\input exos
\fiche{Séries numériques}


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\ex Étude de convergence

Étudier la convergence des séries de terme général~:
\def\qq{\global\advance\qqnum1\hbox to7mm{\hfil\bf\the\qqnum) }\ignorespaces}
\halign{&\hskip\leftskip\qq#\hfil\cr
%
 $\left(1+\dfrac 1n\right)ⁿ - e$.
 \reponse{$\sim -\dfrac e{2n} ⇒$ DV.}
%
&$\ch^α n - \sh^α n$.
 \reponse{$\sim \dfrac α{2^{α-1}}e^{n(α-2)} ⇒$
          CV ssi $α < 2$.}
%
&$2\ln(n³+1) - 3\ln(n²+1)$.
 \reponse{$\sim -\dfrac 3{n²} ⇒$ CV.}
\cr
 $\root n\of{n+1} - \root n\of n$.
 \reponse{$\sim \dfrac 1{n²} ⇒$ CV.}
%
&$\arccos\left(\dfrac {n³+1}{n³+2} \right)$.
 \reponse{$\sim √{\dfrac 2{n³}} ⇒$ CV.}
%
&$\dfrac {aⁿ}{1+a^{2n}}$.
 \reponse{cv ssi $|a| \ne 1$.}
\cr
 $\dfrac{(-1)ⁿ}{√{n²+n}}$.
 \reponse{Série alternée $⇒$ CV.}
%
&$\dfrac{(-1)ⁿ}{\ln n}$.
 \reponse{Série alternée $⇒$ CV.}
%
&$\dfrac{1+(-1)ⁿ√n}n$.
 \reponse{Harmonique + alternée $⇒$ DV.}
\cr
 $\dfrac{2.4.6…(2n)}{nⁿ}$.
 \reponse{d'Alembert $⇒$ CV.}
%
&$\dfrac{1!+2!+…+n!}{(n+2)!}$.
 \reponse{$⩽\dfrac{(n-1)(n-1)!+n!}{(n+2)!}⩽\dfrac 2{(n+1)(n+2)} ⇒$ CV.}
%
&$\dfrac{1!-2!+…\pm n!}{(n+1)!}$.
 \reponse{$= \dfrac{(-1)^{n-1}}{n+1} + O\Bigl(\dfrac1{n²}\Bigr) ⇒$ CV.}
\cr
 $\dfrac{(-1)ⁿ}{\ln n + \sin(2nπ/3)}$.
 \reponse{Décomposition en 3 séries alternées $⇒$ CV.}
%
&$√{1+\dfrac{(-1)ⁿ}{√n}}-1$.
 \reponse{$=\dfrac{(-1)ⁿ}{2√n} - \dfrac1{8n} + O(n^{-3/2}) ⇒$ DV.}
%
&$\dfrac{(-1)ⁿ}{√n + (-1)ⁿ}$.
 \reponse{Regroupement de termes $⇒$ DV.}
\cr
 $\dfrac{(-1)^{[√n\,]}}n$.
 \reponse{Regroupement par paquets + CSI $⇒$ CV.}
%
&$\dfrac{(\ln n)ⁿ}{n^{\ln n}}$.
 \reponse{\hbox to 0pt{\hskip 3mm$/$\hss} $\longrightarrow 0⇒$ DV.}
%
&$\dfrac1{(\ln n)^{\ln n}}$.
 \reponse{$= \dfrac1{n^{\ln\ln n}} ⇒$ CV.}
\cr}

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\ex Centrale PC 1999

Soit la suite de terme général~:
$u_n = (n⁴+n²)^{1/4}-P(n)^{1/3}$ où $P$ est un polynôme.
A quelle condition sur~$P$ la série $⅀u_n$ converge-t-elle~?
\reponse{$P(n) = n³+\frac34n+C$.}

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\ex Ensi PC 1999

Quelle est la nature de la série de terme général
$\ln\Bigl(1+\dfrac{(-1)ⁿ}{√{n(n+1)}}\Bigr)$~?
\reponse{$=\dfrac{(-1)ⁿ}{√{n(n+1)}}+O\Bigl(\dfrac1{n²}\Bigr) ⇒$ converge.}

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\ex Mines MP 2000

Soit $α>0$. Étudier la série $⅀u_n$, avec 
$u_n=\dfrac{(-1)ⁿ}{√{n^{α}+(-1)ⁿ}}.$
\reponse{\smallskip$u_n = \dfrac{(-1)ⁿ}{n^{α/2}}-\dfrac1{2n^{3α/2}}
+ o\Bigl(\dfrac1{n^{3α/2}}\Bigr)$,
il y a convergence ssi $α>\frac23$.}

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\ex Mines MP 2003
Si $α>0$, donner la nature des séries $⅀_{n⩾2}\dfrac{(-1)ⁿ}{(-1)ⁿ+n^α}$,
$⅀_{n⩾2}\ln\Bigl(1+\dfrac{(-1)ⁿ}{n^α}\Bigr)$ et $⅀_{n⩾2}\dfrac1{n\ln n}$.
\reponse{Effectuer un développement asymptotique pour les deux premières. Elles convergent si et seulement si $α>\frac12$.
La troisième diverge par comparaison série-intégrale.}

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\ex Ensi PC 1999

Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que
$\dfrac{u_{2n+1}}{u_{2n}}⟶_{n→∞} a$ et
$\dfrac{u_{2n}}{u_{2n-1}}⟶_{n→∞} b$.
Étudier la convergence de $⅀u_n$.
\reponse{%
$\dfrac{u_{2n+1}}{u_{2n-1}}⟶_{n→∞} ab$ et
$\dfrac{u_{2n}}{u_{2n-2}}⟶_{n→∞} ab$ donc il y a convergence
si $|ab| < 1$.}

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\ex Encadrement

Soient $⅀u_n$, $⅀v_n$, $⅀w_n$ trois séries réelles telles que
$⅀u_n$ et $⅀w_n$ convergent, et
${u_n⩽v_n⩽w_n}$ pour tout~$n$. Montrer que $⅀v_n$ converge.

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\ex Calcul approché

Montrer que la série $⅀_{n=1}^∞ \Bigl(n\sin(0.4/n)\Bigr)ⁿ$ converge.
Calculer à la machine une valeur approchée à $10^{-8}$ près de sa somme.
\reponse{$n=21$, $S \approx 0.65314389$.}

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\ex Ensi MP 2002
On suppose que la série à termes positifs de terme général $u_n$ est divergente
et on pose $S_n=⅀_{k=0}ⁿ u_k$.

Soit $f:ℝ⁺→ℝ⁺$ une application continue décroissante.
Comparer les énoncés~:

1. $f$ est intégrable

2. La série de terme général $u_nf(S_n)$ converge.
\reponse{$1⇒2$ par comparaison série-intégrale.
         Contre-exemple pour $2\not⇒1$~:
         $u_n = e^{(n+1)²}-e^{n²}$,
         $S_n = e^{(n+1)²}-1$, $f(t)=\dfrac1{(t+2)\ln(t+2)}$.}

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\ex Centrale P' 1996

Montrer que la série $⅀_{n=1}^∞ \dfrac{n²}{(1+n²)²}$ converge.
Calculer une valeur approchée à $10^{-4}$ près de sa somme.
\reponse{$\dfrac{n²}{(n²+1)²}-\dfrac{1}{n²-1}
         = -\dfrac{3n²+1}{(n²+1)²(n²-1)}⩾-\dfrac{4}{n⁴}$ pour
         $n⩾3$.

Donc $S = ⅀_{n=1}ⁿ \dfrac{n²}{(n²+1)²}
        + ⅀_{n=N+1}^∞ \dfrac{1}{n²-1} + R_N$ avec
     $-\dfrac{4}{3N³}⩽R_N⩽0$ et

     $⅀_{n=N+1}^∞ \dfrac{1}{n²-1} = \dfrac{N+\frac12}{N(N+1)}$.

Pour $N=25$ on obtient~: $0.76981 < S < 0.76990$.}

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\ex ${\bin{2n}n}/{n4ⁿ}$

L'une au moins des deux séries : $⅀\dfrac{\bin{2n}n}{n4ⁿ}$ et
$⅀\dfrac{n4ⁿ}{\bin{2n}n}$ diverge. Dire pourquoi et dire laquelle.


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\ex $1/(1+n²u_n)$, Mines-Ponts MP 2005

Soit $(u_n)$ une suite réelle positive et $v_n = \dfrac1{1+n²u_n}$.
Montrer que $⅀u_n$ converge $⇒ ⅀v_n$ diverge.
Étudier le cas où $⅀u_n$ diverge.

\reponse{Si $⅀u_n$ et $⅀v_n$ convergent alors $n²u_n⟶_{n→∞}∞$
         donc $u_nv_n \sim 1/n²$. Alors les suites $(√{u_n})$ et $(√{v_n})$
         sont de carrés sommables tandis que la suite $(√{u_nv_n})$
         n'est pas sommable, c'est absurde.
         \medskip
         Si $⅀u_n$ diverge on ne peut rien dire~: avec $u_n=1$ on a $⅀v_n$
         convergente tandis qu'avec $u_n=\dfrac1{n}$ on a $⅀v_n$ divergente.}

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\ex ${a_n}/{(1+a₁)(1+a₂)…(1+a_n)}$

Soit $(a_n)$ une suite réelle positive.
On pose $u_n = \dfrac {a_n}{(1+a₁)(1+a₂)…(1+a_n)}$.

\qq Montrer que la série $⅀u_n$ converge.
    \reponse{$u₁ + … + u_n = 1 - \dfrac1{(1+a₁)…(1+a_n)}⩽1$.}
\qq Calculer $⅀_{n=1}^∞ u_n$ lorsque $a_n = \dfrac 1{√n}$.
    \reponse{$\ln\bigl((1+a₁)…(1+a_n)\bigr)
              = ⅀_{k=1}ⁿ \ln\left(1+\dfrac1{√k}\right)
              ⟶_{n→∞} +∞ ⇒ ⅀u_n = 1$.}

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\ex $1/a^{\text{nb de chiffres de }n}$

Pour $n∈ℕ^*$ on note $p_n$ le nombre de chiffres de l'écriture décimale
de $n$ (sans zéros inutiles).
Soit $a > 0$. Étudier la convergence et déterminer la somme éventuelle
de la série $⅀_{k=1}^∞ \dfrac1{a^{p_k}}$.
\reponse{Regroupement de termes par valeur constante de $p_k$
         $⇒ ⅀_{k=1}^∞ \dfrac1{a^{p_k}}
         = ⅀_{p=1}^∞ \dfrac{10^p-10^{p-1}}{a^p}
         = \dfrac{9}{a-10}$.}

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\ex Cauchy-Schwarz

Soient $(u_n)$, $(v_n)$ deux suites réelles telles que $⅀u_n²$
et $⅀v_n²$ convergent.

\qq Montrer que $⅀u_nv_n$ converge.
\qq Montrer que $⅀(u_n+v_n)²$ converge et :
    $√{⅀(u_n+v_n)²}⩽√{⅀u_n²} + √{⅀v_n²}$.

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\ex ${(-1)ⁿ}/(n^{3/4}+\cos n)$

Soit $u_n = \dfrac{(-1)ⁿ}{n^{3/4}+\cos n}$.

\qq La série $⅀u_n$ est-elle absolument convergente ?
\qq En écrivant $u_n = \dfrac{(-1)ⁿ}{n^{3/4}} + v_n$, étudier la convergence
    de $⅀u_n$.
    \reponse{$|v_n| = O(n^{-3/2}) ⇒$ CV.}


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\ex Reste d'une série alternée

On pose $u_n = ⅀_{k=n}^∞ \dfrac {(-1)^k}{√{k+1}}$.
Étudier la convergence de la série $⅀u_n$.
\reponse{Série alternée.}

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\ex Calcul de sommes

Calculer les sommes des séries suivantes~:
\def\qq{\global\advance\qqnum1\hbox to7mm{\hfil\bf\the\qqnum) }\ignorespaces}
\halign{&\hskip\leftskip\qq#\hfil\cr
%
 $⅀_{k=2}^∞ \dfrac 1{k²-1}$.
 \reponse{$\dfrac 34$.}
%
&$⅀_{k=1}^∞ \dfrac 1{k(k+1)(k+2)}$.
 \reponse{$\dfrac 14$.}
%
&$⅀_{k=1}^∞ \dfrac 1{k(k+1)…(k+p)}$.
 \reponse{$S_p - (p+1)S_{p+1} = S_p - \dfrac 1{(p+1)!}⇒
          S_p=\dfrac 1{pp!}$.}
\cr
 $⅀_{k=0}^∞ \dfrac 1{k³+8k²+17k+10}$.
 \reponse{$\dfrac{23}{144}$.}
%
&$⅀_{k=1}^∞ \ln\left(1+\dfrac2{k(k+3)}\right)$.
 \reponse{$\ln 3$.}
%
&$⅀_{k=2}^∞ \ln\left(1-\dfrac1{k²}\right)$.
 \reponse{$-\ln 2$.}
\cr
 $⅀_{k=0}^∞ \ln\left(\cos\dfracα{2^k}\right)$.
 \reponse{$\ln\left(\dfrac{\sin2α}{2α}\right)$.}
%
&$⅀_{k=0}^∞ 2^{-k}\tan(2^{-k}α)$.
 \reponse{$\dfrac1α-2\cotan(2α)$.}
%
&$⅀_{k=0}^∞ \dfrac{2k³-3k²+1}{(k+3)!}$.
 \reponse{$109 - 40e$.}
\cr
 $⅀_{n=p}^∞ \bin np xⁿ$.
 \reponse{$\dfrac{x^p}{(1-x)^{p+1}}$ pour $|x|<1$ par récurrence.}
%
&$⅀_{k=1}^∞ \dfrac{x^k}{(1-x^k)(1-x^{k+1})}$.
 \reponse{$\dfrac x{(1-x)²}$ si $|x| <1$,
          $\dfrac 1{(1-x)²}$ si $|x| > 1$.}
%
&$⅀_{k=1}^∞ \dfrac{k-n[k/n]}{k(k+1)}$.
 \reponse{$S_n = ⅀_{q=0}^∞⅀_{r=1}^{n-1}
                       \dfrac r{(qn+r)(qn+r+1)}
                  = ⅀_{q=0}^∞⅀_{r=1}^{n-1}
                       \dfrac r{qn+r} - \dfrac r{qn+r+1}$.
                  \par
             $S_n = ⅀_{q=0}^∞ \left(\dfrac 1{qn+1}
                       + … + \dfrac 1{qn+n} - \dfrac 1{q+1}\right)
                  = \lim_{N→∞}\left(⅀_{k=1}^{(N+1)n} \dfrac 1k
                       - ⅀_{k=1}^{N+1} \dfrac 1k \right)
                  = \ln n$.}
\cr}

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\ex 

Convergence et somme de la série de terme général
$u_n=\dfrac{\strut⎣√{n+1}⎦-⎣√{n}⎦}n$.
\reponse{Si $n+1$ n'est pas un carré alors $u_n=0$ donc
$⅀_{n=1}^∞ u_n = ⅀_{k=2}^∞ u_{k²-1}
= ⅀_{k=1}^∞ \dfrac1{k²-1} = \dfrac34$.}

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\ex Chimie P 90

\qq Résoudre les équations différentielles :
    $y'' + 2y' + 2y = 0$, $y'' + 4y' + 4y = 2e^{-x}\cos x$.
    \reponse{$y = e^{-x}(a\cos x + b\sin x)$,
             $y = e^{-x}\sin x + e^{-2x}(cx+d)$.}
\qq Soit $f$ la solution commune.
    On définit la série de terme général
    $u_n = ∫_{x=nπ}^{(n+1)π} f(x)\,𝕕x$.
    Montrer que $⅀u_n$ converge et calculer sa somme.
    \reponse{$u_n = \dfrac{(-1)ⁿe^{-nπ}(e^π+1)}2$,
             $⅀_{n=0}^∞ u_n = \dfrac12$.}

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\ex $1/n²(n+1)²$

On admet que $⅀_{k=1}^∞ \dfrac1{k²} = \dfrac{π²}6$.
Calculer $⅀_{k=1}^∞ \dfrac 1{k²(k+1)²}$.
\reponse{$\dfrac{π²}3 - 3$.}

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\ex $1/(1²+2²+...+n²)$

On admet que $⅀_{k=1}^∞ \dfrac {(-1)^{k+1}}k = \ln 2$.
Montrer que la série $⅀_{k=1}^∞ \dfrac1{1² + 2² + … + k²}$ est
convergente et calculer sa somme.
\reponse{$\dfrac 1{1² + 2² + … + k²} = \dfrac 6k + \dfrac 6{k+1}
         - \dfrac {24}{2k+1}
         ⇒ s_n = 18 - 24⅀_{k=1}^{2n+1} \dfrac{(-1)^{k+1}}k
         + \dfrac 6{n+1} ⟶_{n→∞} 18 - 24\ln 2$.}

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\ex $\ln(n) + a\ln(n+1) + b\ln(n+2)$

Pour quelles valeurs de $a,b∈ℝ$ la série de terme général
$\ln(n) + a\ln(n+1) + b\ln(n+2)$ est-elle convergente~?
Calculer alors la somme de la série.
\reponse{$a=-2$, $b=1$, $S = -\ln 2$.}

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\ex $\arctan(1/(k²+k+1))$

Montrer que
$⅀_{k=0}^∞ \arctan\Bigl(\dfrac1{k²+k+1}\Bigr) = \dfrac π2$
(on pourra calculer $\tan s_n$).
\reponse{$\tan s_n = n+1$ par récurrence et
         $s_n⩽⅀_{k=0}^∞ \dfrac 1{k²+k+1}⩽1
         + ⅀_{k=0}^∞ \dfrac1{n(n+1)} = 2$.}

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\ex $\arctan(n+a) - \arctan n$

Soit $a∈ℝ$.

\qq Montrer que la série de terme général $\arctan(n+a) - \arctan n$ est
    convergente.
    \reponse{$\sim \dfrac a{n²}$.}
\qq On pose $S(a) = ⅀_{k=0}^∞ (\arctan(k+a) - \arctan k)$.
    Trouver $\lim_{a→+∞} S(a)$.
    \reponse{$S(a)⩾⅀_{k=0}ⁿ \arctan(k+a)-\arctan k ⟶_{a→+∞}
              \dfracπ2 + \arctan 1 + \arctan\dfrac12 + …
              + \arctan\dfrac1n
              ⇒ S(a) ⟶_{a→+∞} +∞$.}


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\ex Pile en porte à faux

Peut-on empiler 100 pièces de 1€ de sorte que la dernière soit complètement
en porte à faux ?
(cad que sa projection sur un plan horizontal ne rencontre pas la projection de
la première pièce)
\reponse{Le déport maximal entre la première pièce et la dernière pour une
pile de $n$ pièces est $\dfrac 12 + \dfrac 14 + … + \dfrac 1{2(n-1)}$
(en diamètre d'une pièce).
Il dépasse 1 pour $n > 4$.}

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\ex $⅀1/n$, Mines MP 2010
On définit $k_j = \min⦃k∈ℕ\tq ⅀_{n=1}^k1/n⩾j⦄$.

\qq Prouver l'existence de~$k_j$. Quelle est la limite de~$k_j$ lorsque
    $j$ tend vers l'infini~?
\qq Calculer $\lim_{j→∞}(k_{j+1}/k_j)$.
    \reponse{Lorsque $k→∞$ on a~: $⅀_{n=1}^k1/n=\ln(k)+γ+o(1)$,
             d'où $j⩽\ln(k_j)+γ+o(1)<j+1/k_j$.
             Ceci prouve que $\ln(k_j)=j-γ+o(1)$ et donc
             $k_{j+1}/k_j⟶_{j→∞}e$.}

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\ex Recherche d'équivalents

Par comparaison à une intégrale, donner un équivalent de :

\qq $⅀_{k=n+1}^{2n} \dfrac 1{√k}$. \reponse{$2(√2-1)√n$.}
\qq $⅀_{k=2}^{n} \dfrac 1{k\ln k}$.     \reponse{$\ln(\ln n)$.}



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\ex $\ln²(k)$

Par comparaison à une intégrale, donner un équivalent de
$u_n = ⅀_{k=1}ⁿ \ln²k $. La série de terme général $\dfrac1{u_n}$
est-elle convergente ?
\reponse{$u_n \sim n\ln² n ⇒$ CV.}


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\ex $k^{-2/3}$

Trouver la partie entière de $⅀_{k=1}^{10^9} k^{-2/3}$.
\reponse{2997.}

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\ex $(-1)^k√k$

On pose $u_n = ⅀_{k=1}^{2n} (-1)^k√k$. Donner un équivalent de $u_n$
quand $n→∞$
(regrouper les termes deux par deux puis comparer à une intégrale).
\reponse{$√{\dfrac n2}$.}

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\ex Constante d'Euler

Soit $f:ℝ⁺→ℝ⁺$ décroissante.
On pose $u_n = f(n)$ et $s_n = u₀ + … + u_n$.
\medskip
Montrer que la suite de terme général $s_n - ∫_{t=0}^{n+1} f(t)\,𝕕t$ est
convergente. Donner une interprétation graphique de ce fait.
\medskip
Application : On pose $γ = \lim_{n→∞}
\left(1 + \dfrac 12 + … + \dfrac 1n - \ln n\right)$.
Justifier l'existence de $γ$ et montrer que $\dfrac 12⩽γ⩽1$.

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\ex Constante d'Euler (Centrale MP 2003)
Soit $S_n = ⅀_{k=1}^{n-1}\dfrac1k - \dfrac1n - \ln n$ et
$T_n = ⅀_{k=1}^{n-1}\dfrac1k + \dfrac1n - \ln n$.
Les suites $(S_n)$ et $(T_n)$  sont-elles adjacentes~?
\reponse{%
$T_{n+1}-T_n = \dfrac1{n+1}-\ln\Bigl(\dfrac{n+1}n\Bigr)
            = \dfrac1{n+1} - ∫_{t=n}^{n+1}\dfrac{𝕕t}t < 0$

$S_{n+1}-S_n = \dfrac2n-\dfrac1{n+1}-\ln\Bigl(\dfrac{n+1}n\Bigr)
=\dfrac1n - ∫_{t=n}^{n+1}\Bigl(\dfrac1t-\dfrac1{t²}\Bigr)\,𝕕t > 0$.
}

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\ex Constante d'Euler, Mines-Ponts MP 2005

Soit $u_{n,k}$ le reste de la division du $n$ par $k$.
Quelle est la limite de $\dfrac1n⅀_{k=1}ⁿ\dfrac{u_{n,k}}k$~?

\reponse{$\dfrac{u_{n,k}}k = \dfrac nk - \bigl[\dfrac nk\bigr]$, donc
$v_n = \dfrac1n⅀_{k=1}ⁿ\dfrac{u_{n,k}}k$ est une somme de Riemann pour
$I = ∫_{t=0}¹ \Bigl(\dfrac1t - \bigl[\dfrac1t\bigr]\Bigr)\,𝕕t$.
La fonction $φ$ : $t↦\dfrac1t - \bigl[\dfrac1t\bigr]$ est Riemann-intégrable
sur $[0,1]$, donc $v_n⟶_{n→∞}I$.
\medskip
Calcul de~$I$~: $I_n = ∫_{t=1/n}¹ \Bigl(\dfrac1t - \bigl[\dfrac1t\bigr]\Bigr)\,𝕕t
                     = \ln n - ⅀_{k=1}ⁿ∫_{t=\frac1{k+1}}^{\frac1k}k\,𝕕t
                     = \ln n - ⅀_{k=1}ⁿ\dfrac1{k+1} ⟶_{n→∞} 1-γ = I$.}

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\ex Mines MP 2003
Soit la suite de terme général
$u_n = \dfrac{\ln 2}2 + \dfrac{\ln 3}3 + … + \dfrac{\ln n}n$.

\qq Donner un équivalent de~$u_n$ en~$+∞$.
    \reponse{Comparaison série-intégrale~: $u_n\sim\dfrac{\ln² n}2$.}
\qq Montrer que la suite de terme général~: $v_n = u_n - \dfrac{\ln²n}2$ est
    convergente.
    \reponse{Comparaison série-intégrale encore ($v_n$ est la somme des aires
             entre les rectangles aux points entiers et la courbe
             de~$t→\ln(t)/t$).}
\qq Soit $ℓ = \lim_{n→∞} v_n$. Donner un équivalent de~$v_n-ℓ$.
    \reponse{$v_n-ℓ = -⅀_{k=n}^∞\Bigl(∫_{t=k}^{k+1}\dfrac{\ln t}t\,𝕕t
                    - \dfrac{\ln(k+1)}{k+1}\Bigr) = -⅀_{k=n}^∞ w_k$
    avec $w_k\sim\dfrac{\ln k}{2k²}$.

    Donc
    $v_n-ℓ\sim-∫_{t=n}^{+∞}\dfrac{\ln t}{2t²}\,𝕕t\sim-\dfrac{\ln n}{2n}$.}

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\ex Centrale MP 2001

Donner un équivalent simple de $⅀_{k=0}^{n-1}\dfrac1{n²-k²}$.
\reponse{$⅀_{k=0}^{n-1}\dfrac1{n²-k²}
= \dfrac1{2n}⅀_{k=0}^{n-1}\Bigl(\dfrac1{n-k} + \dfrac1{n+k}\Bigr)
= \dfrac1{2n}\Bigl(⅀_{k=1}^{2n-1}\dfrac1k +\dfrac1n\Bigr)
\sim \dfrac{\ln n}{2n}$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex $1/n\ln²(n)$

\qq Prouver la convergence de la série de terme général
    $u_n = \dfrac1{n\ln² n}$.
\qq On note $S_n = ⅀_{k=2}ⁿ u_k$ et $S = ⅀_{k=2}^∞ u_k$.
    Montrer que $\dfrac1{\ln(n+1)}⩽S-S_n⩽\dfrac1{\ln n}$ pour $n⩾2$.
\qq Montrer que si $S_n$ est une valeur approchée de $S$ à $10^{-3}$ près
    alors $n > 10^{434}$.
\qq On suppose disposer d'une machine calculant un million de termes de la
    série par seconde avec 12 chiffres significatifs. Peut-on obtenir une valeur
    approchée de $S$ à $10^{-3}$ près ?
    (Rmq : 1 an $\approx$ 32 millions de secondes)
\qq Donner une valeur approchée de $S$ à $10^{-3}$ près.
    \reponse{$S_n + \dfrac1{\ln(n+1)}⩽S⩽S_n + \dfrac1{\ln n}$.
             Pour $n = 60$ : $2.06857 < S < 2.06956$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex $(x-1)ζ(x) → 1$

Pour $x > 1$ on note $ζ(x) = ⅀_{k=1}^∞ \dfrac 1{k^x}$.
En comparant $ζ(x)$ à une intégrale, trouver $\lim_{x→1⁺} (x-1)ζ(x)$.

%----------------------------------------------------------------------
\ex $u_n/(1+u_n)$

Soit $⅀u_n$ une série à termes positifs et $v_n = \dfrac{u_n}{1+u_n}$.
Montrer que $⅀u_n$ et $⅀v_n$ ont même nature.
\reponse{Si $u_n → 0$, alors $v_n \sim u_n$;
         sinon, $v_n\not→0$.}

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\ex Série des restes

\qq Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $⅀|u_n|$ et $⅀n|u_n|$ convergent.
    On note $v_n = ⅀_{k=n}^∞ u_k$.

    \sq Montrer que $nv_n ⟶_{n→∞} 0$.
    \sq Montrer que $⅀_{n=1}^∞ v_n = ⅀_{n=1}^∞ nu_n$.

\qq Application : Calculer lorsque c'est possible : $⅀_{k=1}^∞ kr^k$.
    \reponse{$\dfrac r{(1-r)²}$.}

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\ex X MP$^*$ 2001

Soit $(u_n)$ une suite réelle positive, $U_n=⅀_{i=0}ⁿ u_i$ et
$α>0$ un réel donné. On suppose $\dfrac{U_n}{nu_n}⟶_{n→∞} α$. 
Étudier la suite de terme général $\dfrac1{n²u_n}⅀_{k=0}ⁿ ku_k$.
\reponse{On remarque déjà que $⅀u_i$ diverge car
         $u_n\sim\dfrac{U_n}{nα}⩾\dfrac{U₁}{nα}$.
         On calcule $⅀_{k=0}ⁿ ku_k$ par parties~:
         $$⅀_{k=0}ⁿ ku_k = ⅀_{k=1}ⁿ k(U_k - U_{k-1}) = nU_n -⅀_{k=0}ⁿ U_k$$
         Comme $U_n\simα nu_n$, terme général strictement positif d'une
         série divergente,
         on a $⅀_{k=0}ⁿ U_k \sim α⅀_{k=0}ⁿ ku_k$ d'où~:
         $(1+α)⅀_{k=0}ⁿ ku_k\sim nU_n$ et~:
         $$\dfrac1{n²u_n}⅀_{k=0}ⁿ ku_k\sim \dfrac{nU_n}{(1+α)n²u_n}
         ⟶_{n→∞}\dfracα{1+α}.$$
}
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\ex $⅀nu_n$ converge

On considère une suite $(u_n)_{n⩾1}$ telle que la
série $⅀_{n⩾1} nu_n$ converge. Montrer que la série $⅀_{n⩾1} u_n$ converge.
\reponse{%
$S_n = ⅀_{k=0}ⁿ ku_k ⇒
⅀_{k=0}ⁿ u_k = ⅀_{k=1}^{n-1}\dfrac{S_k}{k(k+1)} - S₀ + \dfrac{S_n}n$.
}

%----------------------------------------------------------------------
\ex $(u_n)$ décroit

Soit $(u_n)_{n⩾1}$ une suite réelle positive décroissante telle que
$⅀u_n$ converge.

\qq Montrer que $nu_n ⟶_{n→∞} 0$
    (considérer $⅀_{k=n+1}^{2n} u_k$).
\qq Montrer que $⅀_{n=1}^∞ n(u_n - u_{n+1})$ converge et a même somme que
    $⅀_{n=1}^∞ u_n$.
\qq Application : calculer pour $0⩽r < 1$ :
    $⅀_{k=1}^∞ kr^k$ et $⅀_{k=1}^∞ k²r^k$.
    \reponse{%
    $kr^k = k(u_k - u_{k+1})$ avec $u_k = \dfrac{r^k}{1-r}$
    donc $⅀_{k=1}^∞ kr^k = ⅀_{k=1}^∞\dfrac{r^k}{1-r} = \dfrac r{(1-r)²}$.
    \par
    De même, $S_n = ⅀_{k=n}^∞ kr^k = \dfrac{(n-1)rⁿ}{1-r} +
     ⅀_{k=n}^∞\dfrac{r^k}{1-r} = \dfrac{nrⁿ}{1-r} + \dfrac{r^{n+1}}{(1-r)²}$.
    \medskip
    $k²r^k = k(S_k - S_{k+1})$ et $(S_k)$ décroît d'où

    $⅀_{k=1}^∞ k²r^k = ⅀_{k=1}^∞ S(k)
    = ⅀_{k=1}^∞ \Bigl(\dfrac{kr^k}{1-r}+\dfrac{r^{k+1}}{(1-r)²}\Bigr)
    = \dfrac{r+r²}{(1-r)³}$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex $u_n/S_n$

Soit $(u_n)$ une suite à termes strictement positifs convergeant vers~$0$.
On pose $S_n = ⅀_{k=0}ⁿ u_k$.

\qq Si la série $⅀u_n$ converge, que dire de la série
    $⅀\dfrac{u_n}{S_n}$ ?
\qq Si la série $⅀u_n$ diverge, montrer que la série
    $⅀\dfrac{u_n}{S_n}$ diverge aussi.

    On pourra considérer $p_n = ℿ_{k=1}ⁿ \left(1-\dfrac{u_k}{S_k}\right)$.

    \reponse{$p_n = \dfrac{u₀}{S_n} → 0$ donc la série de terme général
              $\ln\left(1-\dfrac{u_n}{S_n}\right)$ diverge.}

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\ex Polytechnique MP$^*$ 2000

On donne une suite de réels strictement positifs $(a_n)$, décroissante
et de limite nulle. Montrer que la série de terme général
$\dfrac{a_n-a_{n+1}}{a_n}$ diverge.
\reponse{Méthode des rectangles~:
$⅀_{k=0}ⁿ\dfrac{a_k-a_{k+1}}{a_{k+1}}⩾∫_{t=a_{n+1}}^{a₀}\dfrac{𝕕t}t ⟶_{k→∞}+∞$.

Si $a_k\sim a_{k+1}$ la série donnée diverge donc. Sinon, elle diverge
aussi car son terme général ne tend pas vers~$0$.
}

%----------------------------------------------------------------------
\ex $(u_n + u_{n+1} + … + u_{2n-1})/n$

Soit $⅀u_n$ une série à termes positifs.
On pose $v_n = \dfrac{ u_n + u_{n+1} + … + u_{2n-1} }n$.
Montrer que $⅀v_n$ a même nature que $⅀u_n$.

\reponse{$⅀_{n=1}ⁿ v_n = ⅀_{k=1}^{2N-1} u_k⅀_{k/2<n⩽k}\dfrac 1n
          ⇒ \dfrac12⅀_{k=1}^{2N-1} u_k⩽⅀_{n=1}ⁿ v_n⩽
              2⅀_{k=1}^{2N-1} u_k$.}

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\ex $⅀ku_k/n(n+1)$

Soit $(u_n)_{n⩾1}$ une suite positive.
On pose $v_n = \dfrac{1}{n(n+1)}⅀_{k=1}ⁿ ku_k$.
Montrer que les séries $⅀u_n$ et $⅀v_n$ ont même nature et
éventuellement même somme.
\reponse{$⅀_{k=1}ⁿ v_k + nv_n = ⅀_{k=1}ⁿ u_k$.\par
         Si $⅀u_n$ converge, $⅀v_n$ converge aussi (SP majorées) et
         $nv_n → ℓ ⇒ ℓ = 0$.\par
         Si $⅀u_n$ diverge et $⅀v_n$ converge, alors $nv_n → +∞$,
         contradiction.}

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\ex $⅀ku_k/n²$

Soit $⅀u_n$ une série à termes positifs convergente.

Étudier la convergence de la série de terme général
$v_n = \dfrac1{n²}⅀_{k=1}ⁿ ku_k$.
\reponse{$⅀_{k=1}ⁿ v_k = ⅀_{k=1}ⁿ ku_k⅀_{p=k}ⁿ \dfrac 1{p²}⩽
         ⅀_{k=1}ⁿ \dfrac{ku_k}{k-1} ⇒$ CV.}

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\ex Principe d'accumulation

Soit $(u_n)$ une suite réelle positive décroissante. On pose $v_n = 2ⁿu_{2ⁿ}$.
Montrer que les séries $⅀u_n$ et $⅀v_n$ ont même nature.
\reponse{$\dfrac12⅀_{k=1}^{n+1} v_k⩽⅀_{k=1}^{2^{n+1}} u_k⩽⅀_{k=0}ⁿ v_k$.}
\medskip
Applications :

-- Retrouver la convergence des séries de Riemann $⅀\dfrac1{n^α}$.\par

-- Étudier la convergence des séries de Bertrand~: $⅀\dfrac1{n(\ln n)^α}$.

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\ex $u_{n+1} = 1/{ne^{u_n}}$. Ensi P 90

Soit $(u_n)$ définie par : $u₁∈ℝ$, $u_{n+1} = \dfrac1{ne^{u_n}}$.
Quelle est la nature de la série $⅀u_n$ ?
\reponse{Pour $n > 2$, $u_{n+1} < \dfrac1n$
     donc $u_{n+2} > \dfrac1{(n+1)e^{1/n}} \sim \dfrac1n$ donc la série
     diverge.}

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\ex $x_{n+1} = x_n + x_n²$

Soit $(x_n)$ une suite définie par : $x₀ > 0$ et $∀n∈ℕ$, $x_{n+1} = x_n + x_n²$.

\qq Montrer que $x_n ⟶_{n→∞} +∞$.
\qq On pose $u_n = 2^{-n}\ln x_n$. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente
    (on étudiera la série $⅀u_{n+1}-u_n$).
\qq En déduire qu'il existe $α > 0$ tel que $x_n \sim α^{2ⁿ}$.

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\ex $u_{n+1} = u_n - u_n²$

On considère la suite $(u_n)$ définie par : $0 < u₀ < 1$
et $∀n∈ℕ$, $u_{n+1} = u_n - u_n²$.

\qq Montrer que la suite $(u_n)$ converge. Quelle est sa limite ?
\qq Montrer que la série de terme général $u_n²$ converge.
\qq Montrer que les séries de termes généraux
    $\ln\left(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\right)$ et $u_n$ divergent.
\qq Montrer que $u_n < \dfrac 1{n+1}$ et que la suite $(nu_n)$ est croissante.
    On note $ℓ$ sa limite.
\qq On pose $u_n = \dfrac{ℓ-v_n}n$. Montrer que la série de terme général
    $v_{n+1}-v_n$ converge.
\qq En déduire que $u_n$ est équivalent à $\dfrac 1n$.

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\ex $u_{n+1}/u_n = (n+a)/(n+b)$

Soit $(u_n)$ une suite définie par la donnée de $u₀∈ℝ^*$ et la
relation : $∀n∈ℕ$, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{n+a}{n+b}$
où $a$, $b$ sont deux constantes réelles ($-a,-b∉ℕ$).

\qq Montrer que $u_n$ est de signe constant à partir d'un certain rang.
\qq On pose $v_n = (n+b-1)u_n$. Étudier la convergence de la suite $(v_n)$
    (on introduira la série de terme général $\ln(v_{n+1})-\ln(v_n)$).
    \reponse{$\ln(v_{n+1})-\ln(v_n) = \ln\left(1+\dfrac{a-b+1}{n+b-1}\right) ⇒
             \cases{ \text{si } a-b+1 > 0, v_n→+∞ \cr
                     \text{si } a-b+1 = 0, v_n = \text{cste}\cr
                     \text{si } a-b+1 < 0, v_n→0.\cr }$}
\qq En déduire que la série $⅀u_n$ converge si et seulement si $a-b+1 < 0$
    et calculer sa somme en fonction de $a,b,u₀$.
    \reponse{$(n+b)u_{n+1} - (n+a)u_n = 0 ⇒
              (n+b)u_{n+1} + (b-a-1)⅀_{k=1}ⁿ u_k - au₀ = 0 ⇒
              ⅀_{k=0}^∞ u_k = \dfrac{(b-1)u₀}{b-a-1}$.}

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\ex 

On se donne $u₁$ et $a$ deux réels strictement positifs et l'on
définit par récurrence la suite $(u_n)$ par $u_{n+1}=u_n+\dfrac1{n^a u_n}…$
Étudiez la limite de la suite $(u_n)$, et, quand $a⩽1$, en donner un
équivalent.
\reponse{La suite $(u_n)$ est croissante donc tend vers $ℓ∈{]0,+∞]}$.
On a $ℓ$ fini si et seulement si la série télescopique
$⅀(u_{n+1}-u_n) = ⅀\dfrac1{n^au_n}$ est convergente, soit si et
seulement si $a>1$.
\medskip
Pour $a<1$ on a $u_{n+1}² = u_n² + \dfrac2{n^a} + o\Bigl(\dfrac2{n^a}\Bigr)$
donc $u_{n+1}²-u_n²\sim \dfrac2{n^a}$ et $u_n\sim√{\dfrac{2n^{1-a}}{1-a}}$
(sommation des relations de comparaison).

Pour $a=1$ on a de même $u_n\sim √{2\ln n}$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex $1/{k^α(n-k)^α}$

Soit $α > 0$.
On pose $u_n = ⅀_{k=1}^{n-1} \dfrac 1{k^α(n-k)^α}$.
Étudier la convergence de $⅀u_n$.
\reponse{$α > 1 ⇒ ⅀u_n$ cv et vaut $ζ(α)²$.\par
         $α < 1 ⇒ ⅀_{n=1}^{2N} u_n⩾
                         ⅀_{k=1}ⁿ \dfrac 1{k^α}
                     ⇒ ⅀u_n$ dv.}

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\ex Produit de Cauchy de trois séries

Soient $⅀a_n$, $⅀b_n$, $⅀c_n$ trois séries absolument convergentes
de sommes $A$, $B$, $C$.

On pose $u_n = ⅀_{i+j+k=n} a_ib_jc_k$. Montrer que $⅀u_n = ABC$.


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\ex Produit de séries géométriques

Soient $a∈{[0,1[}$. Écrire $\dfrac1{(1-a)²}$ comme produit de deux
séries. En déduire la somme de la série $⅀_{k=0}^∞ ka^k$.
Calculer par la même méthode $⅀_{k=0}^∞ k²a^k$.
\reponse{$\dfrac{a}{(1-a)²}$ et $\dfrac{a+a²}{(1-a)³}$.}

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\ex Produit de séries géométriques

Pour $n∈ℕ$ on note $T_n$ le nombre de manières de décomposer
$n$ euros avec des pièces de 1€ et 2€ et des billets de 5€ et 10€
($T₀ = 1$).
Montrer que :
$∀x∈{[0,1[}$, $⅀_{k=0}^∞ T_kx^k = \dfrac1{(1-x)(1-x²)(1-x^5)(1-x^{10})}$.

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\ex $⅀u_k/2^{n-k}$

Soit $⅀u_n$ une série convergente.
On pose $v_n = \dfrac{u_n}{1} + \dfrac{u_{n-1}}{2} + … + \dfrac{u₀}{2ⁿ}$.

\qq Montrer que $v_n ⟶_{n→∞} 0$.
    \reponse{Césaro.}
\qq Montrer que $⅀v_n$ converge et donner sa valeur.
    \reponse{$v₀ + v₁ + … + v_n = 2(u₀ + u₁ + … + u_n) - v_n$.}

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\ex $⅀a_n/n^p = 0$

Soit $(a_n)$ une suite bornée telle que pour tout entier $p⩾2$ :
$⅀_{n=1}^∞ \dfrac{a_n}{n^p} = 0$.

Montrer que : $∀n∈ℕ^*,\ a_n = 0$.
\reponse{$|a_n|⩽M ⇒ \left|⅀_{n=2}^∞ \dfrac {a_n}{n^p} \right|
       ⩽M⅀_{n=2}^∞ \dfrac 1{n^p}
       ⩽M∫_{t=1}^∞ \dfrac{𝕕t}{t^p}
        = \dfrac M{p-1} ⇒ a₁ = 0$.}

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\ex $⅀x_{kn} = 0$

Soit $⅀_{n⩾1} x_n$ une série absolument convergente telle que
pour tout entier $k⩾1$ on a $⅀_{n=1}^∞ x_{kn} = 0$.

Montrer que : $∀n∈ℕ^*,\ x_n = 0$.
\reponse{Démonstration pour $x₁$ :
$⅀x_n = 0$, $⅀x_{2n} = 0 ⇒ ⅀_{n\text{ impair}} x_n = 0$.
On retire les multiples impairs de 3 ($⅀x_{3n} - ⅀x_{6n} = 0$)
$⇒ ⅀_{n∧6=1} x_n = 0$.
On retire les multiples restants de $5,7,…$
On obtient ainsi une suite $(s_p)_{p \text{ premier}}$ nulle qui converge vers
$x₁$, donc $x₁ = 0$.\par
Peut-on se passer de la convergence absolue ?}

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\ex Césaro

\qq Soient $k,p∈ℕ$ avec $k⩽p$.
    Montrer que $⅀_{n=k}^p \dfrac{{\bin nk}-\bin n{k+1}}{2ⁿ}
    = \dfrac{\bin{p+1}{k+1}}{2^p}$.
    \reponse{récurrence sur $p$.}
\qq Soit $(u_n)$ une série convergente.
    On pose $v_n = \frac1{2ⁿ} ⅀_{p=0}ⁿ \bin npu_p$.
    Montrer que la série $(v_n)$ est convergente.
\reponse{Transformation d'Abel et interversion de sommations :
         $⅀_{n=0}^p v_n
         = ⅀_{k=0}^p \dfrac{\bin{p+1}{k+1}}{2^p}⅀_{n=0}^k u_n$.
         \par Thm de Césaro $⇒ ⅀v_n = 2⅀u_n$ .}

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\ex $nu_n→0$

Soit $(u_n)$ une série convergente à termes positifs décroissants.

\qq Montrer que $nu_n⟶_{n→∞} 0$.
    \reponse{$nu_{2n}⩽⅀_{k=n+1}^{2n} u_k$,
             $nu_{2n+1}⩽⅀_{k=n+2}^{2n+1} u_k$.}
\qq Montrer que $⅀_{u_k⩾1/n} \dfrac 1{u_k} = o(n²)$.
    \reponse{$ε > 0$ : Pour $k$ suffisament grand,
             $u_k⩽\dfrac ε k$,
             donc $u_k⩾\dfrac 1n ⇒ k⩽nε$.
             Alors $⅀_{u_k⩾1/n} \dfrac 1{u_k}⩽n²ε + Kn$.}

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\ex $u_n/R_n^p$

Soit $(a_n)$ une série positive convergente, $A = ⅀_{k=0}^∞ a_k$,
$R_n = ⅀_{k=n}^∞ a_k$ et $p∈{]0,1[}$.

\qq Montrer qu'il existe $C_p∈ℝ$ tel que
    $⅀_{n=0}^∞ a_n/R_n^p⩽C_p A^{1-p}$.
    \reponse{TAF : $∃x_n∈{[R_{n+1},R_n]} \tq
             R_n^{1-p} - R_{n+1}^{1-p} = (1-p) \dfrac {R_n-R_{n+1}}{x_n^p}
            ⩾(1-p) \dfrac {a_n}{R_n^p}$.
             Donc, $⅀_{n=0}^{∞} \dfrac {a_n}{R_n^p}⩽
             \dfrac {A^{1-p}}{1-p}$.}
\qq Trouver la meilleure constante $C_p$.
    \reponse{C'est $\dfrac 1{1-p}$ : Pour $a_n = kⁿ$,
             $A^{p-1}⅀_{n=0}^{∞} \dfrac {a_n}{R_n^p}
             = \dfrac {1-k}{1-k^{1-p}} ⟶_{k→1⁻} \dfrac 1{1-p}$.}

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\ex $u_{n+1} = u_n + {a_n}/{u_n}$

Soit $(a_n)$ une suite réelle positive et $(u_n)$ la suite
définie par la relation de récurrence~:
$u_{n+1} = u_n + \dfrac{a_n}{u_n}$ avec $u₀ > 0$.
Montrer que la suite $(u_n)$ converge si et seulement si la série $⅀a_n$
converge.

\reponse{$(u_n)$ est croissante. Si la suite $(u_n)$ converge alors
         $a_n = u_n(u_{n+1} - u_n)⩽M(u_{n+1} - u_n)$ donc les sommes
         partielles de $⅀a_n$ sont bornées.\par
         Si $⅀a_n$ converge, alors $u_{n+1} - u_n = \dfrac{a_n}{u_n}
         ⩽\dfrac{a_n}{u₀}$ donc $⅀(u_{n+1}-u_n)$ converge.}

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\ex Raabe-Duhamel

Soit $(u_n)$ une suite réelle positive telle que
$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 1 - \dfracα n + O\left(\dfrac 1{n²}\right)$.
Montrer qu'il existe $A > 0$ tel que $u_n\sim \dfrac A{n^α}$.

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\ex Stirling$++$

Montrer que $n! = \left(\dfrac ne\right)ⁿ√{2πn}\left(1+\dfrac 1{12n} +  O\left(\dfrac 1{n²}\right)\right)$.

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\ex Développement factoriel

Soit $𝓢$ l'ensemble des suites croissantes d'entiers $(q_i)$ telles que
$q₀⩾2$.

\qq Si $s = (q_i)∈𝓢$, montrer que la série
$⅀_{k=0}^∞ \dfrac1{q₀… q_k}$ converge. On note $Φ(s)$ sa somme.

\qq Montrer que l'application $Φ:𝓢→]0,1]$ est bijective.
\qq Soit $s = (q_i)∈𝓢$. Montrer que $Φ(s)∈ℚ$ si et seulement
    si $s$ est stationnaire.

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\ex Développement asymptotique

\qq Montrer qu'il existe $C∈ℝ$ tel que
    $⅀_{k=1}ⁿ \dfrac{\ln k}k = \dfrac12\ln²(n) + C + o(1)$.
\qq Prouver~: $\dfrac{\ln2}2 - ∫_{t=1}³\dfrac{\ln t}t\,𝕕t⩽C⩽
               \dfrac{\ln2}2 + \dfrac{\ln3}3 - ∫_{t=1}³\dfrac{\ln t}t\,𝕕t$.
\qq Prouver~: $⅀_{k=1}ⁿ \dfrac{\ln k}k = \dfrac12\ln²(n) + C
               + \dfrac{\ln n}{2n} + o\Bigl(\dfrac{\ln n}{n}\Bigr)$.

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\ex 

Soit $(u_n)$ une suite de complexes telle que $\dfrac{u₁+…+u_n}n⟶_{n→∞}ℓ∈ℂ$.

Montrer que $\dfrac{1}{\ln(n)}\Bigl(\dfrac{u₁}1+…+\dfrac{u_n}n\Bigr)⟶_{n→∞}ℓ$.

\reponse{Transformaton d'Abel.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex 

Soit $(u_n)$ une suite de complexes qui converge au sens
de Césaro vers zéro.

Étudiez la suite de terme général
$v_n=⅀_{k=0}ⁿ \dfrac{u_k}{n+k+1}…$
\reponse{Transformation d'Abel $+$ découpage, $v_n⟶_{n→∞}0$.}

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\ex Centrale MP 2000

Soient deux suites de termes généraux $u_n$ et $v_n$ définies
par la donnée de $u₁$ et~$v₁$, tous deux réels, et les relations~:
$$u_{n+1} = u_n - \dfrac{v_n}{n(n+1)},\qquad
  v_{n+1} = v_n + \dfrac{u_n}{n(n+1)}.$$
Montrer que ces suites sont définies et bornées.
\reponse{$|u_n|+|v_n|\le(|u₁|+|v₁|)ℿ_{k=1}^{n-1}\Bigl(1+\dfrac1{k(k+1)}\Bigr)$
et le produit infini est trivialement convergent.}

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\ex Produits infinis, Polytechnique 2000

On considère une suite $(a_n)$ de réels et on définit $P_N=ℿ_{n=1}^N(1+a_n)$
et $S_N=⅀_{n=1}^N a_n$.

\qq  On suppose que pour tout $n$, $a_n⩾0$. 

 \sq Montrer que, pour tout $N$, $1+S_N⩽P_N⩽e^{S_N}$.
 \sq Comparer les convergences respectives des suites $(S_N)$ et $(P_N)$.

\qq On suppose maintenant que pour tout $n$, $-1⩽a_n⩽0$. 

\sq La relation précédente est-elle encore vérifiée ?
    \reponse{$1+S_N⩽P_N$ n'est plus triviale mais reste vraie par récurrence
    (la différence est une fonction décroissante de~$a₁$).}
\sq Discuter de la convergence des suites $(S_N)$ et $(P_N)$.

\qq On suppose que $(a_n)$ est de signe quelconque et que pour tout $n$,
    $1+a_n> 0$.
    On suppose de plus que la série $⅀a_n$ converge. 
    Montrer que $(P_N)$ a une limite et que cette limite est
    nulle si et seulement si $⅀a_n²$ diverge.
    \reponse{La suite $(P_Ne^{-S_N})$ est positive décroissante donc converge,
    ce qui entraîne la convergence de $(P_N)$.
    On a $P_N⟶_{n→∞}0$ ssi $P_Ne^{-S_N}⟶_{n→∞}0$
    ssi la série de terme général $\ln(1+a_n)-a_n\sim-\dfrac{a_n²}{\strut 2}$
    diverge.}
\qq Complément. On suppose que la suite $(a_n)$ est complexe, que pour tout
    $n$, $|a_n|<1$ et que la série $⅀|a_n|$ est convergente.

\sq Montrer que $ℿ_{n=1}^{∞} (1+|a_n|)$ existe, puis que $ℿ_{n=1}^{∞} (1+a_n)$
    existe. On pourra  démontrer et utiliser l'inégalité
    $\Bigl|ℿ_{n=1}^{N} (1+a_n)-1\Bigr|⩽ℿ_{n=1}^{N} (1+|a_n|)-1$.
    \reponse{Démontrer l'inégalité en développant les deux membres.
    Sachant que la suite $(P_N)$ est bornée on en déduit qu'elle est de Cauchy
    donc converge.}
\sq Montrer que $ℿ_{n=1}^{∞} (1+a_n)$ n'est pas nul.

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\ex Polytechnique MP 2002
Trouver les fonctions $f:[0,1]→ℝ$ continues vérifiant~:
$∀x∈{[0,1]}$, $f(x) = ⅀_{n=1}^∞ \dfrac{f(xⁿ)}{2ⁿ}$.
\reponse{On a $f(x) = ⅀_{n=2}^∞ \dfrac{f(xⁿ)}{2^{n-1}}$.
Soit $a∈{[0,1[}$ et $M_a$, $m_a$ le maximum et le minimum de $f$ sur $[0,a]$.
D'après la relation précédente, $m_a⩾m_{a²}$ et $M_a⩽M_{a²}$ donc en fait
$m_a = m_{a²}$ et $M_a = M_{a²}$.

On en déduit $f([0,a]) = f([0,a²]) = … = f([0,a^{2^k}]) = … = \{f(0)\}$.
Donc $f$ est constante et réciproquement les fonctions constantes conviennent.}

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\ex ENS Cachan MP$^*$ 2005

Soit $P(n)=\max\{p \text{ premier},\, p│n\}$.
Montrer que $⅀_{n}\dfrac{1}{nP(n)}$ converge.
\reponse{%
Soit $(p₀,p₁,…)$ la suite croissante des nombres premiers
et $S_k = ⅀_{P(n)⩽k}\dfrac1n$.

On a $S_k = S_{k-1}⅀_{i=0}^∞ \dfrac1{p_k^i} = \dfrac{p_k}{p_k-1}S_{k-1}$,
ce qui prouve que $S_k$ est fini.

La série demandée est
$\dfrac{S₀}{p₀}+ ⅀_{k=1}^∞ \dfrac{S_k-S_{k-1}}{p_k} =
\dfrac{S₀}{p₀}+ ⅀_{k=1}^∞\dfrac{S_k}{p_k²}$.
\medskip
Montrons que $S_k\le2√{p_k}$, ceci prouvera la convergence. C'est vrai pour $k=0$ et $k=1$, et si
c'est vrai pour $k-1$ avec $k⩾2$ alors on obtient $S_k⩽2√{p_k}√{\dfrac{p_kp_{k-1}}{(p_k-1)²}}
⩽2√{p_k}√{\dfrac{p_k(p_k-2)}{(p_k-1)²}}⩽2√{p_k}$.
\medskip
Remarque~: on a en réalité $S_k\sim e^γ\ln(p_k)$ où $γ$ est la constante
d'Euler (formule de Mertens).}

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\ex $\cos z ∈ {[-1,1]}$
Quels sont les complexes $z$ tels que $\cos z ∈ {[-1,1]}$ ?
\reponse{$\cos(x+iy) = \cos x \ch y - i\sin x \sh y ⇒ \cos z ∈ {[-1,1]}$
          si et seulement si $z ∈ ℝ$.}


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\ex $\lim((1+z/n)^n)$
Soit $z∈ℂ$. Montrer que $\left(1+\dfrac zn\right)^n ⟶_{n→∞} e^z$.
\reponse{Mettre $1+\dfrac zn$ sous forme trigonométrique.}

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\ex Inégalité
Soit $z∈ℂ$. Montrer que $|e^z-1| ⩽ e^{|z|}-1 ⩽ |z|e^{|z|}$.
\reponse{Développement en série.}

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\ex Inégalité, Polytechnique MP$^*$ 2006
Soit $z=x+iy∈ℂ$ avec $x,y∈ℝ$ et $x≠0$.
Montrer que $\Bigl|\dfrac{e^z-1}z\Bigr|⩽\Bigl|\dfrac{e^x-1}x\Bigr|$.
Que dire en cas d'égalité~?

\reponse{$\Bigl|\dfrac{e^z-1}z\Bigr|^2 = \dfrac{e^{2x}+1-2e^x\cos y}{x^2+y^2}$.

Après simplifications, on est ramené à prouver que
$x^2(1-\cos y) ⩽ y^2(\ch x - 1)$, ce qui est vrai car on peut caser
$\frac12x^2y^2$ entre les deux. Il y a égalité si et seulement si $y=0$.}

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\ex Morphismes $(ℝ,+) → (ℂ,*)$
Soit $f:ℝ→ℂ^*$ telle que : $∀x,y∈ℝ$, $f(x+y) = f(x)f(y)$.

\qq Si $f$ est dérivable, montrer qu'il existe $λ∈ℂ$ tel que :
    $∀x∈ℝ$, $f(x) = e^{λx}$.

\qq Obtenir le même résultat si $f$ est seulement supposée continue
    (prendre une primitive, $F$, de $f$ et montrer qu'elle est de classe $𝓒²$).

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\ex $e^z = z$
Montrer qu'il existe une infinité de complexes $z$ tels que $e^z = z$
(on calculera $x$ en fonction de $y$, et on étudiera l'équation obtenue).

\reponse{$e^{x+iy} = x+iy ⇔ x = y/\tan y$, $e^{-y/\tan y} = \sin y/y$.
         Au voisinage de $2kπ⁺$, $e^{-y/\tan y} < \sin y/y$ (point plat)
         et au voisinage de $(2k+1)π⁻$, $e^{-y/\tan y} > \sin y/y$
         (limite infinie).}

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\ex Équations trigonométriques
Résoudre dans $ℂ$ :

\qq $\cos z = 2$.
    \reponse{$z ≡ ±i\ln(2+√3) \pmod{2π}$.}

\qq $\ch z = -1$.
    \reponse{$z ≡ i\pi\pmod{2iπ}$.}

\qq $\sin z + \sin jz + \sin j²z = 0$.
    \reponse{$z ≡ 0 \pmod {2π}$ ou
             $z ≡ 0 \pmod {2jπ}$ ou
             $z ≡ 0 \pmod {2j²π}$.}

\qq $8\cos z + 4i\sin z = 7 + 5i$.
     \reponse{$⇔ 6e^{2iz} -(7+5i)e^{iz} + 2 = 0 ⇔
               \cases{ e^{iz} = 1+i\hfill:
                       &$z ≡ π/4 - i\ln√2      \pmod{2π}$\cr
                       e^{iz} = (1-i)/6  :
                       &$z ≡ -π/4 - i\ln(√2/6) \pmod{2π}.$\cr}$}

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\ex $|\cos|$ et $|\sin|$ sur le cercle unité
Calculer $\sup⦃|\cos z| \tq |z|⩽1⦄$ et
$\sup⦃|\sin z| \tq |z|⩽1⦄$.
\reponse{$|\cos(x+iy)|² = \cos²x + \sh²y = \ch²y - \sin²x ⇒ \sup = \ch1$.
         \par
         $|\sin(x+iy)|² = \sin²x + \sh²y = \ch²y - \cos²x$.
         à $x$ fixé, le module augmente avec $|y|$, donc le maximum est atteint
         au bord du disque.\par
         $φ(θ) = \sin²\cosθ + \sh²\sinθ ⇒
          φ'(θ) = \sin2θ\left(
             \dfrac{\sh(2\sinθ)}{2\sinθ}
           - \dfrac{\sin(2\cosθ)}{2\cosθ}\right)⇒ \sup = \sh1$.}

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\ex Courbes
Soient $M,M'$ deux points du plan d'affixes $z = x+iy$ et $z' = x'+iy'$.

\qq On suppose que $z$ et $z'$ sont liés par la relation : $z' = e^z$.
    Étudier la courbe décrite par $M'$ lorsque $M$ décrit~:

    \sq une droite $x = $ cste. \label{droite verticale}
    \sq une droite $y = $ cste. \label{droite horizontale}
    \sq une droite quelconque.

\qq Reprendre les questions \ref{droite verticale} et \ref{droite horizontale}
avec $z' = \cos z$.

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\ex Centrale MP 2002

Résoudre dans $𝓜_2(ℂ)$~: $\exp(M) = \mat(2i&1+i\cr0&2i\cr)$.
\reponse{Si $x$ est vecteur propre de $M$ il l'est aussi de $\exp(M)$ donc
$x = ke₁$ et la valeur propre associée est $α∈ℂ$ tel que $e^α = 2i$
($α = \ln2 + i(\fracπ2+2kπ)$, $k∈ℤ$).
On a donc $M = \mat(α&β\cr0&α\cr)$,
$\exp(M) = \mat(e^α&e^αβ\cr0&e^α\cr)$ d'où $β = \dfrac{1-i}2$.}

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\ex Famille non sommable
Soit $(a_n)_{n∈ℕ}$ une suite de réels positifs telle que $a_n⟶_{n→∞}0$ et
$⅀_{n∈ℕ}a_n=+∞$. Montrer que pour tout réel $x⩾0$, il existe
$X⊂ℕ$ tel que $⅀_{n∈X}a_n=x$.

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\ex Famille sommable, Centrale 2015
Soit~$n∈ℕ^*$. On note $u_n = 0$ si l'écriture décimale de~$n$ comporte au moins
un chiffre égal à~$9$ et $u_n=1/n$ sinon.
Soient $S_n=u₁+…+u_n$ et $T_n=S_{10^{n+1}-1}-S_{10^n-1}$.
On note $A_n$ l'ensemble des entiers $k∈⟦10^n,10^{n+1}-1⟧$ tels que $u_k≠0$.

\qq Écrire en Python les fonctions donnant $u_n$, $S_n$, $T_n$.
    Donner $S_{999}$, $S_{9999}$, $T₂$ et~$T₃$.
    \reponse{En Maple~:
\verbatim?
u := proc (n) local i;
  i := n; while i > 0 and (i mod 10) <> 9 do i := iquo(i, 10) end do;
  if i > 0 then 0 else 1/n end if
end proc
?endverbatim}

\qq Montrer que $⅀u_n$ converge.
    \reponse{On a dans~$[0,+∞[$~:
             $⅀_{k=10}^∞u_k = ⅀_{n=1}^∞⅀_{k∈A_n}u_k ⩽ ⅀_{n=1}^∞\card(A_n)/10^n
                          = ⅀_{n=1}^∞8×(\frac9{10})^n
                          = 72$.
             Les entiers de~$A_n$ ont un chiffre de tête compris entre~$1$
             et~$8$ et les $n$ chiffres suivants compris entre~$0$ et~$9$,
             d'où $\card(A_n) = 8×9^n$.
             Le dernier majorant étant fini, la série converge.}

\qq Nous allons chercher à approcher $⅀_{n=1}^∞u_n$.
    \sq Montrer que $T_{n+1} = ⅀_{ℓ=0}^8⅀_{k∈A_n}u_{10k+ℓ}$.
        \reponse{L'application $\application {} {A_n×⟦0,8⟧}{A_{n+1}} {(k,ℓ)}
                 {10k+ℓ}$ est bijective.}
    \sq Montrer que $\frac9{10}T_n - \frac{36}{10^{n+2}}T_n ⩽ T_{n+1}
        ⩽ \frac9{10}T_n$.
        \reponse{Pour $(k,ℓ)∈A_n×⟦0,8⟧$ on a
                 $$\frac{u_k}{10}=u_{10k}⩾u_{10k+ℓ}
                   ⩾u_{10k+8}=\dfrac{u_{10k}}{1+8/10k}
                   ⩾\frac{u_k}{10}×\dfrac1{1+8/10^{n+1}}.$$
                 En sommant sur $k,ℓ$, on obtient
                 $\frac9{10}T_n×\dfrac1{1+8/10^{n+1}}⩽T_{n+1}⩽\frac9{10}T_n$
                 ce qui donne l'encadrement demandé sachant que
                 $1-8/10^{n+1} ⩽ \dfrac1{1+8/10^{n+1}}$.}
      \sq En déduire un encadrement de~$S = ⅀_{n=1}^∞u_n$.
          \reponse{$(\frac9{10}-\frac{36}{1000})⅀_{n=1}^∞T_n
                   ⩽⅀_{n=1}^∞(\frac9{10}-\frac{36}{10^{n+2}})T_n
                   ⩽⅀_{n=1}^∞T_{n+1}⩽\frac9{10}⅀_{n=1}^∞T_n$.
                   
                   On en déduit 
                   $(\frac9{10}-\frac{36}{1000})(S-S₉)⩽S-S_{99}
                   ⩽\frac9{10}(S-S₉)$, soit
                   $\dfrac{1000S_{99}-864S₉}{136}⩽S⩽10S_{99}-9S₉$.
                   Numériquement, $17⩽S⩽46$…
                   \medskip
                   Mieux en sommant à partif de~$n=2$~:
                   $(\frac9{10}-\frac{36}{10000})(S-S_{99})⩽S-S_{999}
                   ⩽\frac9{10}(S-S_{99})$, soit
                   $\dfrac{10000S_{999}-8964S_{99}}{1036}⩽S⩽10S_{999}-9S_{99}$.
                   Numériquement, $22.31⩽S⩽22.96$.}

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\ex Mines 2017
Soit $f∈𝓒¹([1,+∞[,ℂ)$ une fonction de dérivée $f'$ intégrable.
\qq Montrer que la série $⅀_{n=0}^∞f(n)$ converge si et seulement si
    la suite $(∫_{t=1}^nf(t)\,𝕕t)_{n∈ℕ^*}$ est convergente.
    \reponse{$$\eqalign{\Bigl|f(n)-∫_{t=n}^{n+1}f(t)\,𝕕t\Bigr|
             &= \Bigl|∫_{t=n}^{n+1}(f(n)-f(t))\,𝕕t\Bigr|\cr
             &=\Bigl|[(f(n)-f(t))(t-n-1)]_{t=n}^{n+1}
                + ∫_{t=n}^{n+1}f'(t)(t-n-1)\,𝕕t\Bigr|\cr
             &⩽∫_{t=n}^{n+1}|f'(t)|\,𝕕t\cr.}$$
             Comme $f'$ est intégrable,
             la série $⅀_{n=1}^∞∫_{t=n}^{n+1}|f'(t)|\,𝕕t$ converge vers
             $∫_{t=1}^{∞}|f'(t)|\,𝕕t$ donc la série de terme général~$f(n)$
             et la série télescopique associée à la suite de terme
             général $∫_{t=1}^nf(t)\,𝕕t$ ont même nature.}

\qq La série $⅀_{n=1}^∞\dfrac{\sin√n}n$ converge-telle~?
    \reponse{Avec $f(t)=\dfrac{\sin√t}t$ on a $f'(t)=O(t^{-3/2})$ donc $f'$
             est intégrable sur~$[1,+∞[$.
             
             De plus, $∫_{t=1}^nf(t)\,𝕕t=∫_{u=1}^{n²}\dfrac{2\sin u}u\,𝕕u$,
             quantité convergente quand~$n→∞$ donc la série converge.}
    

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\bye
