\input exos
\fiche{Fonctions continues}


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\ex Fonction périodique

Soit $f:ℝ→ℝ$ et $T > 0$. On suppose que $f$ est $T$-périodique cad :
$∀x ∈ ℝ$, $f(x+T) = f(x)$.

\qq Si $f$ possède une limite en $+∞$, montrer que $f$ est constante.
\qq Si $f$ est continue non constante, montrer que $f$ a une plus petite
    période.
\qq Si $f$ est continue, montrer que $f$ est bornée et atteint ses bornes.

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\ex Fonction ayant des limites à l'infini

Soit $f:[0,+∞[→ℝ$ une fonction continue ayant une limite finie en $+∞$.

\qq Montrer que $f$ est bornée.
\qq Montrer que $f$ admet un maximum ou un minimum absolu, mais pas
    nécéssairement les deux.
\qq Montrer que $f$ est uniformément continue.

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\ex Permutation de décimales

Pour $x ∈ {[0,1[}$, on note $x = ⅀_{k=1}^∞ \dfrac{x_k}{10^k}$ le
développement décimal propre de $x$.

\qq   Soit $f:[0,1[→[0,1[$ définie par :
      $f(x) = ⅀_{k=1}^∞ \dfrac{x_{k+1}}{10^k}$. Montrer que $f$ est continue
      par morceaux.

\qq   Soit $g:[0,1[→[0,1[$ définie par :
      $g(x) = ⅀_{k=1}^∞ \left( \dfrac{x_{2k}}{10^{2k-1}} +
                               \dfrac{x_{2k-1}}{10^{2k}} \right)$.
      Déterminer les points où $g$ est continue.

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\ex $f(x+1) - f(x) → a$

Soit $f:ℝ→ℝ$ continue telle que
$f(x+1) - f(x) ⟶_{x→+∞} a ∈ \overlineℝ$.

\qq   Montrer que $\dfrac {f(n)}n ⟶_{n→∞} a$.
\qq   Montrer que $\dfrac {f(x)}x ⟶_{x→∞} a$.

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\ex $\max(f,g)$
               

Soient $f,g:ℝ→ℝ$ deux fonctions continues.
On pose pour $x ∈ ℝ$ : $h(x) = \max(f(x),g(x))$.
Montrer que $h$ est continue.

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\ex Prolongement d'inégalités

\qq Soient $f,g:ℝ→ℝ$ continues telles que :
    $∀x,y ∈ ℚ$, $f(x) < g(x)$.

    \sq Montrer que $f⩽g$.
    \sq Montrer qu'on n'a pas nécéssairement : $∀x,y ∈ ℝ$, $f(x) < g(x)$.
\qq Soit $f:ℝ→ℝ$ continue dont la restriction à $ℚ$ est strictement
    croissante. Montrer que $f$ est strictement croissante.

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\ex Étude de $\sup(f([x,x+1]))$

Soit $f:ℝ→ℝ$ uniformément continue.
On pose $g(x) = \sup(f([x,x+1]))$.
Montrer que $g$ est continue.

Même question en supposant seulement $f$ continue.

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\ex Weierstrass

Soient $f,g:[a,b]→ℝ$ continues.
On pose $h(t) = \sup⦃f(x)+tg(x) \tq  x ∈ [a,b]⦄$.
Montrer que $h$ est continue.


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\ex Weierstrass
Soit $f:[a,b]→ℝ$ continue.
Montrer que $\sup f([a,b]) = \sup f(]a,b[)$.

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\ex Weierstrass
Soient $f,g:[a,b]→ℝ$ continues.
On suppose que : $∀x ∈ [a,b]$, $f(x) > g(x) > 0$.
Montrer qu'il existe $k > 1$ tel que $f > kg$.


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\ex TVI à l'infini

Soit $f:[0,+∞[→ℝ$ continue ayant une limite $ℓ ∈ \overlineℝ$ en $+∞$.
Montrer que $f$ prend toute valeur comprise entre $f(0)$ et $ℓ$ ($ℓ$ exclu).


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\ex $f(x)=g(x)$

\qq Soit $f:[0,1]→[0,1]$ continue. Montrer qu'il existe $x ∈ [0,1]$
    tel que $f(x) = x$.
    \reponse{$f(x)-x$ change de signe entre $0$ et $1$.}
\qq Soient $f,g:[0,1]→[0,1]$ continues telles que $f∘g = g∘f$.
    Montrer qu'il existe $x ∈ [0,1]$ tel que $f(x) = g(x)$
    (on pourra s'intéresser aux points fixes de~$f$).
    \reponse{Sinon $f-g$ est de signe constant, par exemple positif.
             Si $a$ est le plus grand point fixe de~$f$ alors $g(a)>a$
             et $g(a)$ est aussi point fixe de~$f$, absurde.}

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\ex $f$ continue décroissante $⇒$ point fixe

Soit $f:ℝ→ℝ$ continue décroissante. Montrer qu'il existe un unique réel $x$
tel que $f(x) = x$.

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\ex Mines MP 2002

Soit $f:ℝ→ℝ$ continue telle qu'existe $a$ vérifiant
$f∘f(a)=a$. $f$ a-t-elle des points fixes~? Généraliser.
\reponse{En posant $b=f(a)$ on a $(f(a)-a) + (f(b)-b) = 0$
         donc $x↦f(x)-x$ s'annule entre $a$ et $b$.
         De même, s'il existe $k∈ℕ^*$ et $a∈ℝ$ tels que $f^k(a)=a$
         alors $(f(a)-a) + (f²(a)-f(a)) + … + (f^{k}(a)-f^{k-1}(a)) = 0$
         donc $f(x)-x$ s'annule entre $\min(a,f(a),…,f^{k-1}(a))$ et
         $\max(a,f(a),…,f^{k-1}(a))$.}

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\ex Mines 2016
Un promeneur parcourt $6$ km en une heure. Montrer qu'il existe une
période de~$30$ minutes pendant laquelle il a parcouru exactement $3$ km.
\reponse{Thm des valeurs intermédiaires pour $x↦f(x+30)-f(x)-3=g(x)$ où $x$
         est le temps en minutes et $f(x)$ la distance en km parcourue depuis
         le départ (supposée varier continuement avec~$x$)~: $g(0)+g(30)=0$.}
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\ex Cordes de longueur $1/n$

Soit $f:[0,1]→ℝ$ continue telle que $f(0) = f(1)$.

\qq   Montrer qu'il existe $x ∈ [0,½]$ tel que $f(x) = f(x+½)$.
\qq   Pour $n ∈ ℕ$, $n ⩾ 2$, montrer qu'il existe
      $x ∈ [0,1-\frac 1n]$ tel que $f(x) = f(x+\frac 1n)$.
\qq   Trouver une fonction $f$ telle que : $∀x∈[0,\frac35]$,
      $f(x)≠f(x+\frac25)$.
\qq   Montrer qu'il existe $a > 0$ tel que : $∀b ∈ {]0,a]}$,
       $∃x∈ {[0, 1-b]} \tq  f(x) = f(x+b)$.

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\ex $f([a,b]) ⊂ g([a,b])$

Soient $f,g:[a,b]→ℝ$ continues. On suppose que :
$∀x ∈ [a,b]$, $∃y ∈ [a,b] \tq  f(x) = g(y)$.

Montrer qu'il existe $x ∈ [a,b]$ tel que $f(x) = g(x)$.

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\ex TVI $+$ injective $⇒$ continue

Soit $f:ℝ→ℝ$. On dit que $f$ vérifie la propriété des valeurs intermédiaires
si :
$$∀a,b∈ℝ \text{ avec } a < b,\ ∀y \text{ compris entre }
f(a) \text{ et } f(b),\ ∃x ∈ [a,b] \tq  f(x) = y.$$

\qq Montrer que si $f$ vérifie la propriété des valeurs intermédiaires et est
    injective, alors elle est continue.
\reponse{Soit $a∈ℝ$ tel que $f$ est discontinue en $a$. Il existe une suite
         $a_n$ telle que $a_n → a$ et $|f(a_n)-f(a)| ⩾ ε$.
         Alors $f(a)±ε$ a une infinité d'antécédents.}
\qq Trouver une fonction discontinue ayant la propriété des valeurs
    intermédiaires.

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\ex $f$ uc $⇒ f$(intervalle borné) $=$ intervalle borné

Soit $I$ un intervalle borné et $f:I→ℝ$ uniformément continue.
Montrer que $f(I)$ est un intervalle borné.

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\ex $f$ uc $⇒ |f(x)| ⩽ a + b|x|$

Soit $f:ℝ→ℝ$ uniformément continue.
Montrer qu'il existe $a,b ∈ ℝ$ tels que : $∀x ∈ ℝ$, $|f(x)| ⩽ a + b|x|$
(prendre $ε = 1$ et majorer $|f(x) - f(0)|$).

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\ex Composition

Soient $f:D→ℝ$ uniformément continue bornée et $g:ℝ→ℝ$ continue.
Montrer que $g∘f$ est uniformément continue.

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\ex $\sin(t²)$

Montrer que $t ↦ \sin(t²)$ n'est pas uniformément continue sur $ℝ$.

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\ex $f$ uc et $f(n) → +∞$

Soit $f:ℝ→ℝ$ uniformément continue telle que $f(n) ⟶_{n→∞} +∞$.
Montrer que $f(x) ⟶_{x→∞} +∞$.

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\ex $f(x+y) = f(x) + f(y)$

Soit $f:ℝ→ℝ$ telle que : $∀x,y ∈ ℝ$, $f(x+y) = f(x) + f(y)$.
On pose $a = f(1)$.

\qq Montrer que : $∀x∈ℚ$, $f(x) = ax$.
\qq On suppose $f$ continue. Montrer que : $∀x ∈ ℝ$, $f(x) = ax$.
\qq On suppose que $f$ est bornée au voisinage de 0.
    Montrer que : $∀x ∈ ℝ$, $f(x) = ax$.

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\ex $f(x²) = f(x)$

Trouver toutes les fonctions $f:[0,1]→ℝ$ continues telles
que : $∀x ∈ [0,1]$, $f(x²) = f(x)$.

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\ex $f(x+y)f(x-y) = f²(x)f²(y)$

Trouver toutes les fonctions $f:ℝ→ℝ$ continues telles
que : $∀x,y ∈ ℝ$, $f(x+y)f(x-y) = f²(x)f²(y)$.
\reponse{Si $f$ n'est pas identiquement nulle, alors $f(0) = ±1$ et
         $f$ est paire, de signe constant.
         Par récurrence, $∀p ∈ ℕ$, $f(px) = ±f^{p²}(x)$
         et par densité, $f(x) = ±λ^{x²}$.}

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\ex Polytechnique MP$^*$ 2000
Soit $f$ continue sur~$[a,b]$, à valeurs dans~$ℝ$, et $δ$ un
réel positif.

On note $ω(δ) = \sup⦃|f(x)-f(y)|\tq  |x-y|⩽δ⦄$.
Montrer que $ω(δ)$ tend vers~$0$ quand $δ$ tend vers~$0$,
puis que $ω$ est continue.
\reponse{$ω(δ)⟶_{δ→0^+}0 ⇔ f$ est uniformément continue.
         \medskip
         Continuité en $δ>0$~: on remarque que $ω$ est croissante
         donc $ω(δ^-)$ et $ω(δ^+)$ existent et encadrent $ω(δ)$.
         Si $δ_n⟶_{n→∞}δ^+$, soient $x_n,y_n$ tels que
         $ω(δ_n) = |f(x_n)-f(y_n)|$ et $|x_n-y_n|⩽δ_n$.
         On extrait de $(x_n,y_n)$ une suite convergente vers~$(x,y)$ avec
         $|x-y|⩽δ$ et $|f(x)-f(y)| = ω(δ^+)$ d'où $ω(δ^+) ⩽ ω(δ)$ puis
         $ω(δ^+) = ω(δ)$.
         \medskip
         On a aussi $ω(δ)= \sup⦃|f(x)-f(y)|\tq  |x-y|<δ⦄ ⩽ ω(δ^-)$
         d'où $ω(δ^-) = ω(δ)$.}

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\ex Ensae MP$^*$ 2003
Soient $f,g:[0,1]→[0,1]$ continues telles que $f∘g = g∘f$.
Montrer qu'il existe $x∈[0,1]$ tel que $f(x) = g(x)$.
\reponse{$f$ admet des points fixes car l'application $x↦f(x)-x$ change
         de signe entre $0$ et~$1$. Si $E$ est l'ensemble des points fixes
         de~$f$ alors $E$ est stable par~$g$ donc $f-g$ a des signes opposés
         en $\min(E)$ et $\max(E)$.}

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\ex Plus grande fonction lipschitzienne minorant~$f$ (Ens Lyon MP$^*$ 2003)
\qq Existe-t-il toujours~$φ$ lipschitzienne telle que $φ⩽f$
    où $f:ℝⁿ→ℝ$ est une application continue donnée~?
    \reponse{Non. Si $φ$ est lipschitzienne alors $φ(x) = 𝓞(∥x∥)$
             lorsque $∥x∥$ tend vers l'infini, donc toute fonction $f$ à
             décroissance suffisament rapide vers $-∞$ n'est pas minorable par
             une fonction lipschitzienne.
             Contre-exemple explicite~: $f(x) = -∥x∥²$.}
\qq Soit~$k>0$. Trouver une CNS sur~$f$ pour qu'il existe $φ:ℝⁿ→ℝ$
    $k$-lipschitzienne minorant~$f$.
    \reponse{CNS~: $x↦f(x)+k∥x∥$ est minorée.}
\qq On suppose cette CNS vérifiée pour~$k_0>0$. Montrer que si $k⩾k_0$
    alors il existe $φ_k$, $k$-lipschitzienne minorant~$f$ et maximale
    pour l'ordre usuel des fonctions.
    \reponse{On pose $φ(x) = \sup⦃g(x)$, $g$ $k$-lipschitzienne minorant $f⦄$.
             Il suffit de vérifier que~$φ$ est $k$-lipschitzienne, ce sera alors
             la plus grande fonction $k$-lipschitzienne minorant~$f$.
             Soient~$x,y∈ℝⁿ$, $ε>0$ et~$g_x,g_y$ des fonctions
             $k$-lipschitziennes minorant~$f$ telles que
             $g_y(x)⩽φ(x)⩽ g_x(x)+ε$ et $g_x(y)⩽φ(y)⩽ g_y(y)+ε$.
             On a~: $$\eqalign{
                φ(y)&⩽ g_y(y)+ε⩽ g_y(x)+k∥x-y∥+ε⩽φ(x)+k∥x-y∥+ε,\cr
                φ(y)&⩾ g_x(y)⩾ g_x(x)-k∥x-y∥⩾φ(x)-k∥x-y∥-ε.\cr
             }$$
             Donc $|φ(x)-φ(y)|⩽ k∥x-y∥+ε$ et on fait tendre $ε$
             vers~$0^+$.}

\ex Suite $(f(nx))$ ENS Cachan MP$^*$ 2004
Soit $f:ℝ→ℝ$ une fonction uniformément continue telle que pour
tout~$x>0$ la suite $(f(nx))_{n∈ℕ}$ est convergente. Que peut-on dire
de~$f$~?
\reponse{Soit pour $x>0$, $ℓ(x) = \lim_{n→+∞} f(nx)$. On a $ℓ(kx) = ℓ(x)$
         pour tout~$k∈ℕ^*$ d'où aussi pour tout~${k∈ℚ^{+*}}$. Montrons alors que
         $f(x)⟶_{x→+∞}ℓ(1)$~:
         soit $ε>0$ et $δ$ associé dans la définition de l'uniforme
         continuité de~$f$. On choisit un rationnel $α∈{]0,δ[}$ et un
         entier $N$ tel que $|f(nα)-ℓ(1)|=|f(nα)-ℓ(α)|⩽ε$ pour tout~$n⩾N$.
         Alors $|f(x)-ℓ(1)|⩽2ε$ pour tout~$x⩾Nα$.}

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\ex Contraction, ENS MP 2012
Soit $f$ une application de $[-1,1]$ dans $ℝ$, de classe $𝓒¹$ telle
que $f(0) = 0$ et $0 < λ = f'(0) < 1$.
Montrer qu'il existe $φ$ homéomorphisme local tel que $φ∘f∘φ^{-1} = λ\id$.
\reponse{« homéomorphisme local » signifie « bijection continue d'un
         voisinage de~$0$ sur un voisinage de~$0$ à réciproque continue ».
         Disons plutôt~: $φ$ est continue strictement monotone de $[-α,α]$
         sur $[-β,γ]$ avec $α,β,γ>0$ et $∀x∈{]-α,α[}$, $φ(f(x))=λφ(x)$.
         \medskip
         Par continuité de~$f'$, il existe $µ,ν$ et $α>0$ tels que
         $∀x∈{]-α,α[}$, $0<µ⩽f'(x)⩽ν<1$ En particulier $f$ induit une
         bijection strictement croissante de $[-α,α]$ sur~$[f(-α),f(α)]$
         et l'on a $0<f(x)<x$ pour tout~$x∈{]0,α]}$ et les inégalités
         inverses pour tout~$x∈{[-α,0[}$.
         \medskip
         Construisons $φ$ sur~$]0,α]$ par raccordements de la manière
         suivante~:
         on choisit $φ$ sur $[f(α),α]$ continue strictement croissante
         à valeurs strictement positives avec
         $φ(f(α))=λφ(α)$. Puis on prolonge $φ$ sur $[f²(α),f(α)[$
         en posant $φ(t)=λφ(f^{-1}(t))$ pour tout~$t∈[f²(α),f(α)[$. Il y a
         raccordement par continuité en~$f(α)$ et la fonction prolongée
         est continue strictement croissante sur~$[f²(α),α]$.
         On prolonge alors $φ$ sur $[f³(α),f²(α)[$ par la même formule~:
         $φ(t)=λφ(f^{-1}(t))$, et ainsi de suite.
         Par hypothèse sur~$f$, la suite $(f^k(α))$ est strictement
         décroissante de limite nulle donc $φ$ est à présent définie,
         continue et strictement croissante sur~$]0,α]$.
         \medskip
         Par construction, $φ(f^k(α))=λ^kφ(α)⟶0$ lorsque $k→∞$ donc
         avec la croissance de~$φ$, on obtient $φ(x)⟶0$ lorsque $x→0⁺$.
         En posant $φ(0)=0$ on a à présent $φ$ continue strictement
         croissante sur~$[0,α]$. Il ne reste plus qu'à recommencer
         la construction sur~$[-α,0[$ puis à souhaiter une bonne continuation
         à l'examinateur.}

\bye
