%+----------------------------------------------------------------------------+
%|                          Intégrales généralisées                           |
%+----------------------------------------------------------------------------+

\input exos
\fiche{Intégrales généralisées}

%-------------------------------------------------------------
\ex Étude de convergence

Étudier la convergence des intégrales suivantes~:
\def\qq{\global\advance\qqnum1\hbox to7mm{\hfil\bf\the\qqnum) }\ignorespaces}
\halign{&\hskip\leftskip\qq#\hfil\cr
%
   $\∫_{t=-∞}^{+∞} \dfrac{𝕕t}{e^t+t²e^{-t}}$                            \reponse{cv}
&  $\∫_{t=1}^{+∞} \dfrac{e^{\sin t}}t\,𝕕t$                              \reponse{dv}
&  $\∫_{t=0}¹ \dfrac{t^α-1}{\ln t}\,𝕕t$                                 \reponse{cv ssi $α > -1$}
\cr$\∫_{t=e²}^{+∞} \dfrac{𝕕t}{t(\ln t)(\ln\ln t)}$                      \reponse{dv}
&  $\∫_{t=0}^{+∞} \ln\Bigl( \dfrac{1+t²}{1+t³}\Bigr)\,𝕕t$               \reponse{dv}
&  $\∫_{t=0}^{+∞} \Bigl(2+(t+3)\ln\bigl(\dfrac{t+2}{t+4}\bigr)\Bigr)𝕕t$ \reponse{cv}
\cr$\∫_{t=0}^{+∞} \dfrac{t\ln t}{(1+t²)^α}\,𝕕t$                         \reponse{cv ssi $α > 1$}
&  $\∫_{t=0}¹ \dfrac{𝕕t}{1-√t}$                                         \reponse{dv}
&  $\∫_{t=0}^{+∞} \dfrac{(t+1)^α-t^α}{t^β}\,𝕕t$                         \reponse{cv ssi $α < β < \min(1,1+α)$ ou $α = 0$}
\cr$\∫_{t=0}^{+∞} \sin(t²)\,𝕕t$                                         \reponse{cv}
&  $\∫_{t=0}¹ \dfrac{𝕕t}{\arccos t}$                                    \reponse{cv}
&  $\∫_{t=0}^{+∞} \dfrac{\ln(\arctan t)}{t^α}\,𝕕t$                      \reponse{dv}
\cr$\∫_{t=1}^{+∞} \dfrac{\ln(1+1/t)\,𝕕t}{(t²-1)^α}$                     \reponse{cv ssi $0<α<1$}
&  $\∫_{t=0}¹ \dfrac{|\ln t|^β}{(1-t)^α} \,𝕕t$                          \reponse{cv ssi $α < β+1$}
&  $\∫_{t=0}^{+∞} t^α\bigl(1-e^{-1/√t}\,\bigr)\,𝕕t$                      \reponse{cv ssi $-1<α<-½$}
\cr$\∫_{t=0}¹ \sin(1/t)e^{-1/t}t^{-k}\,𝕕t$                              \reponse{cv}
\cr}

%-------------------------------------------------------------
\ex Calcul, fractions rationnelles

Prouver la convergence des intégrales suivantes puis les calculer~:
\def\qq{\global\advance\qqnum1\hbox to7mm{\hfil\bf\the\qqnum) }\ignorespaces}
\halign{&\hskip\leftskip\qq#\hfil\cr
%
   $\∫_{t=0}^{+∞} \dfrac{𝕕t}{(1+t²)²}$                        \reponse{$\fracπ4$}
&  $\∫_{t=-∞}^{+∞} \dfrac{𝕕t}{t²+2t+2}$	                    \reponse{$π$}
&  $\∫_{t=0}^{+∞} \dfrac{𝕕t}{(1+t²)⁴}$	                    \reponse{$\frac{5π}{32}$}
\cr$\∫_{t=-∞}^{+∞} \dfrac{𝕕t}{(t²+1)(t²-2t\cosα+1)}$	    \reponse{$\frac{π}{2|\sinα|}$}
&  $\∫_{t=0}^{+∞} \dfrac{2t²+1}{(t²+1)²}\,𝕕t$                 \reponse{$\frac{3π}4$}
&  $\∫_{t=-∞}^{+∞} \dfrac{t²\,𝕕t}{(t²+1)(t²+a²)}$	     \reponse{$\frac{π}{1+|a|}$}
\cr$\∫_{t=0}^{+∞} \dfrac{𝕕t}{1+t⁴}$	                    \reponse{$\frac{π}{2√2}$}
&  $\∫_{t=0}^{+∞} \dfrac{t²\,𝕕t}{1+t⁴}$	                    \reponse{$\fracπ{2√2}$}
&  $\∫_{t=1}^{+∞} \dfrac{𝕕t}{t⁶(1+t^{10})}$	            \reponse{$\frac{4-π}{20}$}
\cr}

%-------------------------------------------------------------
\ex Calcul, fonctions trigonométriques

Prouver la convergence des intégrales suivantes puis les calculer~:
\def\qq{\global\advance\qqnum1\hbox to7mm{\hfil\bf\the\qqnum) }\ignorespaces}
\halign{&\hskip\leftskip\qq#\hfil\cr
%
   $\∫_{t=0}^{2π} \dfrac{𝕕t}{2+\sin t}$           \reponse{$\frac{2π}{√3}$}
&  $\∫_{t=-π}^π \dfrac{2𝕕t}{2+\sin t+\cos t}$	\reponse{$2π√2$}
&  $\∫_{t=0}^{π/2} √{\tan t}\,𝕕t$	        \reponse{$=\∫_{t=0}^{+∞} \dfrac{2t²\,𝕕t}{1+t⁴} = \fracπ{√2}$}
\cr$\∫_{t=0}^{π/2} \dfrac{𝕕t}{3\tan t+2}$	\reponse{$\dfrac{π+3\ln(3/2)}{13}$}
&  $\∫_{t=0}^π \dfrac{𝕕t}{(a\sin²t+b\cos²t)²}$	\reponse{$\dfrac{π(a+b)}{2√{ab}³}$}
&  $\∫_{t=0}^{π/4} \cos t\ln(\tan t)\,𝕕t$	\reponse{$-\ln(1+√2)$}
\cr}

%-------------------------------------------------------------
\ex Calcul, radicaux

Prouver la convergence des intégrales suivantes puis les calculer~:
\def\qq{\global\advance\qqnum1\hbox to7mm{\hfil\bf\the\qqnum) }\ignorespaces}
\halign{&\hskip\leftskip\qq#\hfil\cr
%
   $\∫_{t=0}¹ √{\dfrac{t}{1-t}}\,𝕕t$            \reponse{$\fracπ2$}
&  $\∫_{t=1}^{10} \dfrac{𝕕t}{\root3\of{t-2}}$	\reponse{$\frac92$}
&  $\∫_{t=a}^b \dfrac{𝕕t}{√{(t-a)(b-t)}}$	\reponse{$π$}
\cr$\∫_{t=0}¹ \dfrac{t^5\,𝕕t}{√{1-t²}}$	        \reponse{$\frac8{15}$}
&  $\∫_{t=-1}¹ \dfrac{𝕕t}{(1+t²)√{1-t²}}$	\reponse{$\fracπ{√2}$}
&  $\∫_{t=0}¹ \dfrac{𝕕t}{(4-t²)√{1-t²}}$	\reponse{$\fracπ{4√3}$}
\cr$\∫_{t=0}¹ \dfrac{t\,𝕕t}{√{(1-t)(1+3t)}}$	\reponse{$\frac{2π}{9√3} + \frac13$}
&  $\∫_{t=0}¹ \dfrac{𝕕t}{(1+t)\root3\of{t²-t³}}$ \reponse{$\frac{π\root3\of4}{√3}$}
&  $\∫_{t=0}¹ \arctan√{1-t²}\,𝕕t$	        \reponse{$\frac{π(√2-1)}2$}
\cr$\∫_{t=1}^{+∞} \dfrac{𝕕t}{t√{t^{10}+t^5+1}}$	\reponse{$\frac15\ln(1+\frac2{√3})$}
&  $\∫_{t=0}^{+∞} \dfrac{𝕕t}{(1+t²)√t}$	        \reponse{$\fracπ{√2}$}
\cr}

%-------------------------------------------------------------
\ex Calcul, divers

Prouver la convergence des intégrales suivantes puis les calculer~:
\def\qq{\global\advance\qqnum1\hbox to7mm{\hfil\bf\the\qqnum) }\ignorespaces}
\halign{&\hskip\leftskip\qq#\hfil\cr
%
   $\∫_{t=2}^{+∞} \dfrac{e^t\,𝕕t}{(e^{2t}-5e^t+6)(e^t-1)}$ \reponse{$\ln(\frac{e²-2}{√{e⁴-4e²+3}})$}
&  $\∫_{t=0}^{+∞} \dfrac{𝕕t}{\ch⁴t+\sh⁴t}$	        \reponse{$\frac1{√2}\ln(√2+1)$}
&  $\∫_{t=0}^{+∞} te^{-√t} \,𝕕t$	                        \reponse{$12$}
\cr$\∫_{t=0}¹ \arcsin t \,𝕕t$	                        \reponse{$\fracπ2 - 1$}
&  $\∫_{t=0}¹ \dfrac{\ln(1-t²)}{t²}\,𝕕t$	        \reponse{$-2\ln 2$}
&  $\∫_{t=0}^{+∞} \dfrac{t³\ln t}{(1+t⁴)³}\,𝕕t$	        \reponse{$-\frac1{32}$}
\cr$\∫_{t=0}^{π/2} \ln\sin t\,𝕕t$	                \reponse{$-\frac{π\ln2}2$}
&  $\∫_{t=0}¹ \dfrac{\ln t}{√{1-t}}\,𝕕t$	        \reponse{$4\ln2 - 4$ ($u = √{1-t}$)}
&  $\∫_{t=0}^{+∞} \dfrac{\ln t}{1+t²}\,𝕕t$	        \reponse{$0$ ($u = 1/t$)}
\cr$\∫_{t=0}¹ \dfrac{\ln t}{(1+t)√{1-t²}}\,𝕕t$	        \reponse{$\ln2 - \fracπ2$ ($u=√{(1-t)/(1+t)}$)}
&  $\∫_{t=0}¹ \dfrac{𝕕t}{√{1+t}+√{1-t}}$	                \reponse{$√2 + \ln(√2 - 1)$}
&  $\∫_{t=0}^{+∞} \ln\Bigl(1+\dfrac{a²}{t²}\Bigr)\,𝕕t$	\reponse{$π|a|$}
\cr$\∫_{t=0}^{+∞}\ln\left|\dfrac{1+t}{1-t}\right|\dfrac{t\,𝕕t}{(a²+t²)²}$	\reponse{$\dfrac{π}{2|a|(a²+1)}$}
\cr}
  
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\ex Centrale PC 1999

Soit $(a_k)$ une suite de réels telle que $⅀_{k=0}ⁿ a_k = 0$.
Étudier la convergence de $∫_{t=0}^{+∞} (⅀_{k=0}ⁿ a_k\cos(a_kt))\,𝕕t/t$.

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\ex Chimie P 91

Existence et calcul de $f(x) = ∫₀^π𝕕t/(1-x\cos t)$.
\reponse{$f(x) = π/√{1-x²}$ pour $-1 < x < 1$.}


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\ex Chimie P 1996

Convergence et calcul de $∫_{t=0}^{+∞}t\,𝕕t/\sh t$
(on pourra décomposer l'intégrande en somme d'une série de fonctions).
\reponse{$\frac{π²}4$.}

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\ex Calcul par récurrence

On pose $I_n = ∫_{t=0}^{π/2} \cos(2nt)\ln(\sin t)\,𝕕t$ ($n∈ℕ^*$).
Calculer $2nI_n - (2n+2)I_{n+1}$ et en déduire $I_n$ en fonction de~$n$.
\reponse{$2nI_n - (2n+2)I_{n+1}=0 ⇒ I_n = -\fracπ{4n}$.}

%-------------------------------------------------------------
\ex Calcul par récurrence

Soit $α ∈ {]0,π[}$ et
$I_n = \∫_{t=0}^π \dfrac{\cos nt\,𝕕t}{1-\sinα\cos t}$.

Calculer $I_n+I_{n+2}$ en fonction de $I_{n+1}$ puis
exprimer $I_n$ en fonction de $α$ et $n$.
\reponse{$I_n+I_{n+2} = \dfrac{2I_{n+1}}{\sinα} ⇒
          I_n = \dfracπ{\cosα}\tanⁿ(α/2)$.}

%-------------------------------------------------------------
\ex Calcul par récurrence

Calculer par récurrence :
$I_n = \∫_{t=0}¹ \dfrac{tⁿ\,𝕕t}{\root4\of{t³(1-t)}} $.
\reponse{$I_n = π√2 ℿ_{k=1}ⁿ \bigl( 1-\dfrac3{4k} \bigr) $.}

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\ex Mines-Ponts 1999

Calculer $I_n = \∫_{t=0}^{+∞}\dfrac{𝕕t}{(t+1)(t+2)…(t+n)}$.
\reponse{Décomposer en éléments simples et intégrer.
         On obtient $I_n = \dfrac1{(n-1)!}⅀_{k=1}ⁿ(-1)^k\bin{n-1}{k-1}\ln k$.}

%-------------------------------------------------------------
\ex Calcul de $∫₀^∞ \sin t/t\,𝕕t$

\qq A l'aide d'une intégration par parties, montrer que
$\∫_{t=0}^{+∞} \dfrac{\sin t}t \,𝕕t = \∫_{t=0}^{+∞} \dfrac{\sin²t}{t²} \,𝕕t$.

\qq Montrer que l'intégrale $I_n = \∫_{t=0}^{π/2} \dfrac{\sin² nt}{t²}\,𝕕t$
    est comprise entre les intégrales
    $A_n = \∫_{t=0}^{π/2} \dfrac{\sin² nt}{\sin² t}\,𝕕t$ et
    $B_n = ∫_{t=0}^{π/2} \cotan² t\sin² nt\,𝕕t$.
\qq Calculer $A_n+A_{n+2} - 2A_{n+1}$ et $A_n-B_n$.
    En déduire les valeurs de $A_n$ et $B_n$ en fonction de $n$.
    \reponse{$A_n+A_{n+2} - 2A_{n+1} = 0 ⇒ A_n = \dfrac{nπ}2$,
             $A_n - B_n = \dfrac{π}4 ⇒ B_n = \dfrac{nπ}2 - \dfrac{π}4$
             pour $n ⩾ 1$.}
\qq Montrer que $\dfrac{I_n}n ⟶_{n→∞} J = \∫_{t=0}^{+∞} \dfrac{\sin² t}{t²}\,𝕕t$
    et donner la valeur de cette dernière intégrale.
    \reponse{$J = \frac{π}2$.}

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\ex $∫₀^∞$ périodique$/t\,𝕕t$

Soit $f:ℝ→ℝ$ continue, périodique de période $T > 0$.
On note $m = \frac1T∫_{t=0}^T f(t)\,𝕕t$. Montrer que
$∫_{t=T}^{+∞} f(t)/t\,𝕕t$ converge si et seulement si $m=0$.

%-------------------------------------------------------------
\ex $∫₁^∞ f(t)/t\,𝕕t$

Soit $f$ une application continue de $[1,+∞[$ dans $ℝ$.
Montrer que si l'intégrale $∫_{t=1}^{+∞} f(t)\,𝕕t$ converge, il en est de même
de l'intégrale $∫_{t=1}^{+∞} f(t)/t\,𝕕t$.
On pourra introduire la fonction $F(x) = ∫_{t=1}^x f(t)\,𝕕t$.

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\ex Polynôme$× e^{-t}$

Soit $\application φ {ℝ_n[X]} {ℝ^{n+1}} P {(a₀,…,a_n)}$
avec $a_k = ∫_{t=0}^{+∞} e^{-t}t^kP(t)\,𝕕t$.

\qq Justifier l'existence de $φ$.
\qq Montrer que $φ$ est un isomorphisme d'ev.

%-------------------------------------------------------------
\ex Constante d'Euler

Calculer $\∫_{t=1}^{+∞} \dfrac{t-[t]}{t²} \,𝕕t$ en fonction de la constante
d'Euler.
\reponse{$1-γ$.}

%-------------------------------------------------------------
\ex Constante d'Euler

Soit $γ$ la constante d'Euler. Montrer que~…

{\bf1)} $∫_{t=0}^{+∞} e^{-t}\ln t\,𝕕t = -γ$.
\reponse{\qq On pose $I_n=∫_{t=0}ⁿ(1-t/n)ⁿ\ln t\,𝕕t$~:\par
         en intégrant par parties,
         on obtient $I_n=\dfrac n{n+1}\Bigl(\ln n - ⅀_{k=0}ⁿ\dfrac1{k+1}\Bigr)
         ⟶_{n→∞}-γ$.}
%
{\bf2)} $\∫_{t=0}¹ \dfrac{1-e^{-t}-e^{-1/t}}t\,𝕕t = γ$.
\reponse{\qq $$\eqalign{
∫_{t=0}¹ \dfrac{1-e^{-t}-e^{-1/t}}t\,𝕕t
&= ∫_{t=0}¹ \dfrac{1-e^{-t}}t\,𝕕t - ∫_{t=1}^{+∞}\dfrac{e^{-t}}t\,𝕕t\cr
&= \lim_{x→0⁺}\left(-\ln x - ∫_{t=x}^{+∞}\dfrac{e^{-t}}t\,𝕕t\right)\cr
&= \lim_{x→0⁺}\left((e^{-x}-1)\ln x - ∫_{t=x}^{+∞}e^{-t}\ln t\,𝕕t\right)\cr
&= -∫_{t=0}^{+∞} e^{-t}\ln t\,𝕕t.\cr}$$}
%
{\bf3)} $\∫_{t=0}¹ \Bigl(\dfrac 1t + \dfrac 1{\ln(1-t)}\Bigr)𝕕t = γ$.
\reponse{\qq $\∫_{t=x}^{+∞}\dfrac{e^{-t}}t\,𝕕t = (t=-\ln(1-u)) =
∫_{u=1-e^{-x}}¹ \dfrac{-𝕕u}{\ln(1-u)}$.}

%-------------------------------------------------------------
\ex Sommes de Riemann

Soit $f:[a,b[→ℝ⁺$ continue croissante.
On pose $S_n = \dfrac{b-a}n ⅀_{k=0}^{n-1} f\Bigl(a+k\dfrac{b-a}n\Bigr)$.

\qq Si $∫_{t=a}^b f(t)\,𝕕t$ converge, montrer que $S_n⟶_{n→∞} ∫_{t=a}^b f(t)𝕕t$.
\qq Si $∫_{t=a}^b f(t)\,𝕕t$ diverge, montrer que  $S_n ⟶_{n→∞} +∞$.

%-------------------------------------------------------------
\ex Sommes de Riemann

Calculer $\lim_{n→∞} \dfrac 1{√{n²-1}} + \dfrac 1{√{n²-4}}
          + … + \dfrac 1{√{n²-(n-1)²}}$.
\reponse{$∫_{t=0}¹ 𝕕t/√{1-t²} = \frac π2$.}

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\ex Comparaison série-intégrale

Soit $f:[0,+∞[→ℝ$ continue décroissante telle que $∫_{t=₀}^{+∞} f(t)\,𝕕t$
converge.

\qq Montrer que la série $⅀_{k=0}^∞ f(k)$ converge et encadrer le reste :
     $⅀_{k=n}^∞ f(k)$ à l'aide d'intégrales de $f$.
\qq Application : Pour $α > 1$, donner un équivalent pour $n → ∞$ de
    $⅀_{k=n}^∞ k^{-α}$.

%-------------------------------------------------------------
\ex Comparaison série-intégrale

Soit $f:ℝ⁺→ℝ$. On pose, sous réserve de convergence,
$g(t) = ⅀_{n=0}^∞ f(nt)$ pour $t>0$.

\qq Si $f$ est monotone et intégrable, montrer que $g(t)$ existe
    pour tout $t>0$ et que l'on a :

    $tg(t)⟶_{t→0⁺} ∫_{u=0}^{+∞} f(u)\,𝕕u$.
    \reponse{en supposant $f$ positive décroissante,
             $∫₀^{+∞}f ⩽ tg(t) ⩽ tf(0) + ∫₀^{+∞}f$.}

\qq Même question en supposant $f$ de classe $𝓒¹$ et $f$,$f'$ intégrables.
    \reponse{$∫_{u=pt}^{qt}f(u)\,𝕕u - ⅀_{n=p}^{q-1}tf(nt)
             = ∫_{u=pt}^{qt}(f(u)-f(t[u/t]))\,𝕕u
             = ∫_{v=pt}^{qt}t(1-⦃v/t⦄)f'(v)\,𝕕v⟶_{p,q→∞}0$.

             Donc la série de terme général $tf(nt)$ est de Cauchy~;
             elle converge.

             On a alors ${∫₀^{+∞}f} - tg(t)
             = ∫_{v=0}^{+∞}t(1-⦃v/t⦄)f'(v)\,𝕕v⟶_{t→0⁺}0$.}

\qq On suppose maintenant $f$ de classe $𝓒²$ et $f$, $f'$, $f''$ intégrables.

    Montrer que $g(t) = \frac1t∫₀^{+∞} f + ½f(0) + {\rm O}_{t→0⁺}(t)$.

    \reponse{$∫₀^{+∞}2f - 2tg(t)
             = ∫_{u=0}^{+∞}2t(1-⦃u/t⦄)f'(u)\,𝕕u
             = tf(0) - ∫_{u=0}^{+∞}t²⦃u/t⦄(1-⦃u/t⦄)f''(u)\,𝕕u$.}

%-------------------------------------------------------------
\ex Valeur moyenne d'une variable aléatoire à densité

Soit $f:[0,+∞[→ℝ⁺$ continue telle que $∫_{t=0}^{+∞} tf(t)\,𝕕t$ converge.
On pose $F(x) = ∫_{t=x}^{+∞} f(t)\,𝕕t$.

\qq  Justifier l'existence de $F(x)$, et montrer que  $F(x)={\rm o}(1/x)$
     pour $x→+∞$.
\qq  Montrer que $∫_{t=0}^{+∞} F(t)\,𝕕t = ∫_{t=0}^{+∞} tf(t) 𝕕t$.

%-------------------------------------------------------------
\ex $∫₀^∞ f(t)/t²\,𝕕t$

Soit $f:ℝ⁺→ℝ⁺$ une fonction de classe $𝓒¹$ vérifiant :
$∃α > 0 \tq ∀x ⩾ 0$, $f'(x) ⩾ α$.
Montrer que $∫_{t=1}^{+∞} f(t)/t²\,𝕕t$ diverge.

%-------------------------------------------------------------
\ex $x(f(x)-f(x+1))$

Soit $f:[1,+∞[→ℝ⁺$ une fonction décroissante telle que
$∫_{t=1}^{+∞} f(t)\,𝕕t$ converge.

Montrer que $xf(x) ⟶_{x→+∞} 0$, puis que
$∫_{t=1}^{+∞} t(f(t)-f(t+1))\,𝕕t$ converge, et calculer la valeur
de cette intégrale.
\reponse{$0 ⩽ xf(x) ⩽ 2∫_{t=x/2}^x f(t)\,𝕕t ⟶_{x→+∞} 0$.\par
         $∫_{t=1}^x t(f(t)-f(t+1))\,𝕕t =
          ∫_{t=1}² tf(t)\,𝕕t + ∫_{t=2}^x f(t)\,𝕕t - ∫_{t=x}^{x+1} (t-1)f(t)\,𝕕t
          ⟶_{x→+∞}
          ∫_{t=1}² tf(t)\,𝕕t + ∫_{t=2}^{+∞} f(t)\,𝕕t$.}

%-------------------------------------------------------------
\ex $f(|t-1/t|)$

Soit $f:[0,+∞[→ℝ⁺$ une fonction continue telle que
$∫_{t=0}^{+∞} f(t)\,𝕕t$ converge.

Montrer que $∫_{t=0}^{+∞} f(t)\,𝕕t = ∫_{u=0}^{+∞} f(|t - 1/t|)\,𝕕t$.

%-------------------------------------------------------------
\ex $(f(ax) - f(x))/x$

\qq Soit $f:{]0,+∞[}→ℝ$ une fonction continue telle que
$f(x) ⟶_{x→0⁺} ℓ$ et $f(x) ⟶_{x→+∞} L$ avec $ℓ,L∈ℝ$.

Pour $a > 0$, établir la convergence et calculer la valeur de
$\∫_{t=0}^{+∞} \dfrac {f(at) - f(t)}t \,𝕕t$.

\reponse{%
$\∫_{t=x}^y \dfrac {f(at)}t \,𝕕t = \∫_{t=ax}^{ay} \dfrac {f(t)}t \,𝕕t ⇒
 \∫_{t=x}^y \dfrac {f(at)-f(t)}t \,𝕕t = \∫_{t=ax}^x \dfrac {f(t)}t \,𝕕t
+\∫_{t=y}^{ay} \dfrac {f(t)}t \,𝕕t$.

On obtient $\∫_{t=0}^{+∞} \dfrac {f(at) - f(t)}t \,𝕕t = (L-ℓ)\ln a$.}

\qq Application : Calculer $\∫_{t=0}¹ \dfrac{t-1}{\ln t}\,𝕕t$.
\reponse{$I = \∫_{t=0}^{+∞} \dfrac{e^{-t}-e^{-2t}}t\,𝕕t = \ln 2$.}

%-------------------------------------------------------------
\ex $f(t+a)-f(t)$, Ensi PC 1999

\qq Soit $f:ℝ⁺→ℝ⁺$ continue ayant une limite finie en~$+∞$.
    Montrer que $∫_{t=0}^{+∞} (f(t+a) - f(t))\,𝕕t$ converge.
\qq Calculer $∫_{t=0}^{+∞} (\arctan(t+1) - \arctan(t))\,𝕕t$.
    \reponse{$\fracπ4+½\ln 2$.}


%-------------------------------------------------------------
\ex Valeur moyenne sur $[x-1,x+1]$

Soit $f:ℝ→ℝ$ continue telle que $∫_{t=-∞}^{+∞}|f(t)|\,𝕕t$ converge.
On pose $F(x) = ½∫_{t=x-1}^{x+1}f(t)\,𝕕t$.

Montrer que $∫_{t=-∞}^{+∞}F(t)\,𝕕t = ∫_{t=-∞}^{+∞}f(t)\,𝕕t$.

Démontrer le même résultat en supposant seulement la convergence de
$∫_{t=-∞}^{+∞}f(t)\,𝕕t$

\reponse{%
$∫_{t=a}^b F(t)\,𝕕t = ½∫_{u=a-1}^{a+1} (u-(a-1))f(u)\,𝕕u
                    + ∫_{u=a+1}^{b-1} f(u)\,𝕕u
                    + ½∫_{u=b-1}^{b+1} (b+1-u)f(u)\,𝕕u$.\par
$\phantom{∫_{t=a}^b F(t)\,𝕕t} =
φ(a+1) - ½∫_{u=a-1}^{a+1}φ(u)\,𝕕u
        + ∫_{u=a+1}^{b-1} f(u)\,𝕕u
       + ½∫_{u=b-1}^{b+1}φ(u)\,𝕕u - φ(b-1)$
où $φ$ est une primitive de $f$.}

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\ex $(∫ tf(t)\,𝕕t)/x$

Soit $f:[0,+∞[→ℝ$ continue telle que $∫_{t=0}^{+∞} f(t)\,𝕕t$
converge. Montrer que $\frac1x∫_{t=0}^x tf(t)\,𝕕t ⟶_{x→+∞} 0$.

\reponse{Soit $F(x) = ∫_{t=0}^x f(t)\,𝕕t$ :
         $\frac1x∫_{t=0}^x tf(t)\,𝕕t = F(x) - \frac1x∫_{t=0}^x F(t)\,𝕕t$.}

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\ex $f$ uniformément continue

Soit $f:[0,+∞[→ℝ$ uniformément continue telle que
$∫_{t=0}^{+∞} f(t)\,𝕕t$ converge.

\qq Montrer que $f(t) ⟶_{t→+∞} 0$ (raisonner par l'absurde).
\qq Si $f$ est positive, montrer que $∫_{t=0}^{+∞} f²(t)\,𝕕t$ converge.
\qq Donner un contre-exemple si $f$ n'est pas de signe constant.

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\ex $f$ décroissante $⇒ xf(x)→0$

Soit $f:[0,+∞[→ℝ$ continue telle que $∫_{t=0}^{+∞} f(t)\,𝕕t$ converge.

\qq  Si $f(x) ⟶_{x→+∞}L$, combien vaut $L$ ?
\qq  Donner un exemple où $f$ n'a pas de limite en $+∞$.
\qq  Si $f$ est décroissante, montrer que $xf(x)⟶_{x→+∞}0$.

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\ex $∫ e^{-t}/t,𝕕t$

On pose $f(x) = ∫_{t=x}^{+∞} e^{-t}/t\,𝕕t$.


\qq   Chercher $\lim_{x→{+∞}} f(x)$.
\qq   A l'aide d'une intégration par parties, donner un équivalent de $f(x)$
      pour $x→+∞$.
      \reponse{$e^{-x}/x$.}
\qq   Donner un équivalent de $f(x)$ pour $x→0⁺$.
      \reponse{$-\ln x$.}

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\ex Intégrale de Gauss

\qq Montrer que pour $0⩽x⩽√n$ on a : $(1-\frac{x²}n)ⁿ ⩽ e^{-x²}$
    et pour $x$ quelconque : $e^{-x²}⩽(1+\frac{x²}n)^{-n}$.
\qq Calculer les intégrales
    $I_n = ∫_{t=0}^{√n} (1-\frac{t²}n)ⁿ\, 𝕕t$ et
    $J_n = ∫_{t=0}^{+∞} (1+\frac{t²}n)^{-n}\, 𝕕t$
    en fonction des intégrales~:
    $K_p = ∫_{t=0}^{π/2} \cos^pt\,𝕕t$.
    \reponse{$I_n = √nK_{2n+1}$,  $J_n = √nK_{2n-1}$.}
\qq On admet que $K_p ∼ √{\dfracπ{2p}}$ quand $p→∞$.
    Calculer $∫_{t=0}^{+∞} e^{-t²}\,𝕕t$.
    \reponse{$\frac{√π}2$.}

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\ex Intégrales de Gauss

On admet que $∫_{t=0}^{+∞} e^{-t²}\,𝕕t =\frac{√π}2$.
Calculer les intégrales : $I_n = ∫_{t=0}^{+∞} e^{-t²}t^{2n}\,𝕕t$ pour $n ∈ ℕ$.
\reponse{$I_n = \dfrac{(2n)!√π}{2^{2n+1}n!}$.}

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\ex Mines-Ponts MP 2005

Nature et calcul de
$∫_{x=0}^{+∞} \exp(-(x-1/x)²)\,𝕕x$~?
\reponse{Intégrale trivialement convergente. Couper en $∫₀¹$ et $∫_1^{+∞}$,
         changer $x$ en $1/x$ dans l'une des intégrales, regrouper et poser
         $u=x-1/x$.
         On obtient $I=∫_{u=0}^{+∞}e^{-u²}\,𝕕u = \frac{√π}2$.}

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\ex 

Existence de $∫_{x=0}^{+∞} \sin(x⁴+x²+x)\,𝕕x$.
\reponse{L'intégrale converge par parties.}

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\ex $\cos(P(t))$

Soit $P$ un polynôme à coefficients réels de degré supérieur ou égal à 2.
Montrer que $∫_{t=0}^{+∞} \cos(P(t))\,𝕕t$ converge.
\reponse{$\∫^x \cos(P(t))\,𝕕t = \left[\dfrac{\sin(P(t))}{P'(t)}\right]^x
         -\∫^x \sin(P(t))\dfrac𝕕{𝕕t}\left(\dfrac{1}{P'(t)}\right)𝕕t$.}

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\ex Ensi PC 1999

Soient $I = \∫_{u=0}^{+∞} \dfrac{𝕕u}{(1+u²)(1+uⁿ)}$
et $J = \∫_{u=0}^{+∞} \dfrac{uⁿ\,𝕕u}{(1+u²)(1+uⁿ)}$ ($n∈ℕ$).

Prouver que ces intégrales convergent, qu'elles sont égales et les calculer.
\reponse{$I=J$ par changement $u↦1/u$. $I+J = \fracπ2 ⇒ I = J = \fracπ4$.}

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\ex $f$ et $f''$ de carrés sommables

Soit $f:ℝ→ℝ$ de classe $𝓒²$ telle que $∫_{t=0}^{+∞}f²(t)\,𝕕t$
et  $∫_{t=0}^{+∞}f''^2(t)\,𝕕t$ convergent.
Montrer que $∫_{t=0}^{+∞}f'^2(t)\,𝕕t$ converge.

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\ex $f' ⩽ 1$, Ulm 1999

Soit $f:ℝ⁺→ℝ⁺$ de classe $𝓒¹$, intégrable.
\qq On suppose $f' ⩽ 1$. Montrer que $f(x)⟶_{x→+∞}0$.
\qq Est-ce encore vrai si on suppose seulement $f'⩽1+g$ avec $g$ intégrable~?

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\ex Intégrales emboitées

Établir la convergence et calculer la valeur de
$∫_{x=0}^{+∞}∫_{t=x}^{+∞}\sin(t)/t\,𝕕t\,𝕕x$.
\reponse{%
$$\eqalign{
∫_{x=0}^{X}∫_{t=x}^{+∞}\dfrac{\sin t}t\,𝕕t\,𝕕x
%
&=\Bigl[x∫_{t=x}^{+∞}\dfrac{\sin t}t\,𝕕t\Bigr]_{x=0}^{X}
+∫_{x=0}^{X}\sin x\,𝕕x\cr
%
&=X∫_{t=X}^{+∞}\dfrac{\sin t}t\,𝕕t + 1 - \cos X\cr
%
&=X\Bigl[\dfrac{-\cos t}t\Bigr]_{t=X}^{+∞} - X∫_{t=X}^{+∞}\dfrac{\cos t}{t²}\,𝕕t + 1 - \cos X\cr
%
&=-X\Bigl[\dfrac{\sin t}{t²}\Bigr]_{t=X}^{+∞} - X∫_{t=X}^{+∞}\dfrac{2\sin t}{t³}\,𝕕t + 1\cr
%
&⟶_{x→+∞} 1\cr
}$$}


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\ex Centrale MP 2001

Soit $f$ de classe $𝓒²$ sur $ℝ⁺$ à valeurs dans $ℝ$ telle que
$f²$ et $f''^2$ sont intégrables sur $ℝ⁺$.
Montrer que $ff''$ et $f'^2$ sont intégrables sur $ℝ⁺$, que $f$ est
uniformément continue et qu'elle tend vers zéro en $+∞$.
\reponse{$2|ff''| ⩽ f² + f''^2$ donc $ff''$ est intégrable.
On en déduit que $f'^2$ admet une limite finie en $+∞$, et cette limite
est nulle sans quoi $f²$ ne serait pas intégrable
(si $f'(x)⟶_{x→+∞}ℓ$ alors $f(x)/x⟶_{x→+∞}ℓ$). Ainsi $f'$ est bornée sur~$ℝ⁺$,
$f$ est lipschitzienne et donc uniformément continue.
De plus,
$$∫_{t=0}^X f'^2(t)\,𝕕t = f(X)f'(X) - f(0)f'(0) - ∫_{t=0}^X f(t)f''(t)\,𝕕t$$
donc $f(X)f'(X)$ admet en $+∞$ une limite finie ou $+∞$, et le
cas $f(X)f'(X) = \frac12(f²)'(X) ⟶_{x→+∞}+∞$ contredit l'intégrabilité
de $f²$ donc ce cas est impossible, ce qui prouve que $f'^2$ est intégrable
sur $ℝ⁺$.
Enfin, $ff'$ est intégrable (produit de deux fonctions de carrés intégrables)
donc $f²$ admet une limite finie en $+∞$ et cette
limite vaut zéro par intégrabilité de~$f²$.
}

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\ex X MP$^*$ 2000

Donnez un équivalent pour $x→+∞$ de
$∫_{t=0}^x |\sin(t)/t|\,𝕕t$.
\reponse{\advance\lineskip3pt
On pose $u_n=∫_{t=nπ}^{(n+1)π} |\sin(t)/t|\,𝕕t
=∫_{t=0}^{π} \sin(t)/(t+nπ)\,𝕕t$. Par encadrement du dénominateur
on a $u_n\sim \dfrac2{nπ}$, d'où
$u₀+…+u_n\sim \dfrac{2\ln n}π$ et, par encadrement encore, l'intégrale
arrêtée en $x$ est équivalente à $\dfrac{2\ln x}π$.}

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\ex Centrale MP 2010
Soit $f:{ℝ⁺}→ℝ$ continue de carré intégrable.
On définit la fonction $g$ telle que $g(x) = \dfrac1x∫_{t=0}^xf(t)\,𝕕t$.

\qq Prolonger par continuité la fonction $g$ en~$0$.
    \reponse{$g(0)=f(0)$.}
\qqsq Montrer que, pour $a,b∈ℝ⁺$,
      $∫_{t=a}^bg²(t)\,𝕕t = ag²(a)-bg²(b)+2∫_{t=a}^bf(t)g(t)\,𝕕t$.
      \reponse{$\dfrac{𝕕(xg(x))}{𝕕x}=f(x)$, soit $xg'(x)=f(x)-g(x)$
               et $\dfrac{𝕕(xg²(x))}{𝕕x}=g²(x)+2xg'(x)g(x)=f(x)g(x)-g²(x)$.}
  \sq Montrer que
      $∫_{t=a}^bg²(t)\,𝕕t⩽ag²(a)+2\left(∫_0^{+∞}f²\right)^{\frac12}
                                  \left(∫_a^bg²\right)^{\frac12}$.

  \sq En déduire que
      $\left(∫_a^bg²\right)^{\frac12}⩽\left(∫_0^{+∞}f²\right)^{\frac12}
      +\left(∫_0^{+∞}f²+ag²(a)\right)^{\frac12}$.
      \reponse{On pose $α=ag²(a)$, $β=\left(∫_0^{+∞}f²\right)^{\frac12}$
               et $γ=\left(∫_a^bg²\right)^{\frac12}$.

               Donc $γ²⩽α+2βγ$, soit $(γ-β)²⩽α+β²$, ce qui donne
               l'inégalité demandée.}
\qq Montrer que $g$ est de carré intégrable et que $fg$ est intégrable.
    \reponse{$∫_0^bg²$ est majorée indépendamment de~$b$, donc
             $∫_0^{+∞}g²$ converge. $f$ et $g$ étant de carrés intégrables,
             $fg$ est intégrable d'après l'inégalité $2|fg|⩽f²+g²$.}


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\ex Comparaison série-intégrale, Mines 2013
A partir du développement de Taylor avec reste intégral de
$f(x) = ∫_{t=1}^x\dfrac{\sin√t}t\,𝕕t$, étudier la convergence de
$⅀\dfrac{\sin√n}n$.
Même question pour $⅀\dfrac{\cos√n}{√n}$.
\reponse{Indication peu claire\dots

On écrit $f(n+1)=f(n)+f'(n)+∫_{t=n}^{n+1}(n+1-t)f''(t)\,𝕕t$
et $f''(t) = \dfrac{\cos√t}{2t^{3/2}}-\dfrac{\sin√t}{t²} = O(1/t^{3/2})$
avec une constante indépendante de~$t$ pour $t⩾1$.
Ainsi, $\dfrac{\sin√n}n = f(n+1)-f(n)+O(1/n^{3/2})$.
\medskip
L'intégrale généralisée $∫_{t=1}^{+∞}\dfrac{\sin√t}t\,𝕕t$
est convergente ~: écrire $\dfrac{\sin√t}{√t}\times\dfrac1{√t}$ puis
intégrer par parties, donc la série de terme général $f(n+1)-f(n)$ est
convergente et par addition, la série $⅀\dfrac{\sin√n}n$ converge.
\medskip
Considérons à présent $g(x) = ∫_{t=1}^x\dfrac{\cos√t}{√t}\,𝕕t=
∫_{u=1}^x\frac12\cos u\,𝕕u=\frac12(\sin√x-\sin1)$.

On a $g'(x)=\dfrac{\cos√x}{√x}$, $g''(x)=-\dfrac{\sin√x}{2x}+O(1/x^{3/2})$
et $g'''(x)=O(1/x ^{3/2})$,

d'où $\dfrac{\cos√n}{√n}=g(n+1)-g(n)+\dfrac{\sin√n}{4n}+O(1/n^{3/2})$.
Ainsi, les séries $⅀(g(n+1)-g(n))$ et $⅀\dfrac{\cos√n}{√n}$ ont même
nature. Si elles convergent, alors la suite $(g(n))$ admet une limite finie
et donc aussi la fonction~$g$ en~$+∞$ car $g(x)=g(n)+O(1/√n)$ pour $n⩽x<n+1$,
vu~$g'$. Or $g$ n'a pas de limite en~$+∞$,
donc la série $⅀\dfrac{\cos√n}{√n}$ est divergente.}

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\bye
