%+-----------------------------------------------------------------------------+
%|                           Fractions rationnelles                            |
%+-----------------------------------------------------------------------------+

\input exos
\fiche{Fractions rationnelles}

\titre{Décomposition en éléments simples}

                        %+----------------------------+
                        %|  éléments de 1ère espèce   |
                        %+----------------------------+

\ex Éléments de 1ère espèce
Décomposer en éléments simples les fractions suivantes

{\bf1)} $\dfrac{1}{(x²-1)⁵}$
        \reponse{\qq $\dfrac{1/32}{(x-1)⁵} -\dfrac{5/64}{(x-1)⁴} +\dfrac{15/128}{(x-1)³} -\dfrac{35/256}{(x-1)²} +\dfrac{35/256}{x-1}
                     -\dfrac{1/32}{(x+1)⁵} -\dfrac{5/64}{(x+1)⁴} -\dfrac{15/128}{(x+1)³} -\dfrac{35/256}{(x+1)²} -\dfrac{35/256}{x+1}$}
%
{\bf2)} $\dfrac{(x²+1)²}{(x-1)⁶}$
        \reponse{\qq $\dfrac{4}{(x-1)⁶} +\dfrac{8}{(x-1)⁵} +\dfrac{8}{(x-1)⁴} +\dfrac{4}{(x-1)³} +\dfrac{1}{(x-1)²}$}
%
{\bf3)} $\dfrac{x³+x+1}{x⁴(x-1)³}$
        \reponse{\qq $-\dfrac{1}{x⁴} -\dfrac{4}{x³} -\dfrac{9}{x²} -\dfrac{17}{x} +\dfrac{3}{(x-1)³} -\dfrac{8}{(x-1)²} +\dfrac{17}{x-1}$}
%
{\bf4)} $\dfrac{(x²-x+1)²}{x²(x-1)²}$
        \reponse{\qq $1 + \dfrac{1}{x²} + \dfrac{1}{(x-1)²}$}
%
{\bf5)} $\dfrac{x²}{(x²-1)²}$
        \reponse{\qq $\dfrac{1/4}{(x-1)²} +\dfrac{1/4}{x-1} +\dfrac{1/4}{(x+1)²} -\dfrac{1/4}{x+1}$}
%
{\bf6)} $\dfrac1{(x²-1)ⁿ}$
        \reponse{\qq $\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{\bin{n+k-1}k}{2^{n+k}}\left( \dfrac{(-1)^k}{(x-1)^{n-k}} + \dfrac{(-1)ⁿ}{(x+1)^{n-k}}\right)$}
%
{\bf7)} $\dfrac1{(x²+1)ⁿ}$
        \reponse{\qq $\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{(-1)ⁿ\bin{n+k-1}k}{2^{n+k}}\left( \dfrac{i^{n+k}}{(x-i)^{n-k}} + \dfrac{(-i)^{n+k}}{(x+i)^{n-k}}\right)$}
%
{\bf8)} $\dfrac{n!}{(x+1)…(x+n)}$
        \reponse{\qq $\sum_{k=1}ⁿ \dfrac{(-1)^{k-1}k\bin nk}{x+k}$}

                                  %+----------+
                                  %|  x²+1   |
                                  %+----------+

\ex $x²+1$
Décomposer en éléments simples les fractions suivantes

{\bf1)} $\dfrac{x²}{(x²+1)²}$
        \reponse{\qq $\dfrac{-1}{(x²+1)²} +\dfrac1{x²+1}$}
%
{\bf2)} $\dfrac{x}{(x⁴-1)²}$
        \reponse{\qq $\dfrac{1/16}{(x-1)²} -\dfrac{1/8}{x-1} -\dfrac{1/16}{(x+1)²} -\dfrac{1/8}{x+1} +\dfrac{x/4}{(x²+1)²} +\dfrac{x/4}{x²+1}$}
%
{\bf3)} $\dfrac{x}{(x-1)(x²+1)²}$
        \reponse{\qq $\dfrac{1/4}{x-1} +\dfrac{1-x}{2(x²+1)²} -\dfrac{x+1}{4(x²+1)}$}
%
{\bf4)} $\dfrac{x⁶}{(x²+1)²(x+1)²}$
        \reponse{\qq $1 +\dfrac{1/4}{(x+1)²} -\dfrac{1}{x+1} +\dfrac{x/2}{(x²+1)²} -\dfrac{x+1/4}{x²+1}$}
%
{\bf5)} $\dfrac{x⁶}{(x²+1)(x-1)³}$
        \reponse{\qq $x+3 +\dfrac{x-1}{4(x²+1)} +\dfrac{1/2}{(x-1)³} +\dfrac{5/2}{(x-1)⁵} +\dfrac{19/4}{x-1}$}
%
{\bf6)} $\dfrac{x^{2n}}{(x²+1)ⁿ}$
        \reponse{\qq $\sum_{k=0}ⁿ \dfrac{(-1)^k\bin nk}{(x²+1)^k}$}

                                 %+------------+
                                 %|  x²+x+1   |
                                 %+------------+

\ex $x²+x+1$
Décomposer en éléments simples les fractions suivantes

{\bf1)} $\dfrac{x}{x⁴+x²+1}$
        \reponse{\qq $\dfrac{1/2}{x²-x+1} -\dfrac{1/2}{x²+x+1}$}
%
{\bf2)} $\dfrac{x⁴+1}{x⁴+x²+1}$
        \reponse{\qq $1 +\dfrac{x/2}{x²+x+1} -\dfrac{x/2}{x²-x+1}$}
%
{\bf3)} $\dfrac{x⁴+1}{x²(x²+x+1)²}$
        \reponse{\qq $\dfrac{1}{x²} -\dfrac{2}{x} -\dfrac{1}{(x²+x+1)²} +\dfrac{2x+2}{x²+x+1}$}
%
{\bf4)} $\dfrac{3x⁵-5x⁴+4x²-11x+1}{(x²+x+1)⁶}$
        \reponse{\qq $-\dfrac{23x+6}{(x²+x+1)⁶} +\dfrac{13x+18}{(x²+x+1)⁵} +\dfrac{3x-11}{(x²+x+1)⁴}$}  


                     %+-----------------------------------+
                     %|  autres éléments de 2ème espèce   |
                     %+-----------------------------------+

\ex autres éléments de 2ème espèce
Décomposer en éléments simples les fractions suivantes

{\bf1)} $\dfrac{x^8}{x⁶-1}$
        \reponse{\qq $x² +\dfrac16\left(\dfrac{1}{x-1} -\dfrac{1}{x+1} +\dfrac{2x+1}{x²+x+1} -\dfrac{2x-1}{x²-x+1}\right)$}
%
{\bf2)} $\dfrac{1}{x⁴+1}$
         \reponse{\qq $\dfrac{1}{2\sqrt2}\left(\dfrac{x+\sqrt2}{x²+x\sqrt2+1} -\dfrac{x-\sqrt2}{x²-x\sqrt2+1}\right)$}
%
{\bf3)} $\dfrac{x}{x⁴+1}$
         \reponse{\qq $\dfrac{1}{2\sqrt2}\left(\dfrac{1}{x²-x\sqrt2+1} -\dfrac{1}{x²+x\sqrt2+1}\right)$}
%
{\bf4)} $\dfrac{1}{x⁵+1}$
        \reponse{\qq $\dfrac15\left(\dfrac{1}{x+1} -\dfrac{αx-2}{x²-αx+1} -\dfrac{βx-2}{x²-βx+1}\right)$ avec $α=\dfrac{1+\sqrt5}2$ et $β=\dfrac{1-\sqrt5}2$.}
%
{\bf5)} $\dfrac{x²}{x⁴-2x²\cosα+1}$, $α\not≡0\pmodπ$
        \reponse{\qq $\dfrac1{4\cos(α/2)} \left(\dfrac x{x²-2x\cos(α/2)+1} - \dfrac x{x²+2x\cos(α/2)+1} \right)$}
\par
{\bf6)} $\dfrac1{(x²+2x+1)(x³-1)}$.
        \reponse{\qq $\dfrac{-1/2}{(x+1)²} + \dfrac{-3/4}{x+1} + \dfrac{1/12}{x-1} + \dfrac{1/3}{x-j} + \dfrac{1/3}{x-j²}
                      = \dfrac{-1/2}{(x+1)²} + \dfrac{-3/4}{x+1} + \dfrac{1/12}{x-1} + \dfrac{2x+1}{3(x²+x+1)}$.}



                           %+-----------------------+
                           %|  racines de l'unité   |
                           %+-----------------------+

\ex racines de l'unité
Décomposer en éléments simples les fractions suivantes

{\bf1)} $\dfrac{xⁿ+1}{xⁿ-1}$
        \reponse{\qq $1 + 2\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{ω^k}{n(x-ω^k)}$, $ω = e^{2iπ/n}$}
%
{\bf2)} $\dfrac{1}{xⁿ-1}$
        \reponse{\qq $\sum_{2k≠n} \dfrac{2x\cosα_k-2}{n(x²-2x\cosα_k+1)} +\dfrac{1}{n(x-1)} -\dfrac{(n\text{ pair ?})}{n(x+1)}$, $α_k = 2kπ/n$}
%
{\bf3)} $\dfrac{nx^{n-1}}{xⁿ-1}$
        \reponse{\qq $\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{x-ω^k}$, $ω = e^{2iπ/n}$}
%
{\bf4)} $\dfrac{𝕕}{𝕕x}\left(\dfrac{nx^{n-1}}{xⁿ-1}\right)$
        \reponse{\qq $\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{-1}{(x-ω^k)²}$, $ω = e^{2iπ/n}$}



                        %+-----------------------------+
                        %|  polynômes de Tchebychev    |
                        %+-----------------------------+

\ex polynômes de Tchebychev
Décomposer en éléments simples les fractions suivantes

{\bf1)} $\dfrac1{\cos(n\arccos x)}$
        \reponse{\qq $\dfrac1n\left(\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{(-1)^k\sinβ_k}{x-\cosβ_k}\right)$, $β_k = (2k+1)π/2n$}
%
{\bf2)} $\tan(n\arctan x)$
        \reponse{\qq $\dfrac1n\left(\sum_{2k≠n-1}\dfrac{1}{\cos²β_k(\tanβ_k-x)}\right) + (n\text{ pair ?})\dfrac xn$, $β_k = (2k+1)π/2n$}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Calcul de dérivées

Calculer les dérivées $p$-èmes des fractions suivantes :

{\bf1)} $\dfrac 1{X(X+1)…(X+n)}$.
        \reponse{\qq $⅀_{k=0}ⁿ \dfrac {(-1)^{k+p}p!}{k!\,(n-k)!\,(X+k)^{p+1}}$.}
%
{\bf2)} $\dfrac 1{X²-2X\cosα+1}$ ($α\not≡0\pmod π$).
        \reponse{\qq $\dfrac{(-1)^pp!}{2i\sinα}\left(\dfrac 1{(X-e^{iα})^{p+1}}
             - \dfrac 1{(X-e^{-iα})^{p+1}}\right)
             = \dfrac{⅀_{k=0}^p \bin{p+1}kp!\,{(-1)^k}
                      \dfrac{\sin(p+1-k)α}{\sinα} X^k}
                      {(X²-2X\cosα+1)^{p+1}}$.}
%
{\bf3)} $\dfrac 1{X²-2X\shα-1}$ ($α∈ℝ$).
        \reponse{\qq $\dfrac{⅀_{k\text{ pair}} \bin{p+1}kp!\,(-1)^{p+1}
             \dfrac {\sh kα}{\chα} X^{p+1-k}
             +⅀_{k\text{ impair}} \bin{p+1}kp!\,(-1)^p
             \dfrac {\ch kα}{\chα} X^{p+1-k}}
             {(X²-2X\shα-1)^{p+1}}.$}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Sommation de séries

A l'aide de décomposition en éléments simples, calculer :

{\bf1)} $⅀_{n=1}^∞ \dfrac 1{n(n + 1)}$.       \reponse{\qq 1.}
{\bf2)} $⅀_{n=1}^∞ \dfrac 1{n(n + 1)(n+2)}$.  \reponse{\qq $1/4$.}
{\bf3)} $⅀_{n=1}^∞ \dfrac n{n⁴ + n² + 1}$.    \reponse{\qq $1/2$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Partie polaire pour un pôle d'ordre 2

Soit $F(X) = \dfrac 1{R(X)} = \dfrac 1{(X-a)²Q(X)}$ avec $Q(a) ≠ 0$.
Chercher la partie polaire de $F$ en $a$ en fonction de $Q$ puis en fonction
de~$R$.
\reponse{$\dfrac 1{Q(a)(X-a)²} - \dfrac {Q'(a)}{Q²(a)(X-a)} =
         \dfrac 2{R''(a)(X-a)²} - \dfrac {2R'''(a)}{3{R''}²(a)(X-a)}$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex
Soient $a₁,…,a_n ∈ 𝕂$ distincts et $P = (X-a₁)…(X-a_n)$.

\qq Décomposer en éléments simples la fraction $\dfrac {(1+X²)ⁿ}{P²}$.
    \reponse{$⅀_{i=1}ⁿ \left(
                       \dfrac{(1+a_i²)ⁿ}{P'^2(a_i)(X-a_i)²}
                     + \dfrac{2na_i-P''(a_i)(1+a_i²)/P'(a_i)}{P'^2(a_i)(X-a_i)}
                     \right)$.}

\qq Montrer que les coefficients des $\dfrac1{X-a_i}$ sont tous nuls si et
    seulement si : $$(1+X²)P'' - 2nXP' + n(n+1)P = 0.$$

%----------------------------------------------------------------------
\ex $P$ à racines $x_i$ simples $⇒ ⅀ x_i^k/P'(x_i) = 0$

Soit $P ∈ ℂ_n[X]$ $(n ⩾ 2)$ ayant $n$ racines distinctes : $x₁,…,x_n$.

\qq Démontrer que $⅀_{i=1}ⁿ \dfrac 1{P'(x_i)} = 0$.
    \reponse{Décomposer $1/P$ en éléments simples, et prendre $x→∞$.}
\qq Calculer $⅀_{i=1}ⁿ \dfrac {x_i^k}{P'(x_i)}$ pour $0⩽k⩽n-1$.
    \reponse{Idem avec  $X^k/P ⇒ ⅀ = 0$ si $0⩽k< n-1$, $1$ si $k=n-1$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Les racines de $P'$ sont des barycentres des racines de $P$

Soit $P ∈ ℂ[X]$ de racines $x₁,x₂,…,x_n$ avec les multiplicités $m₁,m₂,…,m_n$.

\qq Décomposer en éléments simples $\dfrac {P'}P$.
    \reponse{$P' = ⅀_{i=1}ⁿ \dfrac {m_iP}{X-x_i} ⇒
             \dfrac {P'}P = ⅀_{i=1}ⁿ \dfrac {m_i}{X-x_i}$.}
\qq En déduire que les racines de $P'$ sont dans l'enveloppe convexe
    de $x₁,…,x_n$.
    \reponse{$P'(z) = 0 ⇔ ⅀_{i=1}ⁿ m_i\dfrac {\overline{z-x_i}}{|z-x_i|²} = 0
             ⇔ z = \fct{Bar}(x_i, m_i/|z-x_i|²)$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex $F'(X)/F(X) = …$

Soient $a₁, …, a_n ∈ 𝕂$ distincts et $α₁, …, α_n ∈ 𝕂$.
Existe-t-il $F ∈ 𝕂(X)$ telle que :
$\dfrac {F'(X)}{F(X)} = {\displaystyle⅀_{k=1}ⁿ} \dfrac {α_k}{X-a_k}$~?

%----------------------------------------------------------------------
\ex $F(X+1)- F(X) = …$

Trouver les fractions $F ∈ ℝ(X)$ telles que :
$F(X+1) - F(X) = \dfrac {X+3}{X(X-1)(X+1)}$.

\reponse{$F(X+1) - F(X) = \dfrac 2{X-1} - \dfrac 3X + \dfrac 1{X+1}
         ⇒ F(X) = \dfrac 1X -\dfrac 2{X-1} + \text{cste}$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Inversion de la matrice $(1/(a_i-b_j))$

Soient $a₁,…,a_n, b₁,…, b_n$, et $c$ des scalaires distincts.
On note $A$ la matrice carrée de coefficient général $1/(a_i-b_j)$ et
$B$ la matrice colonne de coefficient général $1/(a_i-c)$.
Montrer que l'équation $AX = B$ possède une solution unique en considérant une
fraction rationnelle bien choisie.

\reponse{$F = ⅀_{j=1}ⁿ \dfrac {x_j}{X-b_j} - \dfrac 1{X-c}
           = λ \dfrac {ℿ(X-a_i)}{(X-c)ℿ(X-bj)}$ où
           $λ = -ℿ \dfrac {c-b_i}{c-a_i}$.}
%----------------------------------------------------------------------
\ex Racines de $(X²+1)PP' + X(P²+P'^2)$

Soit $P ∈ ℝ[X]$ ayant $n$ racines distinctes, positives.

Factoriser le polynôme $Q = (X²+1)PP' + X(P²+P'^2)$ en deux termes,
faire apparaître $\dfrac {P'}P$, et démontrer que $Q$ admet au moins
$2n-2$ racines positives.

\reponse{$Q = (XP + P')(XP' + P)
            = XP²\left(X+\dfrac{P'}P\right) \left(\dfrac1X+\dfrac{P'}P\right)$.

         $\dfrac {P'}P = ⅀\dfrac 1{X-a_i}$, donc les expressions :
         $x + \dfrac {P'(x)}{P(x)}$ et $\dfrac 1x + \dfrac {P'(x)}{P(x)}$
         changent de signe entre $a_i$ et $a_{i+1}$.

         Cela fait au moins $2n-3$ racines distinctes ($2n-2$ si 1 n'est pas
         racine), plus encore une racine pour $\dfrac1x + \dfrac{P'(x)}{P(x)}$
         entre $0$ et $a₁$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Inégalité

Soit $P∈ℝ[X]$ unitaire de degré~$n$ et $Q(X) = X(X-1)…(X-n)$.

Calculer $\displaystyle⅀_{k=0}ⁿ\dfrac{P(k)}{ℿ_{i≠k}(k-i)}$ et en déduire
l'existence de $k∈⟦0,n⟧$ tel que $|P(k)|⩾\dfrac{n!}{2ⁿ}$.
\reponse{$\dfrac PQ = ⅀_{k=0}ⁿ\dfrac{P(k)}{(X-k)ℿ_{i≠ k}(k-i)}$
         donc $⅀_{k=0}ⁿ\dfrac{P(k)}{ℿ_{i≠k}(k-i)}
               = \lim_{x→∞}\dfrac{xP(x)}{Q(x)}=1$.
         \medskip
         Si l'on suppose $|P(k)|<\dfrac{n!}{2ⁿ}$ pour tout $k∈⟦0,n⟧$ alors
         $\left|⅀_{k=0}ⁿ\dfrac{P(k)}{ℿ_{i≠ k}(k-i)}\right| <
         \dfrac{1}{2ⁿ}⅀_{k=0}ⁿ\dfrac{n!}{k!\,(n-k)\!} = 1$, contradiction.}

\xe
                     %+--------------------------+
                     %|  Propriétés algébriques  |
                     %+--------------------------+


\titre{Propriétés algébriques}
%----------------------------------------------------------------------
\ex Substitution de fractions

Soit $F ∈ 𝕂(X)$ non constante et $P ∈ 𝕂[X]$, $P ≠ 0$.

\qq Montrer que $P∘F ≠ 0$.
\qq Montrer que l'application$\application {} {𝕂(X)} {𝕂(X)} G {G∘F}$ est un
    morphisme injectif d'algèbre.
\qq A quelle condition est-il surjectif ?
    \reponse{ssi $∃G ∈ 𝕂(X)$ tel que $G∘F = X ⇒ P∘F = X(Q∘F)$.
             $F = \dfrac AB$, $A∧B = 1 ⇒ A│(p₀ - Xq₀)$ et $B│(p_n - Xq_n) ⇒
              F$ est homographique.}

\qq Montrer que tous les isomorphismes de corps de $𝕂(X)$ sont de cette forme.
    \reponse{$F = φ(X)$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Multiplicité des pôles

Soient $F,G₀,…,G_{n-1} ∈ 𝕂(X)$ telles que $Fⁿ + G_{n-1}F^{n-1} + … + G₀ = 0$.
Montrer que l'ensemble des pôles de $F$ est inclus dans la réunion des ensembles
des pôles des $G_i$.

%----------------------------------------------------------------------
\ex Ensemble image d'une fonction rationelle

\label{Imf}
Soit $F ∈ ℂ(X)$. Étudier $F(ℂ∖⦃\text{pôles}⦄)$.
\reponse{$F = \dfrac PQ$.
         Si $P = λQ$ : $\Im F = ⦃λ⦄$.
         Si $P = λQ + µ$ : $\Im F = ℂ∖⦃λ⦄$.
         Sinon, $\Im F = ℂ$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex $F∘G$ est un polynôme

Trouver tous les couples $(F,G) ∈ (ℂ(X))²$ tels que $F∘G ∈ ℂ[X]$
(utiliser l'exercice \ref{Imf}).

\reponse{1) $G = $ cste.

         2) $F$ a un seul pôle $a$
            $⇒ F = \dfrac P{(X-a)^k}$ et $G = a + \dfrac 1Q$ avec $\deg P ⩽ k$.

         3) $F ∈ ℂ[X] ⇒ G ∈ ℂ[X]$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Fractions invariantes

\qq Soit $F ∈ ℂ(X)$ telle que $F(e^{2iπ/n}X) = F(X)$.
    Montrer qu'il existe une unique fraction $G ∈ ℂ(X)$ telle que
    $F(X) = G(Xⁿ)$.
\qq Application : Simplifier $⅀_{k=0}^{n-1} \dfrac {X+e^{2ikπ/n}}{X-e^{2ikπ/n}}$.
    \reponse{$n\dfrac {Xⁿ+1}{Xⁿ-1}$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Fractions invariantes

Soit $H = ⦃F ∈ 𝕂(X)$ tel que $F(X) = F(1/X)⦄$.

\qq Montrer que : $F ∈ H ⇔ ∃G ∈ 𝕂(X)$ tel que $F(X) = G(X+1/X)$.
    \reponse{$⇒ \dfrac{P(X)}{Q(X)} = \dfrac{P(1/X)}{Q(1/X)}
                     = \dfrac{P(X)+P(1/X)}{Q(X)+Q(1/X)}$.}

\qq Montrer que $H$ est un sous-corps de ${𝕂(X)}$.
\qq Que vaut $\dim_H(𝕂(X))$ ? Donner une base de $𝕂(X)$ sur $H$.

%----------------------------------------------------------------------
\ex Formule de Taylor

Soit $F ∈ 𝕂(X)$ définie en $a ∈ 𝕂$ et $n ∈ ℕ$.
Démontrer que il existe une fraction $G_n$ définie en $a$ telle que :

$$
   F(X) = F(a) + (X-a)F'(a) + … + (X-a)^{n-1} \dfrac {F^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}
   + (X-a)ⁿG_n(X).
$$

%----------------------------------------------------------------------
\ex Dérivée de $1/(x²+1)$

Soit $F = \dfrac 1{X²+1}$. Montrer qu'il existe un polynôme $P_n ∈ ℤ_n[X]$
tel que $F^{(n)} = \dfrac {P_n}{(X²+1)ⁿ}$.

Montrer que les racines de $P_n$ sont réelles et simples.

%----------------------------------------------------------------------
\ex Fractions de degré négatif

Soit $A = ⦃F ∈ 𝕂(X)$ tels que $\deg F ⩽ 0 ⦄$. Démontrer que $A$ est une
sous-algèbre de $𝕂(X)$.
Chercher ses idéaux.
\reponse{$I_k = ⦃F$ tels que $\deg F ⩽ -k⦄$.}

\bye
