\input exos
\fiche{Séries entières}

\titre{Rayon de convergence}
                         %+------------------------+
                         %|  Rayon de convergence  |
                         %+------------------------+

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Vrai ou faux ?

Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. En donner
une démonstration ou un contre-exemple.

\qq Les séries $⅀a_nzⁿ$ et $⅀(-1)ⁿa_nzⁿ$ ont même rayon de
    convergence.
\qq Les séries $⅀a_nzⁿ$ et $⅀(-1)ⁿa_nzⁿ$ ont même domaine de
    convergence.
\qq Si la série $⅀a_nzⁿ$ a un rayon de convergence infini, alors elle
    converge uniformément sur $ℝ$.
\qq Si $⅀a_nxⁿ$ a un rayon de convergence fini $R > 0$, alors sa somme
    admet une limite infinie en $(-R)⁺$ ou en~$R⁻$.
\qq Si $f(x) = ⅀a_nxⁿ$ a un rayon de convergence infini et si les $a_n$
    sont strictement positifs, alors pour tout entier~$p$,
    $\dfrac{f(x)}{x^p} ⟶_{x→+∞}+∞$.

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Calculs de rayons

Trouver le rayon de convergence de la série entière $⅀a_nzⁿ$ :
\def\qq{\global\advance\qqnum1\hbox to7mm{\hfil\bf\the\qqnum) }\ignorespaces}
\halign{&\hskip\leftskip\qq#\hfil\cr
%
$a_n ⟶_{n→∞}ℓ ≠ 0$.
    \reponse{$R=1$.}
%
&$(a_n)$ est périodique non nulle.
    \reponse{$R=1$.}
%
&$a_n = ⅀_{d│n} d²$.
    \reponse{$R=1$.}
%
\cr$a_n = nⁿ/n!$.
    \reponse{$R=\frac1e$.}
%
&$a_{2n} = aⁿ$, $a_{2n+1} = bⁿ$, $0<a<b$.
    \reponse{$R=1/√b$.}
%
&$a_{n²} = n!$, $a_k = 0$ si $√k∉ℕ$.
    \reponse{$R=1$.}
%
\cr$a_n = (\ln n)^{-\ln n}$.
    \reponse{$R=1$.}
%
&$a_n = e^{√n}$.
    \reponse{$R=1$.}
%
&$a_n = \dfrac{1.4.7…(3n-2)}{n!}$.
    \reponse{$R=\frac13$.}
%
\cr$a_n = \dfrac1{√n^{√n}}$.
    \reponse{$R=1$.}
%
&$a_n = \left(1+\dfrac12+…+\dfrac1n\right)^{\ln n}$.
    \reponse{$R=1$.}
%
&$a_{n+2} = 2a_{n+1} + a_n$,\par\nobreak $a_0=a_1=1$.
    \reponse{$R=√2-1$.}
%
\cr$a_n = \bin{kn}n$.
    \reponse{$R=\dfrac{(k-1)^{k-1}}{k^k}$.}
%
&$a_n = e^{(n+1)²} - e^{(n-1)²}$.
    \reponse{$R=0$.}
%
&$a_n = ∫_{t=0}^1 (1+t²)ⁿ\,𝕕t$.
    \reponse{$R=\frac12$, $2t⩽1+t²⩽2$.}
%
\cr$a_n=\root n\of n-\root{n+1}\of{n+1}$.
    \reponse{$R=1$, $a_n\sim(\ln n)/n²$.}
%
&$a_n=\dfrac{\cos nθ}{√n+(-1)ⁿ}$.
    \reponse{$R=1$.}
\cr}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Centrale P' 1996

Comment peut-on trouver le rayon de convergence d'une série entière
dont la suite des coefficients admet une infinité de zéros~?

%----------------------------------------------------------------------
\ex Mines MP 2003
Quel est le rayon de convergence de la série entière~:
$⅀_{k=0}^∞ \cos^k(\frac{2kπ}5+α)x^k$ où $α∈ℝ$~?
\reponse{La suite $\Bigl(\cos(\frac{2kπ}5+α)\Bigr)_{k∈ℕ}$ est périodique de
période~$5$, donc prend au plus cinq valeurs distinctes.
soit $a$ celle de plus grande valeur absolue. Alors $R=\dfrac1{|a|}$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Ensi MP 2003
Rayon de convergence $R$ de la série entière
$⅀_{n=1}^∞ \dfrac{xⁿ}{⅀_{k=1}ⁿ k^{-α}}$ et étude pour $x=±R$.
\reponse{$⅀_{k=1}ⁿ k^{-α}\sim\cases{
\dfrac{n^{1-α}}{1-α} &si $α<1$,\cr
\ln(n) &si $α=1$,\cr
ζ(α) &si $α>1$.\cr}$
Dans les trois cas, on obtient $R=1$.

Il y convergence en~$x=1$ si et seulement si $α<0$ et il y a divergence
grossière en~$x=-1$ lorsque $α>1$ vu les équivalents.
Pour $α⩽1$ et $x=-1$ il y a convergence (CSA).}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Centrale MP 2003
On considère les suites~$(a_n)$ et~$(b_n)$ définies par~:
$a_n = \dfrac{\cos(nπ/3)}{n^{1/3}}$, $b_n = \sin(a_n)$.
\smallskip
\qq Déterminer les rayons de convergence des séries $⅀a_nxⁿ$ et $⅀b_nxⁿ$.
    \reponse{$(a_n)$ est bornée et $(na_n)$ ne l'est pas, donc $R_a = 1$.
             $|b_n|\sim|a_n|$ donc $R_b=1$.}
\qq Déterminer la nature de $⅀a_nxⁿ$ et $⅀b_nxⁿ$ en fonction de~$x$.
    \reponse{Il y a doute seulement pour~$x=±1$.
             Le critère de convergence d'Abel (hors programme) s'applique,
             $⅀a_nxⁿ$ converge si~$x=±1$.
             $b_n = a_n -\frac16a_n^3 + O(n^{-5/3})$ et le critère d'Abel
             s'applique aussi à~$⅀a_n^3$ (linéariser le $\cos^3$).
             Par contre il y a divergence pour~$x=-1$.
             \smallskip
             Résolution conforme au programme~: regrouper par paquets de
             six termes.}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Transformation de rayons

Soit $⅀a_nzⁿ$ une série entière de rayon de convergence $R > 0$.
Déterminer les rayons de convergence des séries :
\def\qq{\global\advance\qqnum1\hbox to7mm{\hfil\bf\the\qqnum) }\ignorespaces}
\halign{&\hskip\leftskip\qq#\hfil\cr
%
$⅀a_n² zⁿ$.               \reponse{$R' = R²$.}
&$⅀\dfrac {a_n}{n!} zⁿ$.    \reponse{$R'=∞$.}
&$⅀\dfrac{n!\,a_n}{nⁿ}zⁿ$. \reponse{$R' = eR$.}
\cr}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Séries paire et impaire

On suppose que les séries $⅀a_{2n}zⁿ$ et $⅀a_{2n+1}zⁿ$ ont
pour rayons de convergence $R$ et $R'$. Déterminer le rayon de convergence de
$⅀a_nzⁿ$.
\reponse{$\min(√R,√{R'}\,)$.}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Coefficients inverses

Trouver deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ de complexes non nuls tels que
$a_nb_n=1$ pour tout~$n$, mais $R_aR_b≠1$ où $R_a$ et $R_b$ sont les rayons de
convergence des séries $⅀a_nzⁿ$ et $⅀b_nzⁿ$.

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Division par $z-ρ$

Soit $a(z) = ⅀_{n=0}^∞ a_nzⁿ$ une série entière de rayon de
convergence infini et $ρ > 0$.
On définit la série entière $b(z) = ⅀_{n=0}^∞ b_nzⁿ$ de sorte que
$(z-ρ)b(z) = a(z)$ en cas de convergence de $b(z)$.

\qq Prouver l'existence et l'unicité des coefficients $b_n$.
    \reponse{Série produit de $a(z)$ et $\dfrac1{z-ρ} ⇒
             b_n = ⅀_{k=0}^∞ a_{k+n+1}ρ^k$.}
\qq Quel est le rayon de convergence de $b(z)$ ?
    \reponse{Si $a(ρ) ≠ 0$ : $b(z)$ converge pour $|z|<ρ$ et tend vers
             l'infini pour $z→ρ⁻ ⇒ R = ρ$.\par
             Si $a(ρ) = 0$ : $∀r > ρ$, $|a_p| ⩽ \dfrac M{r^p}⇒
             |b_n| ⩽ \dfrac M{rⁿ(r-ρ)} ⇒ R=∞$.}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Développer peut être dangereux

Pour $n∈ℕ$ et $x∈ℝ$ on pose $u_n(x) = \Bigl(\dfrac{x(1-x)}2\Bigr)^{4ⁿ}$.

\qq Déterminer le domaine de convergence de la série $⅀_{n=0}^∞ u_n(x)$.
\reponse{$]-1,2[$.}
\qq On développe $u_n(x)$ par la formule du binôme~:
    $u_n(x) = ⅀_{4ⁿ⩽ k ⩽ 2.4ⁿ}a_kx^k$. Montrer que le
    rayon de convergence de la série entière $⅀_{k⩾1}a_kx^k$
    est égal à~$1$ (en convenant que les $a_k$ non définis valent zéro).
\reponse{Pour $0⩽k⩽ 4ⁿ$, on a $|a_k| ⩽ \bin{4ⁿ}{4ⁿ/2}\Bigm/2^{4ⁿ}$
         (atteint pour $k=4ⁿ/2$).

         Donc $a_n⟶_{n→∞}0$ et si $x>1$ alors $a_{3*4ⁿ/2}x^{3*4ⁿ/2}$
         $\not⟶_{n→∞}0$.}

\xe\titre{Développement, sommation}
                       %+----------------------------+
                       %|  Développement, sommation  |
                       %+----------------------------+

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Développements en série entière

Développer en série entière les fonctions suivantes :
\def\qq{\global\advance\qqnum1\hbox to7mm{\hfil\bf\the\qqnum) }\ignorespaces}
\halign{&\hskip\leftskip\qq#\hfil\cr
%
$\ln(1+x+x²)$.
    \reponse{$= \ln(1-x^3) - \ln(1-x)
              = ⅀_{n=0}^∞\left( \dfrac{x^{3n+1}}{3n+1}
              + \dfrac{x^{3n+2}}{3n+2} - 2\dfrac{x^{3n+3}}{3n+3}\right)$.}
%
&$(x-1)\ln(x²-5x+6)$.
    \reponse{Factoriser : $-\ln 6 + (\frac56 + \ln6)x
             - ⅀_{n=2}^∞\left(\dfrac{n+1}{2ⁿ}
             + \dfrac{2n+1}{3ⁿ}\right)\dfrac{xⁿ}{n(n-1)}$.}
%
&$x\ln(x+√{x²+1}\,)$.
    \reponse{Dériver le ln :
             $⅀_{n=1}^∞ -1/\bin{n-1}2\dfrac{x^{2n}}{2n-1}$.}
%
\cr$\dfrac{x-2}{x^3-x²-x+1}$.
    \reponse{$⅀_{n=0}^∞ -\dfrac{2n+ 5 + 3(-1)ⁿ}4 xⁿ$.}
%
&$\dfrac1{1+x-2x^3}$.
    \reponse{$\frac15⅀_{n=0}^∞ \Bigl(1+2{√2\,}ⁿ
              (2\cos(3nπ/4)-\sin(3nπ/4))\Bigr)xⁿ$.}
%
&$\dfrac{1-x}{(1+2x-x²)²}$.
    \reponse{Intégrer : $⅀_{n=0}^∞ \dfrac{n+1}{4√2}
             \Bigl((-√2-1)^{n+2} - (√2-1)^{n+2}\Bigr)xⁿ$.}
%
\cr$√{\dfrac{1-x}{1+x}}$.
    \reponse{$=\dfrac{1-x}{√{1-x²}}
              =⅀_{n=0}^∞ {\bin {-1/2}n}(-1)ⁿ(x^{2n}-x^{2n+1})$.}
%
&$\arctan(x+1)$.
    \reponse{Dériver : $\dfracπ4 - ⅀_{n=1}^∞
                      \dfrac{\sin(nπ/4)}{n{√2\,}ⁿ}(-1)ⁿxⁿ$.}
%
&$\arctan(x+√3\,)$.
    \reponse{Dériver : $\dfracπ3 + ⅀_{n=1}^∞
             (-1)^{n-1}\dfrac{\sin(nπ/6)}{n2ⁿ}xⁿ$.}
%
\cr$∫_{t=0}^x \dfrac{\ln(t²-5t/2+1)}t\,𝕕t$.
    \reponse{Dériver, factoriser : $⅀_{n=1}^∞ -\dfrac{2ⁿ+2^{-n}}{n²}xⁿ$.}
%
&$\Bigl(\dfrac{(1+x)\sin x}x\Bigr)²$.
    \reponse{Linéariser : $1 + ⅀_{n=1}^∞ \dfrac{(-1)^{n+1}4ⁿ}{(2n)!}
             \Bigl(x^{2n-1} + \dfrac{(2n²+3n-1)}{(2n+1)(2n+2)}x^{2n}\Bigr)$.}
%
&$∫_{t=x}^{2x} e^{-t²}\,𝕕t$.
    \reponse{Dériver : $⅀_{n=0}^∞
             \dfrac{(-1)ⁿ(2^{2n+1}-1)}{n!\,(2n+1)}x^{2n+1}$.}
%
\cr$e^{-2x²}∫_{t=0}^x e^{2t²}\,𝕕t$.
    \reponse{$y' = -4xy+1$ : $⅀_{n=0}^∞
             (-1)ⁿ\dfrac{8ⁿn!}{(2n+1)!}x^{2n+1}$.}
%
&$\dfrac{\arcsin √x}{√{x(1-x)}}$.
    \reponse{$2x(1-x)y'+(1-2x)y = 1$ : $⅀_{n=0}^∞
             \dfrac{4ⁿ}{(2n+1)\bin{2n}n}xⁿ$.}
%
&$\sin(\frac13\arcsin x)$.
    \reponse{$(1-x²)y'' - xy' + \dfrac y9 = 0$ : $⅀_{n=0}^∞
             \dfrac{4ⁿ\bin{3n}n}{(2n+1)3^{3n+1}}x^{2n+1}$.}
\cr}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Ensi PC 1999

Développer en série entière~: $\ln(√{1-2x\ch a + x²})$.
\reponse{%
$=\frac12\ln(e^a-x) + \frac12\ln(e^{-a}-x)
=⅀_{k=1}^∞ \dfrac{\ch(ka)}kx^k$.}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex $e^{x²}/(1-x)$

Développer en série entière $\dfrac{e^x}{1-x}$ puis $\dfrac{e^{x²}}{1-x}$.
\reponse{$\dfrac{e^{x²}}{1-x} = (1+x)\dfrac{e^{x²}}{1-x²}
          = ⅀_{n=0}^∞ \left(1+\dfrac1{1!} + …
          + \dfrac1{n!}\right)(x^{2n}+x^{2n+1})$.}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Mines-Ponts MP 2004
Développer en série entière $f(x) = √{x+√{1+x²}}$.
\reponse{%
$f(\sh y) = e^{y/2}$ d'où l'équation différentielle~:
$(1+x²)f''(x) + xf'(x) = \frac14f(x)$.

En posant $f(x) = ⅀_{n=0}^∞ a_n xⁿ$ on obtient
$4(k+1)(k+2)a_{k+2} = -(2k+1)(2k-1)a_k$ avec
$a_0 = f(0) = 1$ et $a_1 = f'(0) = \frac12$,
d'où $a_{2p} = \dfrac{(-1)^{p+1}\bin{4p-2}{2p-1}}{p2^{4p}}$ si $p⩾1$
et $a_{2p+1} = \dfrac{(-1)^p\bin{4p}{2p}}{2^{4p+1}(2p+1)}$ si $p⩾0$.

Le rayon de convergence de la série correspondante est 1, ce qui
valide la méthode (avec le thm. d'unicité de Cauchy-Lipschitz).}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex DSE d'une fraction rationnelle par récurrence linéaire

Développer $f(x) = \dfrac x{1-x-x²}$ en série entière en utilisant
la relation : $(1-x-x²)f(x) = x$.
\reponse{$a_n = a_{n-1} + a_{n-2} ⇒
          a_n = \dfrac1{√5}\left(\left(\dfrac{1+√5}2\right)ⁿ
              - \left(\dfrac{1-√5}2\right)ⁿ\right)$.}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Produit de polynômes

Quel est le coefficient de $xⁿ$ dans
$\Bigl(1+x+…+xⁿ\Bigr)
\Bigl(1+2x+…+(n+1)xⁿ\Bigr)
\Bigl(1+4x+…+(n+1)²xⁿ\Bigr)$~?
\reponse{Coefficient de $xⁿ$ dans $(⅀x^k)(⅀(k+1)x^k)(⅀(k+1)²x^k)
         = \dfrac{1+x}{(1-x)^6}$\par $⇒ c_n = \bin{n+5}5 + \bin{n+4}5
         = \dfrac{(2n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)}{120}$.}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Développement en série entière de $ζ(1+x)-1/x$

\qq Vérifier que pour~$x∈{]0,+∞[}$ on a~:
    $ζ(1+x)-\dfrac1x = ⅀_{n=1}^∞\Bigl( \dfrac1{n^{1+x}} - \dfrac1x\bigl(\dfrac1{n^x}-\dfrac1{(n+1)^x}\bigr)\Bigr)$.

\qq Pour $p∈ℕ$ on pose $γ_p = \lim_{k→∞}\Bigl(\dfrac{\ln^p(1)}1 + … + \dfrac{\ln^p(k)}k - \dfrac{\ln^{p+1}(k+1)}{p+1}\Bigr)$.
    Justifier l'existence de $γ_p$ et montrer que $|γ_p| ⩽ (p/e)^p$.

\qq Montrer alors que pour~$x∈{]0,1[}$ on a~:
    $ζ(1+x)-\dfrac1x = ⅀_{p=0}^∞ \dfrac{(-1)^pγ_p}{p!}x^p$.

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Sommation de séries entières

Calculer les sommes des séries suivantes :
\def\qq{\global\advance\qqnum1\hbox to7mm{\hfil\bf\the\qqnum) }\ignorespaces}
\halign{&\hskip\leftskip\qq#\hfil\cr
%
$⅀_{n=0}^∞ \dfrac{xⁿ}{2n-1}$.
    \reponse{$-1+√x\argth√x$ pour $0⩽ x < 1$
             et $-1-√{-x}\arctan√{-x}$ pour $-1⩽ x ⩽ 0$.}
%
&$⅀_{n=0}^∞ n²xⁿ$.
    \reponse{$\dfrac{x+x²}{(1-x)^3}$.}
%
&$⅀_{n=0}^∞ n^3xⁿ$.
    \reponse{$\dfrac{x(1+4x+x²)}{(1-x)^4}$.}
%
\cr$⅀_{n=0}^∞ \dfrac{xⁿ}{(n+1)(n+3)}$.
    \reponse{$\dfrac{2(1-x²)\ln(1-x) + x²+2x}{4x^3}$
             (décomposer en éléments simples).}
%
&$⅀_{n=0}^∞ \dfrac{(-1)ⁿx^{2n+1}}{4n²-1}$.
    \reponse{$-\dfrac12(x+(x²+1)\arctan x)$ (décomposer en éléments simples).}
%
&$⅀_{n=0}^∞ \dfrac{xⁿ}{4n-1}$, $x⩾0$.
    \reponse{$-1+\dfrac u4\argth u -\dfrac u2\arctan u$, $u=\root4\of x$.}
%
\cr$⅀_{n=0}^∞ \dfrac{n+3}{2n+1}xⁿ$.
    \reponse{$\dfrac1{2(1-x)} + \dfrac5{2√x}\argth√x$
             pour $0⩽ x < 1$
             et $\dfrac1{2(1-x)} + \dfrac5{2√{-x}}\arctan√{-x}$
             pour $-1 < x ⩽ 0$.}
%
&$⅀_{n=1}^∞ \dfrac{xⁿ}n\ch(na)$.
    \reponse{$-\dfrac12\ln(1-2x\ch a+x²)$.}
%
&$⅀_{n=0}^∞ \dfrac{n\sin²(nθ)}{2ⁿ}$.
    \reponse{$1-\dfrac{5\cos2θ-4}{(5-4\cos2θ)²}$ (linéariser).}
%
\cr$⅀_{n=0}^∞ \dfrac{n²+1}{n+1}xⁿ$.
    \reponse{$\dfrac{2x-1}{(1-x)²} - \dfrac{2\ln(1-x)}x$.}
%
&$⅀_{n=0}^∞ \dfrac{xⁿ}{(2n)!}$.
    \reponse{$\ch√x$ pour $x ⩾ 0$ et $\cos√{-x}$ pour $x ⩽ 0$.}
%
&$⅀_{n=0}^∞ \dfrac{\sin²(nθ)}{n!}x^{2n}$.
    \reponse{$\dfrac{e^{x²}}2
             - \dfrac{e^{x²\cos2θ}}2\cos(x²\sin2θ)$.}
%
\cr$⅀_{n=0}^∞ \dfrac{n^5xⁿ}{n!}$.
    \reponse{$(x+15x²+25x^3+10x^4+x^5)e^x$.}
%
&$⅀_{n=0}^∞ \dfrac{x^{3n}}{(3n)!}$.
    \reponse{$\dfrac{e^x+2e^{-x/2}\cos(x√3/2)}3$, ($f''' = f$).}
%
&$⅀_{n=1}^∞ \bin{2n}{n+1} xⁿ$.
    \reponse{$\dfrac{1-√{1-4x}-2x}{2x√{1-4x}}$.}
%
\cr$⅀_{n=0}^∞ \dfrac1{n!}∫_{t=1}^x\lnⁿt\,𝕕t$.
    \reponse{$\dfrac{x²-1}2$.}
%
&$⅀_{n=1}^∞ \left(1+\frac12+…+\frac1n\right)xⁿ$.
    \reponse{$-\dfrac{\ln(1-x)}{1-x}$.}
\cr}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Suite récurente linéaire

On définit deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ par :
$u_0 = 1$, $v_0 = 0$, $u_{n+1} = u_n + 2v_n$, $v_{n+1} = u_n+v_n$.

Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entière
$⅀_{n=0}^∞ u_nxⁿ$.
\reponse{$R=√2-1$, $⅀ = \dfrac{1-x}{1-2x-x²}$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Série matricielle, Centrale MP 2000

\qq Montrer l'existence de~$f(z) = ⅀_{k=1}^{∞} kz^k$ pour~$z∈ℂ$, $|z|<1$.
\qq Soit~$A∈𝓜_n(ℂ)$. Montrer que $⅀_{k=1}^{∞} kA^k$ converge
    si et seulement si les valeurs propres de~$A$ sont de module strictement
    inférieur à~$1$.
    \reponse{S'il existe $λ∈\sp(A)$ tel que $|λ|⩾ 1$
    et si $x$ est un vecteur propre associé alors $kA^kx = kλ^kx\not→0$
    donc la série diverge.

    Si toutes les valeurs propres de~$A$ sont de module $<1$, comme
    $kA^k = ⅀_λ λ^kP_λ(k)$ où les $P_λ$
    sont des polynômes à coefficients matriciels, la série converge absolument.}
\qq La somme $S = ⅀_{k=1}^∞ kA^k$ est-elle inversible~?
    \reponse{$S = ⅀_{k=0}^∞ (k+1)A^{k+1} = AS + ⅀_{k=0}^∞ A^{k+1}
                = AS + A(I-A)^{-1}$ donc $S = A(I-A)^{-2}$ est inversible ssi
             $A$ l'est.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Série des traces (Centrale MP 2003)

Soit~$A=\mat(1&1&1\cr1&1&0\cr1&0&0\cr)∈𝓜_3(ℝ)$.
\qq Montrer que~$A$ est diagonalisable et admet trois valeurs propres réelles
    dont on précisera les parties entières.
    \reponse{$χ_A(λ) = -λ^3 + 2λ² + λ - 1$.
    $χ_A(-1)>0$, $χ_A(0) < 0$, $χ_A(1)>0$, $χ_A(2)>0$, $χ_A(3)<0$
    donc $χ_A$ admet une racine dans chacun des intervalles
    $]-1,0[$, $]0,1[$ et $]2,3[$.}
\qq On pose $t_n = \tr(Aⁿ)$.
    Exprimer $t_n$ en fonction de $t_{n-1},t_{n-2},t_{n-3}$.
    \reponse{Cayley-Hamilton~: $t_n = 2t_{n-1}+t_{n-2}-t_{n-3}$.}
\qq Déterminer le rayon de convergence de la série entière $⅀_{n=0}^∞ t_nzⁿ$ et
    calculer sa somme.
    \reponse{Soient $-1<α<0<β<1<2<γ<3$ les valeurs propres de~$A$.
    On a $t_nzⁿ = (αz)ⁿ + (βz)ⁿ + (γz)ⁿ$ donc la série $⅀_{n=0}^∞ t_nzⁿ$
    converge si et seulement si $|γz|<1$ et vaut~:
    $$\dfrac1{1-α z} + \dfrac1{1-β z} + \dfrac 1{1-γ z}
      = \dfrac1z\dfrac{χ'}{χ}(1/z)
      = \dfrac{-z²-4z+3}{z^3-z²-2z+1}.$$}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Centrale MP 2000
Calculer $⅀_{n=1}^{∞} \dfrac{(-1)ⁿ}{3n+1}$.
\reponse{$=-∫_{t=0}^{1} \dfrac{t^3}{1+t^3}\,𝕕t
          =\dfrac{\ln 2}{3} +\dfracπ{3√3}-1$.}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex $⅀P(n)xⁿ$, Ensi P 91

    Rayon et somme de $⅀P(n)xⁿ$ où $P$ est un polynôme de degré $p$.
    \reponse{$R=1$. On décompose $P$ sous la forme :
	     $P = a_0 + a_1(X+1) + a_2(X+1)(X+2) + … + a_p(X+1)…(X+p)$.\par
	     Alors $⅀_{n=0}^∞ P(n)xⁿ = \dfrac{a_0}{1-x} +
	     \dfrac{a_1}{(1-x)²} + … + \dfrac{p!\,a_p}{(1-x)^{p+1}}$.}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex $⅀e^{inθ}/2ⁿ$, Ensi P 91

    Calculer $⅀_{n=1}^∞ \dfrac{\sin nθ}{2ⁿ}$ et
	     $⅀_{n=1}^∞ \dfrac{\cos nθ}{n2ⁿ}$.
    \reponse{$⅀_{n=1}^∞ \dfrac{\sin nθ}{2ⁿ} =
		\dfrac{2\sinθ}{5-4\cosθ}$,\quad
	     $⅀_{n=1}^∞ \dfrac{\cos nθ}{n2ⁿ} =
		\ln2 - \frac12\ln(5-4\cosθ)$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Ensae MP$^*$ 2000

Soit $(u_n)$ définie par, pour tout $n∈ ℕ$,
$⅀_{k=0}ⁿ\dfrac{u_{n-k}}{k!}=1$. Trouver la limite de $(u_n)$.
\reponse{$f(t) = ⅀_{n=0}^∞ u_ntⁿ = \dfrac{e^{-t}}{1-t}
               = ⅀_{n=0}^∞⅀_{k=0}ⁿ\dfrac{(-1)^k}{k!}tⁿ$
         donc $u_n⟶_{n→∞}\frac1{e}$.}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex $ℿ_{n=1}^∞ (1-qⁿx)$

Soit $q ∈ {]-1,1[}$ et $f(x) = ℿ_{n=1}^∞ (1-qⁿx)$.

\qq Montrer que $f(x)$ existe pour tout $x ∈ ℝ$ et que $f$ est développable
    en série entière au voisinage de 0.
    On admettra que si une fonction $g$ est DSE alors $e^g$ l'est.
    \reponse{Pour $|x| < \dfrac1q$ : $\ln f(x) = ⅀_{n=1}^∞ \ln(1-qⁿx)
             = -⅀_{n=1}^∞⅀_{k=1}^∞ \dfrac{q^{kn}x^k}k
             = -⅀_{k=1}^∞ \dfrac{q^kx^k}{k(1-q^k)}$,\par
             $f = e^{\ln f}$ est DSE par composition.}
\qq A l'aide de la relation : $f(x) = (1-qx)f(qx)$, calculer les coefficients
    du développement de $f$ et le rayon de convergence.
    \reponse{$a_n = \dfrac{q^{n(n+1)/2}}{(q-1)…(qⁿ-1)}$, $R = ∞$.}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Fonction non DSE

Soit $f(x) = ⅀_{n=0}^∞ e^{-n+n²ix}$.
Montrer que $f$ est de classe $𝓒^∞$ sur $ℝ$ mais n'est pas développable
en série entière autour de $0$.

\reponse{$|f^{(k)}(0)| = ⅀_{n=0}^∞ n^{2k}e^{-n} ⩾ k^{2k}e^{-k}$,
donc $\dfrac{|f^{(k)}(0)|}{k!} ⩾ k^ke^{-k} ⇒ R=0$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Ens Ulm-Lyon-Cachan MP$^*$ 2003
Soit~$α>0$. On considère la fonction $f_α$ : $x↦⅀_{n=1}^∞ e^{-n^α}e^{inx}$.
Montrer que~$f$ est $𝓒^∞$. Donner une CNS sur~$α$ pour que~$f$
soit développable en série entière en tout point de~$ℝ$.
\reponse{Il y a dérivation terme à terme facilement et indéfiniment.

DSE au voisinage de~$0$~: on envisage de permuter les $⅀$ dans~:
$f_α(x) = ⅀_{n=1}^∞⅀_{p=0}^∞ e^{-n^α}\dfrac{(inx)^p}{p!}$,
ce qui est légitime si la série $⅀_{n=1}^∞ e^{-n^α}e^{n|x|}$ converge.
On en déduit qu'une condition suffisante pour que~$f$ soit DSE au voisinage
de~$0$ est $α ⩾ 1$ (avec convergence si $x∈{]-1,1[}$ pour $α = 1$ et pour
tout~$x∈ℝ$ si $α > 1$).
\smallskip
Cas $α < 1$~: $|f^{(k)}(0)| = ⅀_{n=1}^∞ e^{-n^α}n^k ⩾ e^{-N^α}N^k$ avec
$N=⎣k^{1/α}⎦$ donc pour $r>0$ fixé et $k$ tendant vers l'infini on~a
$\ln\Bigl(\Bigl|\dfrac{f^{(k)}(0)r^k}{k!}\Bigr|\Bigr) \sim
\Bigl(\dfrac1α-1\Bigr)k\ln(k)$
et la série de terme général $\dfrac{f^{(k)}(0)r^k}{k!}$ diverge grossièrement.
\smallskip
DSE au voisinage de~$a≠0$~: même raisonnement en écrivant
$f(x) = ⅀_{n=1}^∞⅀_{p=0}^∞ e^{-n^α}e^{ina}\dfrac{(in(x-a))^p}{p!}$.
En conclusion, $f$ est analytique sur~$ℝ$ si et seulement si~$α⩾1$.}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Thm de réalisation de Borel

Soit $(a_n)$ une suite complexe donnée, on construit dans cet exercice
une fonction $f:ℝ→ℝ$ de classe $𝓒^∞$ telle que pour tout
entier~$n$ on ait $f^{(n)}(0) = n!\,a_n$.
\smallskip
Soit $φ:ℝ→ℝ$ une fonction de classe $𝓒^∞$
vérifiant~: $∀x∈{[-1,1]}$, $φ(x)=1$ et $∀x∉{[-2,2]}$, $φ(x)=0$
(l'existence de $φ$ fait l'objet de la question {\bf 2}).
On pose $φ_n(x) = xⁿφ(x)$,
$M_n = \max(∥φ_n'∥_∞,…,∥φ_n^{(n)}∥_∞)$
et $f(x) = ⅀_{n=0}^∞ a_nxⁿφ(λ_nx)$
où $(λ_n)$ est une suite de réels strictement
positifs, tendant vers $+∞$ et telle que $⅀ |a_n|M_n/λ_n$
converge.

\qq Montrer que $f$ est bien définie, est
    de classe $𝓒^∞$ sur $ℝ$ et vérifie $f^{(n)}(0) = n!\,a_n$.
\reponse{%
    Pour $x≠0$ la série comporte un nombre fini de termes non nuls
    au voisinage de~$x$, donc est $𝓒^∞$ au voisinage de~$x$.
    On a $|f^{(k)}(x)| = \Bigl|⅀_{n=0}^∞ a_nλ_n^{k-n}φ_n^{(k)}(λ_nx)\Bigr|
                    ⩽⅀_{n=0}^∞ |a_n|λ_n^{k-n}M_n
                    ⩽ \text{cste}(k) + ⅀_{n=k+1}^∞|a_n|M_n/λ_n$
    en supposant $λ_n⩾1$ pour $n⩾k$, donc $f^{(k)}$ est bornée
    sur~$ℝ$. Ceci implique que $f$ est $𝓒^∞$ en $0$ et on a le
    développemment limité~: $f(x) = ⅀_{n=0}^k a_nxⁿ + o(x^k)$ car
    $φ≡1$ au voisinage de~$0$ donc $f^{(k)}(0) = k!\,a_k$.}

\qq Construction de~$φ$~: à l'aide de fonctions
    du type $x↦\exp(-1/x)$ construire une fonction~$ψ$
    de classe $𝓒^∞$ sur~$[0,+∞[$ nulle sur
    $[0,1]∪[2,+∞[$ et strictement positive sur~$]1,2[$.

    Vérifier alors que $φ(x) = ∫_{t=|x|}^{+∞}ψ(t)\,𝕕t\Bigm/∫_{t=0}^{+∞}ψ(t)\,𝕕t$
    convient.
    \reponse{$ψ(x) = \exp\Bigl(\dfrac1{(1-x)(x-2)}\Bigr)$ sur $]1,2[$,
             $ψ(x) = 0$ ailleurs.}

\xe\titre{Étude au bord}
                             %+-----------------+
                             %|  Étude au bord  |
                             %+-----------------+

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Étude sur le cercle de convergence

Pour $x∈ℝ$ on pose $f(x) = ⅀_{n=1}^∞ xⁿ\sin\dfrac1{√n}$.

\qq Déterminer le rayon de convergence, $R$, de cette série. \reponse{$R=1$.}
\qq Étudier la convergence de $f$ pour $x = ± R$.
    \reponse{$x=-1 ⇒$ cv (série alternée), $x=1 ⇒$ dv.}
\qq Déterminer $\lim_{x→R⁻} f(x)$.
    \reponse{$f$ est croissante sur $[0,1[$ donc $L$ existe dans $[0,+∞]$.

             $L = \sup\limits_{[0,1[} f(x)
              ⩾ \sup\limits_{[0,1[} ⅀_{n=1}ⁿ xⁿ\sin\dfrac1{√n}
              ⩾ ⅀_{n=1}ⁿ \sin\dfrac1{√n} ⇒ L = +∞$.}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Coefficients équivalents $⇒$ séries équivalentes

Soit $(a_n)$ une suite de réels strictement positifs.
On suppose que le rayon de convergence de la série entière
$A(x) = ⅀_{n=0}^∞ a_nxⁿ$ est 1 et que la série diverge pour $x = 1$.

\qq Montrer que $A(x) ⟶_{x→1⁻}+∞$.
    \reponse{Fonction croissante. $\lim_{x→1⁻} A(x) ⩾ ⅀_{n=0}ⁿ a_n$.}

\qq Soit $(b_n)$ une suite telle que $b_n \sim a_n$ et
    $B(x) = ⅀_{n=0}^∞ b_nxⁿ$.
    Montrer que $B(x) \sim A(x)$ pour $x→1⁻$.
    \reponse{Dém de type Césaro.}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Produit de Cauchy

Soit $(c_n)$ le produit de Cauchy de la suite $(a_n)$ par la suite
$(b_n)$.
Montrer que si les trois séries $⅀a_n$, $⅀b_n$ et $⅀c_n$
convergent vers $A$,$B$,$C$, alors $C = AB$
(considérer les séries entières $⅀a_nzⁿ$, $⅀b_nzⁿ$ et $⅀c_nzⁿ$).
\reponse{Continuité radiale.}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Produit de Cauchy

Soit $(c_n)$ le produit de Cauchy de la suite $(a_n)$ par la suite
$(b_n)$. On suppose que la série $A(z) = ⅀_{n=0}^∞ a_nzⁿ$
a un rayon $R > 0$ et que $b_n/b_{n+1} ⟶_{n→∞}λ$ avec $|λ| < R$.
Montrer que $c_n/b_n⟶_{n→∞}A(λ)$.
\reponse{%
$\dfrac{c_n}{b_n} = a_0 + a_1\dfrac{b_{n-1}}{b_n} + … + a_n\dfrac{b_0}{b_n}
                  = ⅀_{k=0}^∞ a_ku_{n,k}$
et le thm de convergence dominée s'applique.}

%-----------------------------------------------------------------------------
\ex CCP 2015

On considère la série de fonctions $⅀(-1)^n \ln(n) x^n$.

\qq Donner le rayon de convergence de cette série entière.
\reponse{Pour tout $n⩾3$, $1⩽\ln n⩽n$. On en déduit que le rayon de
convergence vaut 1.}
\qq On note $S$ sa somme. Montrer que, pour tout $x∈{]-1,1[}$,
$$S(x)=\dfrac{1}{1+x}⅀_{n=1}^∞(-1)^{n+1} \ln(1+\dfrac{1}{n})x^{n+1}.$$
\reponse{Pour tout $x∈{]-1,1[}$, $(1+x)S(x)=
⅀_{n=1}^∞(-1)^n \ln n\,x^n+⅀_{n=1}^∞(-1)^n \ln n\,x^{n+1}$ 

Or $⅀_{n=1}^∞(-1)^n \ln n\,x^n=⅀_{n=1}^∞(-1)^{n+1} \ln (n+1)\,x^{n+1}$, donc 
$(1+x)S(x)=⅀_{n=1}^∞(-1)^n (\ln n-\ln(n+1))x^{n+1}$, donc, pour tout $x∈{]-1,1[}$, $S(x)=\dfrac{1}{1+x}(⅀_{n=1}^∞(-1)^{n+1} \ln(1+\dfrac{1}{n})x^{n+1})$.}

\qq En déduire que $S$ a une limite en $1^-$ et la calculer. 
\reponse{Pour tout $x∈[0,1]$, $⅀(-1)^{n+1} \ln(1+\dfrac{1}{n})x^{n+1}$ vérifie
le critère des séries alternées et donc, pour tout $x∈[0,1]$, pour tout $n⩾1$,
$|R_n(x)|⩽\ln(1+\dfrac{1}{n})x^n⩽\dfrac{1}{n}$, ce qui montre la convergence
uniforme sur $[0,1]$ de la série entière. On peut donc en déduire que $S$ a
une limite en $1^-$ et que cette limite vaut
$\dfrac{1}{2}⅀_{n=1}^∞(-1)^{n+1} \ln(1+\dfrac{1}{n})$.}


%-----------------------------------------------------------------------------
\ex Mines 2017
Domaine de définition et équivalent quand $x→1⁻$ de $f(x)=⅀_{n=1}^∞x^{n²}$.
\reponse{$D={]-1,1[}$.

         Pour $0<x<1$, par comparaison de $⅀_{n=1}^∞x^{n²}$ à
         $∫_{t=0}^{+∞}x^{t²}\,𝕕t= (t=u/√{-\ln x}) = \dfrac{√π}{2√{-\ln x}}$,
         on obtient $f(x)\sim\dfrac{√π}{2√{1-x}}$.}
%-----------------------------------------------------------------------------
\ex Mines 2017
Soit $(a_n)_{n∈ℕ}$ une suite réelle dont la série converge.
\qq Donner le domaine de convergence de la série entière
    $⅀_{n=0}^∞\dfrac{a_nx^n}{n!}$. On note~$f$ la fonction associée à la
    somme de cette série.
    \reponse{$R=∞$.}
\qq Soit $(s_n)_{n∈ℕ}$ une suite réelle telle que $s_n⟶_{n→∞}ℓ∈ℝ$. On note,
    sous-réserve d'existence et pour $x∈ℝ$,
    $S(x) = ⅀_{n=0}^∞\dfrac{s_nx^n}{n!}$.
    Montrer que $S(x)e^{-x}⟶_{x→+∞}ℓ$.
    {\it Indication~: se ramener au cas $ℓ=0$.}
    \reponse{La série $S(x)$ converge car la suite $(s_n)$ est bornée.
             \medskip
             Cas $ℓ=0$~: pour $ε>0$ il existe $N∈ℕ$ tel que $|a_n|⩽ε$ si $n⩾N$.
             
             Alors pour $x⩾0$,
             $|S(x)|⩽⅀_{n=0}^{N-1}\dfrac{|a_n|x^n}{n!} +
             ε⅀_{n=N}^∞\dfrac{x^n}{n!}⩽P(x)+εe^x$ où
             $P$ est un polynôme. Ainsi, pour $x$ assez grand, on a
             $|S(x)e^{-x}|⩽2ε$ d'où $S(x)e^{-x}⟶_{x→+∞}0$.
             \medskip
             Pour $ℓ$ quelconque, on se ramène au cas précédent en
             considérant $s_n-ℓ$.}
\qq Montrer que l'intégrale $∫_{t=0}^{+∞}f(t)e^{-t}\,𝕕t$ converge et vaut
    $⅀_{n=0}^∞a_n$.
    {\it Indication~: poser $s_n=⅀_{k=0}^{n-1}a_k$ et dériver $S(x)e^{-x}$.}
    \reponse{$\dfrac𝕕{𝕕x}(S(x)e^{-x}) = (S'(x)-S(x))e^{-x} = f(x)e^{-x}$.
    
             Donc $∫_{t=0}^{+∞}f(t)e^{-t}\,𝕕t = [S(t)e^{-t}]_{t=0}^{+∞}
             =s_∞-s₀ = ⅀_{n=0}^∞a_n$.}
\qq A-t-on une réciproque au résultat précédent~?
    \reponse{Il se peut que $∫_{t=0}^{+∞}f(t)e^{-t}\,𝕕t$ converge sans que
             la série $⅀_{n=0}^∞a_n$ soit convergente, par exemple
             avec~$a_n=(-1)^n$ et $f(t)=e^{-t}$.
             Par contre, si l'on suppose tous les~$a_n$ positifs alors
             $$∫_{t=0}^{+∞}f(t)e^{-t}\,𝕕t =
              ∫_{t=0}^{+∞}\Bigl(⅀_{n=0}^∞\dfrac{a_nt^ne^{-t}}{n!}\Bigr)\,𝕕t =
              ⅀_{n=0}^∞∫_{t=0}^{+∞}\dfrac{a_nt^ne^{-t}}{n!}\,𝕕t =
              ⅀_{n=0}^∞a_n$$ par intégration terme à terme, cas réel positif.}
    
%-----------------------------------------------------------------------------

\xe\titre{Équations différentielles}
                       %+-----------------------------+
                       %|  Équations différentielles  |
                       %+-----------------------------+

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Équation différentielle

Montrer que l'équation $3xy' + (2-5x)y = x$ admet une solution développable en
série entière autour de~$0$.
Calculer $y(1)$ à $5.10^{-5}$ près.
\reponse{$y = ⅀_{n=1}^∞ \dfrac{5^{n-2}xⁿ}{ℿ_{2⩽ k⩽ n}(3k+2)}$, $R=∞$.\par
         $N = 8 ⇒ 0.409954 ⩽ y(1) ⩽ 0.409973$.}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex DSE de tan

\qq En utilisant la relation : $\tan' = 1 + \tan²$, exprimer $\tan^{(n)}$
    en fonction de $\tan,…,\tan^{(n-1)}$.
    En déduire que~: $∀x ∈ {[0,π/2[}$, $\tan^{(n)}(x) ⩾ 0$.
    \reponse{$\tan^{(n)} = ⅀_{k=0}^{n-1} \bin{n-1}k \tan^{(k)}\tan^{(n-1-k)}$.}
\qq Montrer que la série de Taylor de $\tan$ en 0 converge sur $]-π/2,π/2[$.
    \reponse{Pour $0 ⩽ x < π/2$ la série est à termes positifs et les
             sommes partielles sont majorées par $\tan x$.
             Pour $-π/2 < x ⩽ 0$, il y a convergence absolue.}
\qq Soit $f$ la somme de la série précédente. Montrer que $f' = 1+f²$ et en
    déduire que $f = \tan$.
\qq Prouver que le rayon de convergence est exactement $π/2$.
    \reponse{Si $R > π/2$, $f$ aurait une limite finie en $π/2$.}

%-----------------------------------------------------------------------------
\ex $1/\cos x$, Centrale 2014

Soit $φ(x)=\dfrac{1}{\cos x}$~: on suppose que $φ$ admet un développement en
série entière, $φ(x)=⅀_{n=0}^∞ \dfrac{E_n}{(2n)!} x^{2n}$
valide pour  tout $x∈{]-α,α[}$ avec $α∈{]0,\frac{π}{2}[}$.

\qq Montrer que, pour tout $n⩾1$, $E_n=(-1)^{n+1} ⅀_{k=0}^{n-1} (-1)^k\bin{2n}{2k} E_k $.
\reponse{Pour tout $x∈{]-α,α[}$ les deux séries $⅀_{n=0}^∞ \dfrac{E_n}{(2n)!} x^{2n}$ et $⅀_{n=0}^∞ \dfrac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}$ sont absolument convergentes, leur produit de Cauchy est donc absolument convergent et de somme égale au produit des sommes. On obtient, pour tout $x∈{]-α,α[}$, $1=⅀_{n=0}^∞ \biggl(⅀_{k=0}^n \dfrac{(-1)^kE_{n-k}}{(2k)!(2n-2k)!}\biggr)x^{2n}$. Par unicité du développement en série entière on a, pour tout $n⩾1$, $⅀_{k=0}^n \dfrac{(-1)^kE_{n-k}}{(2k)!(2n-2k)!}=0$, ce qui donne $E_n=(-1)^{n+1} ⅀_{k=0}^{n-1} (-1)^k \bin{2n}{2k} E_k$.
}

\qq On suppose que, pour tout $x∈{]-\frac{π}{2},\frac{π}{2}[}$, $\tan (x)=⅀_{n=0}^∞ \dfrac{F_n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$. En utilisant la relation $\tan '=1+\tan ²$ montrer que, pour tout $n$, $F_n>0$.
\reponse{$\tan '=1+\tan ²$, donc $F_1=1>0$.
Si l'on a $\tan^{(2n+1)}=⅀_{j=0}^{n+1} α_j \tan^{2j}$, alors 
$$\eqalign{\tan^{(2n+2)}&=⅀_{j=1}^{n+1} 2j α_j \tan^{2j-1}(1+\tan²),\cr
\tan^{(2n+3)}&=⅀_{j=1}^{n+1} 2j(2j-1) α_j \tan^{2j-2}(1+\tan^{2})
+2⅀_{j=1}^{n+1} 2j α_j \tan^{2j}(1+\tan^{2}),\cr}$$
qui est bien de la forme $⅀_{j=0}^{n+2} β_j \tan^{2j}$, avec pour tout $j$, $β_j>0$. On en déduit $F_n>0$ pour tout $n$.
}

\qq En utilisant $φ'(x)$ montrer que, pour tout $n$, $E_{n+1}=⅀_{k=0}^n  \bin{2n+1}{2k} E_k F_{n-k}$.
\reponse{On a $φ'(x)=\dfrac{\sin x}{\cos²(x)}=\tan (x) φ(x)$. On a donc, pour tout $x∈{]-β,β[}$ (où $β=\min (α,\dfrac{π}{2})$), $φ'(x)=⅀_{n=1}^∞ \dfrac{E_n}{(2n-1)!} x^{2n-1}=\bigl(⅀_{k=0}^∞ \dfrac{F_k}{(2k+1)!}x^{2k+1}\bigr)\times 
\bigl(⅀_{p=0}^∞ \dfrac{E_p}{(2p)!}x^{2p}\bigr)$.

En faisant un changement d'indice dans la première somme et en faisant le produit de Cauchy on a 
$⅀_{n=0}^∞ \dfrac{E_{n+1}}{(2n+1)!} x^{2n+1}=⅀_{n=0}^∞ \biggl(⅀_{k=0}^n \dfrac{E_k F_{n-k}}{(2k)!(2n+1-k)!}\biggr) x^{2+1}$. On en déduit que, pour tout $n$, $E_{n+1}=⅀_{k=0}^n  \bin{2n+1}{2k} E_k F_{n-k}$.
}
%-----------------------------------------------------------------------
\ex DSE de $(arcsin x)²$

On pose $f(x) = \dfrac{\arcsin x}{√{1-x²}}$.

\qq Montrer que $f$ admet un développement en série entière au voisinage de $0$
    et préciser le rayon de convergence.
    \reponse{Produit de deux séries $⇒ R ⩾ 1$. $f(x) ⟶_{x→1⁻}+∞ ⇒ R = 1$.}
\qq Chercher une équation différentielle d'ordre 1 vérifiée par $f$.
    En déduire les coefficients du développement en série entière de $f$.
    \reponse{$(1-x²)y' = xy+1 ⇒ (n+2)a_{n+2} = (n+1)a_n ⇒
              a_{2k} = a_0\dfrac{\bin{2k}k}{4^k}$,
             $a_{2k+1} = a_1\dfrac{4^k}{(2k+1)\bin{2k}k}$.\par
             $a_0 = 0$, $a_1 = 1 ⇒
             y = ⅀_{k=0}^∞ \dfrac{4^kx^{2k+1}}{(2k+1)\bin{2k}k}$.}
\qq Donner le développement en série entière de $\arcsin² x$.
    \reponse{$\arcsin²x = 2∫_{t=0}^x f(t)\,𝕕t
              = ⅀_{k=1}^∞ \dfrac{2^{2k-1}x^{2k}}{k²\bin{2k}k}$.}

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\ex $⅀_{n=0}^∞ \dfrac 1{\bin{2n}n}$

On pose $f(x) = ⅀_{n=0}^∞ \dfrac{xⁿ}{\bin{2n}n}$.

\qq Déterminer le rayon de convergence et montrer que $f$ vérifie l'équation :
    $x(4-x)y' - (x+2)y = -2$.
    \reponse{$R=4$.}
\qq Résoudre l'équation précédente pour $x > 0$
    (utiliser le DL de $f$ en 0 à l'ordre 1 pour fixer la constante)
    et en déduire la somme de la série
    $⅀_{n=0}^∞ \dfrac 1{\bin{2n}n}$.
    \reponse{$y = 4√{\dfrac x{(4-x)^3}}\left(√{\dfrac{4-x}x}
                  - \arctan√{\dfrac{4-x}x} + c\right)$.
             $f(x) = 1 + \dfrac x2 + o(x) ⇒ c = \dfracπ2$.

             $⇒⅀_{n=0}^∞ \dfrac 1{\bin{2n}n} = \dfrac 43 + \dfrac{2π}{9√3}$.}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Calcul de somme

On pose $f(x) = ⅀_{n=0}^∞ \dfrac{n!\,x^{2n+1}}{1.3.5…(2n+1)}$.

\qq Déterminer le rayon de convergence. \reponse{$R=√2$.}
\qq Étudier la convergence aux bornes de l'intervalle de convergence.
    \reponse{Stirling $⇒ a_n{√2\,}^{2n+1} \sim \dfrac2{√{πn}} ⇒$ DV.}
\qq Calculer $f(x)$.
    \reponse{$(x²-2)y' + xy + 2 = 0 ⇒
             f(x) = \dfrac{2\arcsin (x/√2\,)}{√{2-x²}}$.}

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\ex Fonction génératrice du nombre de partitions

On note $T_n$ le nombre de partitions d'un ensemble à $n$ éléments.

\qq Montrer que $T_{n+1} = ⅀_{k=0}ⁿ {\bin nk}T_k$.
\qq Montrer que $⅀_{n=0}^∞ \dfrac{T_nxⁿ}{n!} = e^{e^x-1}$.
    \reponse{$f'(x) = e^xf(x)$.}

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\ex Dérangements, Mines 2015

$E$ est un ensemble de cardinal $n$, $S_n$ le nombre de permutations de $E$
sans point fixe.

\qq Montrer que $n!=⅀_{k=0}^n \bin nk S_k$.
\reponse{On classe les permutations selon $k$ leur nombre de points fixes.
Il y a $\bin nk$ façons de choisir les points fixes puis pour chaque choix,
$S_{n-k}$ façons de construire une permutation ayant $k$ points fixes donnés.
Il y a donc $\bin nkS_{n-k}= \bin n{n-k}S_{n-k}$ permutations ayant exactement
$k$ points fixes.
On en déduit les relations $n!=  ⅀_{k=0}^n \bin n{n-k}S_{n-k}=⅀_{k=0}^n\bin nkS_k$.}
\qq On pose $\application{f}{]-1,1[}{ℝ}{x}{⅀_{n=0}^∞\dfrac{S_n}{n!}x^n}$.
\sq Montrer que $f$ est bien définie.
\reponse{Pour tout $n$, $S_n⩽n!$, donc le rayon de convergence de la série
entière $⅀_{n=0}^∞\dfrac{S_n}{n!}x^n$ est $⩾1$.}
\sq Montrer que $f(x)=\dfrac{e^{-x}}{1-x}\cdotp$
\reponse{Le produit de Cauchy donne
$f(x)e^x=⅀_{n=0}^∞(⅀_{k=0}^n \dfrac{S_k}{k!(n-k)!})x^n
=⅀_{n=0}^∞x^n=\dfrac{1}{1-x}\cdotp$}
\sq En déduire que $S_n=n!⅀_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{k!}\cdotp$
\reponse{Pour tout $|x|<1$, $f(x)=\dfrac{e^{-x}}{1-x}=
⅀_{n=0}^∞\dfrac{(-1)^n}{n!} ⅀_{n=0}^∞x^n=⅀_{n=0}^∞(⅀_{k=0}^n \dfrac{(-1)^k}{k!})x^n$.
Par unicité du développement en série entière on a, pour tout $n$,
$S_n=n!⅀_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{k!}\cdotp$}
\sq Montrer enfin que $S_n=E(\dfrac{n!}{e}+\dfrac{1}{2})$ pour $n⩾1$.
\reponse{On a $S_n=n!⅀_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{k!}=
\dfrac{n!}{e}+n!⅀_{k=n+1}^∞(-1)^{k+1}\dfrac{1}{k!}$,

donc $\dfrac{n!}{e}+\dfrac{1}{2}=
S_n+ \dfrac{1}{2}+⅀_{k=n+1}^∞(-1)^{k+1}\dfrac{n!}{k!}$.
Or $|⅀_{k=n+1}^∞(-1)^{k+1}\dfrac{n!}{k!}|⩽\dfrac{1}{n+1}\cdotp$
On en déduit, pour $n⩾2$, que
$0⩽\dfrac{1}{2}+⅀_{k=n+1}^∞(-1)^{k+1}\dfrac{n!}{k!}<1$ et donc que
$S_n=E(\dfrac{n!}{e}+\dfrac{1}{2})$. On vérifie que $S₀=S₁=0$ et que la
formule est vraie pour tout $n$.}

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\ex Suite récurrente

Soit $(a_n)$ la suite réelle définie par :
$a_0 = 1$, $2a_{n+1} = ⅀_{k=0}ⁿ \bin nk a_ka_{n-k}$.
On pose $f(x) = ⅀_{n=0}^∞ \dfrac{a_n}{n!}xⁿ$.

\qq Montrer que le rayon de convergence est non nul.
    \reponse{$a_n ⩽ n!$ par récurrence.}
\qq Calculer $f(x)$.
    \reponse{$2f' = f² ⇒ f(x) = \dfrac1{1-x/2}$.}
\qq En déduire $a_n$ en fonction de $n$.
    \reponse{$a_n = n!\,2^{-n}$.}

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\ex Fonction $ζ$\label{recurzeta}

Pour $|x| < 1$ on pose~: $Z(x) = ⅀_{n=1}^∞ ζ(2n)xⁿ$.

Montrer que $Z$ vérifie l'équation différentielle~:
$2xZ'(x) - 2Z²(x) + Z(x) = 3xζ(2)$ (écrire $Z(x)$ comme somme d'une
série double, intervertir les sommations, remplacer et …\ simplifier).

En déduire la relation de récurrence~:
$∀n⩾ 2,\ (n+\frac12)ζ(2n) = ⅀_{p=1}^{n-1}ζ(2p)ζ(2n-2p)$.

\reponse{%
$Z(x) = ⅀_{n,p⩾1} \dfrac{xⁿ}{p^{2n}} = ⅀_{p⩾1}\dfrac{x}{p²-x}$.

$Z'(x) = ⅀_{p⩾1}\dfrac{p²}{(p²-x)²} = ⅀_{p⩾1}\dfrac{1}{p²-x} + ⅀_{p⩾1}\dfrac{x}{(p²-x)²}$.

$Z²(x) = ⅀_{p,q⩾1}\dfrac{x²}{(p²-x)(q²-x)}
  = ⅀_{p≠q}\dfrac{x²}{q²-p²}\Bigl(\dfrac{1}{p²-x} - \dfrac{1}{q²-x}\Bigr) + ⅀_{p⩾1}\dfrac{x²}{(p²-x)²}$

$Z²(x)-xZ'(x) + Z(x) = 2⅀_{p≠q}\dfrac{x²}{(q²-p²)(p²-x)}$.

A $p$ fixé, $⅀_{q≠ p}\dfrac1{q²-p²} = \dfrac{1}{2p}⅀_{q≠p}\Bigl(\dfrac1{q-p}-\dfrac1{q+p}\Bigr) = \dfrac1{2p}\Bigl(\dfrac1p + \dfrac1{2p}\Bigr) = \dfrac{3}{4p²}$.

Donc $Z²(x)-xZ'(x) + Z(x) = \dfrac32⅀_{p⩾ 1}\dfrac{x²}{p²(p²-x)} = \dfrac32(Z(x)-xζ(2))$.

Rmq~: $2Z(x²) = 1-π x\cotan(π x)$ (Euler).}

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\ex DSE de tan

On note $ζ_i(n) = ⅀_{k=0}^∞ \dfrac1{(2k+1)ⁿ}$
et $Z_i(x) = ⅀_{n=1}^∞ ζ_i(2n)xⁿ$.
En s'inspirant de l'exercice~\ref{recurzeta}
montrer que $Z_i$ vérifie l'équation différentielle~:
$2xZ_i'(x) - 2Z_i²(x) - Z_i(x) = xζ_i(2)$.

Déterminer alors deux réels $α$ et $β$ tels que
$T(x) = Z_i(x²)/x$ soit égal à~$α\tanβ x$ sur~$]-1,1[$.
\reponse{$α=π/4$, $β=π/2$.}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex DSE de $\tan x$.

\qq Pour $a,b∈ℝ$ avec $b\not≡0\pmod{π}$, vérifier
    l'identité~:
    $\dfrac{(1+ia) - e^{ib}(1-ia)}{1-e^{ib}} = 1 - \dfrac a{\tan(b/2)}$.
\qq Pour $a,b∈ℂ$ et $n∈ℕ^*$, vérifier
    l'identité~:
    $aⁿ + bⁿ = ℿ_{k=0}^{n-1}(a-be^{i(2k+1){π/n}})$.
\qq Pour $x∈ℝ$ et $p∈ℕ^*$, vérifier
    l'identité~:
    $\dfrac{\Bigl(1+\dfrac{ix}{2p}\Bigr)^{2p} + \Bigl(1-\dfrac{ix}{2p}\Bigr)^{2p}}{\vrule height 10pt width 0pt 2} =
     ℿ_{k=0}^{p-1}\Bigl(1-\dfrac{x²}{4p²\tan²\dfrac{(2k+1)π}{4p}}\Bigr)$.
\qq Démontrer alors~:
    $∀x∈{]-\fracπ2,\fracπ2[},\ \ln(\cos x) = ⅀_{k=0}^∞\ln\Bigl(1-\dfrac{4x²}{(2k+1)²π²}\Bigr)$.

\qq En déduire~:
    $∀x∈{]-\fracπ2,\fracπ2[},\
    \tan x = ⅀_{k=0}^∞ \dfrac{8x}{(2k+1)²π² - 4x²}$.

\qq Pour $n∈ℕ$ avec $n⩾2$, vérifier l'identité~:
    $⅀_{k=0}^∞ \dfrac1{(2k+1)ⁿ} = \dfrac{2ⁿ-1}{\vrule height 10pt width 0pt 2ⁿ}ζ(n)$.

\qq Démontrer enfin~:
    $∀x∈{]-\fracπ2,\fracπ2[},\
    \tan x = ⅀_{n=1}^∞ \dfrac{2(4ⁿ-1)}{π^{2n}}ζ(2n)x^{2n-1}$.

        
%-----------------------------------------------------------------------------
\ex Mines 2017

Soit l'équation fonctionnelle $(E)$  : $f'(x)=αf(x)+f(λx)$, avec $α∈ℝ$,
$λ∈{]-1,1[}$. On cherche $S_E$ l'en\-sem\-ble des solutions de $(E)$ de classe
$𝓒¹$ sur $ℝ$.

\qq Montrer que toute solution est de classe $𝓒^∞$. 
\reponse{Si $f$ est de classe $𝓒^k$, alors $x↦αf(x)+f(λx)$ est de classe $𝓒^k$,
         c'est-à-dire $f'$ de classe $𝓒^k$ ou encore $f$ de classe $𝓒^{k+1}$.
         On en déduit que toute solution de $(E)$ est de classe $𝓒^∞$.}

\qq Trouver les solutions développables en série entière.
\reponse{On cherche une solution de $(E)$ sous la forme $f(x)=⅀_{n=0}^∞a_n x^n$.
         Alors $0=⅀_{n=1}^∞na_nx^{n-1}-α⅀_{n=0}^∞a_n x^n-⅀_{n=0}^∞a_n λ^n x^n
         =_{n=0}^∞((n+1)a_{n+1}-(α+λ^n))x^n$.
         On a donc, pour tout $n$, $a_{n+1}=\frac{α+λ^n}{n+1}a_n$,
         puis $a_n=\frac{(α+λ^{n-1})…(α+λ)}{n!}a₀$.
         On a $\frac{a_{n+1}}{a_n}⟶_{n→∞}0$, donc le rayon de convergence de
         la série entière est infini.}

\qq Trouver l'ensemble $S_E$.
\reponse{On cherche $f$ vérifiant $(E)$ telle que $f(0)=a₀$.
         En résolvant le problème de Cauchy 
         $\cases{y'-αy=f(λx)\cr y(0)=a₀\cr}$, on obtient
         $f(x)=a₀e^{αx} +e^{αx} ∫₀^x e^{-αt} f(λt)𝕕t$.
         Soient $f$ et $g$ solutions du problème~: on a pour tout $x$,
         $f(x)-g(x)=e^{αx} ∫₀^x e^{-αt} (f-g)(λt)\,𝕕t$.
         Soit $A>0$, on pose $M=\sup⦃|f(t)-g(t)|, t∈[-A,A]⦄$.
         On a $M⩽e^{|α|A}AM$, et donc $M=0$ si $Ae^{|α|A}< 1$.
         Soit $β>0$ tel que $βe^{|α|β}=1$. Par monotonie de la fonction
         $x↦xe^{|α|x}$ sur $[0,+∞[$, on a pour tout $x<β$, $xe^{|α|x}<1$ et donc
         $f-g$ nulle sur $[-x,x]$. On en déduit que $f=g$ sur $[-β,β]$.
         En considérant le problème de Cauchy 
	 $\cases{y'-αy=f(λx)\cr y(β)=f(β),\cr}$ on montre que $f=g$ sur
         $[β,2β]$. On itère et on montre que $f=g$ sur $ℝ^+$, puis sur $ℝ$.
         Finalement $S_E$ est la droite vectorielle des solutions développables
         en série entière.}

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\xe\titre{Intégrales}
                              %+--------------+
                              %|  Intégrales  |
                              %+--------------+

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\ex $∫_{t=0}^1 t^t\,𝕕t$

\qq A l'aide d'un développement en série entière, montrer que
    $∫_{t=0}^1 t^t\,𝕕t = ⅀_{n=1}^∞ \dfrac{(-1)^{n-1}}{nⁿ}$.
    \reponse{$t^t = \exp(t\ln t) = ⅀_{k=0}^∞ \dfrac{t^k\ln^k t}{k!}$.}

\qq Calculer la valeur commune des deux membres à $10^{-5}$ près.
    \reponse{0.78343}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex $∫_{t=0}^1 \ln(t)\ln(1-t)\,𝕕t$

On admet que $⅀_{n=1}^∞ \dfrac 1{n²} = \dfrac{π²}6$.
Calculer $∫_{t=0}^1 \ln(t)\ln(1-t)\,𝕕t$.

\reponse{$=⅀_{n=1}^∞ ∫_{t=0}^1 -\dfrac{tⁿ\ln t}n\,𝕕t
          = ⅀_{n=1}^∞ \dfrac1{n(n+1)²} = 2-\dfrac{π²}6$.}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Centrale PSI 1997

Établir la convergence puis calculer la valeur de
$∫_{t=0}^1 \dfrac{\ln(t²)\ln(1-t²)}{t²}\,𝕕t$.
\reponse{Développer en série entière $\ln(1-t²)$.
$I = \dfrac{π²}2 - 4\ln 2$.}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex $∫_{t=0}^x \dfrac{\ln(1-t)}t\,𝕕t$

Montrer que pour $x ∈ {]-1,1[}$ :
$⅀_{n=1}^∞ \dfrac {xⁿ}{n²} = -∫_{t=0}^x \dfrac{\ln(1-t)}t\,𝕕t$.
En déduire la valeur de $∫_{t=0}^1 \dfrac{\ln(1-t)}t\,𝕕t$.

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Intégrale elliptique

Montrer que la longueur d'une ellipse de demi-axes $a,b$ est :
$$L = 2π√{\dfrac{a²+b²}2}⅀_{p=0}^∞
\left(\dfrac{a²-b²}{a²+b²}\right)^{2p}\dfrac{\bin{4p}{2p}\bin{2p}p}
      {4^{3p}(1-4p)}.$$

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Norme $L²$

Soit $f(z) = ⅀_{n=0}^∞ a_nzⁿ$ une série de rayon $R>0$.

Montrer, pour~$0⩽r<R$~:
$⅀_{n=0}^∞ |a_n|²r^{2n} = \dfrac 1{2π} ∫_{θ=0}^{2π}|f(re^{iθ})|²\,𝕕θ$.

\xe\titre{Analycité}
                               %+-------------+
                               %|  Analycité  |
                               %+-------------+

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Série à valeurs réelles

Soit $f(z) = ⅀ a_nzⁿ$ une série de rayon $R>0$ telle que
pour tout $z∈ \interieur D(0,R)$ on a $f(z)∈ℝ$.
Montrer que $f$ est constante.

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\ex Formules de Cauchy\label{Cauchy}

Soit $U$ un ouvert de~$ℂ$ contenant $0$ et $f:U→ℂ$ analytique.
On note $⅀_{n=0}^∞ a_nzⁿ$ le développement en série entière
de $f$ en~$0$, $R$ son rayon et~$d$ la distance de~$0$ à~$\fct{fr}(U)$
($d=+∞$ si $U=ℂ$).

\qq Montrer, pour $0<r<\min(R,d)$ et $n∈ℕ$~:
    $a_n = \dfrac1{2π}∫_{θ=0}^{2π}\dfrac{f(re^{iθ})}{rⁿe^{inθ}}\,𝕕θ$.
    \label{formule-c}
    \reponse{calcul.}

\qq Montrer que l'application $r↦ ∫_{θ=0}^{2π}\dfrac{f(re^{iθ})}{e^{inθ}}\,𝕕θ$
    est analytique sur~$[0,d[$ (minorer le rayon de convergence du
    DSE de~$f$ en $r_0e^{iθ}$ et majorer en module les coefficients lorsque
    $θ$ décrit~$[0,2π]$ et $r_0$ est fixé dans~$[0,d[$ à l'aide
    d'un recouvrement ouvert de~$[0,2π]$). En déduire que l'égalité du~\ref{formule-c}\
    a lieu pour tout $r∈{[0,d[}$.
    \reponse{%
    Soit $0<r_0<d$ et $R(θ)$ le rayon de la série de Taylor de~$f$ en $r_0e^{iθ}$.
    Le cercle de centre $0$ et de rayon $r_0$ est recouvert par les disques ouverts
    $D(r_0e^{iθ}, \frac12R(θ))$, $θ$ variant de $0$ à~$2π$,
    donc on peut en extraire un recouvrement fini~; soit $ρ$ le rayon minimum
    des disques extraits. Alors pour $0⩽θ⩽2π$ on a $R(θ) ⩾ ρ$
    (cf. analycité de la somme d'une série entière dans le disque ouvert de convergence).
    \smallskip
    D'après la première question on a~:
    $\Bigl|\dfrac{f^{(n)}(r_0e^{iθ})}{n!}\Bigr| ⩽ \dfrac M{ρⁿ}$
    où $M$ majore $|f|$ sur $\overline D(0,r_0+ρ)$ d'où pour $|r-r_0|<ρ$~:
    $$∫_{θ=0}^{2π}\dfrac{f(re^{iθ})}{e^{inθ}}\,𝕕θ
      = ∫_{θ=0}^{2π} ⅀_{k=0}^∞
           \dfrac{f^{(k)}(r_0e^{iθ})}{k!} (r-r_0)^k e^{i(k-n)θ}\,𝕕θ
      = ⅀_{k=0}^∞ (r-r_0)^k ∫_{θ=0}^{2π}
           \dfrac{f^{(k)}(r_0e^{iθ})}{k!} e^{i(k-n)θ}\,𝕕θ.$$
    ce qui démontre l'analycité de $φ = r↦ ∫_{θ=0}^{2π}\dfrac{f(re^{iθ})}{e^{inθ}}\,𝕕θ$
    sur $]0,d[$.
    \smallskip
    Enfin, $φ(r) = a_nrⁿ$ au voisinage de~$0$ d'où $φ(r) = a_nrⁿ$
    sur~$[0,d[$ par prolongement analytique.
    }

\qq Pour $0<r<d$ et $|z|<r$ on pose $g(z)= \dfrac1{2π}∫_{θ=0}^{2π}\dfrac{f(re^{iθ})}{re^{iθ}-z}re^{iθ}\,𝕕θ$.
    Montrer que $g$ est la somme d'une série entière de rayon supérieur
    ou égal à~$r$ et que $g$ coïncide avec $f$ sur $\interieur D(0,r)$.
    \reponse{$g(z)= \dfrac1{2π}∫_{θ=0}^{2π}\dfrac{f(re^{iθ})}{re^{iθ}-z}re^{iθ}\,𝕕θ
%                  = \dfrac1{2π}∫_{θ=0}^{2π}f(re^{iθ})⅀_{k=0}^∞ \dfrac{z^k}{r^ke^{ikθ}}\,𝕕θ
                  = ⅀_{k=0}^∞ \dfrac{z^k}{2π}∫_{θ=0}^{2π}\dfrac{f(re^{iθ})}{r^ke^{ikθ}}\,𝕕θ
                  = ⅀_{k=0}^∞ a_kz^k$.

             Le rayon est au moins égal à~$r$ car $f$ est bornée sur $\overline D(0,r)$.
}

Applications~:
\qq $R⩾d$.\reponse{résulte de {\bf 3}.}
\qq Si $U=ℂ$ et $f$ est bornée alors $f$ est constante (thm de Liouville).
    \reponse{D'après {\bf 1}, $|a_n| ⩽ ∥f∥_∞/rⁿ$ pour tout $r>0$ donc $a_n = 0$ si $n⩾ 1$.}
\qq Si $P∈ℂ[X]$ ne s'annule pas alors $P$ est constant (thm de d'Alembert-Gauss).
    \reponse{$1/P$ est analytique bornée sur~$ℂ$.}
\qq Si $(f_n)$ est une suite de fonctions analytiques convergeant uniformément
    sur~$U$ vers une fonction~$f$ alors $f$ est analytique sur~$U$ (thm de Weierstrass, comparer avec le cas réel).
    \reponse{On peut passer à la limite uniforme (ou dominée) dans {\bf 3}.}
\qq La composée de deux fonctions analytiques est analytique.
    \reponse{$f(z) = ⅀_{n=0}^∞ a_nzⁿ ⇒ f\circ g(z) = ⅀_{n=0}^∞ a_ngⁿ(z)$
      et il y a convergence localement uniforme.}

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\ex Formule des résidus

Soit $P∈ℂ[X]$ ayant pour racines $z_1,…,z_k$ de multiplicités $m_1,…,m_k$
    et $r∈ℝ^{+*}∖⦃|z_1|,…,|z_k|⦄$.

Montrer~:
    $\dfrac1{2π}∫_{θ=0}^{2π}\dfrac{P'(re^{iθ})}{P(re^{iθ})}re^{iθ}\,𝕕θ
    = ⅀_{|z_j|<r} m_j$.

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\ex Croissance de $f$ en fonction des coefficients

Soit $f(z) = ⅀_{n=0}^∞ a_nzⁿ$ une série entière de rayon de
convergence infini. Montrer l'équivalence entre les propriétés :

\indent 1: Pour tout $a > 0$, la fonction $z↦f(z)e^{-a|z|}$ est bornée sur
           $ℂ$.\par
\indent 2: $\root n\of{n!\,|a_n|} ⟶_{n→∞}0$.\par

On utilisera les formules de Cauchy (cf. exercice~\ref{Cauchy}).
\reponse{$2⇒1$ : évident.\par
         $1⇒2$ : Soit $a > 0$ et $M = \sup(|f(z)|e^{-a|z|})$.

         $a_n = \dfrac1{2π}∫_{θ=0}^{2π} \dfrac{f(Re^{iθ})}{Rⁿe^{inθ}}\,dθ
          ⇒ |a_n| ⩽ M\dfrac{e^{aR}}{Rⁿ} ⩽ M\inf\limits_{R>0}\dfrac{e^{aR}}{Rⁿ}
          = M\left(\dfrac{ea}n\right)ⁿ$.

          Donc $\root n\of{n!\,∥a_n∥}⩽\root n\of{n!}\dfrac{ea}n ⟶_{n→∞}a$. CQFD}

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\ex Centrale MP 2002

\qq Développer en série entière $f$ : $z↦ z(1-z)^{-2}$. Montrer que $f$
    est injective sur $\interieur D(0,1)$.
\reponse{$\dfrac z{(1-z)²} = ⅀_{n=1}^∞ nzⁿ$ ($R=1$).

    Pour $z,t∈ \interieur D(0,1)$ on a
    $\dfrac{z}{(1-z)²} - \dfrac{t}{(1-t)²} = \dfrac{(z-t)(1-zt)}{(1-z)²(1-t)²}$,
    quantité nulle si et seulement si $z=t$, d'où l'injectivité de
    $z↦\dfrac z{(1-z)²}$.}
\qq Soit $f(z)=z+⅀_{n=2}^{+∞} a_nzⁿ$ la somme d'une série entière de rayon de 
    convergence au moins $1$ à coefficients réels.
    On suppose $f$ injective sur $\interieur D(0,1)$
    et on veut prouver~: $∀n⩾1$, $|a_n|⩽ n$.

\sq Montrer pour $|z|<1$ que $f(z)∈ℝ⇔z∈ℝ$ et en déduire~:
    $\Im(z)⩾0 ⇒ \Im(f(z))⩾0$.
\reponse{$f(z)∈ℝ ⇔ f(z) = \overline{f(z)} = f(\overline z)
         ⇔ z=\overline z ⇔ z∈ℝ$.

Par injectivité, on en déduit que $\Im(f(z))$ garde un signe constant sur
chaque demi-disque limité par $]-1,1[$, et comme $f(z) = z + o_{z→0}(z)$,
ce signe est celui de~$\Im z$.}
\sq Pour $0<r<1$ calculer $∫_{t=0}^{π }\Im(f(re^{it}))\sin nt\,𝕕t$.
    En déduire  $|a_n|rⁿ⩽ n|a_1|r$ et conclure.
\reponse{$∫_{t=0}^{π }\Im(f(re^{it}))\sin nt\,𝕕t = \dfrac{π a_nrⁿ}2$.
On a $|\sin(nt)|⩽ n\sin(t)$ pour $0⩽t⩽π$ par récurrence,
donc $\dfrac{π |a_n|rⁿ}2 ⩽ n∫_{t=0}^{π }\Im(f(re^{it}))\sin t\,𝕕t
= \dfrac{nπ a_1r}2$.
On en déduit $|a_n|rⁿ⩽ n|a_1|r$ et on conclut $|a_n|⩽n$ en faisant tendre $r$
vers~$1$.}

\xe\titre{Divers}
                                %+----------+
                                %|  Divers  |
                                %+----------+
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\ex Anneau des séries entières

Soit $A$ l'ensemble des suites $(a_n)$ de complexes telles que
la série entière $⅀ a_nzⁿ$ a un rayon non nul.
On munit~$A$ de l'addition terme à terme et du produit de Cauchy noté $*$.

\qq Vérifier que $A$ est un anneau intègre. Quels sont les éléments de~$A$
    inversibles~?
\qq Soit $I_k =⦃a=(a_n)∈ A\tq a_0=…=a_k = 0⦄$.
    Montrer que les idéaux de~$A$ sont $⦃0⦄$, $A$ et les $I_k$, $k∈ℕ$.
\qq Soit $f(x) = 2-√{\dfrac{1-2x}{1-x}}$. Montrer que $f$ est développable
    en série entière sur $]-\frac12,\frac12[$ et que si $f(x) = ⅀_{n=0}^∞ u_nxⁿ$
    alors la suite $(u_n)$ vérifie la relation de récurrence~:
    $2u_{n+1} = 1 + ⅀_{k=1}ⁿ u_ku_{n+1-k}$.
\qq Soit $a=(a_n)∈ A$ avec $a_0=1$ et $|a_n|⩽ 1$ pour tout~$n$.
    Montrer qu'il existe une unique
    suite $b=(b_n)∈ A$ telle que $b_0 = 1$ et $b*b = a$.
    Pour prouver que le rayon de convergence de~$b$ est non nul
    on établira par récurrence que $|b_n| ⩽ u_n$.
\qq Pour $a∈ A$ quelconque, étudier l'équation $b*b = a$ d'inconnue~$b∈A$.

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\ex Ulm MP$^*$ 2000

Soit $z_1,…,z_p∈ ℂ$, $p_1,…,p_p ∈ ℝ⁺$ tels que $⅀_{i=1}^p p_i=1$, et $ω ∈ ℝ$.

Pour $n>p$ on pose $z_n=e^{iω}⅀_{j=1}^p z_{n-j}p_j$.
Étudier la suite $(z_n)$.
\reponse{On pose, sous réserve de convergence,
$f(t) = ⅀_{n=1}^∞ z_ntⁿ$. Alors~:
$$f(t)
=⅀_{n=1}^p z_ntⁿ + ⅀_{j=1}^pe^{iω}p_j⅀_{n=p+1}^∞ z_{n-j}tⁿ
=⅀_{n=1}^p z_ntⁿ + ⅀_{j=1}^pe^{iω}p_jt^j\Bigl(f(t)-⅀_{n=1}^{p-j} z_ntⁿ\Bigr)
$$
soit~:
$$\Bigl(1-⅀_{j=1}^pe^{iω}p_jt^j\Bigr)f(t) = P(t)f(t)
= ⅀_{n=1}^p z_ntⁿ - ⅀_{j=1}^pe^{iω}p_jt^j⅀_{n=1}^{p-j} z_ntⁿ
=Q(t),$$
donc $f(t) = Q(t)/P(t)$. Réciproquement, soit $Q(t)/P(t) = ⅀_{n=1}^∞ a_ntⁿ$~:
en remontant les calculs précédents on voit que $(a_n)$ vérifie la même
relation de récurrence que~$(z_n)$ avec les mêmes premiers termes d'où
$z_n = a_n$ pour tout~$n$.
\smallskip
Si $|t|<1$ alors $\Bigl|⅀_{j=1}^pe^{iω}p_jt^j\Bigr|<1$
donc $P$ n'a pas de racine dans le disque unité ouvert.
Si $P$ n'a pas non plus de racine sur le cercle unité alors le développement
en série entière de $Q(t)/P(t)$ a un rayon $>1$ et $z_n⟶_{n→∞}0$.
Si $P$ admet des racines dans~$𝕌$ on peut déja dire que la suite $(z_n)$
est bornée par $\max(|z_1|,…,|z_p|)$ puis…~?
}

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\ex X MP$^*$ 2001

Soit $D$ le disque ouvert de~$ℂ$ de centre~$0$ et rayon~$1$.

\qq Soit $φ(z) = ⅀_{n∈ℕ}a_nzⁿ$ une série entière de rayon $R⩾ 1$
    et $r∈{]0,1[}$.
    Montrer que $$a_n = \dfrac1{2π rⁿ}∫_{θ=0}^{2π}φ(re^{iθ})e^{-inθ}\,𝕕θ.$$

\qq Soit $E$ l'ensemble des fonctions de~$\overline D$ dans~$ℂ$ continues
    et dont la restriction à~$D$ est somme d'une série entière. Montrer que
    $f↦∥f∥ = \sup⦃|f(z)|,\ z∈\overline D⦄$ définit une norme sur~$E$ et
    que pour cette norme $E$ est complet.
    \reponse{Complétude~: soit $(f_k)$ une suite d'éléments de~$E$ de Cauchy,
    $f_k(z) = ⅀_{n∈ℕ}a_{n,k}zⁿ$. On a à $k$ et $n$ fixés, par convergence
    dominée~:
    $$\dfrac1{2π}∫_{θ=0}^{2π}f_k(e^{iθ})e^{-inθ}\,𝕕θ
      = \lim_{r→ 1⁻}\dfrac1{2π rⁿ}∫_{θ=0}^{2π}f_k(re^{iθ})e^{-inθ}\,𝕕θ
      = a_{n,k}.$$
    La suite $(f_k)$
    converge uniformément sur~$\overline D$ vers une fonction
    $φ:{\overline D}→ℂ$ continue. On note~:
    $$a_n = \dfrac1{2π}∫_{θ=0}^{2π}φ(e^{iθ})e^{-inθ}\,𝕕θ
          = \lim_{k→∞} a_{n,k}.$$
    La suite $(a_n)$ est bornée, donc le rayon de convergence de $⅀_{n∈ℕ}a_nzⁿ$
    est supérieur ou égal à~$1$. Pour $z∈D$ fixé on a alors~:
    $$\eqalign{f_k(z)
        &= ⅀_{n∈ℕ}a_{n,k}zⁿ
         = \dfrac1{2π}∫_{θ=0}^{2π}\Bigl(⅀_{n∈ℕ}f_k(e^{iθ})e^{-inθ}zⁿ\Bigr)\,𝕕θ
         = \dfrac1{2π}∫_{θ=0}^{2π}\dfrac{f_k(e^{iθ})}{1-ze^{-iθ}}\,𝕕θ\cr
        &⟶_{k→∞}\dfrac1{2π}∫_{θ=0}^{2π}\dfrac{φ(e^{iθ})}{1-ze^{-iθ}}\,𝕕θ
         = \dfrac1{2π}∫_{θ=0}^{2π}\Bigl(⅀_{n∈ℕ}φ(e^{iθ})e^{-inθ}zⁿ\Bigr)\,𝕕θ
         = ⅀_{n∈ℕ}a_nzⁿ\cr
    }$$
    ce qui prouve que $φ∈ E$. Enfin on a $∥f_k-φ∥ ⟶_{k→∞}0$
    par convergence uniforme, d'où $φ = \lim_{k→∞}f_k$ dans~$E$.
    }

\qq Montrer que l'ensemble des polynômes à coefficients complexes est dense
    dans~$E$.
    \reponse{Soit $f∈ E$ et $f_n(z) = f\Bigl(\dfrac{nz}{n+1}\Bigr)$.
    Comme $f$ est uniformément continue, $f_n$ converge uniformément vers~$f$
    sur $\overline D$. Soit $ε>0$ et $n$ tel que $∥f-f_n∥_∞ ⩽ ε$.
    Comme $f_n$ est développable en série entière avec un rayon au moins égal
    à $1+\dfrac1n$,
    son développement converge uniformément vers~$f_n$ sur $\overline D$ donc
    il existe $P∈ℂ[X]$ tel que $∥f_n-P∥_∞ ⩽ ε$.}

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\ex Polynômes, Centrale 2013

Soit $⅀a_nz^n$ de rayon $R$ et $f(z)=⅀_{n=0}^∞a_nz^n$.
\qq Soit $0⩽r<R$. Calculer en fonction de $a_n,r$ et $n$ l'intégrale
    $∫_{θ=0}^{2π}f(re^{iθ})e^{-inθ}\,𝕕θ$.
\reponse{$∫_{θ=0}^{2π}f(re^{iθ})e^{-inθ}\,𝕕θ
         =∫_{θ=0}^{2π}⅀_{k=0}^∞a_kr^ne^{i(k-n)θ}\,𝕕θ$.
         Pour tout $θ∈[0,2π]$, $|a_kr^n e^{i(k-n)θ}|⩽|a_n|r^n$ qui est le terme
         général d'une série convergente. La série de fonctions (de la
         variable~$θ$) converge donc normalement sur $[0,2π]$.
         On a donc $∫_{θ=0}^{2π}f(re^{iθ})e^{-inθ}\,𝕕θ
         =⅀_{k=0}^∞a_kr^k∫_{θ=0}^{2π}e^{i(k-n)θ}\,𝕕θ=2πa_nr^n$.}
\qqsq On suppose que $R=+∞$ et que $f$ est bornée sur $ℂ$.
      Montrer qu'alors $f$ est constante.
\reponse{On a, pour tout $n$, $2π|a_n|r^n⩽∫_{θ=0}^{2π}|f(re^{iθ})|\,𝕕θ⩽2π∥f∥_∞$.
         On divise par $r^n$ et on fait tendre $r$ vers l'infini.
         Il vient $a_n=0$ pour tout $n⩾1$ donc $f$ est constante.}
\sq On suppose qu'il existe $P∈ℝ[X]$ tel que, pour tout $z∈ℂ$,
    $|f(z)|⩽|P(z)|$. Montrer que $f$ est un polynôme.
\reponse{On pose $P(z)=⅀_{k=0}^db_kz^k$. On a, pour tous $r$ et $n$,
         $|a_n|r^n⩽⅀_{k=0}^d|b_k|r^k$. Pour $n⩾d+1$ on divise par $r^n$
         et on fait tendre $r$ vers $+∞$. Il vient $a_n=0$ et
         $f$ est un polynôme.}
\qqsq On suppose que les $a_n$ sont réels. Montrer que $⅀a_n²r^{2n}$
      est convergente et exprimer sa somme en fonction de $f$.
\reponse{$∫_{θ=0}^{2π}|f(re^{iθ})|²𝕕θ
         =∫_{θ=0}^{2π}⅀_{n,p∈ℕ}a_n\overline{a_p}r^{n+p}e^{i(n-p)θ}\,𝕕θ
         =2π⅀_{n∈ℕ}|a_n|²r^{2n}$.}
\sq On suppose que $R⩾1$, que pour tout $n$, $a_n∈ℤ$ et que $f$ est bornée
    sur le disque unité ouvert. Montrer que $f$ est un polynôme.
\reponse{Soit $M$ tel que, pour tout $|z|<1$, $|f(z)|⩽M$.

         Pour tout $n$, pour tout $r<1$ on a
         $⅀_{k=0}^n a_k²r^{2k}⩽⅀_{k=0}^∞a_k²r^{2k}⩽M²$. On peut faire tendre 
         $r$ vers $1$ et en déduire que, pour tout $n$,
         $⅀_{k=0}^na_k²⩽M²$. On en déduit que la série $⅀a_k^2$ converge.
         En particulier la suite $a_k$ converge vers $0$.
         Or c'est une suite d'entiers donc elle est nulle à partir d'un
         certain rang, ce qui montre que $f$ est un polynôme.}
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\bye

