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%|                           Racines de polynômes                             |
%+----------------------------------------------------------------------------+

\input exos
\fiche{Racines de polynômes}

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\ex Factorisation de $Xⁿ-1$

Factoriser $Xⁿ-1$ sur $ℂ$.

\qq En déduire $ℿ_{k=1}^{n-1} \sin(\frac{kπ}n)$.
    \reponse{$n2^{1-n}$.}
\qq Calculer également $ℿ_{k=0}^{n-1} \sin(\frac{kπ}n + θ)$.
    \reponse{$\sin(nθ)2^{1-n}$.}
\qq On note $ω = e^{2iπ/n}$. Calculer
    $ℿ_{k≠ℓ,\ k,ℓ∈⟦0,n-1⟧} (ω^k - ω^ℓ)$.
    \reponse{$-(-n)ⁿ$.}

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\ex Mines MP 1999

Montrer que $ℿ_{k=0}^{n-1} (ω ^{2k}-2ω ^k \cos θ +1)=2(1-\cos (nθ))$ pour
$ω = e^{2iπ/n}$.
\reponse{$ω ^{2k}-2ω ^k \cos θ +1 = (ω^k-e^{iθ})(ω^k-e^{-iθ})$
et $ℿ_{k=0}^{n-1}(ω^k-x) = (-1)ⁿ(xⁿ-1)$.}

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\ex Racines de $j$ et $j²$

Montrer que si $p ⩽ n$, alors $X^{2^p} + X^{2^{p-1}} + 1$ divise
$X^{2ⁿ} + X^{2^{n-1}} + 1$.

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\ex $X²-2X\cosθ+1$ divise $X^{2n}-2Xⁿ\cos(nθ)+1$

Montrer que $X²-2X\cosθ+1$ divise $X^{2n}-2Xⁿ\cos nθ+1$.
Pour $\sinθ≠0$, chercher le quotient.

\reponse{$X^{2n}-2Xⁿ\cos nθ+1 = (Xⁿ-e^{inθ})(Xⁿ-e^{-inθ})$.

$$\eqalign{Q
&=\Bigl(⅀_{k=0}^{n-1} X^ke^{i(n-1-k)θ}\Bigr)
  \Bigl(⅀_{ℓ=0}^{n-1} X^le^{-i(n-1-ℓ)θ}\Bigr)\cr
&= ⅀_{k=0}^{n-1} X^k\Bigl({⅀_{p=0}^k e^{i(k-2p)θ}}\Bigr)
 + ⅀_{k=n}^{2n-2} X^k\Bigl({⅀_{p=k-n+1}^{n-1} e^{i(k-2p)θ}}\Bigr)\cr
&= ⅀_{k=0}^{n-1} X^k \dfrac {\sin(k+1)θ}{\sinθ}
 + ⅀_{k=n}^{2n-2} X^k \dfrac {\sin(2n-k-1)θ}{\sinθ}.\cr}$$}

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\ex $X²-2X\cosθ+1$ divise $X^{n+1}\cos(n-1)θ-Xⁿ\cos nθ-X\cosθ+1$

Montrer que $X²-2X\cosθ+1$ divise $X^{n+1}\cos(n-1)θ-Xⁿ\cos nθ-X\cosθ+1$,
puis déterminer le quotient.
\reponse{Division de proche en proche : $Q = ⅀_{k=0}^{n-1} X^k\cos kθ$.}

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\ex $X⁸ + X⁴ + 1$ divise $X^{8n} + pX^{4n} + q$

CNS sur $p,q ∈ ℂ$ pour que $X⁸ + X⁴ + 1$ divise $X^{8n} + pX^{4n} + q$
($n ∈ ℕ^*$ fixé)~?
\reponse{$⇔ X² + X + 1│ X^{2n} + pXⁿ + q ⇔ j^{2n} + pjⁿ + q = 0$.}

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\ex Racines rationnelles

Factoriser $P(X) = 3X⁴ + 11X³ + 20X² + 7X - 5$, sachant
qu'il existe des racines rationnelles.
\reponse{$(X+1)(3X-1)(X²+3X+5)$.}


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\ex Équation de degré 4 tq $x₁x₂ = 5$

Trouver les racines de $P(X) =X⁴-3X³+6X²-15X+5$
sachant que deux racines, $x₁$ et $x₂$ vérifient~: $x₁x₂ = 5$
(on introduira le polynôme $Q = X⁴P(5/X)$).

\reponse{On calcule $\pgcd({P(X),Q(X)}) = X²+5$, d'où
         $x₁ = i√5$ et $x₂ = -i√5$.

         On obtient alors : $P(X) = (X²+5)(X²-3X+1)$.
         Les deux dernières racines sont $x_3 = \frac {3+√5}2$ et
         $x_4 = \frac {3-√5}2$.}

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\ex Racines multiples

Factoriser $P = X⁵ - 13X⁴ + 67X³ - 171X² + 216X - 108$
sachant qu'il admet une racine triple.
\reponse{$P = (X-2)²(X-3)³$.}

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\ex Recherche d'une racine triple

Soit $P = X⁵ + aX² + 15X - 6i$. Trouver $a ∈ ℂ$ tel que
$P$ a une racine triple dans $ℂ$. Factoriser alors $P$.
\reponse{$a = 10i$.
         Racines : $i,i,i,\frac {-3i+√{15}}2, \frac {-3i-√{15}}2$.}

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\ex Ensi P 90

Donner une condition sur $λ$ pour que l'équation :
$x⁴-2x³+λx²+2x-1 = 0$ ait une racine au moins triple.
\reponse{$λ = 0$, $x=1$.}

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\ex $x₁+x₂ = 1$

Soient $p,q∈ℂ$ et $P(X) = X⁵ + pX + q$.
Donner une CNS sur $p$ et $q$ pour que deux des racines de $P$ aient
pour somme 1.
\reponse{$P$ doit être divisible par $X²-X+r$, d'où
         $r²-3r+p+1 = 2r² - r + q = 0$.\par
         Le pgcd de ces expressions doit être non constant soit~:
         $4p² - 4pq + q² + 3p + 11q - 1 = 0$.}

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\ex Factorisation

Factoriser $1 -\dfrac X{1!} + \dfrac {X(X-1)}{2!} - … +
            (-1)^{n+1}\dfrac {X(X-1)…(X-n)}{(n+1)!}$.
\reponse{$ = (-1)^{n+1}\dfrac {(X-1)…(X-n)(X-(n+1))}{(n+1)!}$.}

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\ex  $X-1 │ P(Xⁿ) ⇒ X-1 │ P$

Soient $P,Q ∈ 𝕂[X]$.

\qq Montrer que si $P(Xⁿ)$ est divisible par $X - 1$ pour $n∈ℕ$,
    alors $P$ est divisible par $X-1$.
\qq Montrer que si $P(X³) + XQ(X³)$ est divisible par $X²+X+1$, alors $P$ et $Q$
    sont divisibles par $X-1$.

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\ex Racines de $⅀_{k = 0}ⁿ \bin nk(\sin kθ)X^k$

Soit $θ ∈ ℝ$ tel que $\sin nθ ≠ 0$.
Démontrer que le polynôme $P = ⅀_{k = 0}ⁿ \bin nk(\sin kθ)X^k$ a toutes ses
racines réelles.

\reponse{Pour $x ∈ ℝ$, on a $P(x) = ℑ((1+xe^{iθ})ⁿ)$.
         Donc $P(x) = 0 ⇔ ∃k ∈ ⦃0,…,n-1⦄$ et $λ∈ℝ$
         tels que : $1+xe^{iθ} = λe^{ikπ/n}$.
         On obtient $x_k = \dfrac{\sin(kπ/n)}{\sin(θ-kπ/n)}$, $0⩽ k ⩽ n-1$.}

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\ex

Démontrer que $1 + X + Xⁿ$ n'a que des racines simples.

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\ex $P'$ divise $P$

Soit $𝕂$ un corps de caractéristique nulle.
Quels sont les polynômes $P ∈ 𝕂[X]$ tels que $P'$ divise $P$ ?
\reponse{$P = a(X-b)^α$.}

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\ex Équations fonctionnelles

Trouver tous les polynômes $P ∈ ℂ[X]$ tels que …

\qq $P(X²) = P(X-1)P(X+1)$.
\reponse{si $P(x) = 0$, alors $P((x-1)²) = P((x+1)²) = 0$.

         On a toujours $|x| < \max⦃ |x-1|,|x+1| ⦄$ donc, s'il y a une racine
         de module $> 1$, il n'y a pas de racine de module maximal et $P = 0$.

         Or $\max⦃ |x-1|,|x+1| ⦄ ⩾ 1$ avec égalité ssi $x = 0$.
         Donc $P = 0$ ou $P = 1$.}

\qq $P(X²) = P(X)P(X-1)$.
\reponse{Si $x$ est racine, alors $x²$ et $(x+1)²$ le sont aussi.

         $⇒ |x| = 0$ ou $1 ⇒ |x+1| = 0$ ou $1 ⇒ x ∈ ⦃0,-1,j,j² ⦄$.

         $x = 0$ ou $x = -1 ⇒ P(1) = 0$ : exclus.

         Donc $P = a(X-j)^α (X-j²)^β$ et en remplaçant~:
         $P = (X² + X + 1)^α$.}

\qq $P(X)P(X+2) + P(X²) = 0$.
\reponse{Seule racine possible : 1 $⇒ P=-(X-1)^k$.}

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\ex $P$ à racines réelles simples $⇒ P²+a²$ à racines simples

Soit $P ∈ ℝ[X]$ dont toutes les racines sont réelles.

\qq Démontrer que les racines de $P'$ sont aussi réelles.
\qq En déduire que : $∀a ∈ ℝ^*$, les racines de $P²+a²$ sont
    simples.

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\ex $P$ et $Q$ ont même module

Soient $P,Q ∈ ℂ[X]$ tels que : $∀z ∈ ℂ$, $|P(z)| = |Q(z)|$.
Démontrer qu'il existe $u ∈ 𝕌$ tel que $P = uQ$.
\reponse{Mêmes racines avec les mêmes multiplicités.}

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\ex Valeur moyenne

Soient $z₀,z₁,…,z_n ∈ ℂ$ tels que :
$∀P ∈ ℂ_{n-1}[X]$, on a $P(z₀) = \frac1n(P(z₁) +…+ P(z_n))$.

On note $Φ(X) = ℿ_{i=1}ⁿ (X-z_i)$.

\qq  Calculer $\dfrac {Φ(z₀)}{z₀-z_k}$ pour $1⩽k⩽n$.
     \reponse{$P = \dfrac Φ{X-z_k} ⇒ P(z₀)=\frac1n P(z_k) = \frac1n Φ'(z_k)$.}
\qq  En déduire que $Φ(X) = \frac1n (X-z₀)Φ'(X) + Φ(z₀)$.
     \reponse{Les deux membres sont égaux en $z₀,…,z_n$.}
\qq  Démontrer que $z₁,…,z_n$ sont les sommets d'un polygone régulier de centre
     $z₀$.
     \reponse{Décomposer $Φ$ sur la base $((X-z₀)^k)$.}
\qq  Réciproque ?
     \reponse{$⅀_k e^{2ikp/n} = 0$ pour $p < n ⇒$ OK.}

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\ex $P(x)≠14$

Soit $P ∈ ℤ[X]$ tel que $P(x) = 7$ pour au moins quatre valeurs distinctes
$x ∈ ℤ$.

Démontrer que : $∀x ∈ ℤ$, on a $P(x) ≠ 14$.

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\ex Nombre algébrique rationnel

Soit $α ∈ ℂ$. On dit que $α$ est {\it algébrique\/}
s'il existe un polynôme $P ∈ ℚ[X]$ tel que $P(α) = 0$.

Le polynôme unitaire de plus bas degré vérifiant $P(α) = 0$ est appelé :
{\it polynôme minimal de $α$}.

\qq  Soit $α$ algébrique de polynôme minimal $P$.
     Démontrer que $P$ est irréductible dans $ℚ[X]$ et que $α$ est racine
     simple de $P$.
\qq  Soit $α$ algébrique, et $P ∈ ℚ[X]$ tel que $P(α) = 0$.
     On suppose que la multiplicité de $α$ dans $P$
     est strictement supérieure à $½\deg P$. Démontrer que $α ∈ ℚ$.

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\ex $P(√2) = 0$

Soit $P ∈ ℚ[X]$ tel que $P(√2) = 0$. Démontrer que $-√2$ est aussi racine de $P$
avec la même multiplicité que~$√2$.

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\ex Polynôme minimal de $2\cos(2π/7)$

Montrer que $x = 2\cos\frac{2π}7$ est racine de $X³ + X² - 2X - 1$.
Quelles sont les autres racines ?

\reponse{$x = z + \dfrac 1z$ avec $z⁶ + z⁵ + … + 1 = 0$.
         Autres racines : $2\cos\frac{4π}7$ et $2\cos\frac{6π}7$.}

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\ex Racines réelles simples

Soit $P = ⅀_{k=0}ⁿ a_kX^k ∈ ℝ[X]$ dont les racines sont réelles simples.

\qq   Démontrer que : $∀x ∈ ℝ$, on a $P(x)P''(x) ⩽ P'^2(x)$.
      \reponse{Soit $P(x) = a_nℿ_{k=1}ⁿ(x-x_k)$.
               On a : $⅀_{k=0}ⁿ \dfrac 1{(x-x_k)²}
               = -\dfrac 𝕕{𝕕x}\Bigl(\dfrac {P'}P\Bigr)(x)
               = \dfrac {P'^2 - PP''}{P²}(x)$.}
\qq   Démontrer que : $∀k ∈ ⦃1,…, n-1⦄$, $a_{k-1}a_{k+1} ⩽ a_k²$.
      \reponse{Pour $k=1,x=0$, on a : $a₀a₂ ⩽ ½a₁²$.
               Pour $k$ quelconque : on applique le cas précédent à
               $P^{(k-1)}$ dont les racines sont encore réelles simples :
               $(k-1)!a_{k-1} × \dfrac {(k+1)!}2a_{k+1} ⩽ ½(k!a_k)²
               ⇒  a_{k-1}a_{k+1} ⩽ \frac {k}{k+1}a_k²$.}

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\ex Méthode de Ferrari

Soit $P = X⁴ - 6X³ +7X² -18X - 8$.
\par
Trouver $Q ∈ ℝ[X]$ tel que $\deg(Q) = \deg(P-Q²) = 2$, et $P-Q²$ a une
racine double. Factoriser alors $P$ sur $ℝ$.
\reponse{$Q = X² -3X +1$,
         $P = (X-\frac{5+√{33}}2)(X-\frac {5-√{33}}2)(X² - X + 4)$.}

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\ex Pgcd $≠ 1 ⇔$ racine comune

Soient $P,Q ∈ ℚ[X]$. Montrer que $P$ et $Q$ sont premiers entre eux si et
seulement si $P$ et $Q$ n'ont pas de racine en commun dans $ℂ$.


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\ex Mines MP 2001

Soit $𝕂$ un corps de caractéristique $p$.

\qq Montrer que $σ:x↦x^p$ est un morphisme de corps.
    \reponse{$p$ est premier car $𝕂$ est intègre.

    On a $1^p = 1$,
    $(xy)^p = x^py^p$ (un corps est commutatif) et
    $(x+y)^p = x^p + y^p + ⅀_{k=1}^{p-1}\bin pkx^ky^{p-k} = x^p + y^p$
    car $p$ divise $\bin pk$ si $1⩽ k ⩽ p-1$.}
\qq Montrer que $σ$ est surjectif si et seulement si tout polynôme
    $P∈𝕂[X]$ irréductible vérifie $P'≠ 0$.
    \reponse{Remarquer que $P'=0 ⇔ P∈ 𝕂[X^p]$.
    \medskip
    On suppose $σ$ surjectif. Soit $P(X) = Q(X^p) = a₀ + … + a_kX^{kp}$
    un polynôme non constant à dérivée nulle. Il existe $b₀,…,b_k$
    tels que $b_i^p = a_i$. Alors $P(X) = Q(X)^p$ est réductible.
    \medskip
    On suppose que tout polynôme irréductible a une dérivée non nulle.
    Soit $a∈ 𝕂$ et $P(X) = X^p - a$. $P'=0$ donc $P$ est réductible.
    Soit $Q$ un facteur unitaire irréductible de $X^p-a$. Alors $Q^p$ et $X^p-a$
    ont $Q$ en facteur commun donc leur pgcd, $D$, est non constant.
    Mais $Q^p$ et $X^p-a$ appartiennent à $𝕂[X^p]$ donc $D$, obtenu par
    l'algorithme d'Euclide aussi, d'où $D = X^p-a$ et $X^p-a$ divise $Q^p$.
    Par unicité de
    la décomposition de $Q^p$ en facteurs irréductibles, il existe $r∈ℕ$
    tel que $X^p-a = Q^r$. Par examen du degré on a $r=p$ donc $\deg Q = 1$,
    $Q = X-b$ et finalement $b^p=a$.}

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\ex Centrale MP 2001

Soit $P ∈ ℝ_n[X]∖⦃0⦄$.
Pour $x∈ℝ$ on note $V(x)$ le nombre de changements de signe dans la suite
$(P(x),P'(x),…,P^{(n)}(x))$ en convenant de retirer les termes nuls.
Soient $α<β$ deux réels non racines de~$P$. Montrer que le nombre
de racines de~$P$ dans $[α,β]$, comptées avec leur ordre de multiplicité,
a même parité que~$V(α)-V(β)$ et que $V(α)-V(β)⩾0$.
\reponse{$V(α)$ est pair si et seulement si $P(α)$ et $P^{(n)}(α)$
         ont même signe~; de même pour $V(β)$. Comme ${P^{(n)}(α) = P^{(n)}(β)}$
         on en déduit que $V(α)-V(β)$ est pair si et seulement si $P(α)$
         et $P(β)$ ont même signe, donc si et seulement si $P$ a un nombre pair
         de racines dans $[α,β]$.
         \medskip
         Décroissance de~$V$~: $V$ est constant sur tout intervalle ne contenant
         aucune racine de $P,P',…,P^{(n-1)}$. Considérons $x₀∈{[α,β[}$
         tel que $P^{(k)}(x₀) ≠ 0$, $P^{(k+1)}(x₀) = … = P^{(ℓ-1)}(x₀) = 0$
         et $P^{(ℓ)}(x₀) ≠ 0$. Alors pour $x$ proche de
         $x₀$ avec $x>x₀$, $P^{(k)}(x)$
         a même signe que $P^{(k)}(x₀)$ et $P^{(k+1)}(x),…,P^{(ℓ)}(x)$ ont
         même signe que $P^{(ℓ)}(x₀)$ donc les nombres de changements de signe
         dans les sous-suites $(P^{(k)}(x),…,P^{(ℓ)}(x))$ et
         $(P^{(k)}(x₀),…,P^{(ℓ)}(x₀))$ sont égaux. De même si
         $P(x₀) = … = P^{(ℓ-1)}(x₀) = 0$ et $P^{(ℓ)}(x₀) ≠ 0$.
         Ceci prouve que $V(x₀^+) = V(x₀)$ pour tout $x₀∈{[α,β[}$.
         \medskip
         On considère à présent $x₀∈{]α,β]}$ tel que
         $P^{(k)}(x₀) ≠ 0$, $P^{(k+1)}(x₀) = … = P^{(ℓ-1)}(x₀) = 0$
         et ${P^{(ℓ)}(x₀) ≠ 0}$. Alors pour $x$ proche de $x₀$ avec $x<x₀$
         la sous-suite $(P^{(k)}(x),…,P^{(ℓ)}(x))$ a $ℓ-k-1$ changements de
         signe si $P^{(k)}(x₀)$ et  $P^{(ℓ)}(x₀)$ ont même signe, $ℓ-k$
         changements de signe sinon tandis que la sous-suite
         $(P^{(k)}(x₀),…,P^{(ℓ)}(x₀))$ en a un ou zéro.
         Si $P(x₀) = … = P^{(ℓ-1)}(x₀) = 0$ et $P^{(ℓ)}(x₀) ≠ 0$ on trouve
         de même $ℓ$ changements de signe pour $(P(x),…,P^{(ℓ)}(x))$ et zéro
         pour $(P(x₀),…,P^{(ℓ)}(x₀))$ donc dans tous les cas $V(x₀^-) ⩾ V(x₀)$.
         Ceci achève la démonstration.}

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\ex X MP$^*$ 2004

Soit $P∈ℂ[X]$ de degré $d$ dont toutes les racines sont de module
strictement inférieur à~$1$. Pour $ω∈𝕌$ on note $\overline P$ le polynôme
dont les coefficients sont les conjugués de ceux de~$P$ et
$Q(X) = P(X) + ω X^d\overline P(1/X)$.
Montrer que les racines de~$Q$ sont de module~$1$.
\reponse{Pour $z∈𝕌$, on a
         $Q(z) = 0 ⇔ {P(z)}/{z^d\overline P(\overline z)} = -ω$.
         Comme $\overline P(\overline z) = \overline{P(z)}$, les
         deux membres ont même module pour tout~$z∈𝕌$, il faut et il suffit
         donc que les arguments soient égaux modulo $2π$.
         Pour $a∈ℂ$ avec $|a| < 1$, une détermination continue de
         $\fct{Arg}(e^{iθ}-a)$ augmente de~$2π$ lorsque $θ$ varie de~$0$ à~$2π$
         donc, vu l'hypothèse sur les racines de~$P$, une détermination continue
         de $\fct{Arg}(P(z)/z^d\overline{P(z)}\,)$ augmente de $2πd$ lorsque
         $θ$ varie de~$0$ à~$2π$. Une telle détermination prend donc au moins
         $d$ fois une valeur congrue à $\fct{Arg}(-ω)$ modulo~$2π$, ce qui
         prouve que $Q$ admet au moins $d$ racines distinctes dans~$𝕌$.}

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\ex X MP$^*$ 2005

Soient $a₀,…,a_n∈ℝ$ tels que $|a₀| + … + |a_{n-1}| < a_n$.
Soit $f(x) = a₀ + a₁\cos x + … + a_n\cos(nx)$. Montrer que les
zéros de~$f$ sont tous réels (cad. si $x∈ℂ∖ℝ$, alors $f(x)≠0$).
\reponse{$f(2kπ/n) > 0 > f((2k+1)π/n)$ pour $k∈ℤ$ donc $f$ admet
         $2n$ racines dans $[0,2π[$. En posant $z=e^{ix}$, $zⁿf(x)$
         est un polynôme en~$z$ non nul de degré $2n$ ayant $2n$ racines
         sur le cercle unité~; il n'en n'a pas ailleurs.}

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\ex racine multiple, Centrale MP 2010
Soient $P,Q∈ℂ[X]$ tels que $\deg(P)=1+\deg(Q)=n⩾2$.
On veut montrer qu'il existe $a∈ℂ$ tel que $P+aQ$ a une racine multiple.

\qq Le montrer quand $n=2$.
    \reponse{$P=X²+αX+β$, $Q=X+γ$~: on veut $(α+a)²=4(β+aγ)$ ce qui est
             une équation de degré~$2$ en~$a$.}
\qq   On suppose ici $P∧Q=1$.
  \sq Montrer que toute racine commune à~$Q$ et
      a~$PQ'-QP'$ a une multiplicité plus grande dans~$Q$.
  \sq En déduire qu'il existe une racine de~$PQ'-QP'$ qui n'est pas
      racine de~$Q$.
  \sq Montrer qu'il existe $a∈ℂ$ tel que $P+aQ$ a une racine multiple.
      \reponse{Soit $α$ une telle racine et $a=-P(α)/Q(α)$.
               Par construction La fraction rationnelle $F=P/Q+a$ admet $α$
               comme racine multiple, donc le polynôme $QF=P+aQ$ aussi.}
\qq Traiter le cas où $P$ et $Q$ ne sont pas premiers entre eux.
    \reponse{Soit $α$ une racine commune à $P$ et~$Q$,
             $P=(X-α)P₁$ et $Q=(X-α)Q₁$. Si $\deg(P₁)⩾2$, on trouve
             par récurrence $a∈ℂ$ tel que $P₁+aQ₁$ a une racine multiple.
             Si $\deg(P₁)=1$ alors $Q₁$ est constant non nul et on peut trouver
             $a∈ℂ$ tel que $(P₁+aQ₁)(α)=0$.}
 
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\ex Mines  MP 2011

Soit $P∈ℝ[X]$, $a∈ℝ$ tels que $P(a)≠0$, $P'(a)=P''(a)=0$.
Montrer que $P$ n'est pas scindé.
\reponse{On suppose que $P=λℿ_{i=1}^r (x-x_i)^{m_i}$.
         On a alors $\dfrac{P'(x)}{ P(x)} =⅀_{i=1}^r \dfrac{m_i}{x-x_i}$,
         puis en dérivant,

         $\dfrac{P''(x)P(x)-(P'(x))²}{(P(x))²}=-⅀_{i=1}^r \dfrac{m_i}{(x-x_i)²}$.
         En prenant la valeur en $a$ (qui n'est pas l'un des $x_i$) on a une
         contradiction. On en déduit que $P$ n'est pas scindé.}

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\ex Polynôme à deux variables, ULC 2010

$P∈ℂ[X,Y]$ tel que $P(X,Y)=…+c X^aY^b+…$ avec $c≠0$, $a,b≠0$ et $a+b=\deg P$.
Soit $A$ et $B$ finis, inclus dans $ℂ$ tels que $\card A>a$ et $\card B>b$.
Montrer qu'il existe $(α,β)∈A×B$ tels que $P(α,β)≠ 0$.
\reponse{On procède par récurrence sur $b$. Pour $b=0$ alors $P(X,β)$
         (avec $β∈B$) est un polynôme de degré $a$, il ne peut pas avoir
         $\card A$ racines. Si $β$ est un élément de $B$, on divise
         $P(X,Y)-P(X,β)$ par $Y-β$. On a 
         $P(X,Y)-P(X,β)=⅀_{ij}c_{ij}X^i(Y^j-β^j)=(Y-β)⅀_{ij}c_{ij}X^i(Y^{j-1}+…+β^{j-1})=(Y-β)Q(X,Y)$,
         où $\deg Q = a+b-1$ et le coefficient de $X^aY^{b-1}$ dans $Q$ est $c$.
         Par hypothèse de récurrence, il existe un point dans $A×(B∖⦃β⦄)$ qui
         n'est pas racine de $Q$ et donc un point de $A×B$ qui n'est pas
         racine de $P$.}

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\bye
