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%|                           polynômes irréductibles                           |
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\input exos
\fiche{Polynômes irréductibles}

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\ex Factorisation sur $ℝ$ de $X⁸ + X⁴ + 1$

Factoriser $X⁸ + X⁴ + 1$ sur $ℝ$.
\reponse{$(X²-X+1) (X²+X+1) (X²-X√3+1) (X²+X√3+1)$.}

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\ex Polynôme irréductible sur $ℚ$

Démontrer que $1 + (X-1)²(X-3)²$ est irréductible dans $ℚ[X]$.
\reponse{racines :
         $α = 2 + √{\dfrac {√2+1}2} + i√{\dfrac {√2-1}2}$,
         $β = 2 - √{\dfrac {√2+1}2} - i√{\dfrac {√2-1}2}$,
         $\barα,\barβ$.

         Factorisation de $P$ sur $ℝ$ :
         $P = (X² - 2ℜ(α)X + |α|²) (X² - 2ℜ(β)X + |β|²)$
         et les facteurs sont irrationnels.}

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\ex Polynômes positifs sur $ℝ$

Soit $𝓔 = ⦃P ∈ ℝ[X] \tq ∃Q,R ∈ ℝ[X] \tq P = Q² + R² ⦄$.

\qq   Montrer que $𝓔$ est stable par multiplication.
      \reponse{$P = |Q+iR|²$.}
\qq   Montrer que $𝓔 = ⦃P ∈ ℝ[X] \tq ∀x ∈ ℝ$, $P(x)⩾0⦄$.
      \reponse{Factoriser $P$.}

\qq (Centrale MP 2000, avec Maple)
    $P=65X⁴-134X³+190X²-70X+29$.
    Trouver $A$ et $B$ dans $ℤ[X]$ tels que $P=A²+B²$.
    \reponse{Avec Maple~: $P=\frac1{65}Q\overline Q$ avec
    $Q=65X²+(49i-67)X+(42+11i)$ et $Q$ est irréductible sur $ℚ[i]$.
    Donc si $P=A²+B² = (A+iB)(A-iB)$ avec $A,B$ polynômes à coefficients entiers
    alors, quitte à changer $B$ en $-B$, il existe $λ∈ℚ[i]$ tel que~:
    $A+iB = λQ$ et $A-iB=\barλ\overline Q$ d'où~:
    $$\eqalign{
      2A  &= 65(λ+\barλ)X² + ((49i-67)λ-(49i+67)\barλ)X
                           + ((42+11i)λ+(42-11i)\barλ)\cr
      2iB &= 65(λ-\barλ)X² + ((49i-67)λ+(49i+67)\barλ)X
                           + ((42+11i)λ-(42-11i)\barλ)\cr
      λ\barλ &=65.\cr
    }$$
    En particulier $65λ∈ ℤ[i]$, écrivons $λ = \dfrac{u+iv}{65}$
    avec $u,v∈ℤ$~:
    $$\eqalign{
      A &= uX² -\dfrac{67u+49v}{65}X + \dfrac{42u-11v}{65}\cr
      B &= vX² +\dfrac{49u-67v}{65}X + \dfrac{11u+42v}{65}\cr
      u²+v² &=65.\cr
    }$$
    $67u+49v$ est divisible par $65$ si et seulement si $u≡8v\pmod{65}$
    et dans ce cas les autres numérateurs sont aussi multiples de~$65$.
    La condition $u²+v² = 65$ donne alors $v=±1, u=±8$ d'où~:
    $$A = ±(8X² -9X + 5), \qquad B = ±(X² +5X + 2).$$}

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\ex Lemme de Gauss

Soit $P ∈ ℤ[X]$. On appelle {\it contenu de $P$\/} le pgcd des coefficients
de $P$ (notation : $\fct{cont}(P)$).

\qq Soient $P,Q ∈ ℤ[X]$ avec $\fct{cont}(P)=1$, et $R = PQ$. Soit $p$ un facteur
    premier de $\fct{cont}(R)$.

    \sq   Si $p$ est premier avec le coefficient constant de $P$, Démontrer que
          $p$ divise tous les coefficients de~$Q$.
    \sq   Si $p$ divise le coefficient constant de $P$, se ramener au cas
          précédent.
    \sq   En déduire que $\fct{cont}(Q) = \fct{cont}(R)$.

\qq  Lorsque $\fct{cont}(P) ≠ 1$, trouver $\fct{cont}(PQ)$.
\qq  Application : Soit $R ∈ ℤ[X]$, et $P,Q ∈ ℚ[X]$ tels que $R = PQ$.
     Montrer qu'il existe $P₁,Q₁ ∈ ℤ[X]$ proportionnels à $P$ et $Q$ et tels que
     $R = P₁Q₁$
     ({\it cad : un polynôme à coefficients entiers réductible sur $ℚ$
     est aussi réductible sur $ℤ$}.)

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\ex Polynômes irréductibles sur $ℤ$

Démontrer que $X⁴ + X + 1$ et $X⁶ + X² + 1$ sont irréductibles dans $ℤ[X]$.

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\ex Polynômes irréductibles sur $ℤ$

Soient $a₁, …, a_n ∈ ℤ$ distincts.

\qq Montrer que $(X-a₁) … (X-a_n) - 1$ est irréductible dans $ℤ[X]$.
    \reponse{%
    Si $P = QR$ alors $Q(a_i)R(a_i) = -1 ⇒ Q(a_i) = -R(a_i) = ±1$,
    donc $Q+R$ a $n$ racines, donc est nul, et $P = -Q²$~:
    contradiction pour $x→∞$.}

\qq Même question avec $(X-a₁) … (X-a_n) + 1$, $n$ impair.
    \reponse{%
    Même raisonnement : $P = Q²$, donc
    $Q²-1 = (Q-1)(Q+1) = (X-a₁) … (X-a_n)$.
    \par
    On répartit les facteurs entre $Q-1$ et $Q+1$ : $n = 2p$, contradiction.}

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\ex Critère d'irréductibilité d'Eisenstein

Soit $P∈ℤ[X]$, $P=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+…+a₀X⁰$ et $p$ un
nombre premier tel que~:
$a₀≡ 0 \pmod p$, …, $a_{n-1}≡ 0 \pmod p$, $a₀\not≡ 0 \pmod {p²}$.
Montrer que $P$ est irréductible dans $ℤ[X]$.
\reponse{%
Soit $P = QR$ avec
$Q=X^{n₁}+b_{n₁-1}X^{n₁-1}+…+b₀X⁰$ et
$R=X^{n_2}+c_{n_2-1}X^{n_2-1}+…+c₀X⁰$.

Par hypothèse sur $a₀ = b₀c₀$, $p$ divise un et un seul des entiers $b₀$, $c₀$.
Supposons que $p$ divise $b₀,b₁,…,b_{k-1}$~:
alors $a_k ≡ b_kc₀ \pmod p$ donc $p$ divise $b_k$.
On aboutit à «$p$ divise le coefficient dominant de $Q$», ce qui est absurde.}

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\ex Irréductibilité de $X^p-a$

Soit $𝕂$ un sous-corps de~$ℂ$, $a∈𝕂$ et $p∈ℕ$ premier.
Montrer que le polynôme $X^p-a$ est irréductible sur~$𝕂$ si et seulement
s'il n'a pas de racine dans~$𝕂$.
Indication~: si $X^p-a = PQ$ avec $P,Q∈𝕂[X]$ unitaires non constants,
factoriser $P$ dans~$ℂ$ et considérer $P(0)$.

\reponse{On suppose $a≠0$ et $X^p-a = PQ$ avec $P,Q∈𝕂[X]$ unitaires
non constants. Soit $n=\deg(P)∈⟦1,p-1⟧$ et $b=(-1)^nP(0)∈𝕂$.
$b$ est le produit de certaines racines $p$-èmes de~$a$, donc $b^p = a^n$.
De plus $n∧p = 1$~; soit $nu+pv=1$ une relation de Bézout.
On a alors $b^{pu} = a^{nu} = a^{1-pv}$ d'où $a = (b^u/a^v)^p$ 
donc $b^u/a^v∈𝕂$ est racine de $X^p-a$.}

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\ex Polynômes sans facteur carré
Soit~$𝕂$ un corps fini de cardinal~$k$ et $d∈ℕ^*$. On note $U_d$ l'ensemble
des polynômes de~$𝕂[X]$ unitaires de degré~$d$ et $V_d$ le sous-ensemble
des ces polynômes sans facteur carré (il n'existe pas $Q∈𝕂[X]$ non constant
tel que $Q²$ divise le polynôme considéré).
Soient $u_d$, $v_d$ les cardinaux de ces ensembles.

\qq Montrer~: $u_d=⅀_{2q+r=d}u_qv_r$.
    \reponse{Tout polynôme $P$ unitaire de degré~$d$ se décompose de manière
             unique en $P=Q²R$ avec $Q,R$ unitaires et $R$ sans facteur carré.}
\qq Calculer $u_d$ puis $v_d$.
    \reponse{On a $u_d=k^d$ et $u_{d+2}=ku_d+v_{d+2}$, d'où
             $v₀=1$, $v₁=k$, $v_d=k^d-k^{d-1}$ si $d⩾2$.}
\bye
