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%|                            Fonctions symétriques                            |
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\input exos
\fiche{Fonctions symétriques}

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\ex $a/b + b/c + c/a$

Soient $a,b,c$ les racines de $X³ + pX + q$, $q ≠ 0$. Calculer :
$⅀_{σ ∈ S₃} \left( \dfrac {σ(a)}{σ(b)} + \dfrac {σ(b)}{σ(c)}
                  + \dfrac {σ(c)}{σ(a)} \right)$.

\reponse{$3\Bigl(\dfrac ab + \dfrac ac + \dfrac ba + \dfrac bc + \dfrac ca
          + \dfrac cb\Bigr) = -9$.}

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\ex $1/(x_i-1)$

Soient $x₁,x₂,x₃,x₄$ les racines de $X⁴ + X + 1$.
Calculer $⅀_{i=1}⁴ \dfrac 1{x_i-1}$.
\reponse{$-\frac 53$.}

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\ex $x_i/(x_jx_k)$

Soient $x₁,…,x₈$ les racines de $X⁸ + X⁷ - X² + 3$.
Calculer $⅀_{1⩽i⩽8, 1⩽j<k⩽8} \dfrac {x_i}{x_jx_k}$.
\reponse{$⅓$.}

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\ex $x_i⁷$

Soient $a,b,c$ les racines de $X³ - X + 1$. Calculer $a⁷ + b⁷ + c⁷$.
\reponse{$x⁷ = -2x² + 2x - 1 ⇒ a⁷ + b⁷ + c⁷ = -7$.}

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\ex $a+b+c$, $a²+b²+c²$, $1/a+1/b+1/c$ donnés

Résoudre $\left⦃\matrix{
           a   &+ &b   &+ &c   &= &0  \cr
           a²  &+ &b²  &+ &c²  &= &1  \cr
           1/a &+ &1/b &+ &1/c &= &-1.\cr}\right.$
\reponse{$⦃a,b,c⦄ = ⦃ 1, -\frac {1+i}2, -\frac {1-i}2 ⦄$.}

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\ex Ensi P 90
    Résoudre dans $ℂ$ le système :
    $\cases{ x+y+z=2\cr x²+y²+z²=6\cr1/x+1/y+1/z=½.\cr }$
    \reponse{$⦃x,y,z⦄=⦃-1,1,2⦄$.}

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\ex $∫_{t=-1}^1 P(t)\,𝕕t = d(P(a)+P(b)+P(c))$

Trouver $a,b,c,d ∈ ℝ$ tels que : $∀P ∈ ℝ₃[X]$,
$∫_{t=-1}^1 P(t)\,𝕕t = d(P(a)+P(b)+P(c))$.
\reponse{$d = ⅔$, $⦃a,b,c⦄ = ⦃0, ±\frac 1{√2}⦄$.}

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\ex $a,b,c$ en progression géométrique

Soient $a,b,c ∈ ℂ$.

Montrer que ces nombres sont en progression géométrique
si et seulement si $(ab+ac+bc)³ = abc(a+b+c)³$.

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\ex Condition liant les racines

Soit $P = X³ + pX + q$ de racines $a,b,c$.

\qq   CNS pour ces racines soient aux sommets d'un carré ?
      \reponse{$50p³ = 27q²$.}
\qq   CNS pour que $a² + b² = 1 + c²$ ?
      \reponse{$a²+b²+c² = 2c² + 1 = -2p ⇒$ l'une des racines de l'équation
               aux carrés ($-Y³ -2pY² -p²Y + q²$) doit être $-p -½$.
               CNS $⇔ 2p+1 + 8q² = 0$.}

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\ex Condition liant les racines
Soient $A,B,C$ les points dont les affixes sont les racines de
$X³ + pX + q$, $p,q ∈ ℂ$.
A quelle condition sur $p$ et $q$ a t-on $AB = AC = 2BC$ ?
\reponse{$20p³ + 27q² = 0$.}

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\ex Condition liant les racines
Soit $P = X⁴ + aX² + bX + c$ de racines $α,β,γ,δ$.
CNS pour ces racines soient en progression arithmétique~?
\reponse{$b=0$, $c = \frac9{100}a² ⇒$ racines : $-3x,-x,x,3x$ avec $10x² = -a$.}


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\ex Transformation d'équation

Soient $x₁,x₂,x₃$ les racines de $X³ + 2X² + 3X + 4$.

Calculer le polynôme unitaire de $ℝ₃[X]$ dont
$x₁+x₂,x₂+x₃,x₃+x₁$ sont {\it les\/} racines.
\reponse{$-P(-2-X) = X³ + 4X² + 7X + 2$.}

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\ex Transformation d'équation
Soient $x₁,x₂,x₃$ les racines de $X³ + aX² + bX + c$.

Calculer le polynôme unitaire de $ℝ₃[X]$ dont
$x₁²,x₂²,x₃²$ sont {\it les\/} racines.
\reponse{$X³ + (2b-a²)X² + (b²-2ac)X -c²$.}

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\ex $2X³ + 5X² - X + λ$ a une racine de module 1

Trouver $λ ∈ ℝ$ tel que $2X³ + 5X² - X + λ$ ait une racine de module 1.
\reponse{racine 1 : $λ = -6$.\par
         racine -1 : $λ = -4$.\par
         racine $α ∈ 𝕌∖⦃±1⦄$ : les autres sont $1/α$ et
         $-λ ⇒ λ = 6$, $α = \frac{1+i√{15}}4$.}

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\ex Polynômes de $ℤ[X]$ dont les racines sont de module 1
Soit $n ∈ ℕ^*$ et $𝓔$ l'ensemble des polynômes à coefficients
entiers, unitaires de degré $n$ et dont toutes les racines sont de module 1.

\qq   Démontrer que $𝓔$ est fini.
      \reponse{Les coefficients de $P$ sont bornés.}
\qq   Pour $P ∈ 𝓔$ de racines $x₁,…,x_n$, on note $\widetilde P$ le
      polynôme unitaire de racines $x₁²,…,x_n²$.
      Démontrer que $\widetilde P ∈ 𝓔$.
      \reponse{$\widetilde P(X²) = (-1)^nP(X)P(-X) ⇒ \widetilde P ∈ ℤ[X]$.}
\qq   En déduire que : $∀P ∈ 𝓔$, les racines de $P$ sont des racines de
      l'unité.
      \reponse{La suite $(\widetilde {\dot{\dot{\widetilde P}}})$ prend
               un nombre fini de valeurs.}

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\ex Centrale MP 2001

Soit $f(x) = x⁴ + ax³ + bx² + cx + d$ avec $a,b,c,d$ réels.
Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur~$a,b,c,d$
pour qu'il existe une droite coupant la courbe représentative
de~$f$ en quatre points distincts $M₁,M₂,M₃,M₄$ tels que
$M₁M₂ = M₂M₃ = M₃M₄$.
\reponse{\defα{{\scriptstyle1\over\scriptstyle4}a}%
         \defρ{{\scriptstyle3\over\scriptstyle2}r}%
         \defσ{{\scriptstyle1\over\scriptstyle2}r}%
         Soit $y = γx + δ$ l'équation de la droite en question.
         On veut que l'équation $$x⁴ + ax³ + bx² + (c-γ)x + (d-δ) = 0$$
         ait quatre racines distinctes en progression arithmétique.
         Si $r$ est la raison de cette progression alors les racines sont
         $-α-ρ$, $-α-σ$, $-α+σ$ et $-α+ρ$.
         On doit donc chercher à quelle condition sur $a,b,c,d$ il existe
         $γ,δ,r$ réels tels que ~:
         $$\eqalign{&(-α-ρ)(-α-σ) + … + (-α+σ)(-α+ρ) = -b,\cr
                    &(-α-ρ)(-α-σ)(-α+σ) + … + (-α-σ)(-α+σ)(-α+ρ) = c-γ,\cr
                    &(-α-ρ)(-α-σ)(-α+σ)(-α+ρ) = δ - d.\cr}$$
         Les deux dernières équations sont satisfaites à $r$ donné en
         choisissant convenablement $γ$ et $δ$.
         La première s'écrit après simplifications~: $\frac52r² = \frac38a²+b$
         et la condition demandée est $3a² + 8b > 0$.}

\bye
