf(x)$.

$h$ : $u↦\dfrac{u}{(u²+1)^{3/2}}$ est croissante sur~$\left[0,√{½}\right]$ et
décroissante sur $\left[√{½},+∞\right[$ donc $|a-b| ⩽\dfrac{3∥h∥_∞}x$,
et $xf(x)⟶_{x→+∞}½$.
}

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\ex Recherche d'équivalents, Centrale MP 2006
Déterminer un équivalent au voisinage de $0$ de
$S_{1}(x) = ⅀_{n=1}^{∞}{\dfrac{1}{\sh{(nx)}}}$ et
$S_{2}(x) = ⅀_{n=1}^{∞}{\dfrac{1}{\sh^{2}{(nx)}}}$.

\reponse{On a
$∫_{t=x}^{+∞}\dfrac{𝕕t}{\sh t} ⩽xS_1(x)
⩽\dfrac x{\sh x} + ∫_{t=x}^{+∞}\dfrac{𝕕t}{\sh t}$
et $\dfrac1{\sh t}=\dfrac1t +O(t)$ donc
$∫_{t=x}^{+∞}\dfrac{𝕕t}{\sh t}=-\ln(x)+O(1)$.
On en déduit $S_1(x)\sim-\dfrac{\ln x}x$.
\medskip
La même méthode ne marche pas pour $S_2$ car le terme résiduel,
$\dfrac x{\sh²(x)}$ n'est pas négligeable devant
$∫_{t=x}^{+∞}\dfrac{𝕕t}{\sh²(t)}$.
Par contre, on peut remarquer que la série
$⅀_{n=1}^{∞}{\dfrac{x²}{\sh^{2}{(nx)}}}$ est normalement
convergente sur~$ℝ$, d'où
$S_2(x)\sim\dfrac{ζ(2)}{x²}$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Étude de $⅀ t^{p-1}\sin(px)$ pour~$x∈{]0,π[}$, TPE MP 2005

\qq Calculer $S_n(t) = ⅀_{p=1}ⁿ t^{p-1}\sin(px)$ puis $S(t) = \lim_{n→∞} S_n(t)$.
    \reponse{$S_n(t) = ℑ\Bigl(\dfrac{e^{ix}-t^{n}e^{i(n+1)x}}{1-te^{ix}}\Bigr)
                     ⟶_{n→∞}
              ℑ\Bigl(\dfrac{e^{ix}}{1-te^{ix}}\Bigr) = 
              \dfrac{\sin x}{1-2t\cos x + t²}$ pour $-1<t<1$.}

\qq Calculer $∫_{t=0}¹ S_n(t)\,𝕕t$ et  $∫_{t=0}¹ S(t)\,𝕕t$.
    \reponse{$∫_{t=0}¹ S_n(t)\,𝕕t = ⅀_{p=1}ⁿ \dfrac{\sin(px)}{p}$.
             \par
             $∫_{t=0}¹ S(t)\,𝕕t
	      = (t-\cos x = u\sin x) = ∫_{u=-\cot x}^{\tan x/2} \dfrac{𝕕u}{1+ u²}
              = \dfrac{π-x}2$.}
\qq En déduire que $⅀_{n=1}^∞ \dfrac{\sin nx}n$ converge et donner sa valeur.
    \reponse{TCD~: $|S_n(t)|⩽\dfrac2{\sin x}$ intégrable par rapport à~$t$
    sur $[0,1]$. On en déduit $⅀_{p=1}^∞ \dfrac{\sin(px)}{p} = \dfrac{π-x}2$.}


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\ex Fraction rationnelle de meilleure approximation (Ens Ulm-Lyon-Cachan MP$^*$ 2003)
On note~$R$ l'ensemble des fractions rationnelles continues sur~$[0,1]$
et pour $m,n∈ℕ$~:

$R_{m,n} = ⦃f∈ R\tq ∃P,Q∈ℝ[X]\tq \deg(P)⩽m,\ \deg(Q)⩽n\text{ et }f=P/Q⦄$.

\qq $R$ est-il un ev~? Si oui en trouver une base. Même question pour~$R_{m,n}$.
    \reponse{$R$ est trivialement un $ℝ$-ev. Le théorème de décomposition en
    éléments simples donne une base de~$R$ en se limitant aux éléments simples
    n'ayant pas de pôle dans~$[0,1]$.

    $R_{m,n}$ n'est pas un ev. Par exemple $\dfrac1{X+1}$ et $\dfrac1{X+2}$
    appartiennent à~$R_{0,1}$ mais pas leur somme.}
\qq Soient $m,n$ fixés. On note $d = \inf⦃∥g-f∥,\ f∈ R_{m,n}⦄$
    où $g$ désigne une fonction continue de~$[0,1]$ dans~$ℝ$ et
    $∥h∥ = \sup⦃|h(x)|,\ x∈[0,1]⦄$.
    Montrer qu'il existe $r_0∈ R_{m,n}$ tel que $∥g-r_0∥ = d$.
    \reponse{Soit $(f_k)$ une suite d'éléments de~$R_{m,n}$ telle que
    $∥g-f_k∥⟶_{k→∞}d$.
    On note $f_k=P_k/Q_k$ avec $P_k∈ℝ_m[X]$, $Q_k∈ℝ_n[X]$ et $∥Q_k∥=1$.
    On a $∥P_k∥ ⩽∥g-f_k∥ + ∥g∥$ donc les suites $(P_k)$ et $(Q_k)$
    sont bornées dans $ℝ_m[X]$ et $ℝ_n[X]$. Quitte à prendre une sous-suite,
    on se ramène au cas $P_k⟶_{k→∞}P∈ℝ_m[X]$ et $Q_k⟶_{k→∞}Q∈ℝ_n[X]$ avec de plus
    $∥Q∥=1$.
    \medskip
    Si $Q$ n'a pas de racine dans~$[0,1]$, il existe $α>0$ tel
    que $|Q(x)|⩾α$ pour tout~$x∈[0,1]$, donc $|Q_k(x)|⩾½α$
    pour tout~$x∈[0,1]$ et tout~$k$ assez grand. On en déduit que la suite
    $(P_k/Q_k)$  converge uniformément vers $P/Q$ sur~$[0,1]$ et que
    $r_0=P/Q$ convient.
    \medskip
    Si $Q$ admet dans~$[0,1]$ des racines $a_1,…,a_p$ de multiplicités
    $α_1,…,α_p$,
    on note $Q^0 = ℿ_i(X-a_i)^{α_i}$ et $Q¹ = Q/Q^0$.
    Soit $M = \max⦃∥g-f_k∥,\ k∈ℕ⦄$. Pour tous $x∈[0,1]$ et $k∈ℕ$ on a
    $|g(x)Q_k(x)-P_k(x)|⩽M|Q_k(x)|$ donc à la limite, $|g(x)Q(x)-P(x)|⩽M|Q(x)|$
    pour tout~$x∈[0,1]$. Ceci implique que $Q^0$ divise~$P$, on note $P¹=P/Q^0$.
    Alors pour tout~$x∈[0,1]$ et $k∈ℕ$ on a
    $|g(x)Q^0(x)-P_k(x)Q^0(x)/Q_k(x)|⩽∥g-f_k∥|Q^0(x)|$,
    d'où $|g(x)Q^0(x)-P¹(x)Q^0(x)/Q¹(x)|⩽d|Q^0(x)|$ et finalement $r_0=P¹/Q¹$
    convient.}

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\ex Dérivation multiple, ULM-Lyon-Cachan MP$^*$ 2005
\qq Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de classe~$𝓒¹$ sur $[a,b]$ telle que
    $(f_n')$ converge uniformément vers $g$ et il existe $x_1$ tel que
    $(f_n(x_1))$ converge.
    Montrer que $(f_n)$ converge uniformément sur~$[a,b]$ vers $f$
    telle que $f'=g$.

\qq Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de classe~$𝓒^p$ sur $[a,b]$ telle que
    $(f_n^{(p)})$ converge uniformément vers $g$ et il existe $x_1,…,x_p$
    distincts tels que $(f_n(x_i))$ converge.
    Montrer que $(f_n)$ converge uniformément sur~$[a,b]$ vers $f$ telle que
    $f^{(p)}=g$.
    \reponse{Soit $P_n$ le polynôme de Lagrange défini par $P_n(x_i) = f_n(x_i)$
    et $\deg P_n < p$.
    Les coordonnées de $P_n$ dans la base de Lagrange
    forment des suites convergentes donc la suite $(P_n)$ est uniformément
    convergente sur $[a,b]$. Quant à la suite $(P_n^{(p)})$,
    c'est la suite nulle.
    Donc on peut remplacer $f_n$ par $f_n - P_n$ dans l'énoncé, ce qui revient
    à supposer que $f_n(x_i) = 0$ pour tous $n$ et $i$. Soit $f$ la fonction
    définie par $f(x_i) = 0$ et $f^{(p)} = g$~: $f$ existe (prendre une primitive
    $p$-ème arbitraire de~$g$ et lui soustraire un polynôme de Lagrange
    approprié) et est unique (la différence entre deux solutions est
    polynomiale de degré $<p$
    et s'annule en $p$ points distincts).
    On remplace maintenant $f_n$ par $f_n-f$,
    et on est rammené à montrer que~: si $f_n(x_i) = 0$ pour tous $n$ et $i$
    et si $(f_n^{(p)})$ converge uniformément vers la fonction nulle, alors
    $(f_n)$ converge uniformément vers la fonction nulle. Ceci résulte du lemme
    suivant~:
    \medskip
    {\it Il existe une fonction $φ_p$ bornée sur $[a,b]²$,
    indépendante de~$n$, telle que $f_n(x) = ∫_{t=a}^b φ_p(x,t)f_n^{(p)}(t)\,𝕕t$.}
    \medskip
    Démonstration. On écrit la formule de Taylor-intégrale pour $f_n$ entre
    $x$ et $y$~:
    $$f_n(y) = f_n(x) + (y-x)f_n'(x) + … + \dfrac{(y-x)^{p-1}}{(p-1)!}f_n^{(p-1)}(x)
             + ∫_{t=x}^y \dfrac{(y-t)^{p-1}}{(p-1)!}f_n^{(p)}(t)\,𝕕t.$$
    L'intégrale peut être étendue à l'intervalle $[a,b]$ sous la forme
    $∫_{t=a}^b u_p(x,y,t)f_n^{(p)}(t)\,𝕕t$ en posant
    $$u_p(x,y,t) = \cases{(y-t)^{p-1}/(p-1)!  &si $x < t < y$~;\cr
                          -(y-t)^{p-1}/(p-1)! &si $y < t < x$~;\cr
                          0                   &sinon.\cr}$$
    En prenant successivement $y=x_1$, …, $y=x_n$, on obtient un
    système linéaire en $f_n(x)$, …, $f_n^{(p-1)}(x)$ de la forme~:
    $$\left⦃\matrix{ f_n(x) + (x_1-x)f_n'(x) + … + \dfrac{(x_1-x)^{p-1}}{(p-1)!}f_n^{(p-1)}(x) &= &-∫_{t=a}^b u_p(x,x_1,t)f_n^{(p)}(t)\,𝕕t\cr
             \noalign{\smallskip}\vdots\cr
             f_n(x) + (x_p-x)f_n'(x) + … + \dfrac{(x_p-x)^{p-1}}{(p-1)!}f_n^{(p-1)}(x) &= &-∫_{t=a}^b u_p(x,x_p,t)f_n^{(p)}(t)\,𝕕t\cr}\right.$$
    La matrice $M$ de ce système est la matrice de Vandermonde de $x_1-x,…,x_p-x$,
    inversible. On en déduit, avec les
    formules de Cramer, une expression de $f_n(x)$ à l'aide des intégrales du second membre,
    de la forme voulue. Le facteur $φ_p$ est borné car le dénominateur
    est $\det(M) = ℿ_{i<j}(x_j-x_i)$, indépendant de~$x$.

    }

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\ex Exponentielle, Polytechnique MP$^*$ 2006
Soient $A,B∈ 𝓜_n(ℝ)$. Montrer que :
$\exp(A) - \exp(B) = ∫_{s=0}¹\exp(sA) (A-B) \exp((1-s)B)\,𝕕s$.
\reponse{Développer en séries sous l'intégrale, multiplier, permuter
avec l'intégrale puis simplifier.}

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\ex Fonction définie par une série, CCP 2015
Soient $n∈ℕ^*$ et $x∈ℝ$.
On pose $f_n(x)=\dfrac1{n³}\ln(1+n²x²)$ et $S(x)=⅀_{n=1}^∞f_n(x)$.

\qq Montrer que~$S$ est définie sur~$ℝ$.
    \reponse{A $x$ fixé, $f_n(x)=o(1/n^{2,5})$.}
\qq Montrer que $S$ est de classe~$𝓒¹$ sur~$ℝ$.
    \reponse{$|f_n'(x)| = \dfrac{2|x|}{n(1+n²x²)} ⩽ \dfrac1{n²}$.
             Il y a convergence normale de~$⅀f_n'$ donc on peut dériver
             terme à terme.}

\qq Montrer que $S$ est deux fois dérivable sur~$]0,+∞[$.

    \reponse{$f_n'(x) = \dfrac1{n²}{g(nx)}$ avec $g(t)=\dfrac{2t}{1+t²}$
             donc $f_n''(x)=\dfrac1ng'(nx)$. Par étude de fonction,
             $g'$ est croissante sur~$[√3,+∞[$ de limite nulle en~$+∞$
             d'où $|f_n''(x)|⩽\dfrac1n|g'(na)|=O(1/n³)$ pour~$x⩾a>0$.}

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\ex $f(2x)=2f(x)-2f²(x)$, Centrale 2014
On étudie l'équation fonctionnelle $(E)$~: $f(2x)=2f(x)-2f²(x)$.
\qq Quelles sont les solutions constantes sur~$ℝ$~?
    \reponse{La fonction nulle.}
\qq Pour $h : ℝ→ℝ$, on pose $f(x) = xh(x)$. A quelle condition sur~$h$, $f$ est-elle
    solution de~$(E)$~?
    \reponse{$h(2x)=h(x)-xh²(x)$ pour $x≠0$.}
\qq On définit les fonctions $h_n$ par $h₀(x)=1$ et $h_{n+1}(x)=h_n(x/2)-(x/2)h_n²(x/2)$.

    Pour $x,y∈[0,1]$ on pose $T_x(y)=y-xy²/2$.
    \sq Montrer que~$T_x$ est $1$-lipschitzienne sur~$[0,1]$ et $T_x([0,1])⊂[0,1]$.
        \reponse{$0⩽T_x'(y)=1-xy⩽1$.}
    \sq Montrer que la suite $(h_n)$ converge uniformément sur~$[0,1]$.
        \reponse{$|h_{n+1}(x)-h_n(x)|=|T_x(h_n(x/2))-T_x(h_{n-1}(x/2))|
                 ⩽|h_n(x/2)-h_{n-1}(x/2)|$
                 et par récurrence $|h_{n+1}(x)-h_n(x)|⩽|h₁(x/2^n)-h₀(x/2^n)|⩽1/2^{n+1}$~:
                 la série télescopique est normalement convergente.}
    \sq Montrer que~$(E)$ admet une solution continue non constante sur~$[0,1]$.
        \reponse{Soit $h=\lim(h_n)$. C'est une fonction continue non nulle
                 car $h(0)=1$, et qui vérifie {\bf 2)}. La fonction $f=x↦xh(x)$
                 est solution de~$(E)$ sur~$[0,1]$,
                 continue non identiquement nulle et donc non constante.}
    \sq Montrer que $(E)$ admet une solution continue non constante sur~$ℝ⁺$.
        \reponse{On note $f₀$ la fonction précédente et on pose pour~$x∈[0,1]$~:
                 $f₁(2x) = 2f₀(x)-2f₀²(x)$, ce qui définit $f₁$ sur~$[0,2]$, continue,
                 coïncidant avec~$f₀$ sur~$[0,1]$ et solution de~$(E)$ sur~$[0,2]$.
                 On définit de même $f₂$ sur~$[0,4]$ à partir de~$f₁$, etc et on pose
                 enfin pour~$x⩾0$ $f(x)=f_n(x)$ où $n$ est choisi tel que $x⩽2^n$.
                 Le résultat ne dépend pas de~$n$ et $f$ convient.
                 On peut encore prolonger $f$ à~$ℝ$ par parité pour obtenir une
                 solution sur~$ℝ$ continue et non constante.}

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\ex Noyau de Dirichlet, X 2014
\qq Calculer $D_n(x)=⅀_{k=1}^n\sin(kx)$ et $\tilde D_n(x) = D_n(x) -\frac12\sin(nx)$,
    puis montrer que $\tilde D_n(x)⩾0$ pour $x∈[0,π]$.
    \reponse{$D_n(x)=\dfrac{\sin(nx/2)\sin((n+1)x/2)}{\sin(x/2)}$,
             $\tilde D_n(x)=\dfrac{\cos(x/2)(1-\cos(nx))}{2\sin(x/2)}$.}
\qq Montrer qu'il existe deux constantes $c₁$ et $c₂$ telles que
    $∀n⩾2$, $c₁\ln(n)⩽∫_{x=0}^π\tilde D_n(x)\,𝕕x⩽c₂\ln(n)$.
    \reponse{$∫_{x=0}^π\tilde D_n(x)\,𝕕x=2⅀_{2k+1<n}1/k+(0\text{ ou }1)/n$
             et on compare la série à $∫𝕕t/t$.}
\qq Soit $(b_n)$ une suite de réels positifs telle que $⅀_{k=1}^∞b_k$ converge.
    Montrer l'équivalence entre~:

    (i)\phantom{ii} $g(x)=⅀_{k=1}^∞b_kD_k(x)$ est intégrable sur~$[0,π]$.

    (ii)\phantom i $\tilde g(x)=⅀_{k=1}^∞b_k\tilde D_k(x)$ est intégrable sur~$[0,π]$.

    (iii) $⅀_{k=1}^∞b_k\ln(k)$ converge.
    \reponse{(i)$⇔$(ii) par convergence normale de $⅀b_k\sin(kx)$.

             (ii)$⇔$(iii) par intégration terme à terme, cas réel positif.}

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\ex Développement en série de $\cotan$, Centrale MP 2011
Soit $f: x↦\lim_{n→∞}\Bigl(⅀_{k=-n}^n\dfrac{1}{k+x}\Bigr)$.
\qq Quel est le domaine de définition de $f$~?
    \reponse{$D_f=ℝ∖ℤ$ et $f(x)=\dfrac1x + ⅀_{k=1}^∞\dfrac{2x}{x²-k²}$.}
\qq Montrer que, pour tout $x∈ℝ∖ℤ$ …
\sq $f(-x)=-f(x)$.
\sq $f(x+1)=f(x)$.
\sq $f(2x)=½(f(x+½)+f(x))$.
    \reponse{La formule ne marche que si $2x$ n'est pas entier.}
\qq Montrer que $x↦f(x)-π\cotan(πx)$ admet un prolongement par continuité à $ℝ$
    entier.
    \reponse{$f(x)-1/x$ et $π\cotan(πx)-1/x$ se prolongent par
    continuité en $0$ (avec des limites nulles), donc la différence aussi.
    Par $1$-périodicité,
    cette différence se prolonge par continuité à $ℝ$ entier.}
\qq Montrer que pour tout $x∈ℝ∖ℤ$, $f(x)=π\cotan(πx)$.
    \reponse{Soit $g(x)=f(x)-π\cotan(πx)$ pour $x∈ℝ∖ℤ$ et $g(x)=0$ pour
    $x∈ℤ$~: $g$ est continue, vérifie la relation fonctionnelle
    $g(2x)=½(g(x+½)+g(x))$ pour $x∈ℝ∖½ℤ$, et donc aussi
    pour tout~$x∈ℝ$ par continuité.
    On en déduit $g(x)=0$ pour $x∈½ℤ$, puis pour tout~$x∈ℤ[½]$
    et enfin pour tout $x∈ℝ$ par densité.}

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\bye
