\input exos
\fiche{Intégrale de Riemann}

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\ex Primitives de fraction rationnelles

Déterminer une primitive pour chacune des fonctions suivantes~:
\def\qq{\global\advance\qqnum1\hbox to7mm{\hfil\bf\the\qqnum) }\ignorespaces}
\halign{&\hskip\leftskip\qq#\hfil\cr
%
$\dfrac1{x³-1}$
\reponse{$\dfrac13 \ln|x-1| -\dfrac16 \ln(x²+x+1)
         -\dfrac1{√3} \arctan\Bigl(\dfrac{2x+1}{√3} \Bigr)$}
&
$\dfrac1{(x³-1)²}$
\reponse{$-\dfrac29 \ln|x-1| +\dfrac19 \ln(x²+x+1)
         +\dfrac2{3√3} \arctan\Bigl(\dfrac{2x+1}{√3} \Bigr)
         -\dfrac x{3(x³-1)}$}
&
$\dfrac1{x³(1+x³)}$
\reponse{$-\dfrac1{2x²} + \dfrac16 \ln\Bigl[\dfrac{x²-x+1}{(x+1)²} \Bigr]
          -\dfrac1{√3} \arctan\bigl[ \dfrac{2x-1}{√3} \bigr]$}
&
$\dfrac{x²+x+1}{(x²-1)²}$
\reponse{$-\dfrac3{4(x-1)} - \dfrac1{4(x+1)}$}
\cr
$\dfrac1{1+x⁴}$
\reponse{$\dfrac1{4√2} \ln\Bigl[ \dfrac{1+x√2+x²}{1-x√2+x²} \Bigr]
         +\dfrac1{2√2} \bigl[ \arctan(1+x√2) - \arctan(1-x√2) \bigr]$}
&
$\dfrac{x²}{1+x⁴}$
\reponse{$\dfrac1{4√2} \ln\Bigl[ \dfrac{1-x√2+x²}{1+x√2+x²} \Bigr]
         +\dfrac1{2√2} \bigl[ \arctan(1+x√2) - \arctan(1-x√2) \bigr]$}
&
$\dfrac{x}{(x⁴+1)²}$
\reponse{$\dfrac{\arctan{x²}}4 + \dfrac {x²}{4(x⁴+1)}$}
&
$\dfrac{x²+x+1}{x³-2x-4}$
\reponse{$\dfrac7{10} \ln|x-2| + \dfrac3{20} \ln(x²+2x+2)
         -\dfrac1{10} \arctan(x+1)$}
\cr
$\dfrac{x²-4}{x⁶-2x⁴+x²}$
\reponse{$\dfrac4x + \dfrac{3x}{2(x²-1)}
         +\dfrac{11}4 \ln\Bigl|\dfrac{x-1}{x+1} \Bigr|$}
&
$\dfrac1{x^{20}-1}$
\reponse{$\dfrac1{10} ⅀_{k=1}^9 \Bigl[ \dfrac12 \cos kα \ln( x²-2x\cos kα +1 )
               - \sin kα \arctan\bigl( \dfrac{x-\cos kα}{\sin kα} \bigr)\Bigr]
         +\dfrac1{20} \ln\Bigl|\dfrac{x-1}{x+1} \Bigr|,\quad α = \dfrac\pi{10}$}
&
$\dfrac1{(x-a)ⁿ(x-b)}$
\reponse{$\dfrac1{(b-a)ⁿ} \ln\Bigl|\dfrac{x-b}{x-a} \Bigr|
          + ⅀_{k=1}^{n-1} \dfrac1{k(b-a)^{n-k}(x-a)^k}$}
\cr}

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\ex Primitives de fonctions trigonométriques

Déterminer une primitive pour chacune des fonctions suivantes~:
\def\qq{\global\advance\qqnum1\hbox to7mm{\hfil\bf\the\qqnum) }\ignorespaces}
\halign{&\hskip\leftskip\qq#\hfil\cr
%
$\dfrac1{\sin x\sin 4x}$
\reponse{$-\dfrac1{4\sin x} 
          +\dfrac18 \ln\Bigl| \dfrac{1-\sin x}{1+\sin x} \Bigr|
          -\dfrac1{2√2} \ln\biggl| \dfrac{1-√2\sin x}{1+√2\sin x} \biggr|$}
&
$\dfrac{\tan x}{1+\tan x}$
\reponse{$\dfrac x2 - \dfrac12 \ln|\cos x + \sin x|$}
&
$\cos x√{\cos 2x}$
\reponse{$\dfrac{\sin x√{\cos 2x}}2 + \dfrac1{2√2} \arcsin(√2\sin x)$}
&
$\dfrac1{\sin x + \sin2x}$
\reponse{$\dfrac16 \ln(1-\cos x) + \dfrac12 \ln(1+\cos x)
         -\dfrac23 \ln|1+2\cos x|$}
\cr
$\dfrac1{\cos x\cos 2x}$
\reponse{$√2\argth(√2\sin x) -\argth(\sin x)$}
&
$\dfrac1{\sin x√{\sin x(1+\sin x)}}$
\reponse{$-2√{\dfrac{1-\sin x}{\sin x} }
         +√2\arctan√{\dfrac{1-\sin x}{2\sin x} }$
         (poser $u = 1/\sin x$)}
&
$\dfrac{a\sin x}{\cos x√{\cos²x-a²\sin²x}}$
\reponse{$-\arctan\biggl(\dfrac{√{\cos²x-a²\sin²x}}a \biggr)$}
\cr}

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\ex Primitives de radicaux

Déterminer une primitive pour chacune des fonctions suivantes~:
\def\qq{\global\advance\qqnum1\hbox to7mm{\hfil\bf\the\qqnum) }\ignorespaces}
\halign{&\hskip\leftskip\qq#\hfil\cr
%
$\dfrac{x+1}{√{x²-3x+2}}$
\reponse{$√{x²-3x+2} + \dfrac52 \ln\bigl| 2x-3 + 2√{x²-3x+2} \bigr|$}
&
$\dfrac{4x-3}{√{-4x²+12x-5}}$
\reponse{$-√{-4x²+12x-5} + \dfrac32 \arcsin(x-3/2)$}
&
$\dfrac1{2x-x²+√{2x-x²}}$
\reponse{$\dfrac{1-√{2x-x²}}{x-1}$}
&
$\dfrac1{2+√{1+x}+√{3-x}}$
\reponse{$√{1+x} - √{3-x} - \arcsin\Bigl(\dfrac{x-1}2 \Bigr)$
         (poser $x = 1+2\cosφ$)}
\cr
$\dfrac{2+√{x+3}}{1+√{x+4}}$
\reponse{$(√{x+3}+4)(√{x+4}-2) -4\ln(1+√{x+4}\,) +\ln(√{x+3}+√{x+4})$}
&
$ x+√{a²+x²}$
\reponse{$\dfrac{(x+√{a²+x²}\,)²}4 + \dfrac{a²}2 \ln( x+ √{a²+x²})$}
&
$(x+√{a²+x²})ⁿ$
\reponse{$\dfrac{(x+√{a²+x²})^{n+1}}{2(n+1)}
         +a²\dfrac{(x+√{a²+x²})^{n-1}}{2(n-1)}$ ($n≠1$)}
&
$\dfrac1{\root 3\of{1+x³}}$
\reponse{$\dfrac16 \ln\Bigl[ \dfrac{u²+u+1}{(u-1)²} \Bigr]
         -\dfrac1{√3} \arctan \dfrac{2u+1}{√3}$,
         $u = \root 3\of{1+1/x³}$ poser $v=1/x³$)}
\cr}

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\ex Primitives diverses

Déterminer une primitive pour chacune des fonctions suivantes~:
\def\qq{\global\advance\qqnum1\hbox to7mm{\hfil\bf\the\qqnum) }\ignorespaces}
\halign{&\hskip\leftskip\qq#\hfil\cr
%
$x^k\ln x$
\reponse{$\dfrac{x^{k+1}}{k+1} \Bigl(\ln x - \dfrac1{k+1} \Bigr)$}
&
$\ln(1+x²)$
\reponse{$x\ln(1+x²) -2x + 2\arctan x$}
&
$\dfrac{x²+a}{x²+1} \arctan x$
\reponse{$\dfrac12 \bigl( (2x+(a-1)\arctan x)\arctan x - \ln(1+x²)\bigr)$}
&
$\Bigl(1-\dfrac1x \Bigr)e^{1/x}$
\reponse{$xe^{1/x}$}
\cr
$\dfrac x{\cos²x}$
\reponse{$x\tan x + \ln|\cos x|$}
&
$\dfrac1{√{e^x-1}}$
\reponse{$2\arctan√{e^x-1}$}
&
$\arctan√{\dfrac{x+1}{x+3}}$
\reponse{$(x+2)\arctan√{\dfrac{x+1}{x+3}} 
         -\ln\bigl( √{x+1} + √{x+3} \bigr)$}
&
$\arcsin√{\dfrac x{x+1}}$
\reponse{$ x\arcsin√{\dfrac x{x+1}} - √x + \arctan√x$}
\cr
$e^{\arcsin x}$
\reponse{$\dfrac{x+√{1-x²}}2 e^{\arcsin x}$}
&
$x(\cos²x)e^{-x}$
\reponse{$\dfrac{e^{-x}}{50}((3-5x)\cos 2x + (4+10x)\sin 2x - 25(x+1))$}
&
$(x²+x+1)e^{2x}\cos x$
\reponse{$(\dfrac{2x²}5 + \dfrac{4x}{25} + \dfrac{39}{125} )e^{2x}\cos x
         + (\dfrac{x²}5 - \dfrac{3x}{25} + \dfrac{27}{125} )e^{2x}\sin x$}
\cr}

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\ex Intégrales définies

Calculer les intégrales suivantes~:
\def\qq{\global\advance\qqnum1\hbox to7mm{\hfil\bf\the\qqnum) }\ignorespaces}
\halign{&\hskip\leftskip\qq#\hfil\cr
%
$∫_{t=0}^{\pi/2} \cos⁴t\,𝕕 t$
\reponse{$\dfrac{3\pi}{16}$}
&
$∫_{t=-\pi/2}^{\pi/2} \sin²t\cos³t\,𝕕 t$
\reponse{$\dfrac4{15}$}
&
$∫_{t=0}^{\pi/2} t²\cos t\,𝕕 t$
\reponse{$\dfrac{\pi²}4 - 2$}
\cr
$∫_{t=-\pi/2}^{\pi/2} t²\sin t\cos²t\,𝕕 t$
\reponse{$0$}
&
$∫_{t=0}^{\pi/2} \dfrac{\sin t}{1+\cos²t}\,𝕕 t$
\reponse{$\dfrac \pi4$}
&
$∫_{t=0}^{\pi/2} \dfrac{𝕕 t}{1 + \sin t} $
\reponse{$1$}
\cr
$∫_{t=0}^{\pi/2} \dfrac{\sin²t}{\sin t + \cos t}\,𝕕 t$
\reponse{$-\dfrac1{√2} \ln(√2-1)$}
&
$∫_{t=0}^{\pi/2} \dfrac{\sin2t}{√{1-a\sin t}}\,𝕕 t$
\reponse{$\dfrac{4(2-(a+2)√{1-a})}{3a²}$}
&
$∫_{t=0}^1 t\ln t\,𝕕 t$
\reponse{$-\dfrac14$}
\cr
$∫_{t=0}^1 \arcsin t\,𝕕 t$
\reponse{$\dfrac\pi2 - 1$}
&
$∫_{t=0} ³ \dfrac{2t}{(1+t²)(3+t²)}\,𝕕 t$
\reponse{$\dfrac12 \ln\dfrac52$}
&
$∫_{t=0}^1 \dfrac{t²\arctan t}{1+t²}\,𝕕 t$
\reponse{$\dfrac\pi4 - \dfrac{\pi²}{32} - \ln√2$}
\cr
$∫_{t=0}^{\ln2} √{e^t-1}\,𝕕 t$
\reponse{$2-\dfrac\pi2$}
&
$∫_{t=4}^9 \dfrac{𝕕 t}{√ t - 1} $
\reponse{$2 + 2\ln2$}
&
$∫_{t=0}^1 \dfrac{te^t}{√{e^t+1}}\,𝕕 t$
\reponse{$4√2 - 2√{e+1} + 4\ln\Bigl[ \dfrac{√{e+1}+1}{√2+1} \Bigr] - 2$}
\cr
$∫_{t=0}^1 \dfrac{\ln(1-a²t²)}{t²}\,𝕕 t$
\reponse{$a\ln\left|\dfrac{1-a}{1+a}\right| -\ln(1-a²)$}
&
$∫_{t=0}^1 \dfrac{𝕕 t}{2+√{1-t²}} $
\reponse{$\dfrac\pi6 (3 - \dfrac4{√3})$}
&
$∫_{t=-1}^1 \dfrac{𝕕 t}{t+√{t²+1}} $
\reponse{$\ln(1+√2) + √2$}
\cr
$∫_{t=-1}^1 √{1+t²}\,𝕕 t$
\reponse{$\ln(1+√2) + √2$}
\cr}

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\ex Densité des fonctions en escalier

Soit $f:[a,b]→ℝ$ continue telle que pour toute fonction
$g:[a,b]→ℝ$ en escalier, $∫_{t=a}^b f(t)g(t)\,𝕕t = 0$.
Démontrer que $f = 0$.

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\ex Zéros

Soit $f:[a,b]→ℝ$ continue non identiquement nulle, telle que :
$∀k∈⦃0,1, …, n-1⦄$, $∫_{t=a}^b t^kf(t)\,𝕕t = 0$.

Démontrer que $f$ s'annule au moins $n$ fois
sur $]a,b[$ (raisonner par l'absurde).

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\ex Formule de la moyenne généralisée

Soient $f,g:[a,b]→ℝ$ continues, $f$ positive.

\qq Démontrer qu'il existe $c∈[a,b]$ tel que
    $∫_{t=a}^b f(t)g(t)\,𝕕t = g(c)∫_{t=a}^b f(t)\,𝕕t$.
\qq Si $f$ ne s'annule pas, montrer qu'il existe un tel $c∈{]a,b[}$.
\qq Application : Soit $f$ continue au voisinage de $0$. Déterminer
    $\lim_{x→ 0}(\frac1{x²}∫_{t=0}^x tf(t)\,𝕕t)$.
    \reponse{$½f(0)$.}

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\ex Inégalité de Jensen

Soit $f:[a,b]→ℝ$ continue et $g:ℝ→ℝ$ continue convexe.

Démontrer que $g\left(\frac 1{b-a}∫_{t=a}^b f(t)\,𝕕t\right)
⩽ \frac 1{b-a}∫_{t=a}^b g(f(t))\,𝕕t$.

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\ex $√{1+f²}$

Soit $f:[0,1]→ℝ$ continue positive. On pose $A = ∫_{t=0}¹ f(t)\,𝕕t$.

Montrer que $√{1+A²} ⩽ ∫_{t=0}¹ √{1+f²(t)}\,𝕕t ⩽ 1+A$.

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\ex Calcul de limite

Chercher $\lim_{x→0⁺}\left(\displaystyle
∫_{t=x}^{2x}\dfrac{\cos t\,\ln(1+t²)}{\sin²t\,\sh t}\,𝕕t\right)$.

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\ex Calcul de limite

Pour $0<a<b$, déterminez $\lim_{x→0⁺}\left(\displaystyle
∫_{t=ax}^{bx} \dfrac{1-\cos u}{u³}\,𝕕u\right)$.
\reponse{DL de $1-\cos u⇒\lim = ½\ln(b/a)$.}

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\ex $∫f + ∫f^{-1}$
Soit $f:[a,b]→[c,d]$ continue, bijective, strictement croissante.
Calculer $∫_{t=a}^b f(t)\,𝕕t + ∫ _{u=c}^d f^{-1}(u)\,𝕕u$
(faire un dessin, et commencer par le cas où $f$ est de classe $𝓒¹$).

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\ex Sommes de Riemann

\qq Trouver $\lim_{n→∞} \dfrac 1{n+1} + \dfrac 1{n+2} + … + \dfrac 1{kn}$
    pour $k$ entier supérieur ou égal à $2$ fixé.
    \reponse{$\ln k$.}

\qq Trouver $\lim_{n→∞} \dfrac 1{n²}( √{1(n-1)} + √{2(n-2)} + … + √{(n-1)1})$.
    \reponse{$\frac π8$.}

\qq Trouver $\lim_{n→∞} \root \textstyle n\of
                                  {\Bigl(1+\dfrac 1n\Bigr)
                                   \Bigl(1+\dfrac 2n\Bigr) …
                                   \Bigl(1+\dfrac nn\Bigr)}$.
    \reponse{$\frac 4e$.}

\qq Trouver $\lim_{n→∞} \ln\left(1+\dfracπn\right)
             ⅀_{k=0}^{n-1} \dfrac1{2+\cos(3kπ/n)}$.
    \reponse{$⅓∫_{t=0}^{3π}\dfrac{𝕕t}{2+\cos t}
             = ∫_{t=0}^{π}\dfrac{𝕕t}{2+\cos t} = \fracπ{√3}$.}

\qq Donner un équivalent pour $n→∞$ de $⅀_{k=1}ⁿ√k$.
    \reponse{$\frac43n√n$.}

\qq Soit $A₁… A_n$ un polygone régulier inscrit dans un cercle de
    rayon 1.

    Chercher $\lim_{n→∞}\left(\frac 1n⅀_{k=2}ⁿ A₁A_k\right)$.
    \reponse{$\frac 4π$.}

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\ex Calcul de limite

Soit $f:[0,1]→ℝ$ continue.
Chercher $\lim_{n→∞} \left(\frac 1{n²}
          ⅀_{1⩽i<j⩽n} f(\frac in)f(\frac jn)\right)$.

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\ex Moyenne géométrique

Soit $f:[0,1]→ℝ$ continue.
Montrer que $(1+\frac1nf(\frac1n))
     (1+\frac1nf(\frac2n))…
     (1+\frac1nf(\frac nn))
     ⟶_{n→∞} \exp(∫_{t=0}¹ f(t)\,𝕕t)$.
 
On pourra utiliser : $∀x⩾ -½$, $x-x² ⩽ \ln(1+x) ⩽ x$.

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\ex
\qq Montrer que : $∀x ⩾ 0$, $x-½x² ⩽ \ln(1+x) ⩽ x$.
\qq Trouver $\lim_{n→∞}ℿ_{k=1}ⁿ\left(1+\dfrac1{k²+n²}\right)ⁿ$.
    \reponse{$\exp(\fracπ4)$.}

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\ex Maximum-minimum

Soient $a,b∈ℝ$. Étudier la convergence des suites $(a_n)$, $(b_n)$
définies par :
$$a₀=a,\ b₀=b,\qquad a_{n+1} = ½∫_{x=-1}¹ \min(x,b_n)\,𝕕x,\
                       b_{n+1} = ½∫_{x=-1}¹ \max(x,a_n)\,𝕕x.$$
\reponse{%
$a_{n+1} = \cases{ b_n &si $b_n < -1$\cr
                   -(b_n-1)²/4 &si $-1⩽ b_n⩽1$\cr
                   0 &si $b_n > 1$,\cr}$ \qquad
$b_{n+1} = \cases{ 0 &si $a_n < -1$\cr
                   (a_n+1)²/4 &si $-1⩽ a_n⩽1$\cr
                   a_n &si $a_n > 1$.\cr}$
\par
Donc $a_{n+1} = f(a_{n-1})$, $b_{n+1} = g(b_{n-1})$.
Point fixe : $a_n → √8-3$, $b_n→ 3-√8$.}

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\ex Intégrale de $\ln|x-e^{it}|$

Pour $x∈ℝ$, $x ≠ ±1$, on pose $I = ∫_{t=0}^{2π} \ln|x-e^{it}|\,𝕕t$.
En utilisant les sommes de Riemann, calculer $I$.

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\ex Intégrale de $|f|$

Soit $f:[a,b]→ℝ$ continue. Pour $n∈ℕ^*$, on pose
$I_n = ⅀_{k=0}^{n-1} \left| ∫_{t=a_k}^{a_{k+1}} f(t)\,𝕕t \right|$
où $a_k = a + k\dfrac {b-a}n$.

Montrer que $I_n ⟶_{n→∞} ∫_{t=a}^b |f(t)|\,𝕕t$.

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\ex Usage de symétrie

Soit $I = ∫_{t=0}^π \dfrac {t\sin t}{1 + \cos²t}\,𝕕t$.
Effectuer dans $I$ le changement de variable $u = π - t$, et en déduire
la valeur de~$I$.
\reponse{$\frac {π²}4$.}

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\ex Usage de symétrie

Calculer $I = ∫_{t=0}^π \ \dfrac t{1+\sin t}\,𝕕t$.
\reponse{$u = π-t ⇒ I = \frac π2∫_{t=0}^π \dfrac 1{1+\sin t}\,𝕕t
            = \frac π2 ∫_{t=-π/2}^{π/2} \dfrac 1{1+\cos t}\,𝕕t = π$.}

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\ex Usage de symétrie

Calculer $∫_{t=0}^{π/4} \ln(1+\tan t)\,𝕕t$.
On remarquera que $\cos t + \sin t = √2\cos(\frac π4 - t)$.

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\ex DSF de $1/(2-\cos x)$

On note $I_n = ∫₀^π \dfrac{\cos nx}{2-\cos x}\,𝕕x$,
        $J_n = ∫₀^{π/2} \dfrac{\cos nx}{2-\cos x}\,𝕕x$,
        $K_n = ∫₀^{π/2} \dfrac{\cos nx}{2+\cos x}\,𝕕x$.\par
Montrer que pour tout $n∈ℕ$, on a $I_n = J_n + (-1)ⁿK_n$ et
$I_{n+1} = 4I_n - I_{n-1}$.
En déduire $I_n$ en fonction de $n$.
\reponse{$I_n = \fracπ{√3}(2-√3)ⁿ$.}

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\ex Calcul d'intégrale

Calculer pour tout $n∈ℕ^*$~: $I_n = ∫_{x=0}^π \dfrac{𝕕x}{1+\cos²(nx)}$.

\reponse{Couper en intervalles de longueur $π/n$.
         On obtient $I_n = \fracπ{√2}$ pour tout $n⩾1$.}

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\ex $\arcsin$ et $\arccos$

Simplifier $∫_{t=0}^{\sin²x} \arcsin√ t\,𝕕t + ∫_{t=0}^{\cos²x} \arccos√t\,𝕕t$.
\reponse{%
$f$ est paire, $π$-périodique. $f'(x) = 0$ pour $0 ⩽ x ⩽ \dfrac π2$
$⇒ f(x) = f(π/4) = \dfrac π4$.}


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\ex Approximation des rectangles pour une fonction lipchitzienne

Soit $f:[a,b]→ℝ$, $K$-lipchitzienne.

Montrer que $\left|∫_{t=a}^b f(t)\,𝕕t - \dfrac{b-a}n⅀_{k=1}ⁿ
f\Bigl(a+k\dfrac{b-a}n\Bigr)\right| ⩽ \dfrac{K(b-a)²}{2n}$.

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\ex Approximation des tangentes

Soit $f:[a,b]→ℝ$ de classe $𝓒²$. On fixe $n∈ℕ^*$ et on note :
$a_k = a + k\dfrac{b-a}n$, $a_{k+½} = \dfrac{a_k + a_{k+1}}2$.

Soit $I_n = \dfrac{b-a}n⅀_{k=0}^{n-1} f(a_{k+½})$.

\qq Donner une interprétation géométrique de $I_n$.
\qq Montrer que $\left|∫_{t=a}^b f(t)\,𝕕t - I_n \right| ⩽
    \dfrac{M₂(b-a)³}{24n²}$ où $M₂ = \sup\limits_{[a,b]}|f''|$.

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\ex Approximation des trapèzes

Soit $f:[a,b]→ℝ$ de classe $𝓒²$.

\qq Montrer que $∫_{t=a}^b f(t)\,𝕕t = (b-a)\dfrac {f(a)+f(b)}2
                    + ∫_{t=a}^b \dfrac {(t-a)(t-b)}2f''(t)\,𝕕t$.

\qq Application : Soit $f:[a,b]→ℝ$, $I = ∫_{t=a}^b f(t)\,𝕕t$,
    et $I_n$ la valeur approchée de $I$ obtenue par la méthode des trapèzes
    avec $n$ intervalles.
    Démontrer que $|I-I_n| ⩽ \dfrac {\sup|f''| (b-a)³}{12n²}$.

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\ex Calcul de limite

Étudiez la limite de la suite définie par
$u_n=\dfrac n2-⅀_{k=1}ⁿ\dfrac{n²}{(n+k)²}$.
\reponse{Comparaison entre $∫_{t=0}¹ \dfrac{𝕕t}{(1+t)²}$ et
son approximation des trapèzes. Découper et intégrer deux fois par
parties, $u_n⟶_{n→∞}⅜$.}

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\ex Aire sous une corde

Soit $f:[a,b]→ℝ$ de classe $𝓒¹$ telle que $f(a) = f(b) = 0$.
On pose $M' = ∥f'∥_∞$.

\qq En majorant $f$ par une fonction affine par morceaux, démontrer que
    $\left|∫_{t=a}^b f(t)\,𝕕t \right| ⩽ M'\dfrac{(b-a)²}4$.
\qq Quand y a-t-il égalité ?

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\ex Échange de décimales

\qq Soit $f:[0,1]→[0,1]$ définie par
    $f(0,a₁a₂a₃…) = 0,a₂a₁a₃…$ (échange des deux $1^{\text{ères}}$ décimales)
    et $f(1)=1$.
    Montrer que $f$ est continue par morceaux et calculer $∫_{t=0}¹ f(t)\,𝕕t$.

\qq Soit $g:[0,1]→[0,1]$ définie par
    $g(0,a₁a₂a₃a₄…) = 0,a₂a₁a₄a₃…$ (échange des décimales deux à deux) et
    $g(1)=1$.
    Montrer que $g$ est Riemann-intégrable et calculer $∫_{t=0}¹ g(t)\,𝕕t$.

\qq Soit 
    $h:[0,1]→[0,1]$ définie par
    $h(0,a₁a₂a₃…) = 0,a_{σ(1)}a_{σ(2)}a_{σ(3)}…$ et $h(1)=1$ où
    $σ:ℕ^*→ℕ^*$ est une permutation donnée de~$ℕ^*$.
    Montrer que $h$ est Riemann-intégrable et calculer $∫_{t=0}¹ h(t)\,𝕕t$.

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\ex $∫f(t)\cos(t)\,𝕕t$

Soit $f:[0,2π]→ℝ$ convexe de classe $𝓒²$.
Quel est le signe de $I = ∫_{t=0}^{2π} f(t)\cos t\,𝕕t$ ?
\reponse{$I = \Bigl[ f'(t)(1+\cos t) \Bigr]₀^{2π} +
              ∫_{t=0}^{2π} f''(t)(1+\cos t)\,𝕕t ⩾ 0$.}


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\ex Convexité

Soit $f:ℝ→ℝ$ convexe et $g(x) = ∫_{t=x-1}^{x+1} f(t)\,𝕕t$.
Montrer que $g$ est convexe.

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\ex Primitive seconde
Soit $f:[a,b]→ℝ$ continue et
$g(x) = ∫_{t=a}^xx(1-t)f(t)\,𝕕t + ∫_{t=x}^bt(1-x)f(t)\,𝕕t$.
Justifier $g'' = f$.

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\ex Expression d'une primitive $n$-ème de $f$

Soit $f:[a,b]→ℝ$ continue et
$g(x) = ∫_{t=a}^x \dfrac {(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} f(t)\,𝕕t$.
Montrer que $g^{(n)} = f$.

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\ex Thm de division

Soit $f:ℝ→ℝ$ de classe $𝓒^{n+p}$ telle que
$f(0) = f'(0) = … = f^{(n-1)}(0) = 0$.
On pose $g(x) = f(x)/xⁿ$ pour $x ≠ 0$ et
$g(0) = f^{(n)}(0)/n!$.

\qq Écrire $g(x)$ sous forme d'une intégrale.
\qq En déduire que $g$ est de classe $𝓒^p$ et
    $|g^{(p)}(x)| ⩽ \dfrac {p!}{(p+n)!}{\sup⦃|f^{(n+p)}(tx)| \tq 0⩽t⩽1 ⦄}$.

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\ex Fonction absolument monotone

Soit $f:[0,a[→ℝ$ de classe $𝓒^∞$ telle que $f$ et toutes ses dérivées
sont positives sur $[0,a[$.

\qq   Montrer que la fonction
      $g_n : x ↦ \dfrac 1{x^{n}}\left(f(x) - f(0) - … -
      \dfrac {x^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n-1)}(0)\right)$
      est croissante.
      \reponse{formule de Taylor-intégrale.}

\qq   On fixe $r∈{]0,a[}$. Montrer que la série de Taylor de $f$ converge
      vers $f$ sur $[0,r[$.

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\ex Deuxième formule de la moyenne

Soient $f,g:[a,b]→ℝ$ continues, $f$ positive décroissante.

On note $G(x) = ∫_{t=a}^x g(t)\,𝕕t$,
$M = \sup⦃G(x)$, $x∈[a,b]⦄$ et $m = \inf⦃G(x)$, $x∈[a,b]⦄$.

\qq  On suppose ici que $f$ est de classe $𝓒¹$.
     Démontrer que $mf(a) ⩽ ∫_{t=a}^b f(t)g(t)\,𝕕t ⩽ Mf(a)$.

\qq  Démontrer la même inégalité si $f$ est seulement continue, en admettant
     qu'elle est limite uniforme de fonctions de classe $𝓒¹$ décroissantes.

\qq  Démontrer enfin qu'il existe $c∈[a,b]$ tel que
     $∫_{t=a}^b f(t)g(t)\,𝕕t = f(a) ∫_{t=a}^c g(t)\,𝕕t$.

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\ex Inégalité de la moyenne

Soient $f,g:[a,b]→ℝ$ continues, $f$ décroissante, et $0 ⩽ g ⩽ 1$.
On note $G(x) = a + ∫_{t=a}^x g(t)\,𝕕t$.

Démontrer que $∫_{t=a}^b fg(t)\,𝕕t ⩽ ∫_{t=a}^{G(b)} f(t)\,𝕕t$.

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\ex Une inégalité

Soit $f:[a,b]→ℝ$ de classe $𝓒¹$ telle que
$f(a) = 0$ et $∀t∈[a,b]$, $0 ⩽ f'(t) ⩽ 1$.
Comparer $∫_{t=a}^b f³(t)\,𝕕t$ et $\left( ∫_{t=a}^b f(t)\,𝕕t \right)²$.
On introduira les fonctions : $F(x) = ∫_{t=a}^x f(t)\,𝕕t$,
$G(x) = ∫_{t=a}^x f³(t)\,𝕕t$, et $H = F² - G$.
\reponse{$H' = f(2F-f²) = fK$ et $K' = 2f(1-f')$ donc $H$
         est croissante et positive.}

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\ex Intégrales de Wallis

On note $I_n = ∫_{t=0}^{π/2} \cosⁿt\,𝕕t$.

\qq   Comparer $I_n$ et $∫_{t=0}^{π/2} \sinⁿt\,𝕕t$.
\qq   Démontrer que $I_n ⟶_{n→∞} 0$.
\qq   Chercher une relation de récurrence entre $I_n$ et $I_{n+2}$.
      En déduire $I_{2k}$ et $I_{2k+1}$ en fonction de $k$.
\qq   Démontrer que $nI_nI_{n-1} = \frac π2$.
\qq   Démontrer que $I_n ∼ I_{n-1}$ et en déduire un équivalent simple de $I_n$
      puis de $\bin{2n}n$ pour $n → ∞$.


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\ex Norme $L^∞$

Soit $f:[a,b]→ℝ⁺$ continue non identiquement nulle.
On pose $I_n = ∫_{t=a}^b fⁿ(t)\,𝕕t$ et $u_n = \root n \of{I_n}$.

Soit $M = \max⦃ f(x)\tq a ⩽ x ⩽ b ⦄$ et $c∈[a,b]$ tel que $f(c) = M$.

\qq   Comparer $M$ et $u_n$.
\qq   En utilisant la continuité de $f$ en $c$, démontrer que :
      $∀ε ∈{]0,M[}$ il existe $δ > 0$ tel que $I_n ⩾ δ(M-ε)ⁿ$.
\qq   En déduire $\lim_{n→∞} u_n$.

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\ex Lemme de Lebesgue

Soit $f:[a,b]→ℝ$ continue. Montrer que $∫_{t=a}^b f(t)\cos(nt)\,𝕕t ⟶_{n→∞} 0$,
$…$

\qq si $f$ est de classe $𝓒¹$.
\qq si $f$ est en escalier.
\qq si $f$ est continue.

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\ex Plus grande fonction convexe minorant $f$

\qq Soit $(f_i)$ une famille de fonctions convexes sur un intervalle $I$.

    On suppose que : $∀x∈I$, $f(x) = \sup(f_i(x))$ existe.
    Montrer que $f$ est convexe.

\qq Soit $f:I→ℝ$ minorée. Montrer qu'il existe une plus grande fonction
    convexe minorant $f$. On la note $\tilde f$.

\qq Soit $f:[0,1]→ℝ⁺$ croissante.
    Montrer que $∫_{t=0}¹ \tilde f(t)𝕕t ⩾ ½∫_{t=0}¹ f(t)𝕕t$
    (commencer par le cas où $f$ est en escalier).

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\ex Centrale PC 1998

Soit $f:[a,b]→ℝ^{+*}$ continue.

\qq Montrer qu'il existe une subdivision de $[a,b]$~:
    $a=x₀ < x₁ < … < x_n = b$ telle que~:

    $∀k∈⟦0,n-1⟧$, $∫_{t=x_k}^{x_{k+1}}f(t)\,𝕕t = \frac1n ∫_{t=a}^{b}f(t)\,𝕕t$.
\qq Étudier $\lim_{n→∞} (\frac1n ⅀_{k=0}^{n-1}f(x_k))$.
\reponse{Soit $F(x) = ∫_{t=a}^{x}f(t)\,𝕕t$ et $G = F^{-1}$.

         Alors $\dfrac1n ⅀_{k=0}^{n-1}f(x_k) =
                \dfrac 1n ⅀_{k=0}^{n-1} f∘G(\frac kn)
         ⟶_{n→∞} ∫_{t=a}^{b}f²(t)\,𝕕t\Bigm/∫_{t=a}^{b}f(t)\,𝕕t$.}

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\ex Mines MP 2000

Soit $f:ℝ→ℂ$ de classe $𝓒¹$, $2π$ périodique, ne s'annulant pas.
Montrer que $I(f)=\frac{1}{2π i}∫₀^{2π} f'/f$ est un entier.
\reponse{On a $f=e^g$ avec $g$ de classe $𝓒¹$ par le thm. de relèvement d'où
         $I(f) = \dfrac{g(2π)-g(0)}{2iπ}∈ℤ$.}

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\ex Fonctions affines
Soit $E = 𝓒([a,b],ℝ)$, et $F=⦃f∈𝓒²([a,b],ℝ)\tq f(a)=f'(a)=f(b)=f'(b)=0⦄$.

\qq Soit $f∈E$. Montrer qu'il existe $g∈F$ vérifiant $g''=f$ si et
    seulement si $∫_{x=a}^b f(x)\,𝕕x$ et $∫_{x=a}^b xf(x)\,𝕕x$ sont nuls.
    \reponse{Il existe toujours une unique fonction $g$ de classe $𝓒²$
             telle que $g''=f$, $g(a)=g'(a)=0$~:

             $g(x) = ∫_{t=a}^x(x-t)f(t)\,𝕕t$
             (Taylor-Intégral).}
\qq Soit $f∈E$ telle que $∫_{x=a}^b f(x)g''(x)\,𝕕x = 0$ pour toute
    fonction $g∈F$. Montrer que $f$ est affine.
    \reponse{Soient $λ,µ∈ℝ$ tels que $f₁:x↦ f(x) - λ-µx$
             vérifie $∫_{x=a}^b f₁(x)\,𝕕x = ∫_{x=a}^b xf₁(x)\,𝕕x = 0$.
             On trouve $$(b-a)λ +\dfrac{b²-a²}2µ = -∫_{x=a}^bf(x)\,𝕕x,\qquad
                      \dfrac{b²-a²}2λ + \dfrac{b³-a³}3µ = -∫_{x=a}^bxf(x)\,𝕕x$$
             et ce système a pour déterminant $(b-a)⁴/12≠0$ donc $λ,µ$
             existent et sont uniques. Soit $g₁∈F$ telle que $g₁''=f₁$~:
             $∫_{x=a}^bg₁''(x)g''(x)\,𝕕x = 0$ pour tout $g∈F$, en particulier
             pour $g=g₁$ donc $g₁''=f₁=0$ et $f(x) = λ + µx$.}


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\ex Mines MP 2001

Soit $a<0<b$ et $f$ continue sur $[0,1]$, à valeurs dans $[a,b]$
telle que $∫₀¹ f=0$. Montrer que $∫₀¹ f²⩽ -ab$.
\reponse{Soit $g=f-a$. On a $0⩽ g ⩽ b-a$ et $∫₀¹ g = -a$ d'où
         $∫₀¹g² ⩽ (b-a)∫₀¹g = -a(b-a)$ et

         $∫₀¹f² = ∫₀¹g² +2a∫₀¹g + a²⩽ -ab$.}

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\ex Mines MP 2000

Montrer que pour tout $x$ réel, il existe $a(x)$ unique tel que
$∫_{t=x}^{a(x)} e^{t²}\, 𝕕t=1$. Montrez que $a$ est indéfiniment
dérivable, et que son graphe est symétrique par rapport à la deuxième
bissectrice. 

\reponse{%
Si l'on pose $F(x)=∫_{t=0}^x e^{t²}\, 𝕕t$, on constate que
$a(x)=F^{-1}(1+F(x))$ ce qui prouve l'existence, l'unicité et
le caractère $𝓒^∞$ de~$a$. Pour la symétrie, il faut montrer que
$a(-a(x)) = -x$ soit $∫_{t=-a(x)}^{-x} e^{t²}\, 𝕕t=1$ ce qui est immédiat.
}

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\ex

Soit $f:[0,1]→ℝ$ continue telle que $∫₀¹f=0$.
Montrer qu'il existe $x∈{]0,1[}$ tel que $∫_{t=0}^xtf(t)\,𝕕t=0$.
\reponse{On pose $F(x) = ∫_{t=0}^xtf(t)\,𝕕t = x²f(0)/2+o(x²)$.

En intégrant par parties, il vient
$0=∫₀¹f = F(1) + ∫_{t=0}^1F(t)\,𝕕t/t²$, ce qui empêche $F$ d'être de
signe constant sur $]0,1[$.}

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\ex Centrale 2014
\qq Rappeler l'énoncé du théorème de Stone-Weierstrass polynomial.
\qq Soit $P_n(x)=x^{n+1}(1-x)²$ et $f$ continue de~$[0,1]$ dans~$ℝ$,
    telle que $∀n⩾1$, $∫₀¹fP_n''=0$.
    \sq Montrer qu'il existe $a,b∈ℝ$ tels que pour $g(x)=f(x)-ax-b$
        on ait $∫₀¹g=∫₀¹xg=0$.
        \reponse{On a un système linéaire en~$(a,b)$ de matrice
                $\mat(\frac12&1\cr\frac13&\frac12\cr)$ inversible.}
    \sq Montrer que que $∀n∈ℕ$, $∫₀¹x^ng=0$ et conclure.
        \reponse{La famille $(1,X,P₁'',P₂'',…)$ est de degrés étagés~; c'est une base
                 de~$ℝ[X]$ donc il suffit de prouver que $∫₀¹gP_n''=0$
                 ce qui résulte de la même propriété pour~$f$ en se débarrassant
                 de~$a,b$ par parties.
                 \medskip
                 Donc par linéarité, $∫₀¹Pg=0$ pour tout polynôme~$P$.
                 En prenant une suite de polynômes convergeant uniformément vers~$g$
                 on obtient $∫₀¹g²=0$ soit $g=0$ et $f$ est une fonction affine.}
\qq Montrer que si $f$ vérifie $∫₀¹fg''=0$ pour toute fonction $g$ de classe~$𝓒²$
    nulle avec $g'$ et $g''$ en $0$ et en~$1$ alors $f$ est affine.
    \reponse{En prenant $Q_n(x)=x^{n+3}(1-x)³$ et $a,b,c,d$ tels que pour
             $h(x)=f(x)-a-bx-cx²-dx³$ on ait $∫₀¹h=∫₀¹xh=∫₀¹x²h=∫₀¹x³h=0$, on
             trouve comme précédemment $h=0$ et donc $f(x)=a+bx+cx²+dx³$.
             Avec Maple, $0=∫₀¹fQ₀''=\frac3{140}d+\frac1{70}c$ et
             $0=∫₀¹fQ₁''=\frac1{84}d+\frac1{140}c$, d'où $c=d=0$.}
\qq Montrer que si $f$ vérifie $∫₀¹fg''=0$ pour toute fonction $g$ de classe~$𝓒²$
    nulle aux voisinages de $0$ et de~$1$ alors $f$ est affine.
    \reponse{Le problème consiste à approcher une fonction $g$ du type précédent
             par une fonction nulle aux voisinages de~$0$ et~$1$. On traite seulement
             le problème en~$0$ pour prouver à l'interrogateur qu'on a des
             idées.
             \medskip
             Soit $g$ de classe~$𝓒²$ telle que $g(0)=g'(0)=g''(0)=0$ et
             soit~$φ:ℝ⁺→[0,1]$ de classe $𝓒²$, nulle sur~$[0,1]$ et constante égale
             à~$1$ sur~$[2,+∞[$. On pose $g_n(x)=g(x)φ(nx)$~: fonction nulle
             sur~$[0,1/n]$ et coïncidant avec~$g$ sur~$[2/n,1]$. Il s'agit de
             prouver que $∥g''-g_n''∥_∞⟶_{n→∞}0$, donc de majorer
             uniformément $|g''(x)-g_n''(x)|$ si $0⩽x⩽2/n$.
             \medskip
             On a $g_n''(x)=g''(x)φ(nx)+2ng'(x)φ'(nx)+n²g(x)φ''(nx)$ avec $φ,φ',φ''$
             bornées.
             Soit $ε>0$ et $n$ suffisament grand pour que $0⩽x⩽2/n⇒|g''(x)|⩽ε$
             (continuité de~$g''$ en~$0$).
             Par intégration on obtient $|g'(x)|⩽εx⩽2ε/n$ et $|g(x)|⩽εx²/2⩽2ε/n²$
             d'où $|g''(x)-g_n''(x)|⩽\text{cste}×ε$ pour $0⩽x⩽2/n$ et aussi
             pour~$x⩾2/n$.}

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\ex Mines 2016
Soient $a,b∈ℕ$ avec $a≠0$.
Montrer que~$a\bin{a+b}b$ divise $\fct{ppcm}(b+1,…,b+a)$.
Indication~: écrire $a\bin{a+b}b$ sous forme d'une intégrale et la calculer
de deux manières.
\reponse{L'intégrale fut donnée après déssiccation~:
         $I(a,b)=∫_{t=0}¹(1-t)^at^b\,𝕕t$. Par intégration par parties on obtient
         $I(a,b)=\dfrac b{a+1}I(a+1,b-1)=…=\dfrac{a!\,b!}{(a+b)!}I(a+b,0)
         =\dfrac1{(a+b+1)\bin {a+b}b}$.
         \medskip
         Deuxième manière de conduire les calculs~: développer $(1-t)^a$
         par la formule du binôme puis intégrer terme à terme.
         On obtient $I(a,b)=⅀_{k=0}^a(-1)^k\bin ak\frac1{k+b+1}
         =\dfrac{\text{un entier}}{\fct{ppcm}(b+1,…,b+a+1)}$.
         \medskip
         Ainsi, $\fct{ppcm}(b+1,…,b+a+1)
         =\text{(cet entier)}(a+b+1)\bin {a+b}b$.
         \medskip
         Bon … le candidat presque pas déboussolé est supposé trouver tout seul
         qu'il fallait en fait considérer $I(a-1,b)$, ce qui permet de conclure
         que $(a+b)\bin{a+b-1}b=a\bin{a+b}b$ divise le ppcm de l'énoncé.}
         
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\bye
