\input exos
\fiche{Dérivation}

%------------------------------------------------------------------
\ex Limite double

Soit $f:ℝ→ℝ$ continue en $0$.
Montrer que $f$ est dérivable en $0$, et $f'(0) = ℓ$ si et seulement si :
$$∀ε > 0,\ ∃δ > 0 \tq ∀h,k∈{]0,δ[},\
  \left|\dfrac {f(h) - f(-k)}{h+k} - ℓ\right| ⩽ ε.$$

%------------------------------------------------------------------
\ex Propriétés de parité et de périodicité

Soit $f:ℝ→ℝ$ dérivable.

\qq Que peut-on dire de $f'$ si on sait que $f$ est paire ? impaire ?
    périodique ?
\qq Que peut-on dire de $f$ si on sait que $f'$ est paire ? impaire ?
    périodique ?
\qq Montrer que si $f'$ est $T$-périodique et $f(T) ≠ f(0)$, alors $f$
    n'est pas périodique (on étudiera $f(nT)$ pour $n∈ℕ$).

%------------------------------------------------------------------
\ex Propriété de parité
Soit $f:ℝ→ℝ$ de classe $𝓒¹$ telle que la fonction
$t ↦ 2f(t) - tf'(t)$ est paire. $f$ est-elle paire~?
\reponse{Ctrex~: $f(t) = t²$ si $t⩾0$ et $f(t) = -t²$ si $t<0$.}

%------------------------------------------------------------------
\ex Injectivité locale

Soit $f:ℝ→ℝ$ dérivable et $a ∈ ℝ$ tel que $f'(a) ≠ 0$.

\qq Montrer qu'il existe un voisinage $V$ de $a$ tel que
    $∀x ∈ V∖⦃a⦄,\ f(x) ≠ f(a)$.
\qq Si $f'$ est continue au point $a$, montrer qu'il existe un voisinage $V$
    de $a$ tel que $f_{|V}$ soit injective. Donner un contre-exemple avec
    $f'$ discontinue en~$a$.

%------------------------------------------------------------------
\ex Dérivabilité de $|f|$
Soit $f:ℝ→ℝ$ dérivable. Montrer que $|f|$ admet en tout point une dérivée
à droite et une dérivée à gauche.

%------------------------------------------------------------------
\ex $f'(x) → ℓ$ et $f$ est bornée

\label{limfprime}
Soit $f:ℝ→ℝ$ dérivable et bornée telle que $f'(x) ⟶_{x→+∞} ℓ$.
Montrer que $ℓ = 0$.

%------------------------------------------------------------------
\ex $\lim_∞ f'(x) = \lim_∞ f(x)/x$ 
Soit $f:ℝ→ℝ$ dérivable telle que $f'(x) ⟶_{x→+∞} ℓ$.
Montrer que $f(x)/x ⟶_{x→+∞} ℓ$.

Chercher un contrexemple pour la réciproque.

%-----------------------------------------------------------------------------
\ex Centrale MP 2006
Soit $f:ℝ⁺→ℝ$ continue telle que
$f(x)∫_{t=0}^x f²(t)\,𝕕t ⟶_{x→+∞}ℓ∈ℝ^*$.
Montrer qu'il existe $α,β∈ℝ^*$ tels que $f(x)\simαx^{-β}$ en $+∞$.

\reponse{Poser $g(x)= ∫_{t=0}^x f²(t)\,𝕕t$.
On obtient $(g³)'(x)⟶_{x→+∞}3ℓ²$,
ce qui implique (classiquement) que $g³(x)\sim 3ℓ²x$,
puis $f(x)\sim \root3\of{\dfracℓ{3x}}$.}

%------------------------------------------------------------------
\ex Propriété des valeurs intermédiaires pour $f'$
Soit $f:[a,b]→ℝ$ dérivable.

\qq   On suppose que : $∀x ∈ {[a,b]},\ f'(x) ≠ 0$. Montrer que $f'$ est
      de signe constant.
\qq   Dans le cas général, montrer que $f'([a,b])$ est un intervalle.

%------------------------------------------------------------------
\ex Propriété des valeurs intermédiaires pour $f'$
Soit $f:[a,b]→ℝ$ dérivable.

\qq On note $E = ⦃(x,y) ∈ {[a,b]}² \tq x < y⦄$ et pour $(x,y) ∈ E$ :
    $φ(x,y) = \dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}$.
    Montrer que $φ(E)$ est un intervalle.
\qq En déduire que $f'([a,b])$ est un intervalle.

%------------------------------------------------------------------
\ex Règle de l'Hospital

Soient $f,g:[a,b]→ℝ$ dérivables avec : $∀x ∈ {]a,b[},\ g'(x) ≠ 0$.

\qq   Montrer qu'il existe $c ∈ {]a,b[}$ tel que :
      $\dfrac {f(b) - f(a)}{g(b)-g(a)} = \dfrac {f'(c)}{g'(c)}$
      (appliquer le théorème de Rolle à $f-λg$, où $λ$ est un réel
      à choisir).
\qq   En déduire que si $\dfrac {f'(x)}{g'(x)} ⟶_{x→ a⁺} ℓ$, alors
      $\dfrac {f(x) - f(a)}{g(x)-g(a)} ⟶_{x→a⁺} ℓ$
      (règle de l'Hospital).
\qq   Application :
      déterminer $\lim_{x→ 0⁺} \dfrac {\cos x - e^x}{(x+1)e^x - 1}$.

%------------------------------------------------------------------
\ex Recherche de limite

Trouver $\lim_{x→π/4} \dfrac {\ln(\sin x) - \ln(\cos x)}{\sin x - \cos x}$.
\reponse{TAF $⇒ ℓ = √2$.}

%------------------------------------------------------------------
\ex $f(a)=f(b)=0$, $f'(a)f'(b) > 0 ⇒$ il existe un autre zéro


Soit $f:[a,b]→ℝ$ dérivable telle que
$f(a) = f(b) = 0$, et $f'(a) > 0$, $f'(b) > 0$.

Montrer qu'il existe $c ∈ {]a,b[}$ tel que $f(c) = 0$, et $f'(c) ⩽ 0$.

%------------------------------------------------------------------
\ex $f'(a) = f'(b)$
Soit $f:[a,b]→ℝ$ dérivable telle que $f'(a) = f'(b)$.

Montrer qu'il existe $c ∈ {]a,b[}$ tel que $f'(c) = \dfrac {f(c) - f(a)}{c-a}$.

%------------------------------------------------------------------
\ex Tangentes passant par un point donné

Soit $f:[a,b]→ℝ$ dérivable, telle que $f(a) = f(b) = 0$.
Montrer que pour tout $d ∈ ℝ∖[a,b]$, il existe une tangente à $𝓒_f$
passant par le point $(d,0)$.

%------------------------------------------------------------------
\ex Rolle itéré

Soit $f:[a,b]→ℝ$, $n$ fois dérivable.

\qq   Si $f$ s'annule en $n+1$ points distincts dans $[a,b]$,
      montrer qu'il existe $c ∈ {]a,b[}$ tel que $f^{(n)}(c) = 0$.
\qq   Si $f(a) = f'(a) = … = f^{(n-1)}(a) = f(b) = 0$,
      montrer qu'il existe $c ∈ {]a,b[}$ tel que $f^{(n)}(c) = 0$.

%------------------------------------------------------------------
\ex Rolle à l'infini

Soit $f:[a,+∞[→ℝ$ dérivable telle que $f(x) ⟶_{x→+∞} f(a)$.
Montrer qu'il existe $x ∈ {]a,+∞[}$ tel que $f'(x) = 0$.

%------------------------------------------------------------------
\ex Formule des accroissements finis avec $θ = ½$

Soit $f:ℝ→ℝ$ dérivable telle que :
$∀a,b ∈ ℝ,\ f(b) - f(a) = (b-a)f'(\frac{a+b}2)$.
Montrer que $f$ est polynomiale de degré inférieur ou égal à 2.
\reponse{Dériver par rapport à $a$ puis par rapport à $b$.}

%------------------------------------------------------------------
\ex Fonction $𝓒^∞$ bornée
Soit $f:ℝ→ℝ$ de classe $𝓒^∞$ bornée.

\qq Montrer que si une dérivée, $f^{(k)}$, $k⩾2$, admet un nombre fini de zéros,
    alors les dérivées précédentes, $f^{(p)}$, $1⩽p<k$, tendent vers $0$
    en $±∞$.

\qq En déduire que pour tout $k ⩾ 2$, $f^{(k)}$ s'annule au
    moins $k-1$ fois sur $ℝ$.

%------------------------------------------------------------------
\ex Distance à la corde

Soit $f:[a,b]→ℝ$ de classe $𝓒²$.

\qq   On suppose que $f(a) = f(b) = 0$. Soit $c ∈ {]a,b[}$.
      Montrer qu'il existe $d ∈ {]a,b[}$ tel que :
      $$f(c) = -\dfrac {(c-a)(b-c)}2 f''(d)$$
      (considérer
      $g(t) = f(t) + λ(t-a)(b-t)$ où $λ$ est choisi de
      sorte que $g(c) = 0$).

\qq   Cas général : Soit $c ∈ {]a,b[}$.
      Montrer qu'il existe $d ∈ {]a,b[}$ tel que :
      $$f(c) = \dfrac {b-c}{b-a} f(a) + \dfrac {c-a}{b-a} f(b)
              -\dfrac {(c-a)(b-c)}2 f''(d).$$

%------------------------------------------------------------------
\ex Écart à un polynôme interpolateur
Soit $f:ℝ→ℝ$ de classe $𝓒ⁿ$, $a₁, …, a_n$ $n$ points distincts dans $ℝ$,
et $P$ le polynôme de Lagrange prenant les mêmes valeurs que $f$ aux points
$a_i$. On pose $Q(x) = \dfrac 1{n!} ℿ_{i=1}ⁿ(x-a_i)$.

Montrer que : $∀b ∈ ℝ,\ ∃c ∈ ℝ \tq f(b) = P(b) + Q(b)f^{(n)}(c)$

(considérer $g(t) = f(t) - P(t) - λQ(t)$ où $λ$ est
choisi de sorte que $g(b) = 0$).

%------------------------------------------------------------------
\ex Polynômes de Legendre

On pose $f(t) = (t²-1)ⁿ$.

\qq Montrer que : $∀k ∈ ⟦0,n-1⟧,\ f^{(k)}(1) = f^{(k)}(-1) = 0$.
\qq Calculer $f^{(n)}(1)$ et $f^{(n)}(-1)$.
    \reponse{$f^{(n)}(1) = 2ⁿn!$, $f^{(n)}(-1) = (-2)ⁿn!$.}
\qq Montrer que $f^{(n)}$ s'annule exactement $n$ fois dans l'intervalle
    $]-1,1[$.

%------------------------------------------------------------------
\ex Racines de $xⁿ + ax + b$

Soit $n ∈ ℕ$, $n ⩾ 2$, et $a,b ∈ ℝ$.
Montrer que l'équation $xⁿ + ax + b = 0$ ne peut avoir plus de deux racines
réelles distinctes si $n$ est pair, et plus de trois racines réelles
distinctes si $n$ est impair.

%------------------------------------------------------------------
\ex Racines de $P(x) - e^x$
Soit $P$ un polynôme. Montrer qu'il existe au plus un nombre fini de réels
$x$ tels que $P(x) = e^x$.

%------------------------------------------------------------------
\ex Limite de $1/(n+1) + … + 1/(2n)$

On veut calculer $ℓ = \lim_{n → ∞} \dfrac 1{n+1} + … + \dfrac 1{2n}$.

\qq   Montrer l'existence de $ℓ$.
\qq   Soit $f:[0,+∞[→ℝ$ dérivable telle que $f(0) = 0$.
      Montrer que $f(\frac 1{n+1}) + … + f(\frac 1{2n}) ⟶_{n→∞} ℓf'(0)$.
\qq   On prend $f(x) = \ln(1+x)$. Déterminer $ℓ$.

%------------------------------------------------------------------
\ex Calcul de limite
Soit $f:ℝ→ℝ$ dérivable telle que $f(0) = 0$.
Chercher $\lim_{n→∞}⅀_{k=1}ⁿ f(k/n²)$.
\reponse{$½f'(0)$.}

%------------------------------------------------------------------
\ex $⅀1/k\ln k$

Pour $k∈ℕ$, $k⩾2$, appliquer le théorème des accroissements finis à
$x↦\ln(\ln x)$ sur $[k,k+1]$.
En déduire que la série de terme général $\dfrac1{k\ln k}$ est divergente.

%------------------------------------------------------------------
\ex $f'(x)f'(f(x)) = 1$

Trouver toutes les applications $f:ℝ→ℝ$ dérivables telles que :
$∀x∈ℝ,\ f'(x)f'(f(x)) = 1$, $f(0) = 0$ et $f'(0) > 0$.
\reponse{$f = \id$.}

%------------------------------------------------------------------
\ex $f∘f = f$
Soit $f:[0,1]→[0,1]$ dérivable telle que $f∘f = f$.
Montrer que $f$ est constante ou bien $f = \id_{[0,1]}$.

%------------------------------------------------------------------
\ex Dérivabilité uniforme
Soit $f:[a,b]→ℝ$ de classe $𝓒¹$. Démontrer que :
    $$∀ε>0, ∃δ>0 \tq
      ∀x,y ∈ [a,b], \text{ si } 0 < |x-y| < δ, \text{ alors }
      \left|\dfrac {f(x)-f(y)}{x-y} - f'(x)\right| ⩽ ε.$$

%------------------------------------------------------------------
\ex Formes indéterminées
Soient $u,v:ℝ→ℝ$ deux fonctions telles que :
$u-v$ ne s'annule pas et
$\lim_{x→0}u(x) = \lim_{x→0}v(x) = a > 0$.

\qq Chercher $\lim_{x→0} \dfrac {u^v - v^v}{u - v}$.
    \reponse{%
    AF $⇒ ∃w(x)$ compris entre $u(x)$ et $v(x)$ tel que
    $\dfrac {u^v - v^v}{u - v} = vw^{v-1} → a^a$.}

\qq Chercher $\lim_{x→0} \dfrac {u^v - v^u}{u^u - v^v}$.
    \reponse{%
    $u^v - v^u = (u^v - v^v) + (v^v - v^u) = (u-v)(vw₁^{v-1} - (\ln v)v^{w₂})$

    $u^u - v^v = (u-v)w₃^{w₃}(1 + \ln w₂)$

    $⇒ \lim = \dfrac {1-\ln a}{1 + \ln a}$.}

%------------------------------------------------------------------
\ex $(1+k)(1+k²)…(1+kⁿ)$

\qq Montrer que : $∀x ⩾ -1,\ \ln(1+x) ⩽ x$.
\qq Soit $k ∈ {]-1,1[}$. On pose $u_n = (1+k)(1+k²)…(1+kⁿ)$.
    Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente
    (traiter séparément les cas $k ⩾ 0$, $k < 0$).
    \reponse{%
    Pour $k ⩾ 0$, la suite $(u_n)$ est croissante et $\ln u_n ⩽ \dfrac k{1-k}$.

    Pour $k < 0$, $(u_{2n})$ décroît et converge, et $u_{2n+1} \sim u_{2n}$.}

%------------------------------------------------------------------
\ex Dérivée $n$-ème de $\cos³x$

Calculer la dérivée $n^{\text{ème}}$ de la fonction $x ↦ \cos³ x$.


%------------------------------------------------------------------
\ex Dérivée $n$-ème de $\arctan x$ et $e^{x³}$

Établir une formule de récurrence pour les dérivées successives des fonctions :

$f : x↦ \arctan x$ et $g : x↦e^{x³}$.
\reponse{$(1+x²)f^{(n+1)} + 2nxf^{(n)} + n(n-1)f^{(n-1)} = 0$ pour $n ⩾ 1$.\par
         $g^{(n+1)} = 3x²g^{(n)} + 6nxg^{(n-1)} + 3n(n-1)g^{(n-2)}$ pour $n ⩾ 0$.}

%------------------------------------------------------------------
\ex Dérivée $n$-ème de $(x³+2x²-5)e^{-x}$

Calculer la dérivée $n^{\text{ème}}$ de $x↦ (x³+2x²-5)e^{-x}$.
\reponse{$(-1)ⁿe^{-x}(x³ + (2-3n)x² + (3n²-7n)x + (-n³+5n²-4n-5))$.}

%------------------------------------------------------------------
\ex Dérivée $n$-ème

    Soit $f(x) = e^{x√3}\sin x$. Calculer $f^{(n)}(x)$ pour $n∈ℕ$.
    \reponse{$f^{(n)}(x) = 2ⁿe^{x√3}\sin(x+n\fracπ6)$.}

%------------------------------------------------------------------
\ex Dérivée $n$-ème de $xⁿ(1-x)ⁿ$

Calculer la dérivée $n^{\text{ème}}$ de $x↦xⁿ(1-x)ⁿ$.
En déduire la valeur de $⅀_{k=0}ⁿ \bin nk²$.
\reponse{$\dfrac{𝕕ⁿ}{𝕕xⁿ}(xⁿ(1-x)ⁿ) =
         ⅀_{k=0}ⁿ n!\,\bin nk² (-1)^{n-k} x^{n-k}(1-x)^k$.
         \par
         coefficient de $xⁿ = (-1)ⁿ n!\, ⅀_{k=0}ⁿ \bin nk²
                             = (-1)ⁿ A_{2n}ⁿ$.}

%------------------------------------------------------------------
\ex Dérivées $n$-èmes de $t^{n-1}\ln(t)$ et $t^{n-1}e^{1/t}$

Calculer $\dfrac {𝕕ⁿ}{𝕕tⁿ}(t^{n-1}\ln t)$, et
$\dfrac {𝕕ⁿ}{𝕕tⁿ}(t^{n-1}\exp(1/t))$
(essayer $n=1,2,3$).
\reponse{$\dfrac {(n-1)!}t$,\qquad
         $\dfrac {(-1)ⁿ}{t^{n+1}}\exp(1/t)$.}

%------------------------------------------------------------------
\ex Dérivée $n$-ème de $f(x²)$
Soit $f:ℝ→ℝ$ une fonction de classe $𝓒ⁿ$.
On pose $g(x) = f(x²)$.

\qq Montrer qu'il existe des entiers $a_{n,k}$ tels que :
    $∀x,\ g^{(n)}(x) = ⅀_{k= [(n+1)/2]}ⁿ a_{n,k}f^{(k)}(x²)(2x)^{2k-n}$.
    \reponse{$a_{n+1,k} = a_{n,k-1} + 2(2k-n)a_{n,k}$.}
\qq Calculer $a_{n,k}$ en fonction de $n$ et $k$.
    \reponse{$a_{n,k} = \dfrac {n!}{(n-k)!(2k-n)!}$.}

%------------------------------------------------------------------
\ex Dérivée $n$-ème de $f(1/x)$

Soit $f$ une fonction $n$ fois dérivable sur un intervalle $I$ ne contenant
pas $0$, et $g(x) = f(1/x)$.

Établir : $g^{(n)}(x) = (-1)ⁿ⅀_{p=0}^{n-1}
           \dfrac {(n-1)(n-2)…(n-p)}{x^{2n-p}} \dbin npf^{(n-p)}(1/x)$.

%------------------------------------------------------------------
\ex Dérivées de $e^{-1/x²}$

Soit $\appmult f ℝ ℝ {x ≠ 0 &\exp(-1/x²)\cr 0 &0.\cr}$
Montrer que $f$ est de classe $𝓒^∞$ en $0$ et : $∀k ∈ ℕ,\ f^{(k)}(0) = 0$.

%------------------------------------------------------------------
\ex $(f(2t)-f(t))/t$

Soit $f:ℝ→ℝ$ continue telle que $\dfrac {f(2t)-f(t)}t ⟶_{t→0} a$.
Montrer que $f$ est dérivable en $0$ et $f'(0) = a$.

%------------------------------------------------------------------
\ex $\sin x -3x/π + 4x³/π³ ⩾ 0$

On pose $f(x) = \sin x - \dfrac {3x}π + \dfrac {4x³}{π³}$.
Montrer que : $∀x ⩾ 0,\ f(x) ⩾ 0$
(chercher le signe de $f^{(4)}$).

%------------------------------------------------------------------
\ex Courbes homothétiques

Soit $a > 0$, $a ≠ 1$. On note $𝓒$ la courbe d'équation : $y = \ln x$,
et $𝓒'$ celle d'équation : $y = a\ln x$.

\qq Montrer que $𝓒$ et $𝓒'$ ont une et une seule tangente commune.
    \reponse{%
    Au point d'abscisse $α \tq \lnα = \dfrac {a\ln a}{1-a} + 1$ pour
    $𝓒$, et $α' = aα$ pour $𝓒'$.}
\qq Montrer que $𝓒$ et $𝓒'$ sont homothétiques.
    \reponse{Centre = $\left(0,\dfrac {a\ln a}{1-a}\right)$, rapport = $a$.}

%------------------------------------------------------------------
\ex Matexo

Soit $f$ une application dérivable de $ℝ$ dans $ℝ$ telle que 
$∀x∈ℝ,\quad f(x)f'(x)⩾ 0$.
Montrer que $f^{-1}(ℝ^*)$ est un intervalle.
\reponse{Si $f$ change de signe, soit par exemple $f(a) > 0$,
$f(b) < 0$, $a<b$ et $c = \sup⦃x\tq f_{|[a,x]}\text{ est croissante}⦄$.
Alors $f$ est croissante sur $[a,c]$ et $f(c) = 0$, contradiction.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex $φ(2x)=2φ(x)$ (Centrale MP 2003)
Trouver toutes les fonctions $φ:ℝ→ℝ$ dérivables telles que $∀x∈ℝ,\ φ(2x)=2φ(x)$.
\reponse{Toute fonction linéaire $φ$ : $x↦ax$ convient. Réciproquement, si~$φ$
est solution alors $φ(0)=0$. On note~$a=φ'(0)$ et $ψ(x) = φ(x)-ax$~:
$ψ$ est également solution et $ψ'(0)=0$. Si $x∈ℝ$ et~$n∈ℕ$ alors
$ψ(x) = 2ⁿψ(x/2ⁿ) ⟶_{n→∞}0$, d'où $ψ=0$ et $φ(x)=ax$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex $f' = f^{-1}$ (Ens Cachan MP$^*$ 2003)

On note~$E$ l'ensemble des fonctions~$f$ de classe~$𝓒¹$ bijectives
de~$]0,+∞[$ sur~$]0,+∞[$ telles que $f' = f^{-1}$.

\qq Trouver un élément de~$E$ du type $x↦cx^m$, où $c$ et $m$ sont réels.
    \reponse{$m=\dfrac{1+√5}2$, $c=m^{-1/m}$.}
\qq Quelle est la limite en~$0$ de~$f$~?
\qq Montrer que~$f$ est un $𝓒^∞$ difféomorphisme de~$]0,+∞[$ sur~$]0,+∞[$.
\qq Montrer que~$f$ admet un unique point fixe.
    \reponse{$f$ et $f'$ ont des limites nulles en $0⁺$ et infinies en~$+∞$
    donc $f(x) = o_{x→0⁺}(x)$ et $x = o_{x→+∞}(f(x))$,
    ce qui implique que $f(x)-x$ s'annule sur~$]0,+∞[$.
    S'il y a deux points fixes, $a<b$, alors par le thm. des accroissements
    finis l'équation $f'(x) = 1$ admet une solution dans~$]0,a[$ et une
    dans~$]a,b[$, en contradiction avec la bijectivité de~$f' = f^{-1}$.}
\qq Soit~$g$ un deuxième élément de~$E$. Montrer que $g$ admet le même
    point fixe que~$f$.
    \reponse{On note~$a$ le point fixe de~$f$, $b$ celui de~$g$ et on suppose
    $a≠b$, par exemple $a<b$. On a $g(x) < x$ pour $x∈{]0,b[}$ donc
    $g(a) < a=f(a)$.
    Par conséquent $g(x)<x⩽f(x)$ si $x∈{[a,b[}$~; soit $]c,b[$ le plus grand
    intervalle sur lequel $g(x) < f(x)$.
    On a $0⩽c<a$, $g(c⁺) = f(c⁺) ⩽ c$ et $f$, $g$ sont strictement
    croissantes, donc $g^{-1}(x) > f^{-1}(x)$ pour $x∈{]c,b[}$. Ainsi
    $g-f$ est strictement croissante sur~$]c,b[$ a une limite nulle en~$c⁺$
    et est négative en~$b$, c'est absurde.

    Remarque~: le point fixe est le nombre d'or~$m$. De plus, si $f$ et $g$
    sont deux éléments de~$E$ distincts alors $f-g$ n'est de signe constant
    sur aucun voisinage de~$m⁻$ (même démonstration).}
    
%-----------------------------------------------------------------------------
\ex $f^{2} + (1+f')^{2} ⩽ 1$, Polytechnique MP$^*$ 2006
Soit $f:ℝ→ℝ$ dérivable telle que $f^{2} + (1+f')^{2} ⩽ 1$.
Montrer que $f$ est nulle.

\reponse{On a $f'⩽ 0$ donc $f$ est décroissante sur~$ℝ$,
et en particulier elle admet des limites finies, $a$ et $b$ en $-∞$ et $+∞$
avec $-1⩽b⩽a⩽ 1$.

Supposons $a>0$~: soit $α∈{]0,a[}$. Il existe $x_0∈ℝ$
tel que $∀x⩽ x_0$, $f(x)⩾ a-α > 0$, d'où
$f'(x)⩽ -1+√{a-α}<0$. Ceci est incompatible avec le caractère
borné de~$f$, donc on a en fait $a⩽0$.
On montre de même que $b⩾0$ et comme $b⩽a$, on a finalement $a=b=0$.}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Déterminant

Soit $f:ℝ→ℝ$ convexe et $x < y < z$.
Montrer que $\mat| 1 &x &f(x) \cr 1 &y &f(y) \cr 1 &z &f(z) \cr| ⩾ 0$.

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Somme de fractions
Soient $x₁, x₂, …, x_n > 0$.
Montrer que $\dfrac {x₁}{x₂} + \dfrac{x₂}{x₃} + … + \dfrac{x_n}{x₁} ⩾ n$.
\reponse{$y_i = \dfrac{x_i}{x_{i+1}} ⇒
          \root n \of{y₁…y_n} ⩽ \dfrac{y₁ + … + y_n}n$.}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Monotonie

Soit $f:ℝ→ℝ$ convexe. Montrer que l'on a :

-- soit $f$ est croissante sur $ℝ$.\par
-- soit $f$ est décroissante sur $ℝ$.\par
-- soit il existe $a ∈ ℝ$ tel que $f$ est décroissante sur
$]-∞,a]$, puis croissante sur $[a,+∞[$.

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Fonction convexe bornée

\qq Soit $f:ℝ⁺→ℝ$ convexe et bornée. Montrer que $f$ est décroissante.
\qq Soit $f:ℝ→ℝ$ convexe et bornée. Montrer que $f$ est constante.

%-----------------------------------------------------------------------
\ex $f$ convexe majorée par $g$ affine

Soit $f:ℝ^{+*}→ℝ$ convexe et $g:ℝ^{+*}→ℝ$ affine.
On suppose : $∀x > 0$, $f(x) ⩽ g(x)$ et $f(1) = g(1)$.

Montrer que $f = g$.

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Position par rapport à une asymptote

Soit $f:ℝ→ℝ$ convexe telle que $𝓒_f$ admet une
asymptote d'équation $y = mx+p$ en $+∞$.

Montrer que $𝓒_f$ est au dessus de cette asymptote.

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Fonction convexe dérivable

Soit $f:ℝ→ℝ$ convexe dérivable. Montrer que $f'$ est continue.

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Étude à l'infini

Soit $f:ℝ→ℝ$ deux fois dérivable telle que :
$f ⩾ 0$, $f' ⩾ 0$, $f'' ⩾ 0$.

\qq Étudier l'existence des limites (dans $\overlineℝ$)
    en $+∞$ de $f(x)$, $f'(x)$, $\dfrac {f(x)}x$.

\qq Même question pour les limites en $-∞$ de $f(x)$, $f'(x)$, et $xf'(x)$.
    \reponse{$f(x) → ℓ ∈ℝ$,\quad
             $f'(x) → 0$.\par
             TAF entre $x$ et $x/2$
             $⇒ 2(f(x) - f(x/2)) ⩽ xf'(x) ⩽ 0
             ⇒ xf'(x) → 0$.}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Zéro de $f''$

Soit $f:[0,+∞[→ℝ$ deux fois dérivable
telle que $f(x) ⟶_{x→+∞} f(0)$.

Montrer qu'il existe $c ∈ {]0,+∞[}$ tel que $f''(c) = 0$.

%-----------------------------------------------------------------------
\ex $f((x+y)/2) ⩽ (f(x) + f(y))/2$

Soit $f:[a,b]→ℝ$ continue telle que :
$∀x,y ∈ {[a,b]},\ f\left(\dfrac {x+y}2\right) ⩽ \dfrac {f(x) + f(y)}2$.

Montrer que $f$ est convexe.

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Suites adjacentes

Soit $f:[a,b]→[c,d]$ convexe, bijective, croissante.
On définit les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ par :

$$a ⩽ u_0 ⩽ v_0 ⩽ b,\quad u_{n+1} = \dfrac {u_n + v_n}2,\quad
v_{n+1} = f^{-1}\left(\dfrac {f(u_n) + f(v_n)}2\right).$$

Montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers une même limite.

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Polygone inscrit dans un cercle de périmètre maximum

Soit $n ⩾ 3$ et $A₁A₂… A_n$ un polygone convexe à $n$ côtés inscrit
dans un cercle fixé.

Montrer que le périmètre de ce polygone est maximal si et seulement si
le polygone est régulier.

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Fonctions logarithmiquement convexe

Soit $f:ℝ→ℝ^{+*}$.
Montrer que : ($\ln f$ est convexe) $⇔$ ($∀α > 0$, $f^α$ est convexe).

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Limite de $f(x) - xf'(x)$

Soit $f:ℝ→ℝ$ convexe dérivable.

\qq Montrer que $p = \lim_{x→+∞} (f(x) - xf'(x))$ existe.
    \reponse{Fonction décroissante sur $ℝ⁺$.}

\qq On suppose $p$ fini. En utilisant le fait que $f(x) - xf'(x)$ est
    bornée au voisinage de $+∞$, montrer que $\dfrac{f(x)}x$ et $f'(x)$
    admettent une même limite $m$ finie en $+∞$.
    \reponse{%
    $f(x) - xf'(x) = -x²\dfrac {𝕕}{𝕕x}\left(\dfrac {f(x)}x\right)$.
    Donc, $x↦ \dfrac {f(x) - p}x ↘$ et
          $x↦ \dfrac {f(x) - f(0)}x ↗$.}

\qq Montrer alors que $f(x) - mx - p ⟶_{x→+∞} 0$.
    \reponse{$p⩽ f(x) - mx ⩽ f(x) - xf'(x)$.}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Fonction positive concave

Soit $f:[0,+∞[→[0,+∞[$ concave.

\qq Montrer que la fonction $x ↦ \dfrac {f(x)}x$
    est décroissante sur $]0,+∞[$.
    \reponse{%
    Soient $x < y$ : $\dfrac {f(x)-f(0)}{x-0} ⩾ \dfrac {f(y)-f(0)}{y-0}
    ⇒ \dfrac {f(x)}x ⩾ \dfrac {f(y)}y + f(0)\left(\dfrac 1x - \dfrac 1y\right)$.}

\qq  Montrer que : $∀x,y ⩾ 0,\ f(x+y) ⩽ f(x) + f(y)$.
     \reponse{%
     Pour $x < y$ : $f(x+y) ⩽ tf(x) + (1-t)f(y)$ avec $t = \dfrac x{x-y} < 0$,

     donc $f(x+y) - f(x) - f(y) ⩽ \dfrac {xy}{x-y}\left( \dfrac {f(x)}x -
     \dfrac {f(y)}y \right) ⩽ 0$.}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Constante d'Euler

Soit $f:[0,+∞[→ℝ$ concave, dérivable, croissante.

\qq Montrer que : $∀x⩾ 1,\ f(x+1)-f(x) ⩽ f'(x) ⩽ f(x)-f(x-1)$.
\qq On pose : $\cases{ u_n = f'(1) + f'(2) + … + f'(n) - f(n) \cr
                       v_n = f'(1) + f'(2) + … + f'(n) - f(n+1).\cr}$
    Montrer que ces suites convergent.

\qq On prend $f(x) = \ln x$. Soit $γ = \lim_{n→∞} u_n$
    (constante d'Euler). Calculer $γ$ à $10^{-2}$ près.


%-----------------------------------------------------------------------
\ex Tangentes passant par un point

Soit $f:ℝ→ℝ$ convexe dérivable, et $A = (a,b) ∈ ℝ²$.
Étudier le nombre maximal de tangentes à $𝓒_f$ passant par $A$.

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Caractérisation des fonctions convexes ou concaves par le TAF

Soit $f:ℝ→ℝ$ dérivable telle que :
$∀a,b ∈ ℝ \tq a < b,\ ∃!c ∈ {]a,b[} \tq f(b) - f(a) = (b-a) f'(c)$.

\qq
Montrer que pour tout $a ∈ ℝ$, la fonction $b ↦ \dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}$
est monotone sur $]-∞,a[$ et sur $]a,+∞[$.
\qq En déduire que $f$ est strictement convexe ou strictement concave.

%-----------------------------------------------------------------------------
\ex Taux d'accroissement symétrique, Mines MP 2012
 
Soit $a<b∈ℝ$ et $f∈𝓒⁰([a,b],ℝ)$.

On suppose que, pour tout $x∈{]a,b[}$,
$g(x)=\lim_{h→0}\dfrac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$ existe.
 
\qq Montrer que si $g>0$ alors $f$ est croissante.
    \reponse{On suppose qu'il existe $a<c<d<b$ tels que $f(c)>f(d)$.

             Soit $f(d)<m<f(c)$ et $A=⦃t∈[c,d]\tq f(t)>m⦄$.
             $A$ est non vide car il contient $c$ et, par continuité de~$f$,
             un intervalle de la forme $[c,c+η[$.
             On pose alors $α=\sup A$. On a clairement $α⩾c+η>c$.
             Il existe une suite $(h_n)$ de réels $>0$ telle que
             $h_n⟶_{n→∞}0$ et, pour tout $n$, $α-h_n∈A$.
             On en déduit que $α<d$.
             Pour $n$ suffisamment grand, $α+h_n<d$.
             On a alors $\dfrac{f(α+h_n)-f(α-h_n)}{2h_n}<0$ et
             donc, en passant à la limite, $g(α)⩽0$, ce qui contredit $g>0$.
             On en déduit que $f$ est croissante.}
 
 \qq Montrer que si $g⩾0$ alors $f$ est croissante.
     Montrer que si $g=0$ alors $f$ est constante.
     \reponse{Soit $ε>0$. On pose $f_ε(x)=f(x)+εx$.
              On voit que $g_ε(x)=g(x)+ε>0$. On en déduit que $f_ε$ est
              croissante pour tout $ε>0$. Soit $x⩽y∈[a,b]$.
              On a $f(x)+εx⩽f(y)+εy$. Cela est vrai pour tout $ε>0$,
              on en déduit que $f$ est croissante.
              Si $g=0$ on obtient que $f$ et $-f$ sont croissantes.
              Par conséquent $f$ est constante.}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Pseudo-dérivée seconde

Soit $f:ℝ→ℝ$ continue. On suppose que :
$∀x ∈ ℝ,\
D²f(x) = \lim_{h→0} \dfrac {f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h²}$
existe.

{\qq  Si $f$ est de classe $𝓒²$, calculer $D²f(x)$.

\qq   Soit $f$ quelconque et $a < b < c$ tels que
      $f(a) = f(b) = f(c)$.
      Montrer qu'il existe $x ∈ {]a,c[}$ tq $D²f(x) ⩽ 0$.
      \reponse{Prendre $x$ tel que $f(x)$ soit maximal.}
\par}

On suppose à présent que : $∀x ∈ ℝ$, $D²f(x) ⩾ 0$.

\qq   Soient $a < b < c$ et
      $P$ le polynôme de degré inférieur ou égal à 2 coïncidant avec $f$
      aux points $a,b,c$. Montrer que $P'' ⩾ 0$.

\qq   Calculer $P''$ en fonction de $a,b,c$ et $f(a),f(b),f(c)$.
      En déduire que $f$ est convexe.

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Fonction convexe non dérivable sur un sous ensemble dénombrable

Soit $(a_n)$ une suite bornée de réels.
On pose $f(x) = ⅀_{n=0}^∞ \dfrac {|x-a_n|}{3^n}$.


Montrer que $f$ est convexe, et n'est pas dérivable aux points $a_n$.
\reponse{%
Pour $a_0$ : $\bigl| f(a_0+h) - f(a_0) - |h| \bigr| ⩽ \dfrac {|h|}2$.}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Convergence simple $+$ convexité $⇒$ convergence uniforme sur un compact

Soit $(f_n)$ une suite de fonctions convexes sur $[a,b]$ convergeant
simplement vers une fonction $f$ supposée continue.
Soit $ε > 0$.

{\qq  Montrer qu'il existe $p ∈ ℕ^*$ tel que :
      $∀x,y ∈ {[a,b]},\
      |x-y| ⩽ \dfrac {b-a}p ⇒ |f(x) - f(y)| ⩽ ε$.
\par}

On choisit un tel $p$, et on fixe une subdivision $(a_k)$ de $[a,b]$ telle
que $a_k = a + k\dfrac {b-a}p$.

\qq   Soit $t ∈ {[0,1]}$. Encadrer $f_n(ta_k + (1-t)a_{k+1})$ par deux
      fonctions affines de t en utilisant la convexité de~$f_n$.

\qq   Montrer que la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$.


%-----------------------------------------------------------------------
\ex DL d'une fonction convexe

Soit $f:ℝ→ℝ$ convexe dérivable telle que
$f(x) = a + bx + ½cx² + o_{x→0} (x²)$.

Montrer que $f$ est deux fois dérivable en $0$ et $f''(0) = c$

(encadrer $f'(x)$ par les taux d'accroissements de $f$ entre $x - ε x$,
$x$ et $x + ε x$).

%----------------------------------------------------------------------
\ex  DL d'une fonction convexe
Soit $f$ continue et croissante sur $ℝ⁺$. On pose
$F(x)=∫_0^x f$, et l'on suppose que $F(x)=x²+o_{+∞}(x)$. Montrer que
$f(x)=2x+o(√x)$.
\reponse{Soit $F(x) = x² + xG(x)$.
On a pour $h>0$~:
$$f(x) ⩽ \dfrac{F(x+xh)-F(x)}{xh} = 2x + xh + \dfrac{G(x+xh)-G(x)}h+ G(x+xh).$$
Soit $ε>0$ et $A$ tel que $y⩾A⇒|G(y)|⩽ε²$. On prend
$h=ε/√x$ et on obtient
$f(x)- 2x -ε√x ⩽ ε√x + ε²$
d'où $f(x)⩽ 2x+o(√x)$. L'inégalité inverse se montre de même.}

%-----------------------------------------------------------------------------
\ex Inégalité de Jensen, Centrale 2015

\qq Soit $Φ:ℝ⁺→ℝ$ de classe $𝓒¹$, convexe.
    Montrer que $Φ(x)= sup⦃Φ'(a) (x-a)+Φ(a)\ ,a∈ℝ⁺⦄$.
\reponse{Le graphe de $Φ$ est au-dessus de chacune de ses tangentes.
La borne supérieure est un maximum (il suffit de prendre $a=x$).}
\qq Soit $h$ positive, continue par morceaux telle que $∫_{-π}^π h(t)\,𝕕t=1$
    et $f$ positive, continue par morceaux. Montrer que 
    $Φ(∫_{-π}^πf(t) h(t)\,𝕕t)⩽∫_{-π}^π Φ(f(t)) h(t)\,𝕕t$.
\reponse{On pose $a=∫_{-π}^π f(t)h(t)\,𝕕t$.
On a pour tout $s∈[-π,π]$, $Φ(f(s))⩾Φ(a)+Φ'(a)(f(s)-a)$, puis 
$Φ(f(s))h(s)⩾Φ(a)h(s)+Φ'(a)(f(s)-a)h(s)$.
On intègre cette inégalité entre $-π$ et $π$. On obtient
$∫_{-π}^π Φ(f(s))h(s)\,𝕕s ⩾Φ(a) ∫_{-π}^π h(s)\,𝕕s 
+Φ'(a) ∫_{-π}^π (f(s)-a)h(s)\,𝕕s$ ou encore, en utilisant 
 $∫_{-π}^π h(t)\,𝕕t=1$ et
$a=∫_{-π}^π f(t)h(t)\,𝕕t$,
$∫_{-π}^π Φ(f(s))h(s)\,𝕕s ⩾Φ(a)=Φ(∫_{-π}^πf(t) h(t)\,𝕕t)$. }

\qq Montrer que
$\biggl(∫₀¹\dfrac{1}{2π}(∫_{-π}^π|f(re^{iθ})|𝕕θ)r𝕕r\biggr)^p⩽
∫₀¹ \bigl(\dfrac{1}{2π}∫_{-π}^π|f(re^{iθ})|^p\,𝕕θ\bigr) r𝕕r$ pour $p∈ℕ$
et $f : ℂ→ℂ$ continue.

%-----------------------------------------------------------------------------
\ex Convexité, ENS 2014
Soit $F$ : $ℝ→ℝ$ continue. Montrer que $f$ est convexe si et seulement si
$$∀x∈ℝ,\ ∀h>0,\ f(x)⩽\dfrac1{2h}∫_{t=x-h}^{x+h}f(t)\,𝕕t.$$
\reponse{Si $f$ est convexe, $∫_{t=x-h}^{x+h}f(t)\,𝕕t = ∫_{t=0}^h(f(x-t)+f(x+t))\,𝕕t
         ⩾∫_{t=0}^h2f(x)\,𝕕t=2hf(x)$.
         \medskip
         Si $f$ n'est pas convexe, soient $a<b<c$ tels que
         $f(b)>\frac{c-b}{c-a}f(a)+\frac{b-a}{c-a}f(c)$.
         Pour $t∈[a,c]$ on pose $g(t) = f(t)-\frac{c-t}{c-a}f(a)-\frac{t-a}{c-a}f(c)$
         (distance à la corde entre $a$ et~$c$). $g$ est continue, nulle en $a$ et~$c$ et
         strictement positive en~$b$. Soit $m = \max(g)$ et $x=\min(g^{-1}(m))$ qui existe en
         tant que minimum d'un compact non vide. Donc $g(x)=m$, $x∈{]a,c[}$, et on a~:
         $$∀t∈[a,x[,\ g(t)<m\qquad ∀t∈[x,c],\ g(t)⩽m.$$
         Il en résulte, pour $h>0$ assez petit~: $\dfrac1{2h}∫_{t=x-h}^{x+h}g(t)\,𝕕t<g(x)$
         soit $\dfrac1{2h}∫_{t=x-h}^{x+h}f(t)\,𝕕t<f(x)$.}

%-----------------------------------------------------------------------------
\ex $f²+(1+f')²⩽1$, Mines 2014

Soit $f$ de classe $𝓒¹$ sur $ℝ$ telle que $f²+(1+f')²⩽1$. Montrer que $f(x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers~$+∞$.
\reponse{$f²+(1+f')²⩽1$, donc, pour tout $x$, $f'(x)⩽0$. Pour tout $x$, $f(x)⩾-1$. Donc $f$ est décroissante et minorée, elle admet une limite $ℓ$ quand $x$ tend vers $+∞$. Supposons $ℓ ≠ 0$, alors pour $x$ assez grand $((1+f'(x))²⩽1-\dfrac{ℓ ²}{2}<1$. On en déduit que, pour $x$ assez grand, $f'(x)⩽√{1-\dfrac{ℓ ²}{2}}-1$ puis que $f(x)⟶_{x→+∞}-∞$, ce qui est impossible. On en déduit que $f(x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+∞$.
}

%-----------------------------------------------------------------------------
\ex Fonctions sous-additives, Ens Cachan 2013

Une fonction $f: ℝ^+\to ℝ^+$ est sous-additive si, pour tous $x,y\in ℝ^+$, $f(x+y)\le f(x)+f(y)$.
\medskip
\qq Montrer que toute fonction concave est sous-additive. La réciproque est-elle vraie ?
\reponse{$f$ est concave donc la fonction, définie sur $]0,+\infty[$, $x \mapsto \dfrac{f(x)-f(0)}{x}$ est décroissante. Soit $x,y>0$. On a $\dfrac{f(x+y)-f(0)}{x+y}\le \dfrac{f(x)-f(0)}{x}$ et $\dfrac{f(x+y)-f(0)}{x+y}\le \dfrac{f(y)-f(0)}{y}\cdotp$ On en déduit $(x+y)(f(x+y)-f(0))\le (x+y)(f(x)+f(y)-2f(0))$, et donc $f(x+y)\le f(x)+f(y)-f(0)\le f(x)+f(y)$. La fonction $E(x)$ est sous-additive mais n'est pas concave.
}
\medskip
\qq Montrer que, pour toute fonction $f$ de $ℝ^+$ dans $ℝ^+$, il existe une fonction sous-additive maximale parmi les fonctions sous-additives inférieures à $f$.
\reponse{La fonction nulle est sous-additive et est inférieure à $f$.

 On pose $h(x)=\sup(g(x),\,g \text{ sous-additive inférieure à } f)$. Soit $x,y\ge 0$. Pour tout $g$, $g(x+y)\le g(x)+g(y)\le h(x)+h(y)$. On en déduit $h(x+y)\le h(x)+h(y)$. Pour tout $g$, $g\le h$, donc $h$ est bien sous-additive maximale parmi les fonctions sous-additives inférieures à $f$.
}
\medskip
\qq Soit $\application{g}{ℝ^+}{ℝ^+}{x}{x^2.}$ Quelle est la fonction sous-additive maximale inférieure à $g$ ?
\reponse{Soit $g$ sous-additive telle que, pour tout $x$, $g(x)\le x^2$.

 Pour tout $x$, $g(x)=g(n\dfrac{x}{n})\le ng(\dfrac{x}{n})\le n \dfrac{x^2}{n^2}=\dfrac{x^2}{n}\cdotp$ Cela est vrai pour tout $n\ge 1$, on en déduit que $g$ est nulle.
}
%-----------------------------------------------------------------------------
\ex Tétraèdre de volume minimal, X MP 2012
Dans $ℝ³$ euclidien on considère les points
$O=(0,0,0)$, $A=(a,0,0)$, $B=(0,b,0)$, $C=(0,0,c)$ et $M=(d,e,f)$
où $a,b,c$ sont des réels strictement positifs variables
et $d,e,f$ sont des réels strictement positifs fixés.
Déterminer le volume minimal du tétraèdre $OABC$ sachant
qu'il contient~$M$.

\reponse{Le volume vaut~$abc/6$ et la contrainte est $d/a+e/b+f/c⩽1$.
         Notons $α=d/a$, $β=e/b$, $γ=f/c$. On veut maximiser
         le produit $αβγ$ lorsque $α,β,γ$ varient de sorte que
         $α>0$, $β>0$, $γ>0$, $α+β+γ⩽1$.
         \medskip
         A $β,γ$ fixés, le produit est maximal quand~$α$ l'est,
         soit $α=1-β-γ$, donc on veut maximiser
         $(1-β-γ)βγ$.
         A $γ$ fixé, le produit est maximal quand $1-β-γ=β$ (fait connu
         ou étude élémentaire d'une fonction du second degré),
         soit $β=(1-γ)/2$, et il ne reste plus qu'à
         maximiser $γ(1-γ)²/4$ quand $γ$ varie dans~$]0,1]$.
         En dérivant logarithmiquement il vient $1/γ-2/(1-γ)=0$,
         d'où $γ=⅓$ puis $β=⅓$ et $α=⅓$. En revenant aux variables
         de l'énoncé, le tétraèdre de plus petit volume contenant~$M$
         est donné par $a=3d$, $b=3e$, $c=3f$. Son volume est $\frac{27}6def$
         et $M$ est l'isobarycentre de $A,B,C$.}
         
%-----------------------------------------------------------------------------
\ex Enveloppe convexe des dérivées, X 2010

Soit $f:[a,b]→ℂ$ continue, dérivable sur $]a,b[$
et $λ=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

On note $C=\fct{conv}(f'(]a,b[)$ le plus petit ensemble convexe
contenant toutes les valeurs de~$f'$.
Le but de cet exercice est de montrer que $λ∈C$.

\qq Traiter le cas où $f$ est à valeurs réelles.
    \reponse{Avec la formule des accroissements finis, on a $λ∈f'(]a,b[)⊂C$.}
\qq Dans le cas $f$ à valeurs complexes, montrer qu'on peut se ramener au
    cas où $λ=0$.
    \reponse{On pose $g(t)=f(t)-λt$. Donc $\dfrac{g(b)-g(a)}{b-a}=
             \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}-λ=0$. Si l'on admet que
             $0∈\fct{conv}(g'(]a,b[)$ alors $λ∈\fct{conv}(g'(]a,b[)+λ)=C$.}

\hskip-\numindent
On suppose désormais $λ=0$ et on raisonne par l'absurde~: $0∉C$.
\qq Soit $K=⋃_{α>0}αC$. Montrer que $K$ est convexe et ne contient pas~$0$.
\qq En déduire qu'il existe $α,β∈ℝ$ tels que $α⩽β⩽α+π$ et $C$ est inclus
    dans le secteur angulaire de sommet~$0$ limité par les droites
    d'angles polaires $α$ et~$β$.
    \reponse{$K∩𝕌$ est une partie de~$𝕌$, connexe, non vide, et distincte
             de~$𝕌$ (sinon $0∈K$). On fixe $θ$ tel que $e^{iθ}∉K$ et on
             considère une détermination continue de l'argument
             sur $𝕌∖⦃e^{iθ}⦄$. L'ensemble des arguments des éléments
             de $K∩𝕌$ est alors une partie de~$ℝ$ connexe et non vide,
             c'est un intervalle et la longueur de cet intervalle est
             inférieure ou égale à~$π$ car $0∉K$.}
\qq En considérant $g=ℜ(e^{-i(α+β)/2}f)$, obtenir une contradiction.
    \reponse{$g$ est à valeurs réelles, $g(a)=g(b)$ et pour tout~$x∈{]a,b[}$,
             on a $g'(x)=ℜ(e^{-i(α+β)/2}f'(x))⩾0$ car $β-α∈[0,\fracπ2]$.
             Il en résulte que $g$ est constante sur~$[a,b]$.
             Ainsi il existe $γ∈ℂ$ et $h$ à valeurs réelles tels que
             $f=γ+ie^{i(α+β)/2}h$. De plus $h(a)=h(b)$, donc $h'$ s'annule
             dans~$]a,b[$ et ceci contredit l'hypothèse $0∉C$.}

%-----------------------------------------------------------------------------
\ex ENS 2017
Soit $P∈ℝ[X]$ tel que~$∀n∈ℕ,\ ∃m∈ℕ\tq P(n)=m²$. On veut montrer qu'il existe
$Q∈ℝ[X]$ tel que $P=Q²$.

\qq A-t-on nécessairement $P∈ℤ[X]$~? On pourra remarquer que $n²+n$ est un
    entier pair pour tout~$n∈ℕ$.
    \reponse{Non, $P = (x²+x)²/4$ convient.}
\qq Soit $a∈ℝ$. On note $E=𝓒^∞([a,+∞[,ℝ)$ et on considère l'endomorphisme
    $Δ$ défini par $$(Δf)(x) = f(x+1)-f(x).$$
    Montrer que
    $$∀n∈ℕ^*,\ ∀f∈E,\ ∀x⩾a,\ ∃θ∈{]0,1[}\tq (Δ^nf)(x) = f^{(n)}(x+nθ).$$
    {\it On pourra procéder par récurrence sur~$n$ et remarquer que $Δ$ commute
    avec la dérivation.}
    \reponse{Pour $n=1$ c'est l'égalité des accroissements finis.
             Pour $n=p+1$, en supposant la formule valide au rang~$p$,
             $$(Δ^nf)(x) = (Δ^p(Δf))(x)= (Δf)^{(p)}(x+pθ)
             =(Δf^{(p)})(x+pθ)=f^{(n)}(x+pθ+σ)$$
             avec $θ,σ∈{]0,1[}$. Donc $pθ+σ∈{]0,n[}$ et on peut l'écrire
             $nτ$ avec $τ∈{]0,1[}$.}
\qq Conclure en considérant la fonction $f$ définie pour $x$ assez grand
    par $f(x) = √{P(x)}$.
    \reponse{Déjà la propriété est triviale si $P=0$.
             Pour $P≠0$, on choisit $a$ tel que $∀x⩾a$, on a $P(x)>0$.
             La fonction $f = √P$ est donc
             bien définie et de classe $𝓒^∞$ sur~$[a,+∞[$. De plus sa
             restriction à $[a,+∞[∩ℕ$ est à valeurs entières donc il en
             est de même de toutes les fonctions $Δ^nf$ lorsque $n∈ℕ$.
             \medskip
             {\it Soit $p=\deg(P)$. Je dis que pour tout entier~$k∈ℕ$,
             la quantité
             $x^{k-p/2}f^{(k)}(x)$ admet une limite finie
             lorsque $x→+∞$ et je le prouve par récurrence sur~$k$~:}
             \medskip
             Pour $k=0$ cela résulte de la définition de~$p$.
             Si c'est vrai pour $0,…,k-1$ alors
             $$P^{(k)} = (f²)^{(k)} = ⅀_{0⩽i⩽k}\bin ki f^{(i)}f^{(k-i)}
             = 2ff^{(k)} + ⅀_{0<i<k}\bin ki f^{(i)}f^{(k-i)}.$$
             En multipliant par $x^{k-p}$ et en appliquant l'hypothèse de
             récurrence, on obtient l'existence d'une limite finie
             en~$+∞$ pour $(x^{-p/2}f(x))×(x^{k-p/2}f^{(k)}(x))$ donc aussi
             pour $x^{k-p/2}f^{(k)}(x)$ car le cofacteur admet une limite
             finie non nulle.
             \medskip
             Concluons~: pour $k>p/2$, $f^{(k)}(x)⟶_{x→+∞}0$ et donc
             $(Δ^kf)(x) = 0$ pour tout $x∈ℕ$ suffisament grand ($x⩾b$).
             Il en résulte classiquement que la suite $(f(n))_{n⩾b}$ est
             polynomiale~: $f(n) = Q(n)$ pour tout~$n⩾b$ puis $P(n)=Q²(n)$
             dans les mêmes conditions. Ainsi $P-Q²$ ayant une infinité
             de racines est le polynôme nul, soit $P=Q²$. Enfin
             $Q$ est à coefficients rationnels car c'est le polynôme
             de Lagrange associé à~$f$ en des points entiers dont les
             images par~$f$ sont entières.}
%-----------------------------------------------------------------------------
\bye
