\input exos
\fiche{fonctions usuelles}

\titre{logarithmes et exponentielles}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Calcul de limite

Montrer que : $∀x > 0$, $x - ½x² < \ln(1+x) < x$.
En déduire $\lim_{n→∞} \left(1+\dfrac 1{n²}\right)\left(1+\dfrac 2{n²}\right) … \left(1+\dfrac n{n²}\right)$.

%----------------------------------------------------------------------
\ex Dérivées de $\exp(-1/x)$

On pose $f(x) = \exp(-1/x)$ si $x > 0$ et $f(0)=0$.

\qq Montrer que $f$ est de classe $𝓒^∞$ sur $ℝ^{+*}$, et que $f^{(n)}(x)$ est
    de la forme $P_n(x)x^{-2n}\exp(-1/x)$ où $P_n$ est une fonction
    polynomiale de degré inférieur ou égal à $n-1$ ($n ⩾ 1$).

\qq Montrer que $f$ est de classe $𝓒^∞$ en $0⁺$.
\qq Montrer que le polynôme $P_n$ possède $n-1$ racines dans $ℝ^{+*}$.

%----------------------------------------------------------------------
\ex $(1+1/t)^t$

\qq Montrer que : $∀t > 1$,
    $\left(1+\dfrac 1t\right)^t < e < \left(1+\dfrac 1{t-1}\right)^t$.
    \reponse{Étudier les logs.}
\qq Montrer que : $∀x,y>0$,
    $\left(1+\dfrac xy\right)^y < e^x < \left(1+\dfrac xy\right)^{x+y}$.
    \reponse{Idem.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex $\ln(1+ax)/\ln(1+bx)$

Soient $0 < a < b$. Montrer que la fonction
$\application f {ℝ^{+*}} ℝ x {\dfrac {\ln(1+ax)}{\ln(1+bx)}}$ est croissante.
\reponse{$\dfrac{f'(x)}{f(x)} = \dfrac a{(1+ax)\ln(1+ax)}
                              - \dfrac b{(1+bx)\ln(1+bx)}$.
         Pour $x ⩾ 0$ fixé, la fonction $t↦\dfrac t{(1+tx)\ln(1+tx)}$ est
         décroissante.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Inégalité

Soient $0 < a < b$. Montrer que : $∀x > 0$, $ae^{-bx} - be^{-ax} > a-b$.

%----------------------------------------------------------------------
\ex Racine d'une somme d'exponentielles

Soient $0 < a₁ < a₂ < … < a_p$ des réels fixés.

\qq Montrer que pour tout réel $a > a_p$ il existe un unique réel $x_a > 0$
    solution de : $a₁^x + … + a_p^x = a^x$.
    \reponse{Étude de $x↦
             \left(\dfrac{a₁}a\right)^x + … + \left(\dfrac{a_p}a\right)^x$.}
\qq Pour $a < b$, comparer $x_a$ et $x_b$.
    \reponse{$x_a > x_b$.}
\qq Chercher $\lim_{a→+∞} x_a$ puis $\lim_{a→+∞} x_a\ln a$.
    \reponse{$x_a→ℓ$. Si $ℓ > 0$, $a^{x_a} → +∞$, mais
             $a₁^{x_a} + … + a_p^{x_a} → a₁^ℓ + … + a_p^ℓ$.
             Donc $ℓ = 0$, et $x_a\ln a → \ln p$.}

\xe\titre{Fonctions hyperboliques}
%----------------------------------------------------------------------
\ex Formules d'addition pour les fonctions hyperboliques

Calculer $\ch(a+b)$, $\sh(a+b)$, $\th(a+b)$ en fonction de
$\ch a$, $\sh a$, $\th a$, $\ch b$, $\sh b$, $\th b$.

%----------------------------------------------------------------------
\ex Simplification de $a\ch x + b\sh x$

Soient $a,b∈ℝ$ non tous deux nuls.

\qq Peut-on trouver $A,φ ∈R$ tels que : $∀x ∈ℝ$, $a\ch(x)+b\sh(x) = A\ch(x+φ)$ ?
    \reponse{Oui ssi $|a| > |b|$.}
\qq Peut-on trouver $A,φ ∈R$ tels que : $∀x ∈ℝ$, $a\ch(x)+b\sh(x) = A\sh(x+φ)$ ?
    \reponse{Oui ssi $|a| < |b|$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Somme de ch

Calculer $⅀_{k=0}ⁿ\ch(kx)$.
\reponse{$=\dfrac{ \ch(nx/2)\sh((n+1)x/2)}{\sh(x/2)}$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Somme de sh

Soit $a∈ℝ$. Résoudre :
$\sh a + \sh(a+x) + \sh(a+2x) + \sh(a+3x) = 0$.
\reponse{$x = -⅔a$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Somme de th

Soit $x∈ℝ^*$. Vérifier que $\th x = 2\coth 2x - \coth x$.
En déduire la convergence et la somme de la série de terme général
$\frac1{2ⁿ}\th(\frac1{2ⁿ}x)$.
\reponse{$2\coth 2x - \dfrac 1x$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Somme de $1/\sh$

Soit $x∈ℝ^*$. Vérifier que $\dfrac1{\sh x} = \coth \dfrac x2 - \coth x$.
En déduire la convergence et la somme de la série de terme général
$\dfrac1{\sh(2ⁿx)}$.
\reponse{$\coth \dfrac x2 - 1$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Polynômes de Chebicheff

\qq Pour $n ∈ ℕ$, on pose $f_n(x) = \cos(n\arccos x )$ et
    $g_n(x) = \dfrac {\sin(n\arccos x)}{√{1-x²}}$.
    Montrer que $f_n$ et $g_n$ sont des fonctions polynomiales.
    \reponse{$f₀(x) = 1$, $f₁(x) = x$, $f_{n+1}(x)+f_{n-1}(x) = 2xf_n(x)$.

             $g₀(x) = 0$, $g₁(x) = 1$, $g_{n+1}(x)+g_{n-1}(x) = 2xg_n(x)$.}

\qq Même question avec $h_n(x)= \ch(n\argch(x))$ et
    $k_n(x) = \dfrac{\sh(n\argch(x))}{√{x²-1}}$.
    \reponse{$h₀(x) = 1$, $h₁(x) = x$, $h_{n+1}(x)+h_{n-1}(x) = 2xh_n(x)$.

             $k₀(x) = 0$, $k₁(x) = 1$, $k_{n+1}(x)+k_{n-1}(x) = 2xk_n(x)$.}

\qq Établir des relations entre les polynômes associés à $f_n$, $g_n$, $h_n$
    et $k_n$.
    \reponse{$f_n=h_n$, $g_n=k_n=\frac1nf_n'$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex $\ch x + \ch y = a$, $\sh x + \sh y = b$

Soient $a,b∈ℝ$.
Étudier l'existence de solutions pour le système :
$\cases{ \ch x+\ch y &= $a$\cr \sh x+\sh y &= $b$.\cr}$
\reponse{Poser $X = e^x$, $Y = e^y$ :
         $X+Y = a+b$, $XY = \dfrac{a+b}{a-b}$.
         Il y a des solutions si et seulement si $a ⩾ √{b²+4}$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Relation entre les fonctions hyperboliques et circulaires

Soit $y∈{]-\frac π2, \frac π2[}$. On pose $x = \ln(\tan(½y + \frac π4))$.

Montrer que $\th ½x = \tan ½y$, $\th x = \sin y$ et $\ch x = \dfrac 1{\cos y}$.

%----------------------------------------------------------------------
\ex $\argth((1+3\th x)/(3+\th x))$

Simplifier $\argth\left(\dfrac {1+3\th x}{3+\th x}\right)$.
\reponse{$= x + \ln√2$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Équation

Résoudre $\argch x = \argsh(x-½)$.
\reponse{$x=\frac54$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Calcul de primitives

Déterminer des primitives des fonctions suivantes :

\qq $f(x) = \dfrac 1{√{x²+x+1}}$.
    \reponse{$F(x) = \argsh\left(\dfrac{2x+1}{√3}\right)$.}
\qq $f(x) = \dfrac 1{x²+x-1}$.
    \reponse{$F(x) = \dfrac 1{√5}\ln\left|\dfrac{√5 -2x-1}{√5 +2x+1}\right|$.}

\xe\titre{Fonctions circulaires inverses}
%----------------------------------------------------------------------
\ex arcsin et arccos à partir de arctan

Définir $\arcsin x$ et $\arccos x$ à l'aide de la fonction $\arctan$.
\reponse{$\arcsin x = \arctan\left( \dfrac x{√{1-x²}} \right)$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Formules d'addition

Soient $a,b ∈ ℝ$. Simplifier $\arctan a + \arctan b$.
\reponse{$\arctan a + \arctan b ≡ \arctan\left(\dfrac {a+b}{1-ab}\right)
         \pmod π$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex $\arcsin x = \arccos⅓ - \arccos¼$

Résoudre l'équation : $\arcsin x = \arccos⅓ - \arccos¼$.
\reponse{$x=\dfrac{√8-√{15}}{12}$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex $\arcsin\dfrac{1+√5}4$
Soit $x = \arcsin\dfrac{1+√5}4$. Calculer $\cos 4x$ et en déduire $x$.
\reponse{$\cos 4x = -\sin x ⇒ x=\frac{3π}{10}$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex arctangentes

\qq Simplifier $\arctan\dfrac{1-x}{1+x}$.
    \reponse{$x  > -1$ : $ \frac π4   - \arctan x$,
             $x  < -1$ : $-\frac {3π}4- \arctan x$.}

\qq Simplifier $\arctan √{\dfrac {1-x}{1+x}}$.
    \reponse{$= ½\arccos x$.}

\qq Simplifier $\arctan\dfrac{x-√{1-x²}}{x+√{1-x²}}$.
    \reponse{$-1 ⩽ x < -\frac1{√2}$ : $\arcsin x + \frac{3π}4$,
             $-\frac1{√2} < x ⩽ 1 $ : $\arcsin x - \frac{π}4$.}

\qq Simplifier $\arctan\dfrac{√{x²+1}-1}x + \arctan(√{1+x²} - x)$.
    \reponse{$=\fracπ4$.}

\qq Simplifier
    $\arctan \dfrac1{2x²} - \arctan\dfrac x{x-1} + \arctan\dfrac{x+1}x$.
    \reponse{$=π$ si $0<x<1$, $=0$ si $x<0$ ou $x>1$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex $2\arcsin x + \arcsin f(x) = \frac π6$

Existe-t-il une fonction $f:D⊂ℝ→ℝ$ telle que :
$∀x ∈ D$, $2\arcsin x + \arcsin f(x) = \frac π6$ ?
\reponse{$D = [-½, \frac{√3}2]$, $f(x) = ½ - x²- x√3√{1-x²}$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Simplifications

\qq Simplifier $\cos(3\arctan x)$ et $\cos²(½\arctan x)$ pour $x∈ℝ$.
    \reponse{$\cos(3\arctan x) = \dfrac {1-3x²}{(1+x²)^{3/2}}$.
             $\cos²(½\arctan x) = \dfrac{√{1+x²}+1}{2√{1+x²}}$.}

\qq Simplifier $\arccos(\cos x) - ½\arccos(\cos 2x)$ pour $x ∈ [0,2π]$.
    \reponse{$=0$ si $0⩽x⩽\fracπ2$,
             $=2x-π$ si $\fracπ2⩽x⩽π$,
             $=3π-2x$ si $π⩽x⩽\frac{3π}2$,
             $=0$ si $\frac{3π}2⩽x⩽2π$.}

\qq Simplifier $\dfrac x2 - \arcsin√{\dfrac{1+\sin x}2}$ pour $x ∈ [-π,π]$.
    \reponse{$=x+\fracπ4$ si $-π⩽x⩽-\fracπ2$,
             $=-\fracπ4$ si $-\fracπ2⩽x⩽\fracπ2$,
             $=x-\frac{3π}4$ si $\fracπ2⩽x⩽π$.}
\qq Simplifier $\cos(\arctan(\sin(\arctan \frac1x)))$.
    \reponse{$= √{\dfrac {x²+1}{x²+2}}$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Équation

Résoudre : $2\arccos\left(\dfrac {1-x²}{1+x²}\right)
            +\arcsin\left(\dfrac {2x}{1+x²}\right)
            -\arctan\left(\dfrac {2x}{1-x²}\right) = \dfrac {2π}3$.
\reponse{Si $x<-1$, $f(x)=-8\arctan x - 2π$.
         Si $-1<x<0$, $f(x)=-4\arctan x$.
         Si $0<x<1$, $f(x)=4\arctan x$.
         Si $x>1$, $f(x)=2π$.
         $S=⦃-√3,-1/√3,1/√3⦄$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Équations aux arctan

Résoudre :

\qq $\arctan 2x + \arctan 3x = \frac π4$.
    \reponse{$x = \frac 16$.}
\qq $\arctan\dfrac{x-1}{x-2}
    +\arctan\dfrac{x+1}{x+2} = \dfracπ4$.
    \reponse{$x = \pm1/√2$.}
\qq $\arctan\dfrac1x 
    +\arctan\dfrac{x-1}{x+1} = \dfracπ4$.
    \reponse{$x ∈ {]-∞,-1[} ∪ {]0,+∞[}$.}
\qq $\arctan(x-3) + \arctan(x) + \arctan(x+3) = \frac {5π}4$.
    \reponse{$x^3 - 3x² - 12x + 10 = 0 ⇒ x ∈ ⦃5,-1±√3⦄$.
             Seule la solution $x=5$ convient.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Sommes remarquables

\qq Montrer que : $4\arctan\frac 15 - \arctan \frac 1{239} = \frac π4$.
\qq Montrer que : $\arcsin\frac 45 + \arcsin \frac 5{13}
                  +\arcsin \frac {16}{65} = \frac π2$.

%----------------------------------------------------------------------
\ex Sommes remarquables
\qq Montrer que : $∀x ∈ ℝ$,
    $\arctan x + 2\arctan\bigl(√{1+x²} - x\bigr) = \frac π2$.
\qq Montrer que : $∀x ∈ {]0,1]}$,
    $2\arctan√{\dfrac {1-x}x} + \arcsin(2x-1) = \frac π2$.

%----------------------------------------------------------------------
\ex $\arctan((x-\sin a)/\cos a)$

Soit $a ∈ [0,\frac π2[$. On pose
$f(x) = \arcsin \left( \dfrac {2(x-\sin a)\cos a}{x²-2x\sin a + 1} \right)$
et $g(x) = \arctan \left( \dfrac{x-\sin a}{\cos a} \right)$.

Vérifier que $f$ est bien définie,
calculer $\sin(2g(x))$ et comparer $f(x)$ et $g(x)$.
\reponse{$\sin(2g(x)) = \sin(f(x))$.

         $f(x)=-π-2g(x)$ si $x⩽\sin a-\cos a$,

         $f(x)=2g(x)$ si $\sin a-\cos a⩽x⩽\sin a+\cos a$,

         $f(x)=π-2g(x)$ si $x⩾\sin a+\cos a$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Équivalent de $\arccos(1-x)$

A l'aide d'un changement de variable judicieux, trouver
$\lim_{x→0⁺} \dfrac {\arccos(1-x)}{√x}$.

%----------------------------------------------------------------------
\ex Inégalité

Montrer que~:
$∀x∈{]-1,1[}$, $|\arcsin x| ⩽ \dfrac{|x|}{√{1-x²}}$.

\xe\titre{Divers}
%----------------------------------------------------------------------
\ex Centrale MP 2000
Soit $f:ℝ^{+*}→ℝ^{+*}$ telle que : 
$∀x,y>0$, $f(xf(y))=yf(x)$ et $f(x)⟶_{x→0⁺}+∞$.
\qq Montrer que $f$ est involutive.
    \reponse{Pour $x=1$ on a $f∘f(y) = yf(1)$ donc $f$ est injective
             et pour $y=1$~: $f(xf(1))=f(x)$ d'où $f(1)=1$.}
\qq Montrer que $f$ conserve le produit. Que peut-on dire de la monotonie
    de $f$, de sa continuité ? 
    \reponse{$f(xy) = f(xf(f(y))) = f(y)f(x)$.\par
             Pour $0<x<1$ on a $f(xⁿ) = f(x)ⁿ⟶_{n→∞}+∞$ donc
             $f(x)>1$ ce qui entraîne par morphisme la décroissance de~$f$.
             Enfin $f$ est monotone et $f(]0,+∞[) = {]0,+∞[}$ donc $f$
             n'a pas de saut et est continue.}
\qq Trouver $f$.
    \reponse{En tant que morphisme continu, $f$ est de la forme $x↦x^α$
             avec $α∈ℝ$ et l'involutivité et la décroissance donnent $α=-1$.}


\bye
