\input exos
\fiche{Intégrale dépendant d'un paramètre}

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\ex Calcul de limite

Chercher $\lim_{x→0} ∫_{t=x}^{2x} \dfrac{\cos t\ln(1+t²)}{\sin²t\sh t}\,𝕕t$.
\reponse{$=∫_{t=x}^{2x} \Bigl({\dfrac1t - \dfrac{5t}6 + o(t)}\Bigr)𝕕t → \ln 2$.}

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\ex Calcul de limite, Ensi P 90

    Calculer les limites : $\lim_{x→0}∫_x^{3x} \dfrac t{\tan²t}\,𝕕t$
    et $\lim_{x→0} \dfrac1{x³}∫_0^x \dfrac {t²}{t+e^{3t}}\,dt$.
    \reponse{$\dfrac t{\tan²t} = \dfrac1t + φ(t)$ avec $φ$
	     prolongeable par continuité en $0$, donc
	     $\lim_{x→0}∫_x^{3x} \dfrac t{\tan²t}\,dt = \ln 3$.\par
	     $\dfrac{t²}{t+e^{3t}} = t² + o(t²)$ donc
	     $\lim_{x→0} \dfrac1{x³}∫_0^x \dfrac {t²}{t+e^{3t}}\,dt = \frac13$.}

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\ex Calcul de limite

Chercher $\lim_{x→+∞} \dfrac1{x²}∫_{t=3}^{x²+x} \dfrac{\sin t\,𝕕t}{3+\ln(\ln t)}$.
\reponse{Formule de la moyenne sur $[3,x]$ et $[x,x+x²] ⇒ \lim = 0$.}

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\ex Calcul de limite

Chercher $\lim_{x→0⁺} ∫_{t=x}^{x²} \dfrac{e^{-t}\,𝕕t}{\sin t\ln t}$.
\reponse{$\ln 2$.}

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\ex Série d'intégrales, Esem 91

    Établir la convergence et calculer la somme de
    $⅀_{n=1}^∞ (-1)ⁿ∫_0^{+∞} \dfrac{𝕕t}{(1+t³)ⁿ}$.
    \reponse{$⅀_{n=1}ⁿ (-1)ⁿ∫_0^{+∞} \dfrac{𝕕t}{(1+t³)ⁿ} =
	      ∫_0^{+∞}\Bigl(1-\dfrac{(-1)ⁿ}{(1+t³)ⁿ}\Bigr)\dfrac{𝕕t}{2+t³}
	      ⟶_{N→∞} ∫_0^{+∞}\dfrac{𝕕t}{2+t³} =
	      \dfrac{π2^{5/3}}{3√3}$.}


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\ex $\sin(t)/(t+x)$

\qq Prouver l'existence pour $x > 0$ de
    $I(x) = ∫_{t=0}^{+∞} \dfrac{\sin t}{t+x}\,𝕕t$.

\qq Déterminer $\lim_{x→+∞} I(x)$.
    \reponse{$I(x) = ∫_{t=x}^{+∞} \dfrac{\sin(t-x)}t\,𝕕t
                   = \cos x ∫_{t=x}^{+∞} \dfrac{\sin t}t\,𝕕t
                   - \sin x ∫_{t=x}^{+∞} \dfrac{\cos t}t\,𝕕t
                   ⟶_{x→+∞} 0$.}


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\ex Calcul de limite

Soit $f:[0,1]→ℝ$ continue.
Chercher $\lim_{x→0⁺} ∫_{t=0}¹ \dfrac{xf(t)}{x²+t²}\,𝕕t$.
\reponse{$\fracπ2f(0)$.}

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\ex Calcul d'équivalent, Mines 1999

Donner un équivalent pour $x→+∞$ de
$∫_{t=0}^{+∞}\dfrac{\sin t}{x²+t²}\,𝕕t$.
\reponse{$t=ux$ puis intégration par parties $⇒\sim \dfrac 1{x²}$.}

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\ex  Calcul de limite

Soit $a > 0$. Donner le DL en $x=1$ à l'ordre 3 de
$f(x) = ∫_{t=a/x}^{ax} \dfrac{\ln t}{a²+t²}\,𝕕t$.
\reponse{$f'(x) = \dfrac{2\ln x}{a(1+x²)} ⇒ f(1+h) = \dfrac1{2a}(h²-h³) + o(h³)$.}

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\ex $(∫ f^x)^{1/x}$

Soit $f:[a,b]→ℝ⁺$ continue. On pose
$φ(x) = \left({∫_{t=a}^b (f(t))^x\,𝕕t}\right)^{1/x}$.

\qq Montrer que $φ(x) ⟶_{x→+∞} \max(f)$.
\qq On suppose $f > 0$ et $b-a = 1$.
    Montrer que $φ(x) ⟶_{x→0⁺} \exp\left({∫_{t=a}^b\ln(f(t))\,𝕕t}\right)$.
    \reponse{Soit $ε > 0$ : Pour $x$ assez petit,
             $\bigl|f(t)^x-1-x\ln(f(t))\bigr| ⩽εx$ car $\ln f$
             est borné sur $[a,b]$.\par
             Donc $\left|∫_{t=a}^b f(t)^x𝕕t - 1 - x∫_{t=a}^b\ln(f(t))\,𝕕t\right| ⩽εx$,
             et   $\left|\ln\left({∫_{t=a}^b f(t)^x𝕕t}\right) -
                   x∫_{t=a}^b\ln(f(t))\,𝕕t\right| ⩽2εx$.}

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\ex $tⁿf(t)$

Soit $I_n = ∫_{t=0}¹ tⁿ\ln(1+t²)\,𝕕t$.
Montrer que $I_n ⟶_{n→∞} 0$.

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\ex $tⁿf(t)$

Soit $f:[0,1]→ℝ$ continue.
Montrer que $∫_{t=0}¹ tⁿf(t)\,𝕕t = \dfrac{f(1)}n + o(\frac1n)$.

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\ex $f(tⁿ)$

\qq Soit $f:[0,1]→ℝ$ continue.
    Montrer que $∫_{t=0}¹ f(tⁿ)\,𝕕t ⟶_{n→∞} f(0)$.
    \reponse{TCD}
\qq Chercher un équivalent pour $n→∞$ de $∫_{t=0}¹ \dfrac{tⁿ\,𝕕t}{1+tⁿ}$.
    \reponse{$=\left[\dfrac{t\ln(1+tⁿ)}n\right]_{t=0}¹
              - \dfrac1n∫_{t=0}¹ \ln(1+tⁿ)\,𝕕t \sim \dfrac{\ln 2}n$.}
\qq Chercher un équivalent pour $n→∞$ de $-1 + ∫_{t=0}¹ √{1+tⁿ}\,𝕕t$.
    \reponse{$\dfrac1n∫_{t=0}¹  \dfrac{𝕕t}{√{1+t}+1} = \dfrac{2√2-2+2\ln(2√2-2)}n$.}

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\ex $f(tⁿ)$

Donner les deux premiers termes du DL pour $n→∞$ de
$I_n = ∫_{t=0}¹ \dfrac{𝕕t}{1+tⁿ}$.
\reponse{$1-\dfrac{\ln 2}n + o(\frac1n)$.}

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\ex $f(tⁿ)$
Donner les deux premiers termes du DL pour $n→∞$ de
$I_n = ∫_{t=0}¹ √{1+tⁿ}\,𝕕t$.
\reponse{$1+\dfrac1n∫_{t=0}¹\dfrac{𝕕t}{√{1+t}+1} + o(\frac1n)
        = 1+\dfrac{2√2-2+2\ln(2√2-2)}n + o(\frac1n)$.}

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\ex $f(tⁿ)$

Chercher un équivalent pour $n→∞$ de $∫_{t=1}^{1+1/n} √{1+tⁿ}\,𝕕t$.
\reponse{$u=tⁿ ⇒ \sim \dfrac 1n ∫_{u=1}^e \dfrac{√{1+u}}u\,𝕕u$.}


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\ex Calcul de limite

Déterminer $\lim_{n→∞} ∫_{x=0}^{π/2} \dfrac{\sinⁿx}{x+2}\,𝕕x$.

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\ex Calcul de limite

Soit $f:[0,1]→ℝ$ continue.
Déterminer $\lim_{n→∞}∫_{t=0}¹ nf(t)e^{-nt}\,𝕕t$.
\reponse{$f(0)$.}

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\ex $(1-x/n)ⁿ$, Ensi PSI 1998

Soit $x∈{[0,n]}$. Montrer que $(1-x/n)ⁿ ⩽e^{-x}$.
En déduire $\lim_{n→∞} ∫_{x=0}ⁿ(1-x/n)ⁿ\,𝕕x$.
\reponse{Soit $f_n(x) = (1-x/n)ⁿ$ si $0⩽x⩽n$ et $f_n(x) = 0$ si
$x>n$. Alors $f_n(x) ⟶_{n→∞}^{\text{simpl}} e^{-x}$ et il y a
convergence dominée.}

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\ex Équation intégrale, Ensi P 91

Déterminer les fonctions $f ∈ 𝓒⁰(ℝ,ℝ)$ telles que :
$∀x∈ ℝ,\ f(x) + ∫_0^x (x-t)f(t)\,𝕕t = 1$.
\reponse{$f(x) = \cos x$.}

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\ex $\tanⁿt$, Ensi Physique P 94

On pose $I_n = ∫_0^{π/4} \tanⁿt\,𝕕t$.\par
\qq Montrer que $I_n ⟶_{n→∞} 0$.
\reponse{$I_n+I_{n+2} = \frac1{n+1}$.}
\qq Calculer $I_n$ en fonction de~$n$.
\reponse{$I_{2k} = \frac1{2k-1} - \frac1{2k-3} + … + \frac{(-1)^{k-1}}1 + (-1)^k\fracπ4$,\par
         $I_{2k+1} = \frac1{2k} - \frac1{2k-2} + … + \frac{(-1)^{k-1}}2 - (-1)^k\ln√2$.}
\qq Que peut-on en déduire~?
\reponse{$\frac11-\frac13+\frac15 - … = \fracπ4$ et $\frac11-\frac12+\frac13-…=\ln 2$.}

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\ex Calcul de limite, École de l'Air 94

    Chercher $\lim_{n→∞} ∫_0¹\dfrac{tⁿ-t^{2n}}{1-t}\,𝕕t$.
    \reponse{$∫_0¹\dfrac{tⁿ-t^{2n}}{1-t}\,𝕕t = \dfrac1{n+1} + … + \dfrac1{2n}
              ⟶_{n→∞} \ln 2$.}

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\ex Approximation de la mesure de Dirac

Soit $f:[a,b]→ℝ⁺$ continue atteignant son maximum en un unique
point $c ∈ {]a,b[}$.

\qq Soit $µ > 0$ tel que $[c-µ,c+µ] \subset [a,b]$.
    Chercher $\lim_{n→∞} \biggl(∫_{t=a}^b fⁿ(t)\,𝕕t\biggm/∫_{t=c-µ}^{c+µ} fⁿ(t)\,𝕕t\biggr)$.
    \reponse{1.}
\qq Soit $g:[a,b]→ℝ⁺$ continue.
    Chercher $\lim_{n→∞} \biggl(∫_{t=a}^b fⁿ(t)g(t)\,𝕕t\biggm/∫_{t=a}^b fⁿ(t)\,𝕕t\biggr)$.
    \reponse{$g(c)$.}

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\ex Équation intégrale

Soit $f:[0,+∞[→ℝ⁺$ continue telle que
$f(x)∫_{t=0}^x f²(t)\,𝕕t ⟶_{x→+∞} ℓ≠0$.
Trouver un équivalent de $f$ en~$+∞$.
\reponse{$Φ(x) = ∫_{t=0}^x f²(t)\,𝕕t ⇒ Φ'Φ² → ℓ²
         ⇒ Φ³ \sim 3ℓ²x ⇒ f = √{Φ'} \sim \root 3\of{ℓ/(3x)}$.}

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\ex Convolution

Soient $f,g:ℝ→ℝ$ continues et $a,b ∈ ℝ$.
On pose $φ(x) = ∫_{t=a}^b f(t)g(x-t)\,𝕕t$.

\qq Montrer que $φ$ est continue et que si $g$ est de classe $𝓒^k$, alors
    $φ$ l'est aussi.

\qq Montrer que si $f$ est de classe $𝓒¹$ (et $g$ est continue), alors $φ$ est
    aussi de classe $𝓒¹$.

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\ex Convolution (Mines MP 2003)
Soient $f,g∈𝓒([0,+∞[,ℝ)$. On pose $h(x) = ∫_{t=0}^x f(x-t)g(t)\,𝕕t$.

\qq Existence et continuité de~$h$.
\qq Peut-on inverser $f$ et $g$~?
\qq On suppose $f$ intégrable sur~$[0,+∞[$ et $g$ bornée. Montrer que~$h$ est bornée.
\qq On prend $f(x) = \dfrac{\sin x}x$ et $g(x) = \cos(αx)$ avec $0⩽α⩽1$.
    $h$ est-elle bornée (on pourra étudier les cas $α=0$ et $α=1$)~?
    \reponse{Pour $α=0$ on a $h(x) = ∫_{t=0}^x\dfrac{\sin t}t\,𝕕t$, quantité
    bornée car l'intégrale converge en~$+∞$.

    Pour $α=1$ on a $h(x) = \cos x∫_{t=0}^x \dfrac{\cos t\sin t}t\,𝕕t
                               + \sin x∫_{t=0}^x \dfrac{\sin² t}t\,𝕕t$,
    quantité non bornée car la deuxième intégrale diverge en~$+∞$.

    Pour $0<α<1$, développer le $\cos(x-t)$ puis linéariser les produits
    obtenus. On obtient quatre intégrales convergentes, donc $h$ est bornée.}

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\ex Calcul d'intégrale

\qq Calculer $φ(a) = ∫_{t=0}¹ \dfrac{𝕕t}{1+at}$.
    \reponse{$\dfrac{\ln(1+a)}a$.}

\qq En déduire la valeur de $∫_{t=0}¹ \dfrac{t𝕕t}{(1+at)²}$.
    \reponse{$=-φ'(a) = \dfrac{\ln(1+a)}{a²} - \dfrac1{a(1+a)}$.}

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\ex Fonction définie par une intégrale

On pose $φ(x) = ∫_{t=0}¹ e^{-x/t}\,𝕕t$.

\qq Montrer que $φ$ est de classe $𝓒^∞$ sur $ℝ^{+*}$.
\qq Vérifier que $φ''(x) = \dfrac{e^{-x}}x$.


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\ex Fonction définie par une intégrale, Mines 1999

Soit $I(α) = ∫_{x=0}^{+∞} \dfrac{x^{α-1}}{1+x}\,𝕕x$.
Montrer que $I(α)$ existe et définit une fonction de classe
$𝓒¹$ sur $]0,1[$. Écrire $I(α)$ comme somme d'une série.

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\ex Fonction définie par une intégrale

On pose pour $x ⩾ 0$ :
$f(x) = ∫_{t=0}^{+∞} \dfrac{\ln(x²+t²)}{1+t²}\,𝕕t$.

Calculer explicitement $f'(x)$ et en déduire $f(x)$
(on calculera $f(0)$ à l'aide du changement de variable $u = 1/t$).

\reponse{$f'(x) = \dfracπ{x+1}$, $f(x) = π\ln(x+1)$.}

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\ex Fonction définie par une intégrale

On pose $I(x) = ∫_{t=0}^{π/2} \ln(\cos²t + x²\sin²t)\,𝕕t$.

\qq Montrer que $I$ est de classe $𝓒¹$ sur $ℝ^{+*}$.
\qq Calculer $I'(x)$ et en déduire $I(x)$.

\reponse{$I'(x) = \dfracπ{x+1}$, $I(x) = π\ln\left(\dfrac{x+1}2\right)$.}

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\ex Intégrale de Gauss

On considère les fonctions définies par :
$f(x) = \left({∫_{t=0}^x e^{-t²}\,𝕕t}\right)²$ et
$g(x) = ∫_{t=0}¹ \dfrac{e^{-x²(1+t²)}}{1+t²}\,𝕕t$.

\qq Montrer que $f$ et $g$ sont dérivables et calculer $f'$ et $g'$.
    \reponse{$g'(x) = ∫_{t=0}¹ (-2x)e^{-x²(1+t²)}\,𝕕t = -2e^{-x²}√{f(x)} = -f'(x)$.}
\qq Montrer que $f(x) + g(x) = \fracπ4$ pour tout $x ∈ ℝ⁺$.
\qq En déduire la valeur de $∫_{t=0}^{+∞} e^{-t²}\,𝕕t$.

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\ex Intégrale de Gauss, Ensi PC 1999

On donne~: $∫_{t=0}^{+∞} e^{-t²}\,𝕕t =\dfrac{√π}2$.
Existence et valeur de
$∫_{t=0}^{+∞} e^{-(t²+a²/t²)}\,𝕕t$.
\reponse{%
$u=\dfrac at ⇒ I = -\dfrac12\dfrac{𝕕I}{𝕕a} ⇒ I = \dfrac{√π}2e^{-2a}$.
}

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\ex Fonction définie par une intégrale

\qq Soit $I(x) = ∫_{t=0}^{+∞} e^{-t²}\cos(2xt)\,𝕕t$.
    Prouver que $I$ est de classe $𝓒¹$ sur $ℝ$.

\qq Chercher une relation simple entre $I$ et $I'$.
    \reponse{$I'(x) = -2xI(x)$.}

\qq En déduire la valeur de $I(x)$
    (on admet que $I(0) = \frac{√π}2$).
    \reponse{$I(x) = \frac{√π}2 e^{-x²}$.}

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\ex Fonctions définies par des intégrales

On pose, pour $x$ réel,
$F(x) = ∫^{+∞}_{t=0} \dfrac{1 - \cos tx}{t²}\, 𝕕t$
et $G(x) = ∫^{+∞}_{t=0} \dfrac{1 - \cos tx}{t√{1+t²}}\,𝕕t$.

\qq Montrer que les intégrales $F(x)$ et $G(x)$
convergent absolument pour tout $x$ réel et que $F(x) = |x|F(1)$.

\qq Montrer que la fonction $F-G$
est de classe $𝓒¹$ sur~$ℝ$. En déduire que $G$ est $𝓒¹$ sur $ℝ^*$ et n'est
pas dérivable en~$0$.

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\ex Théorème de division des fonctions $𝓒^∞$

Soit $f:ℝ→ℝ$ de classe $𝓒^∞$ et
$g(x) = \dfrac{f(x)-f(0)}x$ si $x ≠ 0$, $g(0)=f'(0)$.

Vérifier que $g(x) = ∫_{t=0}¹ f'(tx)\,𝕕t$. En déduire que $g$ est de classe $𝓒^∞$.
\medskip
Montrer de même que la fonction $g_k : x↦\dfrac1{x^k}\left({f(x) - f(0) - xf'(0) - … - \dfrac{x^{k-1}}{(k-1)!}f^{(k-1)}(0)}\right)$
se prolonge en une fonction de classe $𝓒^∞$ en 0.

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\ex $y''+y = f$

Soit $f:ℝ→ℝ$ continue.
On pose $g(x) = ∫_{t=0}^x f(t)\sin(x-t)\,𝕕t$.
Montrer que $g$ est l'unique solution de l'équation différentielle : $y''+y = f(x)$
telle que $y(0) = y'(0) = 0$.

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\ex Fonction définie par une intégrale

Soit $f:ℝ→ℝ$ continue. On définit pour $x ∈ ℝ^*$ et $y ∈ ℝ$ :
$g(x,y) = \dfrac 1x ∫_{t=x}^{xy} f(t)\,𝕕t$.

\qq Montrer que $g$ peut être prolongée en une fonction continue sur $ℝ²$.
    \reponse{$g(x,y) = ∫_{u=1}^y f(ux)\,𝕕u$.}
\qq On suppose de plus $f$ dérivable en 0. Montrer que $g$ est de classe $𝓒¹$.
    \reponse{$\dfrac{∂g}{∂x} =
             \dfrac1x \Bigl( yf(xy)-f(x) - ∫_{u=1}^y f(ux)\,𝕕u\Bigr)
             ⟶_{x→0}\dfrac{y²-1}2f'(0)$.}

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\ex Fonctions définies par des intégrales

Construire les courbes représentatives des fonctions suivantes :

\qq $f(x) = ∫_{t=-π/2}^{π/2} |x+t|\sin t\,𝕕t$.\par
    \reponse{$-2$ de $-∞$ à $-\dfracπ2$,\quad
             $2\sin x$ de $-\dfracπ2$ à $\dfracπ2$,\quad
             $2$ de $\dfracπ2$ à $+∞$.}

\qq $f(x) = ∫_{t=x}^{x²} \dfrac{𝕕t}{\ln t}$.
\qq $f(x) = ∫_{t=x}^{x²} \dfrac{𝕕t}{√{t^4+t²+1}}$.
\qq $f(x) = ∫_{t=0}¹ \dfrac{e^t\,𝕕t}{t+x}$.
\qq $f(x) = ∫_{t=0}^{π/2} x\exp\Bigl(\dfrac{\sin t}x\Bigr)𝕕t$.
\qq $f(x) = ∫_{t=0}^x \dfrac{\ln(1+xt)}{1+t²}\,𝕕t$.

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\ex Fonction définie par une intégrale

Montrer qu'il existe un unique réel $x ∈ {[0,π]}$ tel que
$∫_{θ=0}^π \cos(x\sinθ)\,\dθ = 0$.
Calculer une valeur approchée de $x$ à $10^{-2}$ près.
\reponse{$2.40 < x < 2.41$.}

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\ex Développement en série, Ensam PSI 1998, Mines MP 1999

Soit $I(α) = ∫_{x=0}^{+∞} \dfrac{\sinαx}{e^x-1}\,𝕕x$.

\qq Justifier l'existence de $I(α)$.
\qq Déterminer les réels $a$ et~$b$ tels que~:
    $I(α) = ⅀_{n=1}^∞ \dfrac a{b+n²}$.
    \reponse{$a=α$, $b=α²$.}
\qq Donner un équivalent de $I(α)$ quand $α→+∞$.
    \reponse{comparaison série-intégrale $⇒ I(α)⟶_{α→+∞}\fracπ2$.}

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\ex Formule de Stirling
Montrer que $Γ(x+1) \sim x^xe^{-x}√{2πx}$ pour $x$ réel
tendant vers $+∞$.
\reponse{$\lnΓ$ est convexe, encadrer $\lnΓ(x)$ par les cordes
passant par $(⎣x⎦,\lnΓ(⎣x⎦))$.}

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\ex Développement en série, Mines 1999

Soit $θ∈{]0,π[}$.
Montrer que $∫_{t=0}¹ \dfrac{𝕕t}{e^{-iθ}-t} = ⅀_{n=1}^∞ \dfrac{\exp(inθ)}n$.

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\ex Fonction définie par une intégrale, X 1999

\qq Calculer $f(a) = ∫_{t=0}^{+∞} e^{-t²}\cos(at)\,𝕕t$.
    \reponse{$f'(a) = -\dfrac a2f(a) ⇒ f(a) = \frac{√π}2\exp(-a²/4)$.}
\qq Soit $g(a) = ∫_{t=0}^{+∞} e^{-t²}\dfrac{\sin(at)}t\,𝕕t$~;
    calculer $\lim_{a→+∞} g(a)$.
    \reponse{$g'(a) = f(a) ⇒ g(a) ⟶_{a→+∞} \fracπ2$.}

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\ex Développement asymptotique

Soient $J(x) = ∫_{t=0}^{π/2}\dfrac{𝕕t}{√{\sin²t + x²\cos²t}}$
et $K(x) = ∫_{t=0}^{π/2}\dfrac{\cos t\,𝕕t}{√{\sin²t + x²\cos²t}}$.

Calculer $\lim_{x→0⁺}(J(x)-K(x))$ et montrer que
$J(x) = -\ln x + 2\ln2 + o_{x→0⁺}(1)$.

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\ex Transformée de Laplace

Soit $f:[0,+∞[→ℝ$ continue telle que $∫_{t=0}^{+∞}f(t)\,𝕕t$ converge.

On pose $φ(a) = ∫_{t=0}^{+∞}e^{-at}f(t)\,𝕕t$.

\qq Montrer que $φ$ est de classe $𝓒^∞$ sur $]0,+∞[$.
    \reponse{Leibniz.}
\qq Montrer que $φ$ est continue en $0$.
    \reponse{Soit $F(x) = ∫_{t=x}^{+∞}f(t)\,𝕕t$.
    On a $φ(a) = F(0) -a∫_{t=0}^{+∞} e^{-at}F(t)\,𝕕t
    = F(0) - ∫_{u=0}^{+∞}e^{-u}F(u/a)\,𝕕u$.

    Comme $F$ est continue et $F(x)⟶_{x→+∞}0$, la dernière
    intégrale tend vers zéro quand $a→0⁺$ par convergence dominée.}

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\ex 

On pose pour $n⩾2$~: $v_n=∫_{x=0}¹ \dfrac 1{1+xⁿ}\, 𝕕x$.
Montrer que la suite $(v_n)$ converge. Nature de la série $⅀(v_n-1)$ ?
\reponse{$v_n⟶_{n→∞}1$ par convergence dominée.
$v_n-1 = ∫_{x=0}¹\dfrac{xⁿ}{1+xⁿ}\, 𝕕x = \dfrac1n∫_{u=0}¹\dfrac{u^{-1/n}}{1+u}\,𝕕u
\sim \dfrac{\ln 2}n$ donc la série diverge.}

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\ex 

On pose pour $n⩾2$, $u_n=∫_{x=0}^{+∞} \dfrac1{1+xⁿ}\, 𝕕x$.
Montrer que la suite $(u_n)$ converge, puis que la série $⅀(u_n-1)$ converge
également.
\reponse{$u_n⟶_{n→∞}1$ par convergence dominée.

$u_n-1 = ∫_{x=0}¹\Bigl(\dfrac{1+x^{n-2}}{1+xⁿ}-1\Bigr)\,𝕕x
       = \dfrac1n∫_{u=0}¹\dfrac{u^{1-1/n}}{1+u}(u^{-2/n}-1)\,𝕕u$.

On a $0⩽u^{-2/n}-1=\exp\Bigl(-\dfrac{2\ln(u)}n\Bigr)-1
       ⩽-\dfrac{2\ln(u)}n\exp\Bigl(-\dfrac{2\ln(u)}n\Bigr)$

d'où $0⩽u_n⩽\dfrac2{n²}∫_{u=0}¹\dfrac{u^{1-3/n}(-\ln u)}{1+u}\,𝕕u
= O\Bigl(\dfrac1{n²}\Bigr)$.}

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\ex Centrale MP 2000
Domaine de définition de~$I(α) = ∫_{x=0}^{+∞}\dfrac{x\ln x}{(1+x²)^α}\,𝕕x$.
Calculer $I(2)$ et~$I(3)$.
Déterminer la limite de $I(α)$ en~$+∞$.
\reponse{$I(α)$ est définie pour tout~$α>1$.
\smallskip
$I(2) = (x=e^u) = ∫_{u=-∞}^{+∞} \dfrac{ue^{2u}}{(1+e^{2u})²}\,𝕕u
      = ∫_{u=-∞}^{+∞} \dfrac{u}{(e^u+e^{-u})²}\,𝕕u
      = 0$ (parité).
\smallskip
$I(3) = ∫_{u=-∞}^{+∞} \dfrac{ue^{-u}}{(e^u+e^{-u})³}\,𝕕u
      = ∫_{u=0}^{+∞} \dfrac{-u(e^u-e^{-u})}{(e^u+e^{-u})³}\,𝕕u
      = \Bigl[\dfrac{u}{2(e^u+e^{-u})²}\Bigr]_{u=0}^{+∞}
      - ∫_{u=0}^{+∞} \dfrac{𝕕u}{2(e^u+e^{-u})²}$
\smallskip
$\phantom{I(3)}
      = -∫_{u=0}^{+∞} \dfrac{e^{2u}\,𝕕u}{2(1+e^{2u})²}
      = \Bigl[\dfrac{1}{4(1+e^{2u})}\Bigr]_{u=0}^{+∞}
      = -\dfrac18$.
\smallskip
$I(α)⟶_{α→+∞}0$ par convergence dominée.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Centrale MP 2000
On considère $f(x)=∫_{t=0}^{+∞}\dfrac{𝕕t}{t^x(1+t)}$.

\qq Domaine de définition, monotonie, convexité de $f$ (sans dériver $f$).
    \reponse{$D_f = {]0,1[}$. $f$ est convexe sur~$]0,1[$ par intégration de
    l'inégalité de convexité pour $x↦t^{-x}$ et $f(x)⟶_{x→0,1}+∞$
    par convergence monotone donc $f$ décroît puis recroît.}
\qq Continuité, dérivabilité, calcul de $f^{(k)}(x)$.
\qq Donner un équivalent de $f(x)$ en $0$ et en $1$.
    \reponse{En~$0$~: $\dfrac1{t^x(1+t)}=\dfrac1{t^{x+1}}-\dfrac1{t^{x+1}(1+t)}$
    donc $f(x) =  ∫_{t=0}¹\dfrac{𝕕t}{t^x(1+t)} + \dfrac1{x}
    - ∫_{t=1}^{+∞} \dfrac{𝕕t}{t^{x+1}(1+t)} \sim \dfrac1{x}.$
    \smallskip
    En~$1$~: $\dfrac1{t^x(1+t)} = \dfrac1{t^x} - \dfrac{t^{1-x}}{1+t}$
    donc $f(x) = \dfrac1{1-x} - ∫_{t=0}¹\dfrac{t^{1-x}}{1+t}\,𝕕t
    + ∫_{t=1}^{+∞}\dfrac{𝕕t}{t^x(1+t)} \sim \dfrac1{1-x}$.}
\qq Calculer $f(1/n)$ pour $n∈ ℕ$, $n⩾2$.
    \reponse{$f(1/n) = (t=uⁿ) = ∫_{u=0}^{+∞} \dfrac{nu^{n-1}\,𝕕u}{u(1+uⁿ)}
    = (v=1/u) = ∫_{v=0}^{+∞} \dfrac{n\,𝕕v}{1+vⁿ} = \dfracπ{\sin(π/n)}$
    (formule bien connue…)}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Ensae MP$^*$ 2000

Soit $α∈ℝ$. Trouver la limite de $u_n=⅀_{k=1}ⁿ \dfrac{\sin (kα)}{n+k}$.
\reponse{Si $α∈2πℤ$ alors $u_n=0$ pour tout~$n$.
Sinon, 

$u_n = ℑ\Bigl(∫_{t=0}¹ ⅀_{k=1}ⁿt^{n+k-1}e^{ikα}\,𝕕t\Bigr)
=ℑ\Bigl(∫_{t=0}¹\dfrac{tⁿe^{iα}-t^{2n}e^{i(n+1)α}}{1-te^{iα}}\,𝕕t\Bigr)
⟶_{n→∞}0$ par convergence dominée.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Polytechnique MP$^*$ 2000

Existence et continuité de
$f(x) =∫_{t=-∞}^{+∞} \dfrac{e^{-|x+t|}\cos(x+t)}{√{|t|}(1+|t|)}\,𝕕t$.
Montrer que $f$ est intégrable.
\reponse{$I_a = ∫_{x=-a}^a|f(x)|\,𝕕x
⩽∫_{x=-a}^a∫_{t=-∞}^{+∞} \dfrac{e^{-|x+t|}}{√{|t|}(1+|t|)}\,𝕕t\,𝕕x
= ∫_{t=-∞}^{+∞}∫_{x=-a}^a \dfrac{e^{-|x+t|}}{√{|t|}(1+|t|)}\,𝕕x\,𝕕t$.
\smallskip
On a $∫_{x=-a}^a e^{-|x+t|}\,𝕕x = 
\cases{2-2e^{-a}\ch t &si $|t|<a$\cr
       2e^{-|t|}\sh a &si $|t|⩾ a$,\cr}$
\smallskip
donc $I_a ⩽∫_{t=0}^a \dfrac{2\,𝕕t}{(1+t)√t} +
              ∫_{t=a}^{+∞}\dfrac{4e^{-t}\sh a}{(1+a)√a}\,𝕕t
          = 4\arctan(√a) + \dfrac{4e^{-a}\sh a}{(1+a)√a}
          ⩽\text{cste}$.
}
%----------------------------------------------------------------------
\ex Centrale MP 2001

\qq Développer, pour tout $x>0$, $s(x) = ∫_{t=0}^{+∞}\dfrac{\sin t}{e^{xt}-1}\,𝕕t$
    en série de fractions rationnelles.
\reponse{$s(x) =  ∫_{t=0}^{+∞} ⅀_{k=1}^∞\sin(t)e^{-kxt}\,𝕕t$.

On a $|\sin(t)e^{-kxt}| ⩽te^{-kxt}$ et $∫_{t=0}^{+∞}te^{-kxt}\,𝕕t = \dfrac 1{k²}$
donc $⅀_{k=1}^{∞}∫_{t=0}^{+∞}|\sin(t)e^{-kxt}|\,𝕕t$ converge
ce qui légitime l'interversion intégrale-série.
D'où $s(x) = ⅀_{k=1}^∞∫_{t=0}^{+∞}\sin(t)e^{-kxt}\,𝕕t
           = ⅀_{k=1}^{∞}\dfrac1{k²x²+1}$.
}
\qq Montrer qu'en $0⁺$, $s(x)$ est équivalente à $\dfracπ{2x}$.
\reponse{Sachant (?) que $∫_{t=0}^{+∞}\dfrac{\sin t}t\,𝕕t = \dfracπ2$,
on obtient~:
$$
\eqalign{
xs(x)-\dfracπ2
&= ∫_{t=0}^{+∞}\Bigl(\dfrac{x\sin t}{e^{xt}-1}-\dfrac{\sin t}{t}\Bigr)\,𝕕t\cr
&= ∫_{u=0}^{+∞}\Bigl(\dfrac{1}{e^{u}-1}-\dfrac{1}{u}\Bigr)\sin\Bigl(\dfrac ux\Bigr)\,𝕕u\cr
&= -x\Bigr[\underbrace{\Bigl(\dfrac{1}{e^{u}-1}-\dfrac{1}{u}\Bigr)}_{⟶_{u→0⁺}-{\textstyle\frac12}}\cos\Bigl(\dfrac ux\Bigr)\Bigr]_{u=0}^{+∞}
   +x∫_{u=0}^{+∞}\underbrace{\Bigl(\dfrac{-e^u}{(e^{u}-1)²}+\dfrac{1}{u²}\Bigr)}_{⟶_{u→0⁺}{\textstyle\frac1{12}}}\cos\Bigl(\dfrac ux\Bigr)\,𝕕u\cr
&= x(\text{quantité bornée})⟶_{x→0⁺}0.\cr
}$$
}

%----------------------------------------------------------------------
\ex X MP$^*$ 2001

Étudier $∫_{t=0}^{+∞} \dfrac{e^{-tx}}{1+t²}\,𝕕t$.

\reponse{Fonction de $x$ de classe $𝓒^∞$ sur $]0,+∞[$, décroissante
de limite $π/2$ en $0⁺$ et $0$ en $+∞$. Demi-tangente verticale en~$0⁺$,
Équivalente à $1/x$ en $+∞$ (par IPP). Équation différentielle~:
$f(x) + f''(x) = 1/x$.
}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Mines 2016
Soit $φ(x)=∫_{t=0}^{+∞}\dfrac{e^{itx}}{1+t²}\,𝕕t$.
\qq Montrer que $φ$ est définie et continue sur~$ℝ$.
\qq Justifier le caractère $𝓒¹$ de~$φ$ sur~$ℝ^*$.
    \reponse{Intégrer par parties~:
    $φ(x) =
    \underbrace{\Bigl[\dfrac{e^{itx}}{ix}×\dfrac1{1+t²}\Bigr]_{t=0}^{+∞}}_{=-1/ix}
    - {\displaystyle∫_{t=0}^{+∞}}\dfrac{e^{itx}}{ix}×\dfrac{-2t}{(1+t²)²}\,𝕕t$.
    On peut alors dériver sous l'intégrale pour $x≠0$ sans problème.}
\qq Montrer que~$φ'(x)=∫_{u=0}^{+∞}\dfrac{iue^{iu}}{x²+u²}\,𝕕u$.
    \reponse{Pour $x>0$ on pose $u=tx$ dans l'intégrale~:
    $φ(x)=x∫_{u=0}^{+∞}\dfrac{e^{iu}}{x²+u²}\,𝕕u$, d'où
    $$\eqalign{φ'(x)&=∫_{u=0}^{+∞}\dfrac{e^{iu}}{x²+u²}\,𝕕u
                  -2x²∫_{u=0}^{+∞}\dfrac{e^{iu}}{(x²+u²)²}\,𝕕u\cr
    &=∫_{u=0}^{+∞}e^{iu}\dfrac{u²-x²}{(x²+u²)²}\,𝕕u\cr
    &=\underbrace{\Bigl[e^{iu}\dfrac{-u}{x²+u²}\bigr]_{u=0}^{+∞}}_{=0}
     +∫_{u=0}^{+∞}\dfrac{iue^{iu}}{x²+u²}\,𝕕u.\cr}$$
    L'intégration par parties est justifiée par la convergence de deux
    termes sur trois (et donc l'inégrale obtenue pour~$φ'$ est elle aussi
    convergente).
    \medskip
    Pour $x<0$ les calculs sont similaires avec $∫_{u=0}^{-∞}$ au lieu de
    $∫_{u=0}^{+∞}$…}

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\ex Ensi MP 2004
\smallskip
Soit $f(x) = ∫_{t=0}^{+∞}\dfrac{e^{-t²x}}{1+t²}\,𝕕t$.

\qq Trouver le domaine de définition de~$f$.
    \reponse{$[0,+∞[$.}
\qq Montrer que $f$ est dérivable sur $ℝ^{+*}$.
\qq Calculer $f-f'$.
    \reponse{$f(x)-f'(x) = ∫_{t=0}^{+∞}e^{-t²x}\,𝕕t = (u=t√x) = \dfrac{√π}{2√x}$.}
\qq Donner un équivalent simple de~$f'(x)$ pour $x→+∞$.
    \reponse{%
    $f'(x)
    = \dfrac{-1}{√x}∫_{u=0}^{+∞}\dfrac{u²e^{-u²}}{x+u²}\,𝕕u
    = \dfrac{-1}{x√x}∫_{u=0}^{+∞}\dfrac{u²e^{-u²}}{1+u²/x}\,𝕕u
    \sim\dfrac{-1}{x√x}∫_{u=0}^{+∞}u²e^{-u²}\,𝕕u
    =\dfrac{-√π}{4x√x}$.}
\qq Montrer que $f(x) = \dfrac{√π}{2√x} - \dfrac{√π}{4x√x}
    + o\Bigl(\dfrac1{x√x}\Bigr)$.
\qq Tracer la courbe de~$f$.

%----------------------------------------------------------------------
\ex Ensea MP 2004
Soit $α>0$.

\qq Montrer que $f : x↦e^{-αx}∫_{θ=0}^π \cos(x\sinθ)\,\dθ$ est intégrable
    sur $ℝ⁺$.
\qq Calculer $I = ∫_{x=0}^{+∞}f(x)\,𝕕x$.
    Indication~: écrire $I = \lim_{a→+∞}∫_{x=0}^a f(x)\,𝕕x$.
    \reponse{Thm de Fubini~:
   $∫_{x=0}^{+∞} f(x)\,𝕕x = ∫_{θ=0}^π∫_{x=0}^{+∞}ℝe(e^{(-α+i\sinθ)x})\,𝕕x\,\dθ
   = ∫_{θ=0}^π\dfrac{α\,\dθ}{α²+\sin²θ}=\dfracπ{√{1+α²}}$

   (couper en $θ=π/2$ et poser $u=\tanθ$).}

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\ex X MP$^*$ 2000

Étudier la limite en $0+$ de $I(x) = ∫_{t=0}^{+∞}
\dfrac{e^{-t}-\cos t}{t}e^{-xt}\, 𝕕t$.
\reponse{$I'(x) = ∫_{t=0}^{+∞}(\cos t-e^{-t})e^{-xt}\, 𝕕t
=\dfrac{x}{1+x²}-\dfrac1{x+1}$
donc $I(x) = \ln\Bigl(\dfrac{1+x²}{(1+x)²}\Bigr) + \text{cste}$
et $I(x)⟶_{x→+∞}0$ d'où $\text{cste}=0$.
Alors $I(x)⟶_{x→0⁺}0$.}

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\ex $ζ$ et $Γ$
Montrer, pour $x>1$~: $ζ(x)Γ(x) = ∫_{t=0}^{+∞} \dfrac{t^{x-1}}{e^t-1}\,𝕕t$.

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\ex Centrale MP 2002

Soit $f$ : $x↦ ∫_{t=0}^{+∞}\dfrac{𝕕t}{t^{x+1}+t+1}$.
Déterminer son domaine de définition~; étudier sa continuité et sa monotonie.
Calculer $∫_{t=1}^{+∞}\dfrac{𝕕t }{t^{x+1}+t}$ et en déduire des
équivalents et les limites de~$f$ en~$0$ et en~$+∞$.
\reponse{$D_f = {]0,+∞[}$. Il y a domination locale, donc $f$ est continue.

De même, pour $x>0$ on a
$f'(x) = ∫_{t=0}^{+∞}\dfrac{-\ln(t)t^{x+1}}{(t^{x+1}+t+1)²}\,𝕕t$.

En coupant l'intégrale en~$1$ et en posant $u=1/t$ dans l'intégrale sur
$[1,+∞[$ il vient~:

$f'(x) = ∫_{t=0}¹\ln(t)t^{x+1}\Bigl(\dfrac1{(t+t^{x+1}+t^{x+2})²}
       - \dfrac1{(t^{x+1}+t+1)²}\Bigr)\,𝕕t < 0$
car $\ln(t)<0$ et $t^{x+2}<1$ si $t∈{]0,1[}$.
Donc $f$ est strictement décroissante sur~$]0,+∞[$.
\smallskip
$∫_{t=1}^{+∞}\dfrac{𝕕t }{t^{x+1}+t}
= ∫_{t=1}^{+∞}⅀_{k=0}^∞\dfrac{(-1)^k}{t^{(k+1)x+1}}\,𝕕t =$
(domination du reste avec le CSA)
$= ⅀_{k=0}^∞\dfrac{(-1)^k}{(k+1)x}= \dfrac{\ln 2}x$.

$\Bigl|f(x)-∫_{t=1}^{+∞}\dfrac{1}{t^{x+1}+t}\Bigr|
=∫_{t=0}¹\dfrac{𝕕t}{t^{x+1}+t+1} + ∫_{t=1}^{+∞}\dfrac{𝕕t}{(t^{x+1}+t)(t^{x+1}+t+1)}
⩽∫_{t=0}¹\dfrac{𝕕t}{t+1} + ∫_{t=1}^{+∞}\dfrac{𝕕t}{t(t+1)} = 2\ln 2$ 
donc $f(x) = \dfrac{\ln 2}x + O_{x→0⁺}(1)$.

Pour $x→+∞$, on a avec le TCM séparément sur $[0,1]$ et sur $[1,+∞[$~:
$f(x)⟶_{x→+∞}∫_{t=0}¹\dfrac{𝕕t}{t+1} = \ln 2$.
}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Polytechnique MP 2002

Soit $α∈{]0,\fracπ2[}$ et $λ∈ℝ$.
Chercher un équivalent pour $n→∞$ de
$I_n = ∫_{x=0}^{α}\sin(x)\exp(λn\sin²(x))\,𝕕x$.
\reponse{Pour $λ≠0$~:
$I_n = \Bigl[\dfrac{\exp(λn\sin²(x))}{2λn\cos(x)}\Bigr]_{x=0}^α
-∫_{x=0}^{α}\dfrac{\sin(x)}{2λn\cos²(x)}\exp(λn\sin²(x))\,𝕕x
= \dfrac{\exp(λn\sin²(α))}{2λn\cos(α)} - \dfrac1{2λn}
- \dfrac{J_n}{2λn}$
avec $0⩽J_n⩽\dfrac{I_n}{\cos²(α)}$.
Donc $I_n\sim \dfrac{\exp(λn\sin²(α))}{2λn\cos(α)}$ si $λ> 0$
et $I_n\sim - \dfrac1{2λn}$ si $λ<0$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Centrale MP 2004
Soit~$(a_n)_{n∈ℕ}$ la suite définie par $a_0=1$ et
$a_n = \dfrac1{n!}∫_{t=0}¹t(t-1)…(t-n)\,𝕕t$.

\qq Quel est le rayon de convergence de la série entière $⅀_{n=0}^∞
    a_nxⁿ$~?
    \reponse{Pour $0⩽t⩽1$ on a $t(1-t)(n-1)! ⩽t(1-t)…(n-t)⩽n!$
    d'où $\dfrac1{6n}⩽|a_n|⩽1$ et $R=1$.}
\qq Donner un équivalent de~$a_n$.
    \reponse{$(-1)ⁿa_n=∫_{t=0}¹t(1-t)(1-t/2)…(1-t/n)\,𝕕t$.
    Pour $0⩽x⩽\frac12$ on a $x⩽-\ln(1-x)⩽x+x²$ (étude
    de fonction) donc pour $k⩾2$ et $0⩽t⩽1$~:
    $e^{-t/k-t²/k²}⩽1-t/k⩽e^{-t/k}$ d'où~:
 
    $$b_n = ∫_{t=0}¹t(1-t)e^{-t(H_n-1)-t²K_n}\,𝕕t⩽(-1)ⁿa_n
    ⩽∫_{t=0}¹te^{-tH_n}\,𝕕t = c_n$$
    avec $H_n = 1+1/2+…+1/n$ et $K_n = 1/2²+…+1/n²$.

    Équivalent du majorant~:
    $$c_n = \dfrac{1-(1+H_n)e^{-H_n}}{H_n²}\sim\dfrac1{H_n²}.$$

    Équivalent du minorant~:
    $$\eqalign{b_n&⩾ ∫_{t=0}¹t(1-t)(1-t²K_n)e^{-t(H_n-1)}\,𝕕t\cr
    &= ∫_{t=0}¹te^{-t(H_n-1)}\,𝕕t - ∫_{t=0}¹t²(1+t(1-t)K_n)e^{-t(H_n-1)}\,𝕕t\cr
    &⩾ ∫_{t=0}¹te^{-t(H_n-1)}\,𝕕t - (1+{\textstyle\frac14}K_n)∫_{t=0}¹t²e^{-t(H_n-1)}\,𝕕t\cr
    &⩾ \dfrac{1-H_ne^{1-H_n}}{(H_n-1)²} - (1+{\textstyle\frac14}K_n)\dfrac{2-(H_n²+1)e^{1-H_n}}{(H_n-1)³}\cr
    &\sim\dfrac1{H_n²}.\cr}$$
    Finalement, $a_n\sim\dfrac{(-1)ⁿ}{H_n²}\sim\dfrac{(-1)ⁿ}{\ln²n}$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex $⅀_{n=1}^∞ \dfrac{\sin(nx)}n$, Mines-Ponts MP 2004

Soit $u_n(t)$ le terme général d'une série~: $u_n(t)= t^{n-1}\sin(nx)$
avec $0<x<π$.

\qq Étudier la convergence de la série.
\reponse{$⅀u_n(t)$ converge pour $|t|<1$.}

\qq Calculer $⅀_{p=0}ⁿ u_p(t) = S_n(t)$.
    Mettre $S_n(t)$ sous la forme $\dfrac{P_n(t)}{Q(t)}$ avec $Q(t)>α$, $α>0$.
\reponse{$P_n(t) = t^{n+1}\sin(nx) - tⁿ\sin((n+1)x) + \sin(x)$,
$Q(t) = t² - 2t\cos(x) + 1 = (t-\cos x)² + \sin²x⩾\sin²x$.}

\qq Calculer $\lim_{n→∞} S_n(t)$ et $\lim_{n→∞}∫_{t=0}¹ S_n(t)\,𝕕t$.
\reponse{Pour $|t|<1$ on a $S_n(t)⟶_{n→∞}\dfrac{\sin t}{Q(t)}$
et il y a convergence dominée vu la minoration de~$Q$ donc l'intégrale
suit~:
$∫_{t=0}¹ S_n(t)\,𝕕t⟶_{n→∞}∫_{t=0}¹ \dfrac{\sin x\,𝕕t}{t²-2t\cos x + 1}
= (t-\cos x = u\sin x) = ∫_{u=-\cot x}^{\tan(x/2)}\dfrac{𝕕u}{u²+1}
=  \dfrac{π-x}2$.}

\qq En déduire $⅀_{n=1}^∞ \dfrac{\sin(nx)}n$.
\reponse{$\dfrac{\sin(nx)}n = ∫_{t=0}¹ u_n(t)\,𝕕t$ d'où
$⅀_{n=1}^∞ \dfrac{\sin(nx)}n = \dfrac{π-x}2$.}

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\ex Lemme de Lebesgue, Centrale MP 2004
Soit f continue par morceaux définie sur $ℝ$, à valeurs dans $ℂ$.

\qq Soient $a,b∈ℝ$.
Montrer que $∫_{t=a}^b f(t) \cos(nt)\,𝕕t⟶_{n→∞}0$.

\qq On suppose que $f$ est intégrable sur $]0,+∞[$.
Soit $u_n= ∫_{t=0}^{nπ}  \sin²(nt) f(t)\,𝕕t $.
Montrer que $(u_n)_{n ∈ ℕ}$ admet une limite quand $n→∞$ et la préciser.

\reponse{$\sin²(nt) = \dfrac{1-\cos(2nt)}2$, donc il suffit d'étudier
$I_n = ∫_{t=0}^{nπ}\cos(2nt)f(t)\,𝕕t$.

Posons $I_{n,p} = ∫_{t=0}^{\min(n,p)π}\cos(2nt)f(t)\,𝕕t$~:
on a $|I_n-I_{n,p}| ⩽ ∫_{t=pπ}^{+∞}|f(t)|\,𝕕t$, quantité indépendante de~$n$ et
tendant vers $0$ quand $p→∞$ donc le théorème d'interversion
des limites s'applique~:

$\lim_{n→∞}I_n
= \lim_{n→∞}\lim_{p→∞}I_{n,p}
= \lim_{p→∞}\lim_{n→∞}I_{n,p} = 0$.
On en déduit $u_n ⟶_{n→∞} \dfrac12∫_{t=0}^{+∞} f(t)\,𝕕t$.
}

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\ex Suite d'intégrales, Centrale MP 2004
Soit $(f_n)_{n∈ℕ^*}$ une suite de fonctions définie par~:
$∀n∈ℕ^*,\ ∀x∈{[0,1]},\ f_n(x) = \Bigl(\dfrac{x+xⁿ}2\Bigr)ⁿ$.

\qq Montrer que~$(f_n)$ converge simplement vers une fonction~$φ$.
    \reponse{$0⩽f_n(x)⩽xⁿ$ et $f_n(1) = 1$ donc
             $f_n(x)⟶_{n→∞} \cases{0 &si $x<1$\cr 1 &si $x=1$.\cr}$}
\qqsq La convergence est-elle uniforme~?
   \reponse{Non, la continuité n'est pas conservée.}
   \sq La convergence est-elle monotone~?
   \reponse{Oui, il y a décroissance évidente.}
\qq Soit, pour~$n∈ℕ^*$, $J_n = ∫_{x=0}¹f_n(x)\,𝕕x$.
    Montrer que~$J_n\sim \dfrac2{n²}$.
    \reponse{Changement de variable $u=\Bigl(\dfrac{1+x^{n-1}}2\Bigr)ⁿ$~:
    $J_n=\dfrac2{n(n-1)}∫_{u=1/2ⁿ}¹ (2u^{1/n}-1)^{2/(n-1)}u^{1/n}\,𝕕u$
    et l'intégrale tend vers~$1$ quand $n→∞$ par convergence dominée.} 

%----------------------------------------------------------------------
\ex Mines-Ponts MP 2004
\smallskip
Soit $f(x) = ∫_{t=0}¹\dfrac{1-t}{\ln t}t^x\,𝕕t$.
Étudier le domaine de définition de~$f$, sa dérivabilité, puis calculer $f(x)$.

\reponse{Il y a convergence si et seulement si $x>-1$.

$f'(x) = ∫_{t=0}¹ (1-t)t^x\,𝕕t = \dfrac1{x+1} - \dfrac1{x+2}$,
donc $f(x) = \ln\Bigl(\dfrac{x+1}{x+2}\Bigr) + C$ et $f(x)⟶_{x→+∞}0$ d'où $C=0$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Mines-Ponts MP 2004
Soit $I(a) = ∫_{x=0}^{+∞}\dfrac{\sh x}xe^{-ax}\,𝕕x$.

\qq Quel est le domaine de définition de~$I$~?
\reponse{$]1,+∞[$.}
\qq Étudier la continuité et la dérivabilité de~$I$.
\qq Calculer $I(a)$.
\reponse{$I'(a) = -∫_{x=0}^{+∞}\sh xe^{-ax}\,𝕕x =
          \dfrac12\Bigl(\dfrac1{a-1}-\dfrac1{a+1}\Bigr)$.
          D'où $I(a) = \dfrac12\ln\Bigl(\dfrac{a-1}{a+1}\Bigr) +$ cste
          et $I(a)⟶_{a→+∞}0$ donc la constante est nulle.}

%----------------------------------------------------------------------

\ex ENS Lyon MP${}^*$ 2004
\qq Soit $f:[a,b]→ℝ$ de classe $𝓒²$ et $F(x) = ∫_{t=a}^b f(t)e^{-itx}\,𝕕t$
    avec $a<0<b$. Montrer que $F(x)⟶_{x→+∞}0$.
    \reponse{Intégrer par parties.}
\qq Montrer que $F(x) = \dfrac{f(a)e^{-iax} - f(b)e^{-ibx}}{ix} + o(1/x)$.
    \reponse{Intégrer deux fois par parties.}
\qq Montrer la convergence de l'intégrale
    $I=∫_{t=-∞}^{+∞}e^{-it²/2}\,𝕕t$.
    \reponse{Pour $0<u<v$~: $∫_{t=u}^{v}e^{-it²/2}\,𝕕t =
    \Bigl[\dfrac{e^{-it²/2}}{-it}\Bigr]_{t=u}^v -
    ∫_{t=u}^v\dfrac{e^{-it²/2}}{it²}\,𝕕t
    ⟶_{v→+∞}\dfrac{e^{-iu²/2}}{iu}-∫_{t=u}^{+∞}\dfrac{e^{-it²/2}}{it²}\,𝕕t$.

    Ainsi $∫_{t=u}^{+∞}e^{-it²/2}\,𝕕t$ converge et de même pour
    $∫_{t=-∞}^{-u}e^{-it²/2}\,𝕕t$.}
\qq Soit $g(x) = ∫_{t=a}^bf(t)e^{-ixt²/2}\,𝕕t$.
    Montrer que $g(x) = \dfrac{I.f(0)}{√x} + o\Bigl(\dfrac1{√x}\Bigr)$.
    \reponse{On pose $f(t) = f(0) + tφ(t)$ avec $φ$ de
    classe $𝓒¹$. Il vient~:
    $$\eqalign{g(x)√x &= f(0)∫_{u=a√x}^{b√x}e^{-iu²/2}\,𝕕u
      -\dfrac1{i√x}\Bigl[e^{-iu²/2}φ(u/√x)\Bigr]_{u=a√x}^{b√x}
      + \dfrac1{ix}∫_{u=a√x}^{b√x}e^{-iu²/2}φ'(u/√x)\,𝕕u\cr
    &⟶_{x→+∞}f(0).I\cr}$$ }

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\ex Thm de d'Alembert-Gauss

Soit $P∈ℂ[X]$ de degré $n⩾1$.
Le but de cet exercice est de prouver que $P$ admet une racine dans~$ℂ$.
On suppose au contraire que $P$ ne s'annule pas et on considère pour
$r ⩾ 0$, $θ∈{[0,2π]}$~:
$f(r,θ) = \dfrac{rⁿe^{inθ}}{P(re^{iθ})}$
et $F(r) = ∫_{θ=0}^{2π} f(r,θ)\,𝕕θ$.

\qq Montrer que $F$ est de classe $𝓒¹$ sur $[0,+∞[$.
\qq Vérifier que $ir∂f/∂r = ∂f/∂θ$. En déduire que $F$ est constante.
\qq Obtenir une contradiction.

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\ex Étude d'intégrales, Mines-Ponts 2015
Soient $f(x) = ∫_{t=0}^x\dfrac{1-\cos t}{t²}\,𝕕t$
et $g(x) = ∫_{t=0}^x\dfrac{1-\cos t}{t}\,𝕕t$.

\qq Montrer que $f$ et $g$ sont de classe~$𝓒¹$ sur~$ℝ$.
    Donner $f'(0)$ et $g'(0)$.
    \reponse{Les intégrales sont convergentes par limite finie en un
             point fini. On a $f'(0) = \frac12$, $g'(0)=0$.}

\qq Montrer que $f$ admet en~$+∞$ une limite~$ℓ$ finie. On admettra dans la
    suite que $ℓ=π/2$.
    \reponse{$0⩽\dfrac{1-\cos t}{t²}⩽\max(\frac12,\frac2{t²})$ donc
             $∫_{t=0}^{+∞}\dfrac{1-\cos t}{t²}\,𝕕t$ converge.}
\qq Montrer que $g(x)⟶_{x→+∞}∞$.
    \reponse{$∫_{t=2kπ}^{(2(k+1)π}\dfrac{1-\cos t}{t}\,𝕕t
             ⩾∫_{t=2kπ}^{(2(k+1)π}\dfrac{1-\cos t}{2(k+1)π}\,𝕕t
             = \dfrac1{k+1}$.
             La série étant divergente, 
             $∫_{t=0}^{+∞}\dfrac{1-\cos t}{t}\,𝕕t$ diverge.}

\qq Montrer qu'il existe une suite~$(a_n)$ de réels positifs telle que pour
    tout~$n$, $f(a_n)=\dfrac1{n+1}$.
    Déterminer la monotonie de~$(a_n)$ et trouver un équivalent de~$a_n$
    lorsque $n→∞$.
    \reponse{$f$ définit une bijection continue strictement croissante
             de~$]-∞,+∞[$ sur $]-ℓ,ℓ[$. La fonction réciproque est elle
             aussi strictement croissante continue.
             Ainsi $a_n$ existe est unique et la suite $(a_n)$ est
             strictement décroissante de limite nulle.}

\qq Montrer qu'il existe une suite $(b_n)$ de
    réels positifs telle que $b₀=0$ et
    $∫_{t=b_n}^{b_{n+1}}\dfrac{1-\cos t}{t}\,𝕕t = \dfrac1{n+1}$.

    \reponse{$b_n = g^{-1}(1+…+1/n)$.}

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\ex Transformée de Laplace, ENS 2014
Soit~$φ$ continue par morceaux bornée sur~$ℝ⁺$ à valeurs réelles, et $F$ définie par
$F(λ)=∫_{x=0}^{+∞}φ(x)e^{-λx}\,𝕕x$.
On suppose que~$φ$ change $n$ fois de signe. Montrer que $F$ change au plus $n$ fois
de signe.
\reponse{L'intégrale définissant~$F$ converge absolument car $φ$ est bornée. On remarque
qu'il suffirait en fait que $φ$ soit dominée par une fonction polynomiale et on prendra cela
comme hypothèse dans la récurrence ci-dessous.
Si~$φ$ est de signe constant, $F$ a ce même signe constant.
Si $φ$ change de signe en~$a∈{]0,+∞[}$ alors $F'(λ)+aF(λ) = ∫_{x=0}^{+∞}φ(x)(a-x)e^{-λx}\,𝕕x$
est de signe constant, donc $λ↦e^{aλ}F(λ)$ est monotone et change au plus une fois de signe.
Pour~$n$ quelconque, on procède par récurrence sur~$n$~: si~$a$ un point de changement de signe
pour~$f$ alors $𝕕(e^{aλ}F(λ))/𝕕λ$ change au plus $n-1$ fois de signe donc avec le théorème
de Rolle, $e^{aλ}F(λ)$ change au plus $n$ fois de signe.}

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\ex Mines MP 2012
Déterminer la limite pour $n→∞$ de $∫_{x=0}^{+∞}x^{-1/n}(1+x/n)^{-n}\,𝕕x$.
\reponse{L'intégrande tend simplement vers~$e^{-x}$~; il reste à dominer.
         Pour $x⩾0$ on a
         $$\Bigl(1+\dfrac xn\Bigr)ⁿ
           = 1+ x +\Bigl(1-\dfrac1n\Bigr)\dfrac{x²}{2!}
                  +\Bigl(1-\dfrac1n\Bigr)\Bigl(1-\dfrac2n\Bigr)\dfrac{x³}{3!}
                  +…$$
         Cette expression est une fonction croissante de~$n$ à $x$ fixé.
         Ainsi, $(1+x/n)ⁿ⩾(1+x/3)³$ pour~$n⩾3$, puis
         $0⩽x^{-1/n}(1+x/n)^{-n}⩽\max(1,x)(1+x/3)^{-3}$, quantité intégrable.
         La limite demandée est donc $∫_{x=0}^{+∞}e^{-x}\,𝕕x=1$.}

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\ex TPE 2016
Convergence et valeur de~$⅀_{n=0}^∞(-1)^n∫_{t=0}^{π/2}\cos^n(t)\,𝕕t$.
\reponse{$∫_{t=0}^{π/2}\cos^n(t)\,𝕕t⟶_{n→∞}0$ en décroissant par convergence
         dominée donc la série converge. En regroupant les termes
         deux par deux, on peut appliquer le théorème d'intégration
         terme à terme cas réel positif d'où
         $$⅀_{n=0}^∞(-1)^n∫_{t=0}^{π/2}\cos^n(t)\,𝕕t=
          ∫_{t=0}^{π/2}⅀_{n=0}^∞(-1)^n\cos^n(t)\,𝕕t=
          ∫_{t=0}^{π/2}\dfrac{𝕕t}{1+\cos t}=(u=\tan(t/2))=1.$$}

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\ex Mines 2017
Que dire de $φ:[a, b]→ℝ$ continue telle que la série de terme général
$∫_{t=a}^b\frac{φ(t)\,𝕕t}{t+ln(n)}$ (bien définie pour $n>e^{-a}$) converge ?
{\it Indication: faire apparaître des séries}.
\reponse{$\dfrac1{t+\ln(n)}=\dfrac1{\ln(n)}×\dfrac1{1+t/\ln(n)}
         =\dfrac1{\ln(n)}⅀_{k=0}^∞\dfrac{(-1)^kt^k}{\ln^k(n)}$
         pour tout $t$ tel que $|t|<\ln(n)$ donc pour tout~$t∈[a,b]$
         si $n>e^{\max(|a|,|b|)}$. De plus, la convergence est alors normale
         donc, $φ$ étant bornée sur~$[a,b]$, on obtient par intégration
         terme à terme~:
         $$⅀_n⅀_{k=0}^∞\Bigl(∫_{t=a}^b(-1)^kφ(t)t^k\,𝕕t\Bigr)\dfrac1{\ln^{k+1}(n)}
         \text{ converge.}$$
         Si les intégrales $∫_{t=a}^bφ(t)t^k\,𝕕t$ ne sont pas toutes nulles
         alors la somme de la série interne est équivalente, à un
         facteur près, à $1/\ln^{k+1}(n)$ lorsque $n→∞$
         pour le plus petit $k$ donnant une intégrale non nulle.
         Or les séries de termes généraux $1/\ln^{k+1}(n)$ sont toutes
         divergentes. Ainsi toutes les intégrales sont nulles
         et $φ$ est orthogonale à toutes les fonctions $t↦t^k$ pour
         le produit scalaire usuel sur~$𝓒([a,b],ℝ)$. Avec le théorème
         de Stone-Weierstrass, on conclut que $φ=0$ (qui effectivement
         convient).}

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\bye

