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%|             Exercices division suivant les puissances croissantes          |
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\input exos
\fiche{division suivant les puissances croissantes}

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\ex Division de $X³-1$ par $X²+1$

\qq Effectuer la division suivant les puissances croissantes de
    $X³-1$ par $X²+1$ à l'ordre 3.
    \reponse{$X³-1 = (X²+1)(X³+X²-1) - X⁴(X+1)$.}
\qq En déduire une primitive de $f$ : $x↦ \dfrac{x³-1}{x⁴(x²+1)}$.
    \reponse{$F(x) = \ln\Bigl(\dfrac x{\sqrt{x²+1}}\Bigr) - \arctan x
              + \dfrac 1{3x³} - \dfrac 1x$.}

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\ex Division de 1 par $(1-X)²$

\qq Effectuer la division suivant les puissances croissantes
    de $1$ par $(1-X)²$ à un ordre $n$ quelconque.
    \reponse{$1 = (1-X)² (1 + 2X + 3X² + … + nX^{n-1}) + (n+1)Xⁿ - nX^{n+1}$.}

\qq En déduire $1 + 2\cosθ + 3\cos2θ + … + n\cos(n-1)θ$, $n ∈ ℕ^*$, $θ ∈ ℝ$.
    \reponse{$=\dfrac {-n\cos nθ + (n+1)\cos(n-1)θ -\cosθ}
                      {4\sin²\fracθ2}.$}

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\ex Division de $1-X²$ par $1 - 2X\cosθ + X²$

\qq Effectuer la division suivant les puissances croissantes
    de $1-X²$ par $1 - 2X\cosθ + X²$  à un ordre queclonque.
    \reponse{$1-X² = (1-2X\cosθ+X²)(1 + 2X\cosθ + … + 2Xⁿ\cos nθ)
                    + 2X^{n+1}\cos(n+1)θ - 2X^{n+2}\cos nθ$.}

\qq En déduire la valeur de $1 + 2⅀_{k=1}ⁿ\cos kθ$ pour $θ \not≡0\pmod{2π}$.
    \reponse{$=\dfrac{\cos nθ - \cos(n+1)θ}{1-\cosθ}$.}

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\ex Coefficients de Bézout

Soient $P = 1 + 2X + 3X² + 3X³ + 2X⁴ + X⁵$ et $Q = X⁵$.

\qq Vérifier que $P$ et $Q$ sont premiers entre eux.
\qq Trouver $U,V∈𝕂[X]$ tels que $UP + VQ = 1$ (utiliser une division
    suivant les puissances croissantes).
    \reponse{Division de 1 par $P ⇒ U = 1-2X+X²+X³-X⁴$, $V = -1+X²+X³+X⁴$.}

\bye
