\input exos
\concretemath
\fiche{Espaces probabilisés}

%---------- Vrai ou faux
\ex Vrai ou faux~?
    Dire si chaque affirmation est vraie (alors la prouver)
    ou fausse (donner un contre-exemple)~:
\qq Si $Ω$ est un univers et $A,B⊂Ω$ alors
    $⦃∅,Ω,A,\overline A,B,\overline B⦄$ est une tribu sur~$Ω$.
    \reponse{faux, ne contient par $A∪B$.}
\qq Si $Ω=⦃1,2,3,4⦄$, la tribu engendrée par~$⦃1⦄,⦃1,2⦄,⦃2,3⦄$
    est égale à~$𝓟(Ω)$.
    \reponse{Vrai, elle contient tous les singletons.}
\qq Si $ℙ(A)+ℙ(B)=1$ alors $B = \overline A$.
    \reponse{Faux, prendre $A=B$ de probabilité $\frac12$.}
\qq Si $A$ et $B$ sont deux évènements indépendants alors $ℙ(A∪B)=ℙ(A)+ℙ(B)$.
    \reponse{Faux lorsque $ℙ(A)ℙ(B)>0$.}
\qq Si $ℙ(A∪B)=ℙ(A)+ℙ(B)$ alors $A$ et $B$ sont incompatibles.
    \reponse{Faux, $A∩B$ est négligeable.}
\qq Si $(A_k)_{k∈ℕ}$ est un système complet d'évènements de probabilités non
    nulles alors pour tout évènement $A$ la série $⅀_{k∈ℕ}ℙ(A│A_k)$ est
    convergente.
    \reponse{Faux, prendre $A=Ω$.}


%---------- Tribu sur~$ℕ$
\ex Tribu sur~$ℕ$
Montrer que $𝓣=⦃X⊂ℕ\tq ∀n∈ℕ,\ 2n∈X⇔2n+1∈X⦄$ est une tribu.

%---------- Inégalité ?
\ex Équité~?
On considère une société dont chaque individu peut avoir les
caractéristiques suivantes~:

-- il peut être bleu (probabilité $p$) ou rouge (probabilité $1-p$)~;

-- il peut être riche (probabilité $q$) ou pauvre (probabilité $1-q$)~;

On sait de plus que $70\%$ des bleus sont riches et $70\%$ des riches
sont bleus. La richesse est-elle équitablement
répartie entre les bleus et les rouges~?

\reponse{%
$ℙ($riche$│$bleu$)p+ℙ($riche$│$rouge$)(1-p) = q$. La richesse est équitablement
répartie ssi $q=70\%$.
}

%---------- Probabilité des causes
\ex Probabilité des causes
On cherche un objet dans un meuble constitué de sept tiroirs. La probabilité
qu'il soit effectivement dans ce meuble est~$p$. Sachant qu'on a examiné
les six premiers tiroirs sans succès, quelle est la probabilité qu'il soit
dans le septième~?
\reponse{Il manque l'information concernant les probabilités que l'objet
soit dans un tiroir ou un autre sachant qu'il est dans le meuble.
Supposons que ces probabilités sont égales à~$1/7$ et
soient $A_i$ l'évènement «~l'objet est dans le tiroir~$i$~» et
$B$ l'évènement «~l'objet n'est pas dans le meuble~».

On a $ℙ(A₇) = ℙ(A₇│\overline B)p + ℙ(A₇│B)(1-p) = p/7$
puis $ℙ(A₇│A₇∪B) = \dfrac{ℙ(A₇)}{ℙ(A₇)+ℙ(B)} = \dfrac p{7-6p}$.}

%---------- Probabilité des causes
\ex Probabilité des causes
\qq Les familles françaises comportent deux enfants, chacun pouvant être un garçon ou une fille avec équiprobabilité et indépendance entre les enfants.
La famille Martin se promène au square et Monsieur Durand, assis plus loin sur un banc, constate qu'il y a un garçon. Quelle est la probabilité que l'autre enfant soit une fille~?
\qq On note $A = ⦃$la famille Martin a au moins un garçon$⦄$,
            $B = ⦃$la famille Martin a au moins une fille$⦄$,
            $C = ⦃$l'enfant qui marche en tête est un garçon$⦄$,
            $D = ⦃$l'enfant qui marche derrière est une fille$⦄$.
    Calculer $ℙ(B│A)$, $ℙ(D│C)$ et reconsidérer votre réponse en~{\bf 1}.
\qq Il a été constaté qu'un garçon est plus agité qu'une fille~: la probabilité
    pour qu'un enfant coure dans tous les sens est $\frac23$ pour les garçons
    et seulement $\frac13$ pour les filles. Comme Monsieur Durand a la vue
    plutôt basse, il ne voit que les enfants agités et distingue seulement alors
    leur sexe. Sachant qu'il a vu un garçon, quelle est la probabilité que
    l'autre enfant soit une fille~?

%---------- Temps d'attente
\ex Temps d'attente
On dispose d'un trouseau de $n$ clés, une seule d'entre elles pouvant ouvrir
la porte de l'appartement.

\qq On essaie une clé au hasard, puis on recommence tant qu'on n'a pas
    trouvé la bonne clé. Les essais étant supposés indépendants et le choix
    d'une clé à chaque essai étant supposé uniforme, déterminer la probabilité
    qu'on trouve la bonne clé au $k$-ème essai et la probabilité qu'on ne
    trouve jamais la bonne clé.
    \reponse{$p_k = (n-1)^{k-1}/n^k$, $p_∞=0$.}

\qq Mêmes questions mais en supposant qu'à chaque nouvel essai on choisit
    uniformémént une clé autre que celle que l'on vient d'essayer.
    \reponse{$p₁=1/n$, $p_k = (n-2)^{k-2}/n(n-1)^{k-2}$ pour $k⩾2$,
    $p_∞=0$.}

\qq Mêmes questions mais en supposant qu'à chaque nouvel essai on choisit
    uniformémént une clé autre que toutes celles que l'on a déjà essayé.
    \reponse{$p_k = 1/n$ pour $1⩽k⩽n$.}

%---------- Évènements mutuellement indépendants
\ex Évènements
Soit $(A_n)_{n∈ℕ}$ une suite d'évènements dans un même espace probabilisé.

\qq Montrer que les ensembles suivants sont des évènements~:

    $A =$ «~Il y a une infinité d'évènements parmi les $A_n$ qui sont réalisés~».

    $B =$ «~A partir d'un certain rang, tous les $A_n$ sont réalisés~».

    $C =$ «~Il n'y a jamais deux évènements consécutifs réalisés~».

    \reponse{%
    $A = ⋂_{n=0}^∞(⋃_{k=n}^∞A_k)$~;
    $B = ⋃_{n=0}^∞(⋂_{k=n}^∞A_k)$~;
    $C = Ω∖(⋃_{n=0}^∞(A_n∩A_{n+1}))$.}

\qq On suppose les $A_n$ mutuellement indépendants et $ℙ(A_n)=\frac12$ pour
    tout~$n∈ℕ$.

    Calculer $ℙ(A)$, $ℙ(B)$, $ℙ(C)$.
    \reponse{%
    $ℙ(⋃_{k=n}^∞A_k) = ℙ(A_n) + ℙ(\overline{A_n}∩A_{n+1})
                            + ℙ(\overline{A_n}∩\overline{A_{n+1}}∩A_{n+2})+…
                    =1$ donc $ℙ(A)=1$.

    $ℙ(⋂_{k=n}^∞A_k) = 0$ donc $ℙ(B) = 0$.

    $ℙ(C)⩽ℙ(⋂_{n=0}^∞(\overline{A_{2n}∩A_{2n+1}}))=0$ donc $ℙ(C)=0$.}
    

\qq On suppose les $A_n$ mutuellement indépendants et $ℙ(A_n)=1/2^{n+1}$ pour
    tout~$n∈ℕ$.

    Calculer $ℙ(A)$, $ℙ(B)$ et montrer sans la calculer que
    $0 < ℙ(C) < 1$.
    \reponse{%
    $ℙ(⋃_{k=n}^∞A_k)⩽⅀_{k=n}^∞ℙ(A_k) = 1/2^n$ donc $ℙ(A)=0$.

    $ℙ(⋂_{k=n}^∞A_k) = 0$ donc $ℙ(B) = 0$.

    $\frac18 = ℙ(A₀∩A₁)⩽ℙ(⋃_{n=0}^∞(A_n∩A_{n+1}))⩽⅀_{n=0}^∞1/2^{2n+3}=\frac16$.}

\qq Donner des exemples de telles suites~$(A_n)$.
    \reponse{Dans un jeu de pile ou face infini,
    $A_n =$ «~le lancer de rang $n$ donne pile~»~;

    $A'_n =$ «~les lancers de rang $10ⁿ,10ⁿ+1,…,10ⁿ+n$ donnent tous pile~».}

%---------- Temps d'attente
\ex Temps d'attente
On lance une infinité de fois une pièce et on considère
l'évènement~$A_k =$ «~au cours des $k$ premiers lancers, il n'est jamais sorti
trois pile de suite~» avec la convention $A₀=Ω$.

\qq En supposant les lancers mutuellement indépendants et la pièce équilibrée,
    montrer que

    $ℙ(A_k) = \frac12ℙ(A_{k-1})+\frac14ℙ(A_{k-2})+\frac18ℙ(A_{k-3})$
    pour $k⩾3$.
    \reponse{Conditionner par le résultat des lancers de rang $k-3,k-2,k-1$.}

\qq On note $α,β,γ$ les racines dans~$ℂ$ du polynôme $X³-X²/2-X/4-1/8$.
    Montrer, sans les calculer, que $\max(|α|,|β|,|γ|)<1$
    et en déduire $\lim_{k→∞}ℙ(A_k)$.
    \reponse{Par étude de fonction, il existe une unique racine réelle
    $α∈{]\frac12,1[}$. Les deux autres racines sont non réelles conjuguées
    et $|β|=|γ|= √{1/8α}<\frac12$.
    $ℙ(A_k)$ est combinaison linéaire des suites $(α^k)$, $(β^k)$, $(γ^k)$
    donc $ℙ(A_k)⟶_{k→∞}0$.}

\qq Reprendre l'exercice avec
    l'évènement~$B_k =$ «~au cours des $k$ premiers lancers, il n'est jamais
    sorti la séquence $PFP$~».
    \reponse{En conditionnant par le nombre~$n$ de pile consécutifs à la
    fin des $k$ lancers, on obtient

    $ℙ(B_k)=\frac12ℙ(B_{k-1})+⅀_{n=1}^{k-2}ℙ(B_{k-n-2})/2^{n+2}$,
    puis $ℙ(B_{k+1})=ℙ(B_k)-\frac14ℙ(B_{k-1})+\frac18ℙ(B_{k-2})$.

    L'équation caractéristique admet à nouveau trois racines $α∈{]\frac12,1[}$
    et $β,γ$ non réelles conjuguées de module $<\frac12$,
    d'où $ℙ(B_k)⟶_{k→∞}0$.}

\qq Soit $S$ une suite fixée dans $⦃P,F⦄^N$. Montrer, sans calcul,
    qu'il est presque certain que $S$ apparaît au moins une fois lors d'une
    infinité de tirages mutuellement indépendants, avec $P$ et $F$ de
    probabilité~$\frac12$ à chaque lancer. Montrer qu'il est presque
    certain que $S$ apparaît une infinité de fois dans les mêmes conditions~;
    et montrer enfin que ceci reste vrai pour toute pièce vérifiant
    $ℙ(P)=p∈{]0,1[}$, les lancers étant toujours mutuellement indépendants.
    \reponse{Découper la suite des lancers en blocs de taille~$N$.}

%---------- Équilibre
\ex Équilibre

On lance une infinité de fois une pièce et on considère les ensembles de résultats suivants~:

$A_n = ⦃$ sur les $2n$ premiers lancers, il est apparu autant de $P$ que de $F ⦄$. 

$B_n = ⦃$ sur les $2n$ premiers lancers, il est apparu pour la première fois autant de $P$ que de $F ⦄$.

$C = ⦃$ sur l'ensemble des lancers, $P$ et $F$ sont arrivés à égalité au moins une fois $⦄$.

$D = ⦃$ sur l'ensemble des lancers, $P$ et $F$ sont arrivés à égalité une infinité de fois $⦄$.

\qq Montrer que ce sont des évènements.
\qq Calculer $ℙ(A_n)$ et $ℙ(B_n)$ pour $n∈ℕ^*$.
    \reponse{$ℙ(A_n)=\bin{2n}n(pq)^n$, $ℙ(B_n)=2\bin{2n-2}{n-1}(pq)^n/n$.}
\qq Calculer $ℙ(C)$. On distinguera les cas $p≠q$, $p=q=\frac12$.
    \reponse{$ℙ(C)=⅀_{n=1}^∞ℙ(B_n)=1-√{1-4pq}=2\min(p,q)$ par DSE dans le cas $p≠q$ et
             par intégration terme à terme, cas réel positif dans le
             $p=q=\frac12$.}
\qq Calculer $ℙ(D)$.
    \reponse{$ℙ(D)=0$ si $p≠q$, $ℙ(D)=1$ si $p=q=\frac12$.}

%---------- Déséquilibre
\ex Déséquilibre
On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir deux fois plus de Face que
de Pile. Quelle est la probabilité de ne jamais y arriver~?
\reponse{Soient $p_n$, $f_n$ les nombres de Pile et de Face obtenus
         au cours des $n$ premiers lancers et soit $x_n = 2p_n-f_n$ ($n∈ℕ$).
         Pour $k∈ℤ$ et $n∈ℕ$, on note $A_{k,n}$ l'évènement $⦃x_n=k⦄$ et
         $A_k = ⋃_{n∈ℕ}A_{k,n}$. $A_k$ est l'évènement~:
         $⦃${\it on aboutit en un nombre fini de lancers à la situation
         où }$2p_n-f_n = k⦄$ et la probabilité demandée est
         $1-\frac12ℙ(A_{-2})-\frac12ℙ(A_{1})$, par disjonction de cas
         selon le résultat du premier lancer.
         \medskip
         Toujours par disjonction de cas,
         $ℙ(A_k) = \frac12ℙ(A_{k-2}) + \frac12ℙ(A_{k+1})$, équation de récurrence
         ayant pour racines $a=1$, $b=\frac{√5-1}2$, $c=-\frac{√5+1}2$.
         Donc $ℙ(A_k) = α+βb^k+γc^k$ pour tout $k∈ℤ$ où $α,β,γ$ sont des
         constantes. Comme la suite $(ℙ(A_k))$ est bornée, $β=γ=0$ donc
         $α=ℙ(A₀)=1$ et la
         probabilité de ne jamais avoir $2p_n=f_n$ est nulle.}
         
         
%---------- Lemme de Borel-Cantelli
\ex Lemme de Borel-Cantelli
Soit $(A_n)_{n∈ℕ}$ une suite d'évènements dans un même espace probabilisé.
On note 
$A =$ «~Il y a une infinité d'évènements parmi les $A_n$ qui sont réalisés~».
\qq Montrer que $A$ est un évènement.
    \reponse{$A = ⋂_{n=0}^∞(⋃_{k=n}^∞A_k)$.}
\qq Si la série $⅀_kℙ(A_k)$ est convergente, montrer que $ℙ(A)=0$.
    \reponse{$ℙ(⋃_{k=n}^∞A_k)⩽⅀_{k=n}^∞ℙ(A_k)⟶_{n→∞}0$.}
\qq Si la série $⅀_kℙ(A_k)$ est divergente et si les $A_k$ sont mutuellement
    indépendants, montrer que ${ℙ(A)=1}$.%
    \reponse{%
    $1-ℙ(⋃_{k=n}^∞A_k) = 1-ℙ(A_n) + ℙ(\overline{A_n}∩A_{n+1})
                            + ℙ(\overline{A_n}∩\overline{A_{n+1}}∩A_{n+2})+…
                    =(1-ℙ(A_n))(1-ℙ(A_{n+1}))…$

    La série de terme général $-\ln(1-ℙ(A_n))$ est divergente : grossièrement
    si $ℙ(A_n)$ ne tend pas vers zéro, sinon par équivalence si
    $ℙ(A_n)⟶_{n→∞}0$. Donc le produit infini précédent est nul, ce qui suffit
    à conclure.}
\qq Donner un cas où $ℙ(A)=\frac12$.
    \reponse{Tous les $A_k$ égaux à un même évènement de probabilité~$\frac12$.}

%---------- Non indépendance
\ex Non indépendance
On lance une pièce équilibrée $n$ fois (les lancers sont mutuellement
indépendants) et on note $A_k =$ «~le $k$-ème lancer donne P~»,
$B =$ «~le nombre total de P est pair~». Montrer que parmi les $n+1$
évènements $A₁,…,A_n,B$, $n$ quelconques sont mutuellement indépendants
mais les $n+1$ ne le sont pas.

%---------- Pièces variables
\ex Pièces variables
On lance $n$ pièces, l'une après l'autre, et on fait l'hypothèse
que les lancers sont mutuellement indépendants et que la $k$-ème pièce
a une probabilité $1/(2k+1)$ de produire pile.
Quelle est la probabilité que le nombre de pile obtenu soit pair~?
\reponse{Soit $p_n$ cette probabilité. En conditionnant par le résultat
du $n$-ème lancer, on a

$(2n+1)p_n = 1 + (2n-1)p_{n-1} = … = (n-1)+3p₁=n+1$.}

%---------- Limite de probabilités
\ex Limite de probabilités
Soit $(ℙ_k)_{k∈ℕ}$ une suite de probabilités sur~$ℕ$ (avec la tribu $𝓟(ℕ)$).
On suppose que pour tout~entier $n∈ℕ$, la suite $(ℙ_k(⦃n⦄))$ est
convergente, de limite $p_n∈{[0,1]}$.

\qqsq Montrer que $⅀_{n∈ℕ}p_n⩽1$.
    \reponse{Passer à la limite dans une somme finie.}
    \sq  Donner un exemple où la somme est strictement plus petite que~$1$.
    \reponse{$ℙ_k(X) = 1$ si $k∈X$, $0$ sinon.}
\qq On suppose que $⅀_{n∈ℕ}p_n=1$ et on pose pour $k,n∈ℕ$~:
    $a_{n,k} = \min(ℙ_k(⦃n⦄),p_n)$.
    \sq Montrer que $⅀_{n∈ℕ}a_{n,k}⟶_{k→∞}1$ et en déduire
        $⅀_{n∈ℕ}|ℙ_k(⦃n⦄)-p_n|⟶_{k→∞}0$.
        \reponse{Pour $N$ fixé, $⅀_{n⩽N}a_{n,k}⟶_{k→∞}⅀_{n⩽N}p_n$ et
        pour $k$ fixé, $⅀_{n⩽N}a_{n,k}⟶_{N→∞}⅀_{n∈ℕ}a_{n,k}$. Cette dernière
        convergence est uniforme par rapport à~$k$ car $a_{n,k}⩽p_n$ donc
        on peut intervertir les limites~:
        $⅀_{n∈ℕ}a_{n,k}⟶_{k→∞}⅀_{n∈ℕ}p_n=1$.

        La deuxième convergence résulte de la relation
        $|ℙ_k(⦃n⦄)-p_n| = ℙ_k(ℕ)+p_n-2a_{n,k}$.}
    \sq Pour $X⊂ℕ$, montrer que $ℙ_k(X)⟶_{k→∞}⅀_{n∈X}p_n$.
        \reponse{$|ℙ_k(X)-⅀_{n∈X}p_n|⩽⅀_{n∈ℕ}|ℙ_k(⦃n⦄)-p_n|$.}
    \sq Prouver enfin que l'application $X↦\lim_{k→∞}(ℙ_k(X))$
        est une probabilité sur~$ℕ$.

%---------- $ℙ(kℕ)=1/k$~?
\ex $ℙ(kℕ)=1/k$~?
On démontre dans cet exercice qu'il n'existe par de probabilité $ℙ$
sur~$ℕ$ vérifiant~: {\it pour tout $k∈ℕ^*$, la probabilité qu'un entier
choisi au hasard selon la probabilité~$ℙ$ soit divisible par~$k$
est égale à~$1/k$.} Pour cela, on raisonne par l'absurde~;
soit $ℙ$ une telle probabilité.

\qq Montrer que si $k₁,…,k_m$ sont des entiers non nuls et deux à deux
    premiers entre eux, alors les évènements
    $A_i =$ «~$n$ est divisible par~$k_i$~» sont mutuellement
    indépendants.
\qq Montrer que l'évènement $A =$
    «~$n$ n'est divisible par aucun facteur premier~» est de probabilité
    nulle.
    \reponse{$ℿ_{p\text{ premier}}(1-1/p)=0$.}
\qq Généraliser et conclure.
    \reponse{De même, si $p₁,…,p_k$ sont premiers distincts
    alors
    $$ℙ(n\text{ n'a pas de diviseur premier en dehors de }p₁,…,p_k)=0$$
    et par union croissante~: $ℙ(ℕ∖⦃1⦄)=0$, en contradiction avec
    $ℙ(2ℕ)=\frac12$.}

%---------- Permutation aléatoire
\ex Permutation aléatoire
On veut tirer au hasard une permutation des entiers $1,…,n$ et on envisage
les deux méthodes suivantes.

\qq On fixe un entier~$N$, et on tire $2N$ entiers $i₁,j₁,…,i_N,j_N∈⟦1,n⟧$
    de manière uniforme et indépendante.
    On calcule alors $σ=(i₁\ j₁)∘…∘(i_N\ j_N)$ avec la convention
    $(i_k\ j_k)=\id$ si $i_k=j_k$.
    \sq Comment choisir~$N$ pour être sûr de pouvoir obtenir chaque
        permutation~?
        \reponse{La composée de~$N$ transpositions a au moins $n-N$ orbites
        si $N<n$ et il existe des permutations à une seule orbite (les
        $n$-cycles) donc il faut $N⩾n-1$. Cette condition est suffisante,
        toute permutation de~$n$ éléments peut être décomposée en
        au plus $n-1$ transpositions.}
    \sq Lorsque cette condition est remplie, permutation obtenue est-elle
        uniformément distribuée sur~$S_n$~?
        \reponse{Non, la taille de l'univers est $n^{2N}$ qui n'est pas un
        multiple de~$n!$ si $n⩾3$.}

\qq On tire de manière uniforme et indépendante des entiers $k₁∈⟦0,1⟧$,
    $k₂∈⟦0,2⟧$,…,$k_{n-1}∈⟦0,n-1⟧$ et on calcule
    $σ=(1\ 2)^{k₁}∘(1\ 2\ 3)^{k_2}∘…∘(1\ …\ n)^{k_{n-1}}$.
    Peut-on ainsi obtenir toutes les permutations~? Sont-elles équiprobables~?
    \reponse{Oui.}

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\ex Fonction $ζ$, Mines-Ponts 2015
Soit $s∈{]1,+∞[}$ et $\application {ρ_s} {𝓟(ℕ^*)}{[0,1]} A
{\dfrac1{ζ(s)}⅀_{k∈A}\dfrac1{k^s}}$ où $ζ(s) =⅀_{k∈ℕ^*}\dfrac1{k^s}$.
\qq Montrer que $ρ_s$ est une probabilité.
\qq Soit $n∈ℕ^*$ et $A_n$ le sous-ensemble de~$ℕ^*$ constiué des
    multiples de~$n$. Calculer $ρ_s(A_n)$.
    \reponse{$1/n^s$.}
\qq Soit $(ℓ₁,…,ℓ_n,…)$ la suite des nombres premiers.
    Montrer que les évènements $A_{ℓ₁},…,A_{ℓ_n},…$ sont mutuellement
    indépendants pour la probabilité~$ρ_s$.
\qq En déduire que $\dfrac1{ζ(s)}=ℿ_{i=1}^∞\Bigr(1-\dfrac1{ℓ_i^s}\Bigl)$.
    \reponse{Les évènements contraires $(k$ n'est pas divisible par~$ℓ_i)$ sont
             aussi mutuellement indépendants donc le produit de leurs
             probabilités est la probabilité de leur intersection qui
             est égale à~$⦃1⦄$.}
%-----------------------------------------------------------------------------
\ex Escargots et coquilles
\qq Soient $A₁,A₂,…,A_n$ des évènements. On veut prouver la {\it formule du
    crible}~: $$ℙ(A₁∪…∪A_n) = ⅀_iℙ(A_i) - ⅀_{i<j}ℙ(A_i∩A_j) + ⅀_{i<j<k}ℙ(A_i∩A_j∩A_k) - … + (-1)^{n-1}ℙ(A₁∩…∩A_n).$$
    \sq Traiter les cas $n=2$ et $n=3$.
    \sq Pour le cas général, on note $𝟙_A$ la fonction indicatrice de
        l'évènement~$A$. Exprimer $𝟙_{\overline{A₁∪…∪A_n}}$ en fonction des $𝟙_{A_i}$
        et calculer son espérance.
\qq Soit $σ∈S_n$. On dit que $σ$ est un {\it dérangement\/} si $σ(i)≠i$ pour
    tout~$i$. Quelle est la probabilité qu'une permutation choise au hasard
    soit un dérangement~?

\qq La société {\bf Burgundy Snail Inc.} reçoit chaque semaine 6000 escargots
    vivants. Elle les fait bouillir ensemble dans une grande marmite ce qui a
    pour effet (entre autres) de détacher chaque escargot de sa coquille. Les
    escargots bouillis flottent à la surface et les coquilles tombent au fond
    de la marmite. Une chaîne de traitement récupère les escargots et les
    assaisonne~; une autre chaîne récupère les coquilles, les nettoie et les
    fait briller. Puis escargots et coquilles rejoignent une troisième chaîne
    qui place chaque escargot dans une coquille et les emballe par boîtes de 12.
    On demande…
    \sq La probabilité que chaque escargot se retrouve dans sa coquille
        d'origine.
    \sq La probabilité qu'aucun escargot ne se retrouve dans sa coquille
        d'origine.
    \sq La probabilité que chaque boite de 12 escargots contienne exactement
        un escargot qui est dans sa coquille d'origine.
        
%-----------------------------------------------------------------------------
    
\bye

