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%|                           Exercices polynômes                              |
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\input exos
\fiche{Polynômes}

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\ex Familles libres de polynômes
%
%  (X-a)^k(X-b)^(n-k)
%

Soit $a,b ∈ 𝕂$ avec $a ≠ b$. On pose $P_k = (X-a)^k(X-b)^{n-k}$.
Démontrer que la famille $(P₀,…,P_n)$ est libre.

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\ex Formule de Van der Monde

Soit $n∈ℕ^*$. Pour $k∈⟦0,n⟧$ on pose $P_k = X^k(1-X)^{n-k}$.
Démontrer que $𝓑 = (P₀,…,P_n)$ est une base de~$ℝ_n[X]$.
Calculer les composantes dans $𝓑$ de $\dfrac{𝕕ⁿ}{𝕕xⁿ} (Xⁿ(1-X)ⁿ)$.
En déduire la valeur de $⅀_{k=0}ⁿ \bin nk²$.


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\ex Familles libres de polynômes

Soient $U,V ∈ 𝕂[X]$ non constants. On pose $P_k = U^kV^{n-k}$.
Montrer que $(P₀,…,P_n)$ est libre …

\qq lorsque $U ∧ V = 1$.
\qq lorsque $(U,V)$ est libre.


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\ex Ensi PC 1999

Déterminer les polyômes $P ∈ ℝ_{2n-1}(X)$ tels que
$P(X)+1$ est multiple de $(X-1)ⁿ$ et $P(X)-1$ est multiple de $(X+1)ⁿ$.
\reponse{$P(X) = -1 + Q(X)×(X-1)ⁿ ⇔ (X+1)ⁿ│Q(X)(X-1)ⁿ-2 ⇔ Xⁿ│ Q(X-1)(X-2)ⁿ-2$.
         \medskip
         Soit $2 = A(X)(X-2)ⁿ + XⁿB(X)$ la division suivant les puissances
         croissantes de $2$ par $(X-2)ⁿ$ à l'ordre~$n$.
         On obtient $Xⁿ│ Q(X-1)-A(X)$ soit $Q(X) = A(X+1) + XⁿR(X)$ et
         $\deg(P)< 2n ⇔ R=0$.
         \medskip
         Calcul de $A(X)$ par développement limité~:
         $\dfrac{1}{(1+x)ⁿ} = ⅀_{k=0}^{n-1}\bin{-n}kx^k + O(xⁿ)$ donc~:
         $$A(X) = \dfrac{(-1)ⁿ}{2^{n-1}}⅀_{k=0}^{n-1}\bin{-n}k\dfrac{(-1)^kX^k}{2^k}
                = ⅀_{k=0}^{n-1}\bin{n+k-1}k(-1)ⁿ\dfrac{X^k}{2^{n+k-1}}$$}

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\ex Opérateur différence

\label{opdiff}%
Soit $𝕂$ un corps de caractéristique nulle.
On note $U_p = \dfrac {X(X-1)…(X-p+1)}{p\,!}$ pour $p ∈ ℕ$,
et $\application Δ {𝕂[X]} {𝕂[X]} P {P(X+1) - P(X).}$

\qq   Démontrer que la famille $(U_p)_{p ∈ ℕ}$ est une base de $𝕂[X]$.
\qq   Calculer $Δⁿ(U_p)$.
\qq   En déduire : $∀P ∈ {𝕂_n[X]}$,
      $P = P(0) + (Δ P)(0)U₁ + (Δ² P)(0)U₂ + …  + (Δⁿ P)(0)U_n$.
\qq   Soit $P ∈ 𝕂[X]$. Démontrer que $P(ℤ) ⊂ ℤ$ si et seulement si
      les coordonnées de $P$ dans la base $(U_p)$ sont entières
      (on considère que $ℤ⊂𝕂$ vu $\car(𝕂)=0$).
\qq   Soit $f:ℤ→ℤ$ une fonction quelconque. Démontrer que $f$ est polynomiale
      si et seulement s'il existe $n ∈ ℕ$ tq $Δⁿ(f) = 0$.

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\ex Liberté de $P(X), …, P(X+n)$

Soit $𝕂$ un corps de caractéristique nulle et $P ∈ 𝕂[X]$ de degré $n$.

Démontrer que la famille $(P(X), P(X+1), …, P(X+n))$ est une base
de~$𝕂_n[X]$.
On pourra utiliser l'opérateur $Δ$ de l'exercice \ref{opdiff}.

\reponse{$\vect(P(X), P(X+1), …, P(X+n))$ contient
         $P, ΔP, Δ²P, …, ΔⁿP$ donc $𝕂_n[X]$ d'après le thm des degrés étagés.}

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\ex $(X+z₀)ⁿ,…,(X+z_k)ⁿ$, Centrale MP 2003
Soit $k∈ℕ^*$ et $z₀,…,z_k$ des complexes.
Soient les polynômes $P₀ = (X+z₀)ⁿ,…,P_k=(X+z_k)ⁿ$.
Donner une condition nécessaire et suffisante pour que~$(P₀,…,P_k)$ soit une
base de~$ℂ_n[X]$.
\reponse{Déjà il est nécessaire que $k=n$. Supposant ceci réalisé, la matrice
         de~$(P₀,…,P_k)$ dans la base canonique de~$ℂ_n[X]$ est équivalente à
         la matrice de Vandermonde de $z₀,…,z_k$.
         Donc une CNS est~: $k=n$ et $z₀,…,z_k$ sont distincts.}

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\ex $P-X │ P∘P - X$

\qq Soit $P ∈ 𝕂[X]$. Démontrer que $P-X$ divise $P∘P-X$.
    \reponse{$P∘P - X = (P∘P - P) + (P - X)$.}
\qq Résoudre dans $ℂ$ : $(z²+3z+1)² + 3z²+8z+4 = 0$.
    \reponse{$P(z) = z²+3z+1 ⇒ z=-1,-1,-2±i$.}

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\ex $P ↦ P(X+1) + P(X-1) - 2P(X)$

Soit $𝕂$ un corps de caractéristique nulle et
$\application Φ {𝕂[X]} {𝕂[X]} P {P(X+1)+P(X-1)-2P(X).}$
\qq  Chercher $\deg(Φ(P))$ en fonction de $\deg P$.
\qq  En déduire $\KerΦ$ et $\ImΦ$.
\qq  Montrer que : $∀Q ∈ 𝕂[X]$, $∃!P ∈ 𝕂[X]$ tq  $Φ(P)=Q$ et $P(0)=P'(0)=0$.

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\ex $P ↦ (X-a)(P'(X)+P'(a)) + P(X)-P(a)$

Soit $𝕂$ un corps de caractéristique nulle, $a∈𝕂$ et
$$\application Φ {𝕂_n[X]} {𝕂_n[X]} P {(X-a)(P'(X)+P'(a)) + P(X)-P(a).}$$

Chercher $\Ker Φ$ et $\Im Φ$.
\reponse{$\KerΦ = 𝕂₀[X]$, $\ImΦ = (X-a)𝕂_{n-1}[X]$.}

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\ex $A³ + B = C³ + D$

Soient $A,B,C,D ∈ ℝ[X]$ tels que :
$\cases{ \deg A = \deg C = m \cr
         \deg B < 2m,\ \deg D < 2m \cr
         A³ + B = C³ + D.\cr }$

Montrer que $A = C$ et $B = D$.
Trouver un contre-exemple avec des polynômes à coefficients complexes.

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\ex $P(n) │ P(n+P(n))$

Soit $P ∈ ℤ[X]$, $n ∈ ℤ$, et $p = P(n)$. Montrer que $p$ divise $P(n+p)$.
\reponse{Formule de Taylor : $\dfrac {P^{(k)}}{k!} ∈ ℤ[X]$.}

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\ex $P(a/b) = 0 ⇒ a-kb$ divise $P(k)$

Soit $P ∈ ℤ[X]$ et $a,b ∈ ℤ^*$ premiers entre eux tels que$P(a/b) = 0$.

\qq Montrer que $a$ divise le coefficient constant de $P$.
\qq Montrer que pour tout $k∈ℤ$, $a-kb$ divise $P(k)$.
    \reponse{Appliquer le {\bf 1)} à $P(X+k)$.}

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\ex Automorphismes de $𝕂[X]$

Pour $A ∈ 𝕂[X]$ on note $\application {Φ_A} {𝕂[X]} {𝕂[X]} P {P∘A}$

\qq  Démontrer que les applications $Φ_A$ sont les seuls endomorphismes
     d'algèbre de ${𝕂[X]}$.
\qq  A quelle condition $Φ_A$ est-il un isomorphisme ?

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\ex Sous anneau non principal de $𝕂[X]$

Soit $A = ⦃P ∈ 𝕂[X]$ dont le coefficient de $X$ est nul$⦄$.
Démontrer que $A$ est un sous anneau non principal de~$𝕂[X]$.

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\ex Équation $P²+Q² = (X²+1)²$

Trouver $P,Q ∈ ℝ[X]$ premiers entre eux tels que $P² + Q² = (X²+1)²$.
\reponse{$\cases{P = a(X²+1) + bX + c \cr Q = a'(X²+1) + b'X + c'}
         ⇒
          \cases{P = \cosθ (X²-1) + 2X\sinθ \cr
                 Q = \sinθ (X²-1) - 2X\cosθ. }$\par
         $P ∧ Q = 1$ car $±i$ ne sont pas racines de $P$ et $Q$.}

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\ex Équation $X(X-1)P' + P² -(2X+1)P + 2X = 0$

Trouver tous les polynômes $P ∈ 𝕂[X]$ tels que :
$X(X-1)P' + P² -(2X+1)P + 2X = 0$.

\reponse{$\deg P < 2 ⇒ P ∈ ⦃1,X,X+1⦄$.}

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\ex $P(X) + P(X+1) = 2Xⁿ$

Soit $𝕂$ un corps de caractéristique nulle.
\qq  Montrer qu'il existe un unique polynôme
     $P_n ∈ 𝕂[X]$ tel que $P_n(X) + P_n(X+1) = 2Xⁿ$.
     \reponse{isomorphisme $P ↦ P(X) + P(X+1)$.}
\qq  Chercher une relation de récurrence entre $P_n'$ et $P_{n-1}$.
     \reponse{$P_n' = nP_{n-1}$.}
\qq  Décomposer $P_n(X+1)$ sur la base $(P_k)_{k ∈ ℕ}$.
     \reponse{$P_n(X+1) = ⅀_{k=0}ⁿ \bin nk P_k$ (Taylor).}
\qq  Démontrer que $P_n(1-X) = (-1)ⁿP_n(X)$.
     \reponse{$Q_n(X) = P_n(1-X) ⇒ Q_n(X) + Q_n(X+1) = 2(-1)ⁿXⁿ$.}

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\ex $(1-X)ⁿP + XⁿQ = 1$

\qq  Démontrer qu'il existe $P,Q ∈ 𝕂_{n-1}[X]$ uniques tels que
     $(1-X)ⁿP + XⁿQ = 1$.
     \reponse{Bezout généralisé.}
\qq  Montrer que $Q = P(1-X)$.
\qq  Montrer que : $∃λ∈𝕂$ tel que $(1-X)P' - nP = λX^{n-1}$.
     \reponse{$((1-X)P' - nP)(1-X)^{n-1} + (nQ + XQ')X^{n-1} = 0$.}
\qq  En déduire $P$ lorsque $\car(𝕂)=0$.
     \reponse{$P^{(k+1)}(0) = (n+k)P^{(k)}(0) ⇒ P = ⅀_{k=0}^{n-1} \bin{n+k-1}k X^k$.}

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\ex Endomorphismes de $𝕂[X]$ qui commutent avec la dérivation

Soit $𝕂$ un corps de caractéristique nulle et $Φ ∈ 𝓛(𝕂[X])$ commutant avec
la dérivation, c'est à dire : $$∀P ∈ 𝕂[X],\ Φ(P') = Φ(P)'.$$

\qq  Montrer qu'il existe un unique suite $(a_k)_{k ∈ ℕ}$ de
     scalaires tels que : $∀P ∈ 𝕂_n[X]$, $Φ(P) = ⅀_{k=0}ⁿ a_kP^{(k)}$.
\qq  Décomposer ainsi l'endomorphisme $Φ : P ↦ P(X+1)$.

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\ex $P$ est positif $⇒ P + P' + P" + …$ aussi

Soit $P ∈ ℝ[X]$ tel que : $∀x ∈ ℝ$, $P(x) ⩾ 0$.
Démontrer que : $∀x ∈ ℝ$, $(P + P' + P'' + … )(x) ⩾ 0$.

\reponse{$Q = P + P' + P'' + …$ : $Q(x) ⟶_{x→∞}+∞$, donc il existe
         $α ∈ ℝ$ tel que $Q(α)$ soit minimal.
         Alors $0 = Q'(α) = Q(α) - P(α) ⇒ \min Q ⩾ 0$.}

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\ex $P(\tanα) = Q\Bigl(\dfrac 1{\cosα}\Bigr)$

Soit $P ∈ ℝ[X]$. Existe-t-il $Q ∈ ℝ[X]$ tel que
$∀α ∈ {]-\fracπ2, \fracπ2[}$, $P(\tanα) = Q\Bigl(\dfrac 1{\cosα}\Bigr)$ ?
\reponse{oui ssi $P$ est pair.}

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\ex $Xⁿ + 1/Xⁿ = P_n(X+1/X)$

\qq  Montrer que pour tout entier $n ∈ ℕ$ il existe un unique polynôme
     $P_n ∈ ℤ[X]$ vérifiant :
     $$∀z ∈ ℂ^*,\ zⁿ + z^{-n} = P_n(z + z^{-1}).$$
     \reponse{$P₀(u) = 2$, $P₁(u) = u$, $P_{n+1}(u) = uP_n(u) - P_{n-1}(u)$.}

\qq  Déterminer le degré, le coefficient dominant, et les racines de $P_n$.
     \reponse{$u_k = 2\cos(\frac {(2k+1)π}{2n})$, $k = 0, …, n-1$.}
\qq  Pour $P ∈ ℂ[X]$, on note $\tilde P$ le polynôme tel que :
     $$∀z ∈ ℂ^*,\ P(z) + P(z^{-1}) = \tilde P(z + z^{-1}).$$
     Étudier l'application $P ↦ \tilde P$.

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\ex Polytechnique MP$^*$ 2000

\qq Donner un isomorphisme $f$ entre $ℂ^{n+1}$ et $ℂ_n[X]$.
\qq Montrer que $\application σ{ℂ^{n+1}}{ℂ^{n+1}} {(a₀,…,a_n)}{(a_n,a₀,…,a_{n-1})}$
    est linéaire.
\qq Si $P,Q∈ℂ[X]$, on définit le produit $\overline{PQ}$
    comme le reste de la division euclidienne de $PQ$ par $X^{n+1}-1$.
    Montrer que l'application induite par~$σ$ sur~$ℂ_n[X]$
    (c'est-à-dire $f∘σ∘f^{-1}$) est l'application qui à~$P$ associe
    $\overline{XP}$.
    \reponse{trivialement vrai ou trivialement faux selon le choix qu'on
    a fait en {\bf 1}.}
\qq Soit~$F$ un sous-espace de~$ℂ^{n+1}$ stable par~$σ$.

    Montrer qu'il existe un polynôme $Q$ tel que
    $f(F) = ⦃\overline{RQ}$, $R∈ℂ_n[X]⦄$.
    \reponse{Soit $Q∈ ℂ[X]$ et $F_Q = ⦃\overline{RQ}$, $R∈ℂ_n[X]⦄$.
    On a $F_Q = ⦃\overline{RQ}$, $R∈ℂ[X]⦄$ de manière évidente, donc
    $F_Q$ est stable par la multiplication modulaire par~$X$.
    \medskip
    Soit réciproquement $F$ un sev de $ℂ_n[X]$ stable par la multiplication
    modulaire par $X$. Si $(P₁,…,P_k)$ est une famille génératrice de~$F$
    alors $Q = \pgcd(P₁,…,P_k)∈ F$ d'après la relation de
    Bézout et la stabilité de~$F$ donc $F_Q⊂F$ et $P_i∈ F_Q$ puisque
    $Q$ divise $P_i$ d'où $F⊂F_Q$ et $F=F_Q$.}

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\ex Centrale MP 2002
Déterminer tous les polynômes $P$ tels que $P(ℂ)⊂ℝ$
puis tels que $P(ℚ)⊂ℚ$ et enfin tels que $P(ℚ)=ℚ$.
\reponse{Tout polynôme à coefficients complexes non constant est surjectif
         sur~$ℂ$ donc $P(ℂ)⊂ℝ ⇔ P = a$ (constante réelle).
         \medskip
         On a par interpolation de Lagrange~: $P(ℚ)⊂ℚ ⇔ P∈ℚ[X]$.
         \medskip
         Montrons que $P(ℚ)=ℚ ⇔ P=aX+b$ avec $a∈ℚ^*$, $b∈ℚ$~: la condition
         est clairement suffisante. Pour prouver qu'elle est nécessaire,
         considérons un polynôme éventuel $P$ de degré $n⩾2$ tel que $P(ℚ)=ℚ$.
         On sait déjà que $P$ est à coefficients rationnels,
         soit~: $P = \frac1d(a₀+a₁X+…+a_nXⁿ)$
         avec $a_i∈ℤ$, $a_n≠0$ et $d∈ℕ^*$. Soit $π$ un nombre premier ne
         divisant ni $a_n$ ni $d$, et $x=p/q$ (forme irréductible) un rationnel
         tel que $P(x) = 1/π$. On a donc~:
         $π(a₀qⁿ+…+a_npⁿ) = dqⁿ$ ce qui implique que $π$ divise $q$.
         Il vient alors~: $a_npⁿ = dqⁿ/π - a₀qⁿ - … -a_{n-1}qp^{n-1}$ ce qui
         est impossible puisque $π$ est facteur du second membre ($n⩾2$) mais
         pas du premier ($p∧q = 1$).}

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\ex Polytechnique MP 2002
Soient $x₁,…,x_n∈ℂ$ distincts et $y₁,…,y_n∈ℂ$.
Trouver $E = ⦃P∈ℂ[X]\tq ∀i$, $P^{-1}(⦃y_i⦄) = ⦃x_i⦄⦄$.
\reponse{Clairement $E=∅$ si les $y_i$ ne sont pas distincts.
         Si $y₁,…,y_n$ sont distincts, soit $P∈ E$, $n=\deg(P)$ et $λ$
         le coefficient dominant de~$P$ ($P≠0$ car $P^{-1}(⦃y_i⦄)$ est un
         singleton).
         Alors $P(X)-y_i$ a pour seule racine $x_i$ donc $P(X)-y_i = λ(X-x_i)ⁿ$.
         Pour $n=1$ on obtient $P(X) = y₁ + λ(X-x₁)$ avec $λ∈ℂ^*$.
         Pour $n⩾2$ on obtient $y₂-y₁ = λ(X-x₁)ⁿ - λ(X-x₂)ⁿ
         = nλ X^{n-1}(x₂-x₁) + …$ ce qui est impossible donc $E=∅$.}

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\ex ENS Ulm MP 2002

Soit $S⊂ℕ$ fini et $P=⅀_{s∈S} a_sX^s∈ℂ[X]$.

\qq  On suppose que les $a_s$ sont réels. Montrer que $P$ a moins de racines
     strictement positives distinctes que la suite $(a_s)$ n'a de changement
     de signe.
     \reponse{Récurrence sur $\card(S)$ en mettant le terme de plus bas degré
              en facteur et en dérivant le quotient.}

\qq  On suppose que $P$ vérifie~: $∀s∈S$, $P(s)=0$. Montrer que $P$ est nul.
     \reponse{Appliquer la question précédente aux suites
              $(ℜ(a_s))$ et $(ℑ(a_s))$.}

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\ex $⅀_{k=1}^{100}\dfrac k{x-k}⩾1$, Ens Ulm-Lyon-Cachan MP$^*$ 2003
Montrer que l'ensemble des solutions de l'inéquation
$⅀_{k=1}^{100}\dfrac k{x-k}⩾1$
est une réunion finie d'intervalles disjoints. Calculer la somme des
longueurs de ces intervalles.
\reponse{Soit~$f(x) = ⅀_{k=1}^{100}\dfrac k{x-k}$.
         $f$ est strictement décroissante de~$0$ à~$-∞$ sur~$]-∞,0[$,
         de~$+∞$ à $-∞$ sur chaque intervalle~$]k,k+1[$,~$1⩽k⩽100$ et
         de~$+∞$ à~$0$ sur~$]100,+∞[$.
         Donc il existe des réels $α₁,…,α_{100}$ avec
         $1<α₁<2<α₂<…<α_{99}<100<α_{100}$
         tels que $E = ⦃x∈ℝ\tq f(x)⩾ 1⦄ = ⋃_{k=1}^{100}]k,α_k]$.
         La somme des longueurs est $L = ⅀_{k=1}^{100}α_k-⅀_{k=1}^{100}k$
         et $α₁,…,α_{100}$ sont les racines du polynôme :
         $$P(X) = ℿ_{k=1}^{100}(X-k) - ⅀_{k=1}^{100}kℿ_{i≠k}(X-i)
           = X^{100}-2X^{99}⅀_{k=1}^{100}k + …$$
         D'où $⅀_{k=1}^{100}α_k = 2⅀_{k=1}^{100}k$ et $L=⅀_{k=1}^{100}k=5050$.}

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\ex Polynôme positif, Ens Ulm MP$^*$ 2003
Soit~$P∈ℝ[X]$. Montrer~:

($∀x⩾0$, $P(x) > 0$) $⇔$ ($∃ℓ ∈ℕ$ tq $(X+1)^ℓP(X)$ est à coefficients
strictement positifs).
\reponse{Le sens $⇐$ est trivial. Pour le sens $⇒$, il suffit de vérifier
         la propriété lorsque $P$ est irréductible, strictement positif
         sur~$ℝ^+$, et le seul cas non trivial est celui où $P$ est de la
         forme~: $P = (X-a)² + b²$ avec $a>0$, $b>0$. Dans ce cas, le
         coefficient de~$X^k$ dans $(X+1)^ℓ P(X)$ est~:
         $\binℓk(a²+b²) - 2a\binℓ{k-1} + \binℓ{k-2}$, en convenant que $\bin xy$
         vaut~$0$ si l'on n'a pas $0⩽y⩽x$. En mettant ce qui peut l'être en
         facteur et en ordonnant le reste suivant les puissances de~$k$, on
         est rammené à montrer que la quantité~:
         $$k²(a²+b²+2a+1) - k((a²+b²)(2ℓ+3) + 2a(ℓ+2) + 1) + ℓ²(a²+b²)$$
         est strictement positive pour tout $k∈⟦0,ℓ+2⟧$ si~$ℓ$ est choisi
         convenablement. Or le discriminant par rapport à~$k$ est équivalent
         à $-4ℓ²(2a+1)$ lorsque $ℓ$ tend vers $+∞$ donc un tel choix de~$ℓ$
         est possible.}

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\ex Diviseurs premiers de la suite $(P(n))$, Ens ULM-Lyon-Cachan MP$^*$ 2003
Soit $P∈ℤ[X]$ non constant et $E$ l'ensemble des diviseurs premiers d'au moins
un $P(n)$, $n∈ℤ$. Montrer que~$E$ est infini.
\reponse{On suppose $E$ fini et on montre que~$P$ est constant~:
         en supposant $£≠0$, il existe~$a∈ℤ$ tel que~$P(a)≠0$.
         Soit $N = ℿ_{p∈ E}p^{1+v_p(P(a))}$.
         Alors pour tout~$k∈ℤ$, $P(a+kN)≡P(a) \pmod N$ (formule de Taylor),
         donc $v_p(P(a+kN)) = v_p(P(a))$ pour tous~$k∈ℤ$ et~$p∈ E$.
         Comme $P(a+kN)$ est produit d'éléments de~$E$, on en déduit que
         $P(a+kN) = ±P(a)$ pour tout~$k$, donc $P$ prend une infinité de fois
         la même valeur.}

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\ex Centrale MP 2004
Soit~$n∈ℕ^*$. Montrer l'existence de~$P_n∈ℝ[X]$ tel que $1+X-P_n²$ est divisible
par~$Xⁿ$.
\reponse{Prendre pour~$P_n$ la partie régulière du développement limité à
         l'ordre~$n$ de~$√{1+x}$.}

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\ex Polynômes à coefficients entiers, ULM-Lyon-Cachan MP$^*$ 2004
On donne un entier $n⩾0$.

Montrer qu'il existe des polynômes $P₀,…,P_n$ dans $ℤ_n[X]$ tels que
$∀i,j∈⟦0,n⟧$, $∫_{t=0}^1 t^iP_j(t)\,𝕕t = δ_{ij}$.
\reponse{Analyse~: on pose $P_j = a₀ + a₁X + … + a_nXⁿ$ et on considère la
         fraction rationnelle
         $$F(X) = \dfrac{a₀}{X} + \dfrac{a₁}{X+1} + … + \dfrac{a_n}{X+n}
           = \dfrac{P(X)}{X(X+1)…(X+n)}.$$
         Alors $\displaystyle ∫_{t=0}^1 t^iP_j(t)\,𝕕t = F(i+1) =
         \dfrac{i!\,P(i+1)}{(i+n+1)!}$
         donc $P(j+1) = \dfrac{(j+n+1)!}{j!}$ et $P(k) = 0$ pour tout
         ${k∈⟦1,n+1⟧∖⦃j+1⦄}$, soit
         $$P(X) = \dfrac{(j+n+1)!}{j!}ℿ_{k≠j+1}\dfrac{X-k}{j+1-k}
         = (-1)^{n-j}\dfrac{(j+n+1)!}{(j!)²(n-j)!}ℿ_{k≠j+1}(X-k) = Q_j(X).$$
         \medskip
         Synthèse : soit $Q_j$ le polynôme ci-dessus et $a₀,…,a_n$ les
         coefficients de la décomposition en éléments simples de
         $\dfrac{Q_j(X)}{X(X+1)…(X+n)}$.
         On doit juste vérifier que les $a_i$ sont entiers. Calcul~:
$$\eqalign{a_i 
&= \dfrac{Q_j(-i)}{(-1)^ii!\,(n-i)!}\cr
&= (-1)^{i+j}\dfrac{(i+j)!\,(i+n+1)!\,(j+n+1)!}{(i+j+1)!\,(i!)²\,(j!)²\,(n-i)!\,(n-j)!}\cr
&= (-1)^{i+j}\bin{i+j}i\bin{i+n+1}{i+j+1}\bin{j+n+1}{j}\bin ni(n+1)\cr
&∈ℤ.\cr}$$}

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\bye
