\input exos
\fiche{Fonctions monotones}

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\ex $f$ croissante et $f∘f = \id$

Soit $f:ℝ→ℝ$ croissante telle que : $∀x ∈ ℝ$, $f∘f(x) = x$.
Montrer que : $∀x ∈ ℝ$, $f(x) = x$.

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\ex $f$ croissante et $x ↦ f(x)/x$ est décroissante

Soit $f:{]0,+∞[}→ℝ$ croissante telle que
$\application g {]0,+∞[} ℝ x {f(x)/x}$ est décroissante.
Montrer que $f$ est continue.

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\ex Étude de $|x|(2+sin(1/x))$

On pose : $f(x) = |x|(2+\sin(1/x))$ si $x ≠ 0$ et $f(0) = 0$.

Montrer que $f$ est continue, minimale en $0$, mais pour tout $ε > 0$,
$f_{|[0,ε]}$ n'est pas monotone.

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\ex Borne supérieure de fonctions croissantes

Soit $f:ℝ→ℝ$ une fonction bornée.

On note $𝓔 = ⦃g:ℝ→ℝ$ croissantes tq $g ⩽ f ⦄$,
et pour $x∈ℝ$ : $\tilde f(x) = \sup⦃ g(x) \tq g ∈ 𝓔 ⦄$.

\qq   Montrer que $\tilde f ∈ 𝓔$.
\qq   On suppose $f$ continue. Montrer que $\tilde f$ l'est aussi
      (s'il existe un point $x₀ ∈ ℝ$ tel que $\tilde f(x₀⁻) < \tilde f(x₀⁺)$,
      construire une fonction de $𝓔$ supérieure à~$\tilde f$).

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\ex L'ensemble des points de discontinuité est dénombrable

Soit $f:[a,b]→ℝ$ monotone.
Pour $x ∈ {]a,b[}$, on pose $δ(x) = |f(x⁺) - f(x⁻)|$ (saut de $f$ en $x$).

\qq Pour $n ∈ ℕ^*$, montrer que $E_n = ⦃x ∈ {]a,b[} \tq  δ(x) > \frac 1n⦄$
    est fini.
\qq En déduire que l'ensemble des points de discontinuité de $f$ est
    dénombrable.

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\ex Fonction localement croissante

Soit $f:ℝ→ℝ$. On dit que $f$ est localement croissante si :
$∀x ∈ ℝ$, $∃ε > 0 \tq f_{|]x-ε, x+ε[}$ est croissante.

Montrer que : ($f$ est localement croissante) $⇒$ ($f$ est croissante).

On pourra considérer $E = ⦃ x ⩾ 0 \tq  f_{|[0,x]}$ est croissante$⦄$ et
$F = ⦃x ⩽ 0 \tq f_{|[x,0]}$ est croissante$⦄$)

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\ex Fonction localement monotone à droite
Soit $f:ℝ→ℝ$ continue telle que~:
$∀x∈ℝ$, $∃δ>0$, tq $∀y∈[x,x+δ]$, $f(y)⩾ f(x)$.
Montrer que $f$ est croissante.
\reponse{Supposons qu'il existe $a,b∈ℝ$ avec $a<b$ et $f(b)<f(a)$.
         On note $E=⦃x∈{[a,b]}\tq f(x) < f(a)⦄$ et $c=\inf(E)$.
         On a $c∈ E$ et $c>a$ par hypothèse et donc $f(c)=f(c⁻)⩾ f(a)$,
         absurde.}

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\ex Prolongement d'une fonction uniformément continue

Soit $f:{]0,1]}→ℝ$ uniformément continue.

Pour $x ∈ {]0,1]}$ on pose :
$g(x) = \sup(f(]0,x]))$ et $h(x) = \inf(f(]0,x]))$.

{\qq Montrer que $g$ et $h$ sont monotones.\par}
\medskip
On note $ℓ = g(0⁺)$ et $m = h(0⁺)$.

\qq   En utilisant la continuité uniforme de $f$, montrer que $ℓ = m$.
\qq   En déduire que $f(x) ⟶_{x→0⁺} ℓ$.

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\ex $f$ continue, strictement croissante sur $ℚ$

Soit $f:ℝ→ℝ$ continue telle que $f_{|ℚ}$ est
strictement croissante. Montrer que $f$ est strictement croissante.

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\ex Morphismes de $ℝ$

Soit $f:ℝ→ℝ$ non identiquement nulle telle que :
$∀x,y ∈ ℝ$, $f(x+y) = f(x) + f(y)$ et $f(xy)  = f(x)f(y)$.
Montrer que $f$ est croissante, puis $f = \id_ℝ$.

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\ex Point fixe pour une application croissante

Soit $f:[0,1]→[0,1]$ croissante. Montrer qu'il existe $x ∈ [0,1]$
tel que $f(x) = x$.

On pourra étudier $A = ⦃ x ∈ [0,1] \tq  f(x) ⩽ x ⦄$.
\reponse{$α = \inf(A) ⇒ f(α⁺) ⩽ α$ et $f(α⁻) ⩾ α$.}

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\ex Fonction affine
Soit $f:ℝ→ℝ$ vérifiant~:
$∀x,y,z∈ℝ$, $|x-y|<|x-z| ⇒ |f(x)-f(y)|<|f(x)-f(z)|$.
Montrer successivement que $f$ est injective, monotone, continue, et enfin
affine.
\reponse{Injectivité évidente.
         \medskip
         Monotonie~: pour $a<b<c$ on a $|a-b| < |a-c|$ et $|c-b| < |c-a|$ d'où
         les mêmes inégalités pour $f(a),f(b),f(c)$ ce qui prouve que $f(b)$
         est strictement compris entre $f(a)$ et $f(c)$.
         \medskip
         Continuité~: soit $a∈ℝ$, $δ>0$, $x=a-δ$, $y=a+δ$ et $z=a-4δ$.
         On a $2δ=|x-y|<|x-z|=3δ$ donc $|f(x)-f(y)|<|f(x)-f(z)|$ et
         en faisant tendre $δ$ vers~$0⁺$~: $|f(a⁻)-f(a⁺)| ⩽ |f(a⁻)-f(a⁻)| = 0$.
         \medskip
         Affine~: soient $x∈ℝ$, $h>0$, $z=x+h$ et $x-h<y<x$.
         On a $|f(x)-f(y)|<|f(x)-f(x+h)|$ d'où en faisant tendre $y$ vers
         $(x-h)⁺$~: $|f(x)-f(x-h)|⩽|f(x)-f(x+h)|$.
         On obtient l'inégalité inverse en permutant $y$ et $z$, donc $f(x-h)$
         et $f(x+h)$ sont équidistants de $f(x)$ et, par injectivité de~$f$~:
         $f(x) = ½(f(x-h)+f(x+h))$ ce qui permet de conclure avec la
         continuité de~$f$.}

\bye
