\input exos
\fiche{Séries de Fourier}

\titre{Développements}
                            %+------------------+
                            %|  Développements  |
                            %+------------------+
%--------------------------------------------------------------------------
\ex Développements

Calculer le développement des fonctions $f$ $2π$-périodiques telles que :
\def\qq{\global\advance\qqnum1\hbox to7mm{\hfil\bf\the\qqnum) }\ignorespaces}
\halign{&\hskip\leftskip\qq#\hfil\cr
%
$f(x) = π-|x|$ sur $]-π,π[$.
    \reponse{$a_0 = π$, $a_{2p} = 0$, $a_{2p+1} = \dfrac4{π(2p+1)²}$,
             $b_n = 0$.}
%
&$f(x) = π-x$ sur $]0,2π[$.
    \reponse{$a_n = 0$, $b_n = \dfrac2n$.}
%
&$f(x) = x²$ sur $]0,2π[$.
    \reponse{$a_0 = \dfrac{8π²}3$, $a_n = \dfrac4{n²}$,
             $b_n = -\dfrac{4π}n$.}
%
\cr$f(x) = \max(0,\sin x)$.
    \reponse{$a_0 = \dfrac 2π$, $a_{2p} = \dfrac{-2}{π(4p²-1)}$,
             $a_{2p+1} = 0$, $b_1 = \dfrac 12$, $b_p = 0$.}
%
&$f(x) = |\sin x|³$.
    \reponse{$a_{2p} = \dfrac{24}{π(4p²-1)(4p²-9)}$, $a_{2p+1} = 0$,
             $b_p = 0$.}
\cr}

%--------------------------------------------------------------------------
\ex Chimie P' 1996

Établir la convergence puis calculer
$∫_{t=0}^{π/2} \dfrac{\sin(nt)}{\sin t}\,𝕕t$.

En déduire les coefficients de Fourier de $f$~: $f(t) = \ln|\tan(t/2)|$.
\reponse{$I_{n+1}-I_{n-1} = ∫_{t=0}^{π/2} 2\cos(nt)\,𝕕t
                          = \dfrac2n\sin(nπ/2)$.

Donc $I_{2p} = 2(1 - \frac13 + …+\frac{(-1)^{p-1}}{2p-1})$,
     $I_{2p+1} = \fracπ2$.

$b_n = 0$ (parité), $a_{2p} = 0$ (symétrie par rapport à $(π/2,0)$),
$a_{2p+1} = -\frac{4}{(2p+1)π}I_{2p+1} = -\frac{2}{2p+1}$.}


%--------------------------------------------------------------------------
\ex Chimie P 1996

Développer en série de Fourier $f:t ↦ \dfrac1{1-\cosα\cos t}$
avec $0<α<π$.
Indication~: on pourra utiliser une relation de récurrence entre les
coefficients à partir de $(1-\cosα\cos t)f(t) = 1$.
\reponse{%
$2a_k = (a_{k-1}+a_{k+1})\cosα$,
$a_0 = a_1\cosα+2 ⇒ a_k = A\tan(\fracπ4-\fracα2)^k
                       + B\cotan(\fracπ4-\fracα2)^k$.

Comme $a_k⟶_{k→∞}0$ on a $B=0$ d'où $A=\dfrac2{\sinα}$.

Finalement, $f(t) = \dfrac2{\sinα}\Bigl(\dfrac12+⅀_{k=1}^∞
\Bigl(\dfrac{1-\sinα}{\cosα}\Bigr)^k\cos(kt)\Bigr)$.}


%----------------------------------------------------------------------
\ex Mines MP 2002

Soit $a∈ {]-1,1[}$ et $g$ : $x↦\dfrac{1-a\cos x}{ 1-2a\cos x +a²}$.

\qq Prouver~: $∀x∈ℝ$, $g(x)=⅀_{n=0}^{∞} aⁿ\cos nx$.
\reponse{$⅀_{n=0}^∞ aⁿ\cos nx = ℜ\Bigl(⅀_{n=0}^∞ (ae^{ix})ⁿ\Bigr)
    =ℜ\Bigl(\dfrac1{1-ae^{ix}}\Bigr) = g(x)$.}
\qq Quel est le mode de convergence de la série~?
\reponse{Il y a convergence normale.}
\qq Soit $f:ℝ→ℂ$ continue par morceaux et $2π$-périodique.
    Montrer que $h$ : $x↦∫_{t=0}^{2π}g(x-t)f(t)\,𝕕t$
    est somme d'une série trigonométrique uniformément convergente.
    Que peut-on déduire pour~$h$~?
\reponse{$$\eqalign{h(x)
    &= ∫_{t=0}^{2π}⅀_{n=0}^∞ aⁿ\cos(nx-nt)f(t)\,𝕕t\cr
    &= ⅀_{n=0}^∞∫_{t=0}^{2π} aⁿ\cos(nx-nt)f(t)\,𝕕t\cr
    &= ⅀_{n=0}^∞\Bigl(\cos(nx)∫_{t=0}^{2π} aⁿ\cos(nt)f(t)\,𝕕t + \sin(nx)∫_{t=0}^{2π} aⁿ\sin(nt)f(t)\,𝕕t\Bigr)\cr
    &= ⅀_{n=0}^∞(π aⁿa_n(f)\cos(nx) + π aⁿb_n(f)\sin(nx)).\cr
    }$$
    Il y a convergence normale car $|a|<1$ et les coefficients de Fourier
    de~$f$ sont bornés.
    On en déduit que $h$ est continue, puis que les coefficients de Fourier
    de~$h$ sont $aⁿa_n(f)$ et $aⁿb_n(f)$.}
\qq Soit $λ∈ℝ$. Trouver toutes les fonctions $f:ℝ→ℂ$
    continues par morceaux et $2π$-périodiques telles que~:
    $∀x∈ℝ,\ f(x)=λ∫_{t=0}^{2π}g(x-t)f(t)\,𝕕t +⅀_{n=1}^{∞}\dfrac{\cos nx}{n²}$.
\reponse{Les coefficients de Fourier des deux membres doivent être égaux, ce qui
    donne~: $a_n(f)= \dfrac1{n²(1-πλaⁿ)}$ et $b_n(f) = 0$ si pour
    tout~$n∈ℕ^*$ on a $πλaⁿ≠1$ (sinon il n'y a pas de solution),
    et $a_0(f) = 0$ si $2πλ≠1$, $a_0(f)$ quelconque sinon.
    Réciproquement, en posant ${f(x) = [a_0/2] + ⅀_{n=1}^∞\dfrac{\cos nx}{n²(1-πλ aⁿ)}}$
    on définit $f$, $2π$-périodique continue (la série converge normalement),
    solution de l'équation par égalité des coefficients de Fourier de chaque membre.}

%--------------------------------------------------------------------------
\ex Usage d'une série entière

\qq Existe-t-il une fonction $f:ℝ→ℝ$ continue telle que les coefficients
    de Fourier soient : $a_n = 1/{2ⁿ}$ et $b_n = 0$~?
    \reponse{$f(x) = \dfrac 12 + ⅀_{n=1}^∞ \dfrac{\cos nx}{2ⁿ}
              = \dfrac3{2(5-4\cos x)}$.}
\qq Application : calculer $∫_{t=0}^π \dfrac{𝕕t}{5-4\cos t}$.
    \reponse{$\fracπ3$.}

%--------------------------------------------------------------------------
\ex  $1/(\cos x + \ch a)$

Soit $a > 0$.

\qq Développer en série entière : $f(x) = \dfrac1{x+e^a}$.
\qq En déduire le développement en série de Fourier de
    $g(x) = \dfrac1{\cos x + \ch a}$.
    \reponse{$g(x) = \dfrac1{\sh a}\bigl(e^af(e^{ix}) - e^{-ix}f(e^{-ix})\bigr)
                   = \dfrac1{\sh a}\Bigl(1 + 2⅀_{k=1}^∞
                      (-1)^ke^{-ka}\cos kx \Bigr)$.}

%--------------------------------------------------------------------------
\ex Décomposition en $\sin²$

Montrer que : $∀x ∈ ℝ,\ |\sin x| = \dfrac8π⅀_{n=1}^∞ \dfrac{\sin²nx}{4n²-1}$.

%--------------------------------------------------------------------------
\ex DSF de $f*g$, Mines PSI 1998

Soient $f,g:ℝ→ℂ$ continues $2π$-périodiques. On pose pour $x ∈ ℝ$ :
$h(x) = \dfrac1{2π}∫_{t=0}^{2π} f(x-t)g(t)\,𝕕t$.

\qq
Montrer que $h$ est $2π$-périodique, continue, et calculer les coefficients
de Fourier exponentiels de $h$ en fonction de ceux de $f$ et de $g$.
\reponse{$c_k(h) = c_k(f)c_k(g)$.}

\qq
Pour $g$ fixée, déterminer les valeurs et vecteurs propres de $f↦h$.

%----------------------------------------------------------------------
\ex DSF d'une série
On pose $f(x) = ⅀_{n=-∞}^{∞} e^{-(x-2nπ)²}$.
Montrer que $f$ est définie sur~$ℝ$, $2π$-périodique et de classe~$𝓒¹$.
Déterminer sa série de Fourier.
\reponse{$2πc_k = ∫_{x=0}^{2π}⅀_{n=-∞}^{+∞}e^{-(x-2nπ)²-ikx}\,𝕕x
              = ⅀_{n=-∞}^{+∞}∫_{x=0}^{2π}e^{-(x-2nπ)²-ikx}\,𝕕x
              = ∫_{x=-∞}^{+∞}e^{-x²-ikx}\,𝕕x$\par
         $\phantom{2πc_k} = √πe^{-k²/4}$

(calculer $∫_{x=-∞}^{+∞}e^{-x²-i\xi x}\,𝕕x = √π e^{-\xi²/4}$
par équation différentielle).}

\xe\titre{Calcul de séries}
                           %+--------------------+
                           %|  Calcul de séries  |
                           %+--------------------+

%--------------------------------------------------------------------------
\ex Calcul de séries

Soit $f$ la fonction $2π$-périodique telle que :
$∀x ∈ {[-π,π[},\ f(x) = e^x$.

\qq Chercher le développement en série de Fourier de $f$.
    \reponse{$a_0 = \dfrac{2\shπ}π$,
             $a_n = \dfrac{2(-1)ⁿ\shπ}{π(1+n²)}$, $b_n = -na_n$.}

\qq En déduire les sommes des séries :
    $S = ⅀_{n=1}^∞ \dfrac1{n²+1}$ et
    $S' = ⅀_{n=1}^∞ \dfrac{(-1)ⁿ}{n²+1}$.
    \reponse{$S = \dfrac{π-\thπ}{2\thπ}$,
             $S' = \dfrac{π-\shπ}{2\shπ}$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex $⅀_{n=1}^∞\dfrac{a}{n²+a²}$ (Centrale MP 2003)

{\qq Soit~$a∈ℝ$. Développer en série de Fourier la fonction $2π$-périodique
    valant~$e^{ax}$ sur~$]0,2π]$.
    \reponse{Si $a≠0$~: $S_f(x) = ⅀_{n=-∞}^{+∞} \dfrac{e^{2π a}-1}{2π(a-in)}e^{inx}
    = \dfrac{e^{2π a}-1}{2πa} + ⅀_{n=1}^{+∞}\dfrac{e^{2π a}-1}{π(a²+n²)}(a\cos(nx) - n\sin(nx))$.}\par}

Soit~$a∈ℝ$. On pose~$I(a) = ∫_{u=0}^{+∞}\dfrac{e^{-u}}{1-e^{-u}}\sin(au)\,𝕕u$.

\qq Exprimer $I(a)$ sous forme d'une série sans intégrale.
    \reponse{On peut supposer $a > 0$ car $I(-a) = -I(a)$ et $I(0) = 0$.
    On envisage d'intégrer terme à terme la
    relation~: $$\dfrac{e^{-u}}{1-e^{-u}}\sin(au) = ⅀_{n=1}^{∞}e^{-nu}\sin(au).$$
    On coupe l'intégrale $∫_0^{+∞}$ en $∫_0^{π/a}+∫_{π/a}^{+∞}$~:
    sur~$[0,π/a]$ le sinus est positif et le théorème d'intégration terme à
    terme, cas positif)
    s'applique. Sur~$[π/a,+∞[$ le théorème d'intégration terme
    à terme, cas vectoriel) s'applique car
    $∫_{π/a}^{+∞}|e^{-nu}\sin(au)|\,𝕕u ⩽ ∫_{π/a}^{+∞}e^{-nu}\,𝕕u 
    = e^{-nπ/a}/n$. Ainsi,
    $$I(a) = ⅀_{n=1}^∞ ∫_{u=0}^{+∞}e^{-nu}\sin(au)\,𝕕u
           = ⅀_{n=1}^∞  \dfrac{a}{n²+a²}.$$}
\qq Calculer $∫_{u=0}^{+∞}e^{-u}\sin(au)\,𝕕u$.
    \reponse{Déjà fait, $∫_{u=0}^{+∞}e^{-u}\sin(au)\,𝕕u =  \dfrac{a}{a²+1}$.
    Il doit y avoir une autre méthode pour la question précédente (???)}
\qq Conclure.
    \reponse{En comparant avec~{\bf 1)} pour~$x=0$ on obtient~:
    $I(a) = \dfracπ{2}\dfrac{e^{2aπ}+1}{e^{2aπ}-1}-\dfrac1{2a}$ pour $a>0$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex $⅀_{n=1}^∞  \dfrac{a}{n²+a²}$ (Centrale MP 2000)

\qq Donner le développement en série de Fourier de la fonction $2π$-périodique
    définie sur~$]0,2π[$ par $f(x) = e^{ax}$ avec $a≠0$.
    \reponse{$S_f(x) = ⅀_{n=-∞}^{+∞} \dfrac{e^{2π a}-1}{2π(a-in)}e^{inx}$.}
\qq Calculer $⅀_{n⩾1}\dfrac{a}{a²+n²}$. En déduire $⅀_{n⩾ 1}\dfrac1{n²}$.
    \reponse{$⅀_{n∈ℤ}\dfrac{(e^{2π a}-1)²}{4π²(a²+n²)} = \dfrac1{2π}∫_{t=0}^{2π}|f(t)|²\,𝕕t
    = \dfrac{e^{4aπ}-1}{4aπ}$
    donc $⅀_{n⩾1}\dfrac{a}{a²+n²} = \dfracπ{2}\dfrac{e^{2aπ}+1}{e^{2aπ}-1}-\dfrac1{2a}$.
    \smallskip
    $⅀_{n⩾1}\dfrac{1}{a²+n²} = \dfrac1{2a}\Bigl(\dfracπ{\th(aπ)}-\dfrac1a\Bigr)
    ⟶_{a→0}\frac{π²}{6}$ et il y a convergence dominée.
    \smallskip}
\qq Que vaut $\lim_{a→+∞}\,⅀_{n⩾1}\dfrac{a}{a²+n²}$~?
    \reponse{$\fracπ{2}$.}

%--------------------------------------------------------------------------
\ex Calcul de séries, Matexo

On considère la fonction $2π$-périodique sur $ℝ$ définie par
$f(x) = x \sin\frac x2$ si $0 ⩽ x < 2π$.

\qq Calculer les coefficients de Fourier de $f$.
\reponse{$a_n = -\dfrac{4}{4n²-1}$,
         $b_n = -\dfrac{32n}{π(4n²-1)²}$.}

\qq Quelle est la nature de la série de Fourier $S_f$ de $f$ ?

\qq En déduire la somme de la série
$⅀^∞_{n=1}\dfrac{(-1)^{n-1}}{4 n² - 1}$.
\reponse{$\dfrac{π-2}4$.}

%--------------------------------------------------------------------------
\ex $\sin(π a)/π a$

Soit $a ∈ ℝ∖ℤ$.

\qq Développer en série de Fourier la fonction définie sur $[-π,π]$ par :
    $f(x) = \cos(ax)$.
    \reponse{$\cos ax = \dfrac{\sin π a}{π a} +
              \dfrac{2a\sinπ a}π⅀_{n=1}^∞
              \dfrac{(-1)ⁿ\cos nx}{a²-n²}$.}
\qq Soit $g(t) = ⅀_{n=1}^∞ \ln(1-t²/n²)$.
    Justifier l'existence et la dérivabilité de $g$ et la calculer.
    \reponse{$g'(t) = ⅀_{n=1}^∞ \dfrac{2t}{t²-n²}
                    = \dfrac{π\cosπ t}{\sinπ t} - \dfrac 1t ⇒
              g(t) = \ln\left(λ\dfrac{\sinπ t}t\right)$ et $g(0) = 0 ⇒
              g(t) = \ln\left(\dfrac{\sinπ t}{π t}\right)$.}

%--------------------------------------------------------------------------
\ex $⅀_{n=1}^∞ \dfrac{\sin n}n = ⅀_{n=1}^∞ \dfrac{\sin²n}{n²}$

\qq Développer en série de Fourier la fonction $f$, $2π$-périodique
    telle que $f(x) = \dfrac{π-x}2$ pour $0 ⩽ x < 2π$.
    \reponse{$f(x) = ⅀_{n=1}^∞ \dfrac{\sin nx}n$.}
\qq Donner les développements en série de Fourier de $f(x+1)$ et $f(x-1)$.
\qq Montrer que $⅀_{n=1}^∞ \dfrac{\sin n}n
    = ⅀_{n=1}^∞ \dfrac{\sin²n}{n²}$.
    \reponse{Le premier membre vaut $f(1) = \dfrac{π-1}2$ et le second
             $\dfrac1{4π}∫_{t=0}^{2π} (f(t+1)-f(t-1))²\,𝕕t
             = \dfrac{π-1}2$.}


\xe\titre{Coefficients de Fourier}
                        %+---------------------------+
                        %|  Coefficients de Fourier  |
                        %+---------------------------+

%--------------------------------------------------------------------------
\ex $f(x+π)$

Soit $f:ℝ→ℝ$, $2π$-périodique continue par morceaux.
Que peut-on dire des coefficients de Fourier de $f$ si l'on~a~:

\qq $∀x ∈ ℝ,\ f(x+π) = f(x)$ ?
    \reponse{$a_{2p+1} = b_{2p+1} = 0$.}
\qq $∀x ∈ ℝ,\ f(x+π) = -f(x)$ ?
    \reponse{$a_{2p} = b_{2p} = 0$.}

%--------------------------------------------------------------------------
\ex $f$ est-elle $π$-périodique ?

Soit $f:ℝ→ℝ$, $2π$-périodique continue.
On note $c_k$ les coefficients de Fourier exponentiels de $f$.
Montrer que $f$ est $π$-périodique si et seulement si $c_k$ est nul pour tout
$k$ impair (noter que la série de Fourier de $f$ peut ne pas converger vers
$f$).

%--------------------------------------------------------------------------
\ex DSF de $f'$

Soit $f:ℝ→ℝ$ continue, $2π$-périodique de classe $𝓒¹$ par morceaux.
On note $a_k$, $b_k$ les coefficients de Fourier de~$f$.
Calculer les coefficients de Fourier de $f'$ en fonction de ceux de $f$.
En déduire que $ka_k ⟶_{k→∞}0$ et $kb_k ⟶_{k→∞}0$.
\reponse{$a'_k = kb_k$, $b'_k = -ka_k$ $+$ inégalité de Bessel.}

%--------------------------------------------------------------------------
\ex DSF de $f'$

Soit $f:[0,2π]→ℝ$ de classe $𝓒¹$. On considère la fonction $g$,
$2π$-périodique coïncidant avec $f$ sur $[0,2π[$.
Soient $a_n,b_n$ les coefficients de Fourier de $g$.

\qq Montrer que $a_n = o(1/n)$ et
    $b_n = \dfrac{f(0)-f(2π)}{πn} + o(1/n)$.

\qq Donner le développement en série de Fourier
    de $g'$.
    \reponse{$S_g'(x) = \dfrac{f(2π)-f(0)}{2π}
                    + ⅀_{n=1}^∞ \bigl(nb_n - \dfrac{f(0) - f(2π)}{π}\bigr)
                    \cos nx - na_n\sin nx$.}

%--------------------------------------------------------------------------
\ex DSF d'une primitive de $f$

Soit $f$ continue $2π$-périodique, $F(x) = ∫_{t=0}^x f(t)\,𝕕t$,
$a_n, b_n$ les coefficients de Fourier trigonométriques de~$f$ et
$C = \dfrac1{2π}∫_{t=0}^{2π} (π-t)f(t)\,𝕕t$. Montrer~:
$$∀x∈ℝ,\ F(x) =
\dfrac{a_0x}2 + C + ⅀_{n=1}^∞ \dfrac{a_n\sin nx - b_n\cos nx}n.
$$

%--------------------------------------------------------------------------
\ex Concavité, ENS

Soit $f:ℝ→ℝ$ continue $2π$-périodique paire dont
la restriction à $[0,2π]$ est concave. Montrer que les
coefficients de Fourier trigonométriques de~$f$ vérifient~: $a_k ⩽ 0$ pour
$k⩾ 1$.
\reponse{%
$$\eqalign{
π a_k &= ∫_{t=0}^{2π}f(t)\cos(kt)\,𝕕t\cr
        &= ⅀_{i=0}^{k-1}∫_{t=0}^{2π/k}f(t+2iπ/k)\cos(kt)\,𝕕t\cr
        &= ⅀_{i=0}^{k-1}∫_{t=0}^{π/2k}\Bigl(
                 f(t+2iπ/k) - f((2i+1)π/k-t)
                -f(t+(2i+1)π/k) + f((2i+2)π/k-t)\Bigr)\cos(kt)\,𝕕t.\cr}$$}

\xe\titre{Relation de Parseval}
                         %+------------------------+
                         %|  Relation de Parseval  |
                         %+------------------------+

%----------------------------------------------------------------------
\ex ENS MP 2002

Soit $f:[0,1]→ℝ$ de classe $𝓒²$ telle que $f(0)=f(1)=0$.

\qq Montrer que l'on peut prolonger $f$ en une fonction impaire et $2$-périodique.
\reponse{Immédiat. La fonction prolongée est $𝓒¹$ sur~$ℝ$ et $𝓒²$ par morceaux.} 
\qq En déduire l'existence de $c>0$ indépendant de $f$ tel que $∥f∥_∞⩽c∥f''∥₂$.
\reponse{On décompose $f$~:
    $f(x) = - ⅀_{n=1}^∞ \dfrac{c_n}{n²π²}\sin(nπ x)$ avec
    $c_n = 2∫_{u=0}¹ f''(u)\sin(nπu)\,𝕕u$.

    On en déduit~:
    $∥f∥_∞²⩽\Bigl(⅀_{n=1}^∞\dfrac1{n^4π^4}\Bigr)\Bigr(⅀_{n=1}^∞ c_n²\Bigr)
    = \dfrac{2\zeta(4)}{π^4}∥f''∥₂² = \dfrac{∥f''∥₂²}{45}$.
    \smallskip
    Autre démonstration sans utiliser les séries de Fourier~: pour $x∈{[0,1]}$
    on a
    $$\eqalign{
    f(x) &{}= ∫_{t=0}^x f'(t)\,𝕕t = xf'(x) -∫_{t=0}^xtf'(t)\,𝕕t\cr
    f(x) &{}= ∫_{t=1}^x f'(t)\,𝕕t = (x-1)f'(x) -∫_{t=1}^x(t-1)f'(t)\,𝕕t\cr
    f(x) &= (1-x)f(x) + xf(x) = ∫_{t=0}^x t(x-1)f''(t)\,𝕕t + ∫_{t=x}¹ x(t-1)f''(t)\,𝕕t\cr
         &= ∫_{t=0}¹φ(x,t)f''(t)\,𝕕t.\text{ avec }
          φ(x,t) = xt - \min(x,t).\cr}$$
    On en déduit $|f(x)|²⩽ ∥f''∥₂²∫_{t=0}¹φ(x,t)²\,𝕕t
    = \dfrac{x²(x-1)²}3∥f''∥₂²⩽ \dfrac{∥f''∥₂²}{48}$.}

%--------------------------------------------------------------------------
\ex Inégalité de Wirtinger

Soit $f:[0,2π]→ℝ$ de classe $𝓒¹$
telle que $∫_{t=0}^{2π} f(t)\,𝕕t = 0$ et $f(0) = f(2π)$.

Montrer que $∫_{t=0}^{2π} f²(t)\,𝕕t ⩽
∫_{t=0}^{2π} {f'}²(t)\,𝕕t$ et déterminer les cas d'égalité.
\reponse{Parseval pour $f$ et $f'$. Égalité ssi $f(x) = a\cos x + b\sin x$.}

%--------------------------------------------------------------------------
\ex Inégalité isopérimétrique

\qq Soient $f,g$ deux applications $2π$-périodiques réelles de classe $𝓒¹$.

Montrer que~: $2∫_0^{2π}fg' ⩽ ∫_0^{2π}{f'}² + ∫_0^{2π}{g'}²$.
\reponse{Développer $f$, $f'$ et $g'$ en séries de Fourier et
appliquer l'inégalité $2|\overline a\,b| ⩽ |a|² + |b|²$.
Il y a égalité si et seulement si $f'$ et $g'$ sont CL de cos et sin.}

\qq Soit $Γ$ un arc $𝓒¹$, fermé, simple, de longueur $2π$.
Montrer que l'aire du domaine limité par~$Γ$ est inférieure ou égale
à~$π$.
\reponse{On paramètre par une abscisse curviligne~ :
$x=f(t)$, $y=g(t)$ $ ⇒ 𝓐 = ∫_0^{2π}fg' ⩽ ∫_0^{2π} \dfrac{{f'}²+{g'}²}2 = π$.
}


%--------------------------------------------------------------------------
\ex $|f''| ⩽ |f|$

Trouver les fonctions $f:ℝ→ℝ$ $2π$-périodiques de classe $𝓒²$
telles que $∫_{t=0}^{2π}f(t)\,𝕕t = 0$ et $|f''| ⩽ |f|$.

%--------------------------------------------------------------------------
\ex Calcul de $(f│g)$

Soient $f,g:ℝ→ℂ$ $2π$-périodiques, continues par morceaux.
On note $c_n(f)$ et $c_n(g)$ les coefficients de Fourier exponentiels de
$f$ et $g$.
Montrer que :  $⅀_{n=-∞}^{+∞} \overline{c_n(f)}c_n(g) =
        \dfrac1{2π}∫_{t=0}^{2π} \overline{f(t)}g(t)\,𝕕t.$

%--------------------------------------------------------------------------
\ex Une série trigonométrique qui n'est pas une série de Fourier

On pose $f(x) = ⅀_{n=1}^∞ \dfrac{\sin nx}{√ n}$.

\qq Montrer que $f$ est bien définie sur~$ℝ$, $2π$-périodique et
continue sur $ℝ∖2πℤ$.

\qq Calculer $\lim_{a→0^+}∫_{t=a}^{π-a}f(t)\sin(pt)\,𝕕t$
    et en déduire que $f$ n'a pas de développement en série de
    Fourier (et donc n'est pas continue en~$0$).

%----------------------------------------------------------------------
\ex X MP$^*$ 2001

Soit $a>0$ et $f$ continue sur $[0,a]$ à valeurs réelles.

On suppose que pour tout $x∈ℝ$
on a $∫_{t=0}^a f(t)\cos(xt)\,𝕕t=0$. Montrer que $f$ est nulle.
\reponse{On pose $g(t) = f(a|t|/π)$ pour $t∈{[-π,π]}$, prolongée par $2π$-périodicité.
Alors $g$ est paire, continue, et tous ses coefficients de Fourier sont nuls donc $g=0$.}

\xe\titre{Convergence}
                              %+---------------+
                              %|  Convergence  |
                              %+---------------+

%--------------------------------------------------------------------------
\ex Phénomène de Gibbs pour $\sin kx/k$

Soit $f_n(x) = ⅀_{k=1}ⁿ \dfrac{\sin kx}k$.

\qq Calculer l'abscisse, $x_n$, du premier maximum positif de $f_n$.
    \reponse{$\fracπ{n+1}$.}

\qq Déterminer $\lim_{n→∞} f_n(x_n)$.
    \reponse{Somme de Riemman : $ℓ = ∫_{t=0}^π \dfrac{\sin t}t\,𝕕t$.}


%--------------------------------------------------------------------------
\ex Convergence uniforme

Soit $⅀_{n=1}^∞ (a_n \cos nx + b_n\sin nx)$ une série trigonométrique
convergeant uniformément sur un intervalle $[α,β]$.
Montrer que les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ tendent vers 0.
\reponse{$\sup\limits_{[α,β]}|a_n \cos nx + b_n\sin nx|
          = √{a_n² + b_n²}$ pour $n ⩾ \dfrac{β-α}{2π}$.}


%--------------------------------------------------------------------------
\ex Convergence uniforme

Soit $(a_n)$ une suite décroissante de limite nulle.
Montrer que la série $⅀_{n=1}^∞ a_n\sin nx$ converge uniformément sur
$ℝ$ si et seulement si $na_n ⟶_{n→∞}0$.

Pour le sens direct : utiliser le critère de convergence uniforme de Cauchy
et l'inégalité : $\sin x ⩾ 2x/π$ sur $[0,π/2]$.

\reponse{%
S'il y a convergence uniforme :
$∥a_n\sin nx + … + a_p\sin px∥_∞ ⟶_{n,p→∞}0$.

On prend $x = \dfracπ{2p}$ : $0 ⩽ \dfrac{a_p}p(n+…+p)
                                  ⩽ \dfrac1p(na_n + … + pa_p)
                               ⟶_{n,p→∞}0$.
$n = ⎣p/2⎦ ⇒$ cqfd.
\smallskip
Si $na_n → 0$ : Soit $x ∈ {]0,π]}$ et $n$ tel que
$\dfrac 1n ⩽ x⩽ \dfrac1{n-1}$.

Transformation d'Abel :
$|a_n\sin nx + … + a_p\sin px| ⩽ \dfrac{2a_n}{\sin x/2} ⩽ \dfrac{2na_n}π$,

et $|a_k\sin kx + … + a_{n-1}\sin (n-1)x| ⩽ (ka_k + … + (n-1)a_{n-1})x
⩽ \dfrac{n-k}{n-1}a_k⩽ 2a_k$.
}

%--------------------------------------------------------------------------
\ex Fonction continue dont la série de Fourier diverge en 0

\qq Soit $f:ℝ→ℂ$ paire, $2π$-périodique, telle que, pour tout 
$x∈ [0,π]$, $f(x)=⅀_{p=1}^{∞}\dfrac{1}{p²}\sin \Bigl((2^{p³}+1)\dfrac{x}{2}\Bigr)$. 
Vérifier que $f$ est définie et continue sur $ℝ$.

\qq Soit $A_0 = \dfrac{1}{π}∫_0^{π} f(t)\,𝕕t$, pour $n∈ ℕ^*$, $A_n=\dfrac{2}{π}∫_0^{π} f(t) \cos (nt)\,𝕕t$.

Pour $ν ∈ ℕ$, on pose
$a_{0,ν}=\dfrac12∫_0^{π} \sin \Bigl((2ν +1)\dfrac{t}{2}\Bigr)\,𝕕t $ et
$a_{n,ν}=∫_0^{π} \cos (nt)\sin \Bigl((2ν +1)\dfrac{t}{2}\Bigr)\,𝕕t $.

Pour $q∈ ℕ$, on note 
$s_{q,ν}=⅀_{i=0}^q a_{i,ν}$. Montrer que si $ν$ est fixé, $s_{n,ν}⟶_{n→∞}0$. Calculer 
explicitement les $a_{n,ν}$. En déduire que, pour tout $q$, pour tout $ν$, $s_{q,ν}>0$, et prouver que
$\mathop{\max}\limits_{q∈ ℕ} (s_{q,ν})=s_{ν,ν}$.

\qq Montrer qu'il existe $B>0$ tel que, pour tout $ν ⩾ 1$, $s_{ν,ν}⩾ B \ln ν$.

\qq Montrer que, pour tout $n∈ ℕ$, $A_n=\dfrac{2}{π}⅀_{p=1}^{∞} \dfrac{1}{p²}a_{n,2^{p³-1}}$.

\qq Pour $n∈ ℕ ^*$, on pose $T_n=\dfrac{π}{2} ⅀_{k=0}^{n} A_k$. Vérifier que 
$T_n=⅀_{p=1}^{∞} \dfrac{1}{p²} s_{n,2^{p³-1}}$. Montrer qu'il existe $D>0$ tel que, pour 
tout $p⩾ 1$, $T_{2^{p³-1}}⩾Dp$, et constater que la série de Fourier de $f$ diverge au point $0$.

%--------------------------------------------------------------------------
\ex $⅀_{n=-∞}^∞ R(n)e^{inx}$, $R =$ fraction rationnelle

Soit $R$ une fraction rationnelle à coefficients complexes, de degré strictement
négatif, n'ayant pas de pôle dans $ℤ$.
On pose $f(x) = ⅀_{n=-∞}^∞ R(n)e^{inx}$.

\qq Étudier l'existence et la continuité de $f$.
    \reponse{$R(n) = \dfrac an + S(n)$ avec $\deg S ⩽ -2$.

             Donc $f(x) = R(0) + 2ia⅀_{n=1}^∞ \dfrac{\sin nx}n
                        + ⅀_{n=1}^∞ (S(n)e^{inx} + S(-n)e^{-inx})$
             converge pour tout $x ∈ ℝ$.}

\qq Montrer que $f$ est de classe $𝓒^∞$ sur $ℝ∖2πℤ$.
    \reponse{$R(n) = \dfrac {a_1}n + … + \dfrac{a_k}{n^k} + S(n)$
             avec $\deg S ⩽ -k-1 ⇒
             f(x) = R(0) + a_1f_1(x) + … + a_kf_k(x) + g(x)$
             avec $f_p(x) = ⅀_{n=1}^∞\dfrac{e^{inx}+(-1)^pe^{-inx}}{n^p}$
             et $g$ de classe $𝓒^k$ sur $ℝ∖2πℤ$.
             $f_p' = if_{p-1}$ et $f_1$ est $𝓒^∞$ sur $ℝ∖2πℤ$
             donc $f_p$ aussi.}

%--------------------------------------------------------------------------
\ex $⅀_{n=1}^∞ \dfrac{\cos nx}{P(n)}$, $P =$ polynôme

\qq Donner le développement en série de Fourier de la fonction $f$
    $2π$-périodique telle que $f(x) = (π-x)²$ sur $]0,2π[$.
    \reponse{$f(x) = \dfrac{π²}3 + 4⅀_{n=1}^∞\dfrac{\cos nx}{n²}$.}
\qq Soit $P$ un polynôme de degré 2 sans racines dans $ℕ^*$.
    On pose $g(x) = ⅀_{n=1}^∞ \dfrac{\cos nx}{P(n)}$.
    Montrer que $g$ est de classe $𝓒¹$ par morceaux.
    \reponse{Soit $P(n) = an² + bn + c$.
             Alors $f(x) - 4ag(x) = \dfrac{π²}3
             + 4⅀_{n=1}^∞ \dfrac{bn+c}{an^4+bn³+cn²}\cos nx$.}

%--------------------------------------------------------------------------
\ex Noyau de Féjer

Soit $f:ℝ→ℂ$, $2π$-périodique continue, $f_n$ sa
$n$-ème somme de Fourier et $g_n = \dfrac{f_0 + … + f_n}{n+1}$.

\qq Exprimer $g_n$ à l'aide d'un produit de convolution, $g_n = f*k_n$.
    \reponse{$k_n(x)= \dfrac{1-\cos((n+1)x)}{(n+1)(1-\cos x)}
                    = \dfrac{\sin²((n+1)x/2)}{(n+1)\sin²(x/2)}$.}
\qq Montrer que la suite $(k_n)$ constitue une suite d'approximations de la
    mesure de Dirac sur $]-π,π[$. Ceci montre que la moyenne des
    sommes partielles de la série de Fourier de~$f$ converge uniformément
    vers~$f$ {\it pour toute $f$ continue}.


\xe\titre{Intégrale de Fourier}
                         %+------------------------+
                         %|  Intégrale de Fourier  |
                         %+------------------------+

%--------------------------------------------------------------------------
\ex Formule sommatoire de Poisson

Soit $f:ℝ→ℂ$ de classe $𝓒¹$. On suppose qu'il existe $a>1$ tel que
$f(x) = O(1/|x|^a)$ et $f'(x) = O(1/|x|^a)$ lorsque $|x|→∞$, et on pose
$F(x) = ⅀_{n∈ ℤ}f(x+2nπ)$.

Montrer que $F$ est bien définie, $𝓒¹$ et $2π$-périodique.
En déduire la formule sommatoire de Poisson~:
$$⅀_{n∈ℤ}f(2nπ) = \dfrac1{√{2π}} ⅀_{n∈ℤ} \hat f(n).$$

%--------------------------------------------------------------------------
\ex Formule d'échange

Soient $f,g:ℝ→ℂ$ de classe $𝓒¹$ telles que $f,f',g,g'$ sont
intégrables. Montrer~:
$$∫_{t=-∞}^{+∞}\hat f(t)g(t)\,𝕕t =
  ∫_{t=-∞}^{+∞} f(t)\hat g(t)\,𝕕t.$$


\xe\titre{Divers}
                                %+----------+
                                %|  Divers  |
                                %+----------+

%--------------------------------------------------------------------------
\ex $∫_{t=a}^b f(t)|\sin nt|\,𝕕t$

\qq Développer en série de Fourier la fonction : $x ↦ |\sin x|$.
    \reponse{$|\sin x| = \dfrac2π -\dfrac 4π⅀_{n=1}^∞
             \dfrac{\cos 2nx}{4n²-1}$.}
\qq Application : Soit $f:[a,b]→ℝ$ continue.
    Montrer que $∫_{t=a}^b f(t)|\sin nt|\,𝕕t ⟶_{n→∞}\dfrac2π∫_{t=a}^b f(t)\,𝕕t$.

%--------------------------------------------------------------------------
\ex Équation différentielle

Montrer que l'équation : $y^{(4)}+y''+y = |\sin x|$ admet une et une seule
solution $π$-périodique.
\reponse{$|\sin x| = \dfrac2π -\dfrac 4π⅀_{n=1}^∞
         \dfrac{\cos 2nx}{4n²-1}
         ⇒ y = \dfrac2π -\dfrac4π⅀_{n=1}^∞
         \dfrac{\cos 2nx}{(4n²-1)(16n^4-4n²+1)}$.
         \par
         Cette série converge et définit une fonction de classe $𝓒^4$ solution
         de l'équation.

         Unicité : les solutions de l'équation homogène sont combinaison de
         $e^{jx}$, $e^{-jx}$, $e^{j²x}$ et $e^{-j²x}$ donc non
         $π$-périodiques.}

%--------------------------------------------------------------------------
\ex Équation différentielle

Soit $k ∈ ℝ$.
Résoudre l'équation différentielle $y'' + k²y = ⅀_{n=1}^∞ \dfrac{\cos nx}{n²}$.
\reponse{$k∉ℤ$ : $y = ⅀_{k=1}^∞ \dfrac{\cos nx}{n²(k²-n²)}
                        + a\cos kx + b\sin kx$.\par
         $k∈ℤ$ : remplacer $\dfrac{\cos kx}{k²(k²-k²)}$ par
                        $\dfrac{x\cos kx}{2k³}$.}

%--------------------------------------------------------------------------
\ex Équirépartition modulo 1

\qq Soit $f:ℝ→ℝ$ de classe $𝓒¹$ 1-périodique,
    $α ∈ ℝ∖ℚ$ et $x ∈ ℝ$.

    Montrer que $\dfrac{f(x) + f(x+α) + … + f(x+nα)}{n+1}
    ⟶_{n→∞} ∫_{t=0}¹ f(t)\,𝕕t$.
    \reponse{Développer $f$ en série de Fourier.}

\qq Montrer que le résultat est encore vrai en supposant seulement $f$ continue.
    \reponse{Densité des polynômes trigonométriques dans $𝓒⁰$.}

\qq En déduire la nature de la série $⅀_{n=1}^∞ \dfrac{\sin² n}n$.
    \reponse{$f(t) = \sin²(π t)$, $α = \dfrac1π$, $x = 0$ :
             $S_n = \sin²1 + … + \sin²n \sim \dfrac n2$.\par
             Transformation d'Abel : $⅀_{n=1}ⁿ \dfrac{\sin² n}n =
             -\sin²1 + ⅀_{n=2}^{N-1} \dfrac{S_k}{k(k-1)} + \dfrac{S_N}N
             ⟶_{N→∞}+∞$.\smallskip
    Remarque : on a un raisonnement plus simple en écrivant $2\sin²(n) = 1-\cos(2n)$.}


%----------------------------------------------------------------------
\ex Cachan MP$^*$ 2000

Soit un réel $β > 1$ et
$a_k = ∬_{[0,1]²}e^{-|x-x'|^β}e^{2iπ k(x-x')}\,𝕕x\,𝕕x'$.
Trouver un équivalent quand $n$ tend vers l'infini de
$⅀_{|k|>n\text{ ou }|ℓ|>n} a_ka_ℓ$,
$k$ et~$ℓ$ étant des entiers relatifs.
\reponse{Intégration à $x'-x$ constant~: $a_k = ∫_{y=-1}¹ e^{-|y|^β}(1-|y|)e^{-2ikπ y}\,𝕕y$
est le $2k$-ème coefficient de Fourier de la fonction $f$, $2$-périodique,
telle que ${f(y) = e^{-|y|^β}(1-|y|)}$ si $-1⩽ y⩽ 1$
donc le $k$-ème coefficient de Fourier de $g$, $1$-périodique, telle
que ${g(y) = \frac12(f(y) + f(y+1))}$.
Soit $g_n$ la $n$-ème somme partielle de la série de Fourier de~$g$,
$g_n(y) = ⅀_{|k|⩽ n}a_ke^{2ikπ y}$.

On a par convergence normale de la série de Fourier de~$g$~:
$⅀_{|k|>n\text{ ou }|ℓ|>n} a_ka_ℓ = g²(0) - g_n²(0)$.

$$\eqalign{g(0)-g_n(0)
&= ∫_{y=-½}^½ \dfrac{g(0)-g(y)}{\sinπ y}\sin((2n+1)π y)\,𝕕y\cr
&= 2∫_{y=0}^½ \dfrac{g(0)-g(y)}{\sinπ y}\sin((2n+1)π y)\,𝕕y\cr
&= 2\Bigl[-\dfrac{g(0)-g(y)}{\sinπ y}\dfrac{\cos((2n+1)π y)}{(2n+1)π}\Bigr]_{y=0}^½
+2∫_{y=0}^½ \dfrac{𝕕}{𝕕y}\Bigl(\dfrac{g(0)-g(y)}{\sinπ y}\Bigr)\dfrac{\cos((2n+1)π y)}{(2n+1)π}\,𝕕y\cr
&=\dfrac{1-e^{-1}}{(2n+1)π²} + ∫_{y=0}^½\text{fct continue}(y)\dfrac{\cos((2n+1)π y)}{(2n+1)π}\,𝕕y\cr
&\sim\dfrac{1-e^{-1}}{(2n+1)π²}.\cr}$$
$g(0)+g_n(0) ⟶_{n→∞}2g(0) = 1$ d'où
$⅀_{|k|>n\text{ ou }|ℓ|>n} a_ka_ℓ\sim\dfrac{1-e^{-1}}{(2n+1)π²}$.
}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Algèbre de séries trigonométriques
Soit $E$ l'ensemble des fonctions de~$ℝ$ dans~$ℂ$ de la forme~:
$f(x)=⅀_{n=-∞}^{+∞} c_ne^{2iπ nx}$ où $⅀ |c_n|$ converge.
On pose pour $f∈ E$~: $∥f∥ = ⅀_{n=-∞}^{+∞}|c_n|$.

\qq Justifier la définition de $∥f∥$ et montrer que $E$ est un evn complet.
    \reponse{Si $f=0$ alors $c_n = 0$ pour tout~$n$ par intégration
    terme à terme. Donc une fonction $f∈ E$ possède un unique développement
    trigonométrique et $∥f∥$ est bien défini. Alors $E$ est isomorphe
    à $ℓ¹(ℤ)$ qui est un evn complet.}

\qq Montrer que $E$ est une $ℂ$-algèbre et que $∥fg∥ ⩽ ∥f∥∥g∥$.
    \reponse{Produit de convolution de deux $ℤ$-suites sommables.}

\qq Soit $φ:E→ℂ$ un morphisme d'algèbres.

\sq On suppose $φ$ continu, montrer qu'il existe $z_0∈𝕌$ tel
    que $∀f∈ E,\ φ(f) = ⅀_{n=-∞}^{+∞}c_nz_0ⁿ$.
    \reponse{$z_0 = φ(x↦e^{2iπ x})$. On a $|z_0| = 1$ car la suite
    $(φ(x↦e^{2inπ x})_{n∈ℤ})$ est bornée.}

\sq Vérifier que la formule précédente définit effectivement un morphisme
    continu de~$E$ dans~$ℂ$.

%----------------------------------------------------------------------
\ex Mines MP 2002

Déterminer la nature de la série de terme général
$u_n=(-1)ⁿ ∫_{t=0}¹ \cos (nt²)\,𝕕t$.
\reponse{\def\f{{\textstyle½}}%
$u_0+…+u_n = \dfrac12 + \dfrac{(-1)ⁿ}2∫_{t=0}¹\dfrac{\cos((n+\f)t²)}{\cos(\f t²)}\,𝕕t
=\dfrac12 + \dfrac{(-1)ⁿ}2∫_{u=0}¹\dfrac{\cos((n+\f)u)}{2\cos(\f u)√ u}\,𝕕u⟶_{n→∞}\dfrac12$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Ens Lyon MP$^*$ 2003
On note~:$$\eqalign{
E&= ⦃\text{fonctions continues }2π\text{-périodiques }f:ℝ→ℂ⦄~;\cr
E¹&= ⦃f∈ E \text{ de classe }𝓒¹⦄~;\cr
E_n&= ⦃f∈ E\text{ tq }∀k∈⟦-n,n⟧,\ {\textstyle ∫}_{t=0}^{2π}f(t)e^{-ikt}\,𝕕t = 0⦄~;\cr
E_n¹&= E_n ∩ E¹.\cr}$$

On considère sur~$E$ la norme~$∥\ ∥₂$~: $∥f∥₂ = √{\frac1{2π}∫|f|²}$.

\qq Montrer que~$\application D {E_0¹} {E_0} f {f'}$ est une bijection.
    \reponse{Si~$f$ est $𝓒¹$, $2π$-périodique alors $f'$ est continue,
    $2π$-périodique de moyenne nulle donc $D(E_0¹)⊂E_0$.
    Réciproquement, si $g∈ E_0$ alors toutes les primitives de~$g$ sont
    $2π$-périodiques de classe~$𝓒¹$ et il y en a exactement une qui a
    une valeur moyenne nulle (une seule possibilité de régler la constante).}
\qq $D$ est-elle continue~?
    \reponse{Non (et ceci quelle que soit la norme) car le spectre de~$D$ n'est par borné.}
\qq Montrer que~$D^{-1}$ est continue.
    \reponse{$∥f∥₂² = ⅀_{k∈ℤ^*}|c_k(f)|² ⩽ ⅀_{k∈ℤ^*}|ikc_k(f)|² = ∥f'∥²$.}
\qq Montrer que~$D^{-1}(E_n) = E_n¹$ et calculer $\∥D^{-1}_{|E_n}\∥$.
    \reponse{Idem, $\∥D^{-1}_{|E_n}\∥ = \dfrac1{n+1}$.}    

%----------------------------------------------------------------------
\ex Quatre racines, ENS Cachan MP$^*$ 2005

Soit $f$ à valeurs réelles, de classe $𝓒^2$, $2π$-périodique, de moyenne nulle. Montrer que $g=f+f''$ s'annule au moins quatre fois sur $[0,2π[$.
\reponse{On a $c_0(g) = c_1(g) = c_{-1}(g) = 0$, donc $g$ est orthogonale à tout polynôme trigonométrique de degré
inférieur ou égal à~$1$. Si $g$ est de signe constant sur $]0,2π[$, on contredit $c_0(g) = 0$. Donc
$g$ a au moins une racine $a∈{]0,2π[}$. Si $g$ n'a pas d'autre racine
dans $]0,2π[$ alors $g$ est de signes constants opposés sur $]0,a[$ et $]a,2π[$.
Mais alors $g(t)(\cos(t-a/2)-\cos(a/2))$ est de signe constant sur la réunion de
ces intervalles, c'est absurde. Donc $g$ a une deuxième racine dans $]0,2π[$,
par exemple $b∈{]a,2π[}$. Si $g$ n'a pas d'autre racine sur $]0,2π[$
alors $g$ est de signes constants sur $]0,a[$, $]a,b[$ et $]b,2π[$ et les
signes alternent. On obtient une nouvelle contradiction car alors
$g(t)(\cos(t-(a+b)/2)-\cos((b-a)/2))$ est de signe constant sur la réunion de
ces intervalles. Ainsi $g$ admet une troisième racine, par exemple $c∈{]b,2π[}$.
Enfin, si l'on suppose que $g$ n'a pas d'autre racine sur $]0,2π[$ alors on
a $g(t) > 0$ sur $]0,a[$ et $]b,c[$ et $g(t) < 0$ sur $]a,b[$ et $]c,2π[$ ou
l'inverse. Dans les deux cas, on en déduit que $g(0) = g(2π) = 0$.}


\bye
