%+----------------------------------------------------------------------------+
%|                            Dérivées partielles                             |
%+----------------------------------------------------------------------------+
\input exos
\fiche{Dérivées partielles}

\titre{Calcul}

%-------------------------------------------------------------------------
\ex Calcul de dérivées partielles

Calculer les dérivées partielles des fonctions :

\qq $f(x,y,z) = (x+z)^{(y^z)}$
\qq $f(x,y) = \min(x,y²)$
\qq $f(x,y) = \dfrac {g(x)-g(y)}{x-y}$ si $x ≠y$ et $f(x,x)= g'(x)$.

%-------------------------------------------------------------------------
\ex DL d'ordre 1

Soit $f:ℝ³→ℝ$ de classe $𝓒¹$ telle que

$f(0,1,1) = 0$, $∂f/∂x(0,1,1) = 1$, $∂f/∂y(0,1,1) = 2$, $∂f/∂z(0,1,1) = 3$.

Peut-on déterminer $\lim_{t→0} \dfrac{f(t²,\ch t,e^t)}{f(t,\cos t,\ch t)}$ ?
\reponse{$\lim = 3$.}

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\ex Simplification

Soit $f(x,y) = \arcsin\left(\dfrac{1+xy}{√{(1+x²)(1+y²)}}\right)$
et $g(x,y) = \arctan x - \arctan y$.

\qq Vérifier que $f$ est définie sur $ℝ²$.
\qq Calculer les dérivées partielles premières de $f$ et de $g$.
    \reponse{$∂f/∂x = \dfrac{±1}{1+x²}$, $+$ si $y > x$, $-$ si $y < x$.\par
             $∂f/∂y = \dfrac{±1}{1+y²}$, $-$ si $y > x$, $+$ si $y < x$.}
\qq Simplifier $f$ à l'aide de $g$.
    \reponse{Pour $y⩾x$, $f(x,y) = \dfracπ2 + g(x,y)$,\quad
             pour $y⩽x$, $f(x,y) = \dfracπ2 - g(x,y)$.}


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\ex Somme des angles d'un triangle

Sur quelle partie $D$ de $ℝ³$ la fonction
$$f : (x,y,z) ↦ \arccos\Bigl(\dfrac{x²+y²-z²}{2xy}\Bigr)
                 + \arccos\Bigl(\dfrac{y²+z²-x²}{2yz}\Bigr)
                 + \arccos\Bigl(\dfrac{z²+x²-y²}{2zx}\Bigr)$$
est-elle définie ?
Montrer que $f$ est constante lorsque $x,y,z$ sont strictement positifs.

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\ex Intégrale fonction de paramètres

Soit $f:ℝ²→ℝ$ de classe $𝓒¹$ et
$\application g {ℝⁿ} ℝ {(x₁,…,x_n)}
{∫_{t=0}¹ f(t,x₁t+x₂t² + … + x_ntⁿ)\,𝕕t.}$

Montrer que $g$ est de classe $𝓒¹$ et calculer ses dérivées partielles.

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\ex Dérivées secondes composées

Soient $u,v,f,g:ℝ²→ℝ$ des fonctions de classe $𝓒²$ liées
par la relation :
$$∀(x,y) ∈ ℝ²,\ f(x,y) = g(u(x,y),v(x,y)).$$

Calculer les dérivées partielles premières et secondes de $f$
en fonction de celles de $g$.
\reponse{$∂²f/∂x∂y= ∂u/∂x∂u/∂y∂²g/∂u² + \left(∂u/∂x∂v/∂y+∂u/∂y∂v/∂x\right)∂²g/∂u∂v
         + ∂v/∂x∂v/∂y∂²g/∂v² + ∂²u/∂x∂y∂g/∂u + ∂²v/∂x∂y∂g/∂v$.}

%-------------------------------------------------------------------------
\ex Les polynômes complexes sont harmoniques

Soient $P ∈ ℂ[X]$ et $\application f {ℝ²} ℂ {(x,y)} {P(x+iy).}$
Montrer que $∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² = 0$.

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\ex Laplacien en polaires

Soit $f:ℝ²→ℝ$ de classe $𝓒²$, et
$g(ρ,θ) = f(ρ\cosθ,ρ\sinθ)$.
On pose $Δf = ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y²$ (laplacien de $f$).

\qq Calculer $∂g/∂ρ$, $∂g/∂θ$, $∂²g/∂ρ²$, $∂²g/∂θ²$ en fonction des dérivées
    partielles de $f$.
\qq Exprimer $Δf$ en fonction des dérivées de $g$.
    \reponse{$Δf = ∂²g/∂ρ² + \dfrac 1ρ ∂g/∂ρ + \dfrac 1{ρ²} ∂²g/∂θ²$.}

%-------------------------------------------------------------------------
\ex Laplacien en sphériques

Soient $f:ℝ³→ℝ$ de classe $𝓒²$,
$\application Φ {ℝ³} {ℝ³} {(r,θ,φ)}
{(x,y,z)}$ avec $\cases{ x = r\cosθ\cosφ\cr
                         y = r\sinθ\cosφ\cr
                         z = r\sinφ,\cr }$
et $F = f∘Φ$.
Vérifier que :
$$(Δf)∘ Φ = \dfrac{∂²F}{∂r²}
          + \dfrac2r\dfrac{∂F}{∂r}
          + \dfrac1{r²}\dfrac{∂²F}{∂φ²}
          - \dfrac{\tanφ}{r²}\dfrac{∂F}{∂φ}
          + \dfrac1{r²\cos²φ}\dfrac{∂²F}{∂θ²}.$$

{\it Pour cet exercice, il est conseillé de prendre la feuille dans le sens de
la longueur, et d'y aller calmement, en vérifiant ses calculs.}

%-------------------------------------------------------------------------
\ex Laplacien en dimension $n$

Soit $f$ une application de classe $𝓒²$ de $ℝ^{+*}$ dans $ℝ$.

On définit une application $F$ de $ℝⁿ∖⦃0⦄$ dans $ℝ$ par :
$F(x₁,…,x_n) = f(√{x₁² + … + x_n²})$.

Calculer le laplacien de $F$ en fonction de $f$.
\reponse{$ΔF = \dfrac{n-1}r f'(r) + f''(r)$.}

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\ex Les isométries conservent le laplacien

Soit $φ:ℝ²→ℝ²$ une isométrie pour la norme $∥\ ∥₂$.

\qq Montrer que la matrice jacobienne de $φ$ est constante, égale à la matrice
    dans la base canonique de $ℝ²$ de la partie linéaire de $φ$.
\qq Soit $f:ℝ²→ℝ$ de classe $𝓒²$.
    Montrer que $(Δf)∘φ = Δ(f∘φ)$.

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\ex Changement de variables affine

Soit $φ:ℝ²→ℝ²$ une application affine.

\qq Montrer que la matrice jacobienne, $J$, de $φ$ est constante.
\qq Soit $f:ℝ²→ℝ$ de classe $𝓒²$. Pour $A ∈ ℝ²$, on note
    $H_f(A) = \matr[∂²f/∂x²(A) &∂²f/∂y∂x(A) \cr\noalign{\vskip1mm} ∂²f/∂x∂y(A) &∂²f/∂y²(A) \cr]$
    ({\it matrice Hessienne de $f$}). Montrer que :
    $∀A ∈ ℝ²,\ H_{f∘φ}(A) = {}^tJH_f(φ(A))J$.

%-------------------------------------------------------------------------
\ex Formule de Leibniz

Soient $f,g:ℝ²→ℝ$ de classe $𝓒ⁿ$. Calculer
$\dfrac{∂ⁿ(fg)}{∂x^k∂y^{n-k}}$ en fonction des dérivées
de $f$ et $g$.
\reponse{$\dfrac{∂ⁿ(fg)}{∂x^k∂y^{n-k}} =
⅀_{i=0}^k⅀_{j=0}^{n-k} \bin ki\bin{n-k}j
\dfrac{∂^{i+j}f}{∂ x^i∂ y^j}
\dfrac{∂^{n-i-j}g}{∂ x^{k-i}∂ y^{n-k-j}}$.}

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\ex DL d'ordre 2

Soit $f:ℝ²→ℝ$ de classe $𝓒²$.
Démontrer que :
$$f(a+h,b+k) = f(a,b) + \left( h\dfrac{∂f}{∂x} + k\dfrac{∂f}{∂y} \right)(a,b)
  + \dfrac 12 \left( h²\dfrac{∂²f}{∂x²} + 2hk\dfrac{∂²f}{∂x∂y} + k²\dfrac{∂²f}{∂y²} \right)(a,b)
  + o(h²+k²).$$

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\ex Inégalité de Taylor-Lagrange

Soit $U$ un ouvert convexe de $ℝ^p$ et $f:U→ℝ$ de classe $𝓒²$
dont les dérivées secondes sont bornées :

$$∀i,j,\ ∀A ∈ U,\ \left|∂²f/∂x_i∂x_j(A)\right|⩽M.$$

\qq Montrer que : $∀A,B ∈ U,\ \bigl|f(B)-f(A) - df_A(\overrightarrow{AB})\bigr|
         ⩽\dfrac{M∥\overrightarrow{AB}∥₁²}2$.

\qq Montrer que : $∀A,B ∈ U,\ \bigl|f(B)-f(A) - df_C(\overrightarrow{AB})\bigr|
         ⩽\dfrac{M∥\overrightarrow{AB}∥₁²}4$ où $C$ est le milieu de $[A,B]$.

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\ex Longueur d'un arc de courbe

\def\arc#1{\mathop{#1}\limits^\frown}
Soit $f:U ⊂ ℝⁿ→ℝ^p$ de classe $𝓒¹$ dont les dérivées
partielles sont bornées sur~$U$ et $I∋t↦M_t$ une courbe paramétrée dans
$U$ de classe $𝓒¹$. Pour $a,b∈ I$ comparer les longueurs des arcs
$\arc{M_aM_b}$ et $\arc{f(M_a)f(M_b)}$.

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\ex Mise en facteur de $x$ et $y$

Soit $U$ un ouvert convexe de~$ℝ²$ contenant~$(0,0)$
et $f:U→ℝ$ une fonction de classe $𝓒^∞$ telle que $f(0,0) = 0$.

\qq Montrer qu'il existe $g,h:U→ℝ$ de classe $𝓒^∞$
    telles que~:
    $$∀(x,y)∈ U,\ f(x,y) = xg(x,y) + yh(x,y).$$
\reponse{$f(x,y) = ∫_{t=0}¹ (x∂f/∂x(tx,ty) + y∂f/∂y(tx,ty))\,𝕕t$.}
\qq Y a-t-il unicité de $g$ et $h$~?
\qq Généraliser au cas où $U$ n'est pas convexe.

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\ex Fonctions convexes

Soit $U$ un ouvert convexe de~$ℝⁿ$ et $f:U→ℝ$. On dit que
$f$ est convexe lorsque~:
$$∀x,y∈ U,\ ∀t∈{[0,1]},\ f(tx+(1-t)y)⩽tf(x) + (1-t)f(y).$$
On dit que $f$ est strictement convexe si l'inégalité précédente est
stricte lorsque $x≠y$ et $0<t<1$.

\qq On suppose que $f$ est convexe.

\sq Soient $x∈U$, $h∈ℝⁿ$ et $t∈{[0,1]}$ tel que $x-h∈U$ et $x+h∈U$.
    Montrer~: $$(1+t)f(x) - tf(x-h)⩽f(x+th)⩽(1-t)f(x) + tf(x+h).$$
    \reponse{thm des trois cordes pour $u↦f(x+uh)$ sur $[-1,1]$.}
\sq Montrer que $f$ est continue (raisonner sur le cas $n=2$ puis généraliser).
    \reponse{Soit $\overline{B}_∞(x,r)⊂U$ et $y$ tel
             que $0<∥x-y∥_∞⩽r$. On note $t = ∥x-y∥_∞/r$ et $h=(y-x)/t$.
             Alors $y = x+th$ et $∥x±h∥ = r$ donc~:
             $$|f(x)-f(y)|⩽t\max(|f(x+h)-f(x)|,|f(x-h)-f(x)|)⩽Mt$$
             car la restriction de~$f$ aux côtés de $\overline{B}_∞(x,r)$ est
             bornée (fonction convexe en dimension~1).}

\qq On suppose que $f$ est de classe $𝓒¹$.

Montrer que $f$ est convexe si et seulement si pour tous $(x,y)∈ U$
on a~: $f(y)⩾f(x) + 𝕕f_x(y-x)$. Donner une interprétation
géométrique de cette inégalité lorsque $n=2$.
\reponse{La surface représentative de~$f$ est au dessus de ses plans tangents.}

\qq On suppose que $f$ est de classe $𝓒²$.

\sq Montrer que $f$ est convexe si et seulement si pour tout~$x∈U$
    la forme bilinéaire symétrique $𝕕²f_x$ est positive.
\sq Si, pour tout $x∈U$, $𝕕²f_x$ est définie positive, montrer
    que $f$ est strictement convexe.
    Montrer par un exemple que la réciproque est fausse.

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\ex Caractérisation des isométries

Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et $f:E→E$ de classe $𝓒¹$.

\qq Montrer que $f$ est une application affine si et seulement
    si sa différentielle est constante (c'est-à-dire $𝕕f_x = 𝕕f_y$
    pour tous $x,y$, égalité dans $𝓛(E)$).

\qq Soit $X$ un ensemble non vide quelconque et
    $φ:X³→ℝ$ une application vérifiant~:
    $$∀x,y,z∈ X,\ φ(x,y,z) = φ(y,x,z) = -φ(z,y,x).$$
    Montrer que $φ=0$ (lemme des tresses).

\qq On suppose $f$ de classe $𝓒²$. Montrer que $f$ est une isométrie
    de~$E$ pour la distance euclidienne si et seulement si, pour tout
    $x∈E$, $𝕕f_x$ est une application orthogonale.

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\ex Différentiabilité de la norme

Pour chacune des trois normes classiques sur $ℝ²$ dire en quels
points elles sont différentiables.

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\ex Partiellement dérivable $⇒$ continue~?

Soit $U$ un ouvert de~$ℝ²$.

\qq Donner un exemple de fonction $f:U→ℝ$ ayant en tout point des
dérivées partielles premières, mais discontinue en au moins un point.
\reponse{$xy/(x²+y²)$.}

\qq Soit $f:U→ℝ$ ayant en tout point des
dérivées partielles premières {\it bornées\/} sur~$U$. Montrer que~$f$
est continue.
\reponse{$f$ est lipschitzienne pour $∥\ ∥_∞$.}

\xe%----------------------------------------------------------------------
\ex Mines MP 2001

Soit une fonction $f$ de classe $𝓒²$ sur le disque unité du plan, telle que
son laplacien $∂²f/∂x² + ∂²f/∂y²$ soit nul.

\qq Montrer $∫_{θ=0}^{2π}f(r\cosθ,r\sinθ)\,𝕕θ$
    ne dépend pas de $r∈[0,1]$.
    \reponse{On pose $g(r,θ) = f(r\cosθ,r\sinθ)$,
    $h(r) = ∫_{θ=0}^{2π}f(r\cosθ,r\sinθ)\,𝕕θ$ et l'on a

    $0=Δf = ∂²g/∂r² + \dfrac1r∂g/∂r + \dfrac1{r²}∂²g/∂θ²$
    d'où~:
    $$0=h''(r) + \dfrac1rh'(r) + \dfrac1{r²}\Bigl[∂g/∂θ(r,θ)\Bigr]_{θ=0}^{2π}$$
    Le crochet est nul par $2π$-périodicité de $g$ donc
    $h''(r) + \dfrac1rh'(r) = 0$
    soit $h'(r) = \dfrac Kr$ et $K=0$ par continuité de $h'$ en $0$.}

\qq Calculer alors $∬_{D_r} f(x,y)\,𝕕x𝕕y$ $D_r$ étant le disque fermé
    de centre $0$ et de rayon $r$.
    \reponse{$πr²f(0,0)$.}
 
%----------------------------------------------------------------------
\ex ENS MP 2002

Soit $n$ un entier $>0$, $∥\ ∥$ la norme euclidienne 
sur $ℝⁿ$ et $f:ℝⁿ→ℝ$ de classe $𝓒²$. On suppose
que $f(x)/∥x∥⟶_{∥x∥→∞}+∞$, et 
qu'en tout point la matrice hessienne de $f$ est 
définie positive.

On pose $g(y)= \sup⦃ (x│ y) -f(x),\ x∈ ℝⁿ⦄$.
Étudier les propriétés  de $g$. 
\reponse{%
Remarques~:\par
-- la transformation $f↦g$ est appelée {\it transformation de Legendre.}
On notera $g = f^*$ ci-dessous.\par
-- l'hypothèse « $H_f$ est définie positive en tout point »
implique que $f$ est convexe.
\medskip
{\bf Étude d'un cas particulier~:} $f(x) = α∥x∥² + β(x│ a) + γ$
avec $α ∈ℝ^{+*}$, $β,γ∈ℝ$ et $a∈ℝⁿ$.
\smallskip
Alors $(x│ y) - f(x) =
- α\Bigl∥x - \dfrac{y-β a}{2α}\Bigr∥²
+ α\Bigl∥\dfrac{y-β a}{2α}\Bigr∥² - γ$

d'où $f^*(y) = α\Bigl∥\dfrac{y-β a}{2α}\Bigr∥² - γ
= α^*∥y∥² + β^*(y│ a) + γ^*$
avec $α^* = 1/4α$, $β^* = -β/2α$

et $γ^* = β²∥a∥²/4α - γ$.
Ainsi, $f^*$ a la même forme que $f$, et on vérifie immédiatement que
$f^{**} = f$.
\medskip
{\bf Cas général~:} on montre que $f^*$ est bien définie, vérifie les
mêmes hypothèses que~$f$ et que l'on a $f^{**} = f$.
\smallskip
{\bf 1.} Bonne définition de~$f^*$~: à $y$ fixé on a $(x│ y) -f(x)⟶_{∥x∥→∞}-∞$
donc le sup existe et est un max, atteint en un point $x$ tel que $𝛻f(x) = y$.
Ce point $x$ est unique~: en effet, si $h∈ℝⁿ∖⦃0⦄$ alors la fonction
$ℝ∋t↦(h│𝛻 f(x+th))$ est strictement croissante (définie-positivité
de~$H_f$) ce qui implique $𝛻f(x+h) ≠ 𝛻f(x)$.
Ainsi, $$f^*(y) = (y│ y^*) - f(y^*) \text{ avec } 𝛻f(y^*) = y.$$

{\bf 2.} $f^*$ est $𝓒²$ et $H_{f^*}$ est définie-positive~:
d'après ce qui précède, la fonction $𝛻f$ est un $𝓒¹$ difféomorphisme de~$ℝⁿ$~;
sa différentielle est l'endomorphisme de~$ℝⁿ$ de matrice $H_f$ dans la base
canonique de~$ℝⁿ$. Donc $f^*$ est de classe $𝓒¹$ et pour $y,h∈ℝⁿ$~:
$$𝕕(f^*)_y(h) = (𝛻 f^*(y)│ h) = (h│ y^*) + (y│ 𝕕y^*(h)) - (𝛻 f(y^*)│ 𝕕y^*(h))
= (h│ y^*)$$
puisque $𝛻f(y^*) = y$. On en déduit~: $𝛻f^*(y) = y^*$,
puis $H_{f^*}(y) = (H_f(y^*))^{-1}$, matrice symétrique définie positive.
\smallskip
{\bf 3.} $f^*(y)/∥y∥⟶_{∥y∥→∞}+∞$~:
soit $a>1$ et $M_a = \sup⦃f(x),\ ∥x∥⩽a⦄$.
Pour $y∈ℝⁿ∖⦃0⦄$ et $x=ay/∥y∥$ on a
$f^*(y)⩾(x│ y) - f(x)⩾a∥y∥-M_a⩾(a-1)∥y∥$ si $∥y∥$ est assez grand.
\smallskip
{\bf 4.} $f^{**} = f$~: car pour $x∈ℝⁿ$ on a $f^{**}(x) = (x│ y) - f^*(y)$
où $y$ est défini par $𝛻f^*(y) = x$, c'est-à-dire $y^* = x$ et donc
$f^{**}(x) = (y^*│ y) - f^*(y) = f(y^*) = f(x)$.
}

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\ex $∫φ∘f$, X MP$^*$ 2004
Soit~$E$ l'ensemble des fonctions continues de~$[0,1]$ dans~$ℝ$.

On y définit une norme par~: $∥f∥=√{∫_{t=0}¹ f²(t)\,𝕕t}$.
Soit $φ:ℝ→ℝ$ de classe $𝓒²$ telle que $φ''$ est bornée.
Pour~$f∈ E$ on pose $T(f) = ∫_{t=0}¹φ(f(t))\,𝕕t$.

\qq Montrer que l'application ainsi définie~$T:E→ℝ$ est continue.
    \reponse{???}
\qq Montrer que~$T$ est différentiable en tout point.
    \reponse{On a pour $a,b∈ℝ$~: $|φ(a+b) - φ(a) - bφ'(a)|⩽\frac12∥φ''∥_∞ b²$.

    Donc pour $f,h∈ E$~: $|T(f+h) - T(f) - (h│ φ'∘ f)|⩽\frac12∥φ''∥_∞ ∥h∥²$,
    ce qui prouve que $T$ est différentiable en~$f$ de différentielle
    $h↦(h│φ'∘ f)$.
    On en déduit alors que~$T$ est continue en~$f$.}

\titre{Thm de Schwarz et formes différentielles}

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\ex Contre-exemple au théorème de Schwarz

Soit $f:ℝ→ℝ$ une fonction $π$-périodique de classe $𝓒²$.
On pose pour $(x,y) ∈ ℝ²$ :
$g(x,y) = r²f(θ)$ avec $(x,y)=(r\cosθ,r\sinθ)$.
Calculer $∂g/∂x(0,y)$ et $∂g/∂y(x,0)$ en fonction de $f$.
En déduire les valeurs de $∂²g/∂y∂x(0,0)$ et $∂²g/∂x∂y(0,0)$.
Construire un exemple précis (donner $g(x,y)$ en fonction de $x$ et $y$)
pour lequel ces deux dérivées sont distinctes.
\reponse{$∂g/∂x(0,y) = - yf'(π/2)$, $∂g/∂y(x,0) = xf'(0)$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Contre-exemple au théorème de Schwarz (Centrale MP 2003)

Soit $f(x,y) = \dfrac{x³y}{x²+y²}$ si $(x,y)≠0$ et $f(0,0)=0$.

\qq Étudier la continuité de~$f$ et de ses dérivées partielles premières
    sur~$ℝ²$.
    \reponse{$f$ est homogène de degré~$2$, $∂f/∂x$ et $∂f/∂y$ sont homogènes
             de degré~$1$, donc ces trois fonctions tendent vers~$0$
             en~$(0,0)$. Ainsi $f$ est de classe~$𝓒¹$.}
\qq Montrer que~$∂²f/∂x∂y(0,0)≠∂²f/∂y∂x(0,0)$.
    \reponse{$∂²f/∂x∂y(0,0)=0$, $∂²f/∂y∂x(0,0)=1$.}

%-------------------------------------------------------------------------
\ex Dérivées d'ordre $k$ distinctes

Trouver $f_k:ℝ²→ℝ$ de classe $𝓒^k$ telle que les $k+1$ dérivées d'ordre $k$ en
$(0,0)$ soient distinctes.

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\ex Intégration de formes différentielles

Déterminer les fonctions $f:D⊂ℝ²→ℝ$ vérifiant :

\qq $∂f/∂x = \dfrac {2+x}y$, $∂f/∂y = \dfrac {2+y}x$.
    \reponse{pas de solution.}

\qq $∂f/∂x = \dfrac {1-y}{(x+y+1)²}$, $∂f/∂y = \dfrac {2+x}{(x+y+1)²}$.
    \reponse{$f(x,y) = \dfrac {y-1}{x+y+1} + {}$ cste.}

\qq $∂f/∂x = \dfrac{y²}{(x+y)²}$, $∂f/∂y = \dfrac{x²}{(x+y)²}$.
    \reponse{$f(x,y) = \dfrac{xy}{x+y} + {}$ cste.}

\qq $∂f/∂x = 2x + \dfrac 1y$, $∂f/∂y = 2y - \dfrac x{y²}$.
    \reponse{$f(x,y) = x²+y²+\dfrac xy + {}$ cste.}

%-------------------------------------------------------------------------
\ex Formes différentielles exactes

Trouver les fonctions $f:ℝ→ℝ$ de classe $𝓒¹$ telles que la forme
différentielle
$ω = f(y)(xe^y\,𝕕x + y\,𝕕y)$ soit exacte. Déterminer alors ses
primitives.
\reponse{$f(y) = λe^{-y}$,
         $F(x,y) = λ\left({\dfrac{x²}2 - (y+1)e^{-y}}\right)$.}

\ex
Quelles sont les applications $f:ℝ²→ℝ$ de classe $𝓒¹$ telles
que la forme différentielle : \par
$ω = f(x,y)\,𝕕(x²+y²)$ soit exacte ?
\reponse{$f(x,y) = g(x²+y²)$.}

\ex
Trouver les fonctions $f,g:ℝ→ℝ$ de classe $𝓒¹$ telles que la forme
différentielle :\par
$ω = 2xz\,𝕕x + f(y)g(z)\,𝕕y + \left(x²+\dfrac{y²}2\right)𝕕z$
soit exacte. Déterminer alors ses primitives.
\reponse{$f(y) = y/k$, $g(z) = kz+ℓ$,
         $F(x,y) = \left(x²+\dfrac{y²}2\right)z + \dfrac {ℓy²}{2k} + C$.}

%-------------------------------------------------------------------------
\ex Équation associée à une différentielle exacte

\qq Déterminer les fonctions $f:ℝ^{+*}×ℝ^{+*}→ℝ$ vérifiant :

    $∂f/∂x(x,y) = \dfrac {\ln x + y - 1}{x²y}$ et
    $∂f/∂y(x,y) = \dfrac {\ln x }{xy²}$.
    \reponse{$f(x,y) = -\dfrac {\ln x}{xy} - \dfrac 1x$.}
\qq Application :
    Résoudre l'équation différentielle : $(x\ln x) y' + (\ln x + y - 1)y = 0$.
    \reponse{$y = \dfrac {\ln x}{λx - 1}$.}

\xe\titre{Difféomorphismes et fonctions implicites}

%-------------------------------------------------------------------------
\ex Jacobien des fonctions symétriques

Soit $\application f {ℝⁿ} {ℝⁿ} {(x₁,…,x_n)} {(σ₁,…,σ_n)}$

où $σ₁,…,σ_n$ sont les fonctions symétriques élémentaires de $x₁,…,x_n$.
Calculer le déterminant jacobien de~$f$.
\reponse{$\det(J_f) = ℿ_{i<j}(x_i-x_j)$.}

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\ex Changement de variables

On pose $f(x,y) = (x+y,xy) = (u,v)$.
Montrer que $f$ induit un $𝓒¹$-difféomorphisme de $U$ sur $V$ où $U$ et $V$
sont des ouverts de $ℝ²$ à préciser.
Chercher l'expression de $f^{-1}$ et vérifier que le produit des matrices
jacobiennes est égal à $I$.

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\ex Changement de variables

Soit $\application f {ℝ³} {ℝ³} {(x,y,z)} {(e^{2y}+e^{2z}, e^{2x}-e^{2z}, x-y).}$
Montrer que $f$ induit un $𝓒¹$-difféomorphisme de $ℝ³$ sur un ouvert à préciser.
\reponse{$f(ℝ³) = ⦃ (u,v,w) \tq u+v > 0,\ ue^{2w}-v > 0⦄$.}

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\ex Mines MP 2010
Soit $U=⦃(x,y)∈ℝ²\tq x>y⦄$ et $f$ la fonction définie par
$f(x,y) = (x+y,x²+y²)$.
\qq Montrer que $f$ est un $𝓒¹$-difféomorphisme de $U$ sur~$f(U)$.
    \reponse{$\det(J_f(x,y))= 2(y-x) < 0$ donc le théorème d'inversion
             locale s'applique~: $f(U)$ est ouvert.
             De plus $f(x,y)=f(x',y')⇒(x+y=x'+y',xy=x'y')⇒⦃x,y⦄=⦃x',y'⦄
             ⇒(x,y)=(x',y')$ compte tenu de~$U$. Ainsi $f_{|U}$ est injective
             et le théorème d'inversion globale s'applique.}
\qq Déterminer $f(U)$.
    \reponse{$f(x,y)=(u,v)⇔(x+y=u,xy=\frac12(u²-v))$. Il y a des solutions
             distinctes si et seulement si $v>\frac12u²$, ce qui définit
             $f(U)$.}

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\ex Application du thm des fonctions implicites

On considère la courbe d'équation $e^{x-y} = 1+2x+y$. Donner la tangente à cette
courbe et la position par rapport à la tangente au point $(0,0)$.
\reponse{$y = -\dfrac x2 + \dfrac {9x²}{16} + o(x²) ⇒{}$
         tangente de pente $-\frac12$, au dessus.}


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\ex Thm des fonctions implicites

\qq Montrer que l'équation : $x³+y³-3xy=1$ définit au voisinage de $0$
    une fonction implicite : $y=φ(x)$ telle que $φ(0)=1$.
\qq Donner le DL de $φ$ en $0$ à l'ordre $3$.
\reponse{$φ(x) = 1 + x -\frac23x³ + o(x³)$.}

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\ex Thm des fonctions implicites, Ensi P 91

    Montrer que l'égalité $2e^{x+y} + y - x = 0$ définit $y = φ(x)$ au voisinage
    de $(1,-1)$. Calculer $φ'(1)$ et $φ''(1)$.
    \reponse{$φ'(1) = -\frac13$, $φ''(1) = -\frac8{27}$.}

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\ex Équation implicite $x\ln x = y\ln y$

Soit $f(x,y) = x\ln x - y\ln y$ $(x,y > 0)$.

Pour $k ∈ ℝ$, on considère la courbe $𝓒_k$ d'équation $f(x,y) = k$.

\qq  Suivant la position de $(a,b) ∈ 𝓒_k$, préciser l'orientation
     de la tangente à $𝓒_k$ en $(a,b)$.
\qq  Dresser le tableau de variations de $φ(t) = t\ln t$.
\qq  Dessiner $𝓒₀$. (Étudier en particulier les points
     $(0,1), (1,0)$ et $\Bigl(\dfrac 1e,\dfrac 1e\Bigr)$ à l'aide de DL)
\qq  Indiquer l'allure générale des courbes $𝓒_k$ suivant le signe de $k$.

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\ex Fonction implicite

Soit $f:ℝ→ℝ$ de classe $𝓒¹$.

\qq Montrer que, sous une condition à préciser, l'équation $y-zx=f(z)$ définit
    localement $z$ fonction implicite de $x$ et $y$.
\qq Montrer que l'on a alors : $∂z/∂x + z∂z/∂y = 0$.

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\ex Équation fonction de deux paramètres

Soit l'équation $(*) ⇔ x^5 + λx³ + µx² -1 = 0$.
Montrer qu'il existe un voisinage, $V$, de $(0,0)$ et
$φ:V→ℝ$ tels que~:
$$\eqalign{&φ \text{ est } 𝓒^∞\cr
           &φ(0,0) = 1\cr
           &∀(λ,µ)∈ V,\ φ(λ,µ)
            \text{ est racine simple de } (*).\cr}
$$
Donner le DL à l'ordre $2$ de $φ$ en $(0,0)$.
\reponse{$x=1 - \dfrac{λ+µ}5 + \dfrac{λ²+λµ}{25} + o(λ²+µ²)$.}

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\ex Changement de variable singulier, Matexo

On considère la fonction de $ℝ²$ sur lui-même définie par
$f(x,y)=(u,v)$, où
$$u(x,y)=x √{1+y²} + y √{1+x²}\quad \hbox{et}\quad v(x,y)=(x +
√{1+x²})(y+√{1+y²}).$$

Calculer sa matrice jacobienne. Est-elle inversible localement ?
Caractériser $f(ℝ²)$.
\reponse{$x=\sh(a),\ y=\sh(b) ⇒ u=\sh(a+b),\ v=\sh(a+b)+\ch(a+b)$.
donc $f(ℝ²)$ est inclus dans l'hyperbole d'équation $v²-2uv=1$
et on doit avoir $v⩾u$ ce qui donne la branche supérieure.}

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\ex Différentielle du déterminant

Soit $\application f {𝓜_n(ℝ)} ℝ M {\det M.}$

Montrer que $f$ est de classe $𝓒¹$ et que l'on a pour $M,H∈𝓜_n(ℝ)$~:
$𝕕f_M(H) = \tr(^t\fct{com}(M)H)$.
\smallskip
Application~: soit $M∈𝓜_n(ℝ)$ et $χ_M(X) = (-1)ⁿXⁿ + … + a₁X + \det(M)$.
Exprimer $a₁$ en fonction des cofacteurs de~$M$.

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\ex Les racines d'un polynôme sont des fonctions $𝓒^∞$ des coefficients

Soit $U$ l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré~$n$
et à racines réelles simples.

\qq Montrer que $U$ est ouvert dans~$ℝ_n[X]$.
\qq Pour $P∈ U$ on note $x₁ < x₂ < … < x_n$ les racines de~$P$.
    Montrer que l'application $P ↦ (x₁,…,x_n)$ est de classe $𝓒^∞$.

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\ex Non injectivité locale de l'exponentielle

Soit $\application f {𝓜_n(ℂ)} {𝓜_n(ℂ)} M {\exp(M).}$

\qq Montrer que $f$ est de classe $𝓒¹$ sur $𝓜_n(ℂ)$ et exprimer,
    pour $M,H∈𝓜_n(ℂ)$, $𝕕f_M(H)$ sous forme d'une série.
    \reponse{$𝕕f_M(H) = ⅀_{k=0}^∞ \dfrac1{k!}(M^{k-1}H + … + HM^{k-1})$.}

\qq Montrer qu'il existe un voisinage $V$ de $0$ dans $𝓜_n(ℂ)$
    tel que pour toutes matrices $A,B∈ V$ on a~:

    $\exp(A) = \exp(B) ⇒ A=B$.

\qq Trouver une suite $(M_k)$ de matrices de $𝓜_2(ℂ)$ distinctes ayant même
    exponentielle et convergeant vers une matrice $A$ (donc il n'existe
    pas de voisinage de~$A$ sur lequel la restriction de~$f$ est injective).
    \reponse{les matrices $M_k = \matr(0&1/k\cr0&2iπ\cr)$ sont toutes
             semblables à~$M_∞$ et ont même exponentielle $I$.}

\qq Donner de même un point de non injectivité locale dans $𝓜_2(ℝ)$.
    \reponse{$M_k=\mat[0&2π+1/k\cr-4π²/(2π+1/k)&0\cr]$.}

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\ex Difféomorphisme

Soit $E$ un espace euclidien et $f:E→E$ de classe $𝓒¹$, $α > 0$ vérifiant~:
$$∀x∈ E,\ ∀h∈ E,\ (𝕕f_x(h)│h) ⩾ α∥h∥².$$

\qq Montrer pour $x,y∈ E$~: $(f(x)-f(y)│x-y)⩾α∥x-y∥²$.
    En déduire que $f(E)$ est fermé.
\qq Montrer que $f(E)$ est ouvert puis que $f$ est un $𝓒¹$-difféomorphisme
    de~$E$ sur~$E$.

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\ex Difféomorphisme

Soit $f:ℝ→ℝ$ de classe $𝓒¹$ et $k$-lipschitzienne avec $k<1$ et
$\application φ {ℝ²}{ℝ²} {(x,y)} {(x+f(y),y-f(x)).}$

Montrer que $φ$ est un $𝓒¹$-difféomorphisme de~$ℝ²$ sur~$ℝ²$.

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\ex Contre-exemple au théorème de Leibniz

On pose~:
$f(x,y) = \cases{
 x            &si $y\ge0$ et $0⩽x⩽√y$~;\cr
 2√y - x &si $y\ge0$ et $√y < x⩽2√y$~;\cr
 0            &si $y\ge0$ et $2√y < x$ ou $x⩽0$~;\cr
 -f(x,-y)     &si $y<0$.\cr}
$
et~: $F(y) = ∫_{x=0}¹ f(x,y)\,𝕕x$.

Faire un dessin, vérifier que $f$ est continue sur~$ℝ²$.

Calculer $F(y)$ pour $-\frac14⩽y⩽\frac14$, $F'(0)$ et
$∫_{x=0}¹ ∂f/∂y(x,0)\,𝕕x$.

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\ex Centrale MP 2000

Soit $f:ℝⁿ→ℝⁿ$ de classe $𝓒¹$ et $c>0$ tels que, pour tous $x,y$, 
$∥f(x)-f(y)∥⩾c ∥x-y∥$.

\qq Montrer que pour tous $x,h$, $∥𝕕f_x(h)∥⩾c∥h∥$.

\qq Montrer que $f$ est un $𝓒¹$-difféomorphisme sur $ℝⁿ$
    (pour la surjectivité on 
    considèrera, si $a∈ ℝⁿ$, le minimum de $∥f(x)-a∥²$).
    \reponse{$∥f(x)∥⟶_{∥x∥→∞}+∞$ donc $x↦∥f(x)-a∥²$
    admet un minimum sur~$ℝⁿ$. En ce point on a pour tout $h∈ℝⁿ$~:
    $(f(x)-a│𝕕f_x(h)) = 0$ et $𝕕f_x$ est surjective
    (linéaire injective en dimension finie) donc $f(x)=a$.}

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\ex Mines MP 2001

Soient $f$ et $g$ deux fonctions de classe $𝓒¹$ sur $ℝ$ à valeurs
dans $ℝ$ vérifiant~: $∀x∈ℝ,\ f'(x)⩾1$ et $|g'(x)| < 1$.
Soit $φ$ définie sur $ℝ²$ par $φ(x,y) = (f(x)+g(y), f(y)+g(x))$.

\qq Montrer que $φ$ est un $𝓒¹$-difféomorphisme de $ℝ²$ sur $φ(ℝ²)$.
    \reponse{$\det(J_φ(x,y)) =  f'(x)f'(y) - g'(x)g'(y) > 0$ donc le théorème
    d'inversion locale s'applique, il suffit de vérifier l'injectivité de~$φ$.
    Si $φ(x,y) = φ(u,v)$ alors~:
    $$\eqalign{&|x-u|⩽|f(x)-f(u)| = |g(v)-g(y)|⩽|v-y|\cr
               &|v-y|⩽|f(v)-f(y)| = |g(x)-g(u)|⩽|x-u|\cr}$$
    d'où $|x-u|⩽|x-u|$ et il y a inégalité stricte si $v≠y$ ce qui est
    absurde donc $v=y$ et de même $u=x$.}

\qq On suppose qu'il existe $k∈{]0,1[}$ tel que $∀x∈ℝ$, $|g'(x)| < k$~;
    montrer que $φ(ℝ²) = ℝ²$.
    \reponse{On a $φ(x,y) = (u,v)$ si et seulement si $x = f^{-1}(u-g(y))$ et
    $y = f^{-1}(v - g(f^{-1}(u-g(y)))) = h(y)$. $h$ est $k²$-lipschitzienne
    donc le théorème du point fixe s'applique.}

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\ex ENS MP 2002

Soit $f:ℝ²→ℝ$ de classe $𝓒²$ telle que 
$|f(x)|/∥x∥⟶_{∥x∥→∞}+∞$.
Prouver que $𝛻f$ est surjective sur $ℝ²$.
\reponse{Sinon il existe $a∈ℝ²$ telle que $g$~: $x↦f(x)-(a│x)$
n'a pas de point critique, donc pas de minimum ni de maximum.
On a aussi $|g(x)|/∥x∥⟶_{∥x∥→∞}+∞$ d'où $\sup(g) = +∞$
et $\inf(g) = -∞$.
Considérons pour $r> 0$ $E_r = ⦃x∈ℝ²\tq ∥x∥⩾r⦄$~:
$g(E_r)$ est une partie connexe
de~$ℝ$ donc un intervalle, et $\sup(g(E_r)) = \sup(g) = +∞$,
$\inf(g(E_r)) = \inf(g) = -∞$, d'où $g(E_r) = ℝ$. Ainsi il existe des $x$ de
normes arbitrairement
grandes tels que $g(x) = 0$ en contradiction avec la
propriété $|g(x)|/∥x∥⟶_{∥x∥→∞-}∞$.
\smallskip
Remarque~: l'hypothèse $f$ de classe $𝓒²$ est surabondante, la classe $𝓒¹$
suffit à conclure.}

\xe\titre{Équations aux dérivées partielles}

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\ex Solutions polynomiales

Trouver les fonctions polynomiales $f:ℝ²→ℝ$ vérifiant :
$x∂f/∂x + y∂f/∂y = 4f$.

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\ex $2∂f/∂x + 3∂f/∂y = 4f$

Résoudre l'équation $2∂f/∂x + 3∂f/∂y = 4f$ avec la {\it condition aux limites\/}
: $f(t,t) = t\ (t∈ℝ)$
(étudier $φ : t ↦ f(a+bt,a+ct)$ avec $a,b,c$ bien choisis).
\reponse{$f(x,y) = (3x-2y)e^{4(y-x)}$.}

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\ex $∂f/∂x - ∂f/∂y =$ cste

Déterminer les applications $f$ de classe $𝓒¹$ de ${ℝ²}$ dans $ℝ$ vérifiant :
$∂f/∂x - ∂f/∂y = a$ où $a$ est une constante réelle donnée.
On utilisera le changement de variable : $u = x+y$, $v = x-y$.
\reponse{$f(x,y) = \frac a2(x-y) + g(x+y)$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex $x∂f/∂x = y∂f/∂y$

Résoudre sur $(ℝ^{+*})²$ : $x∂f/∂x = y∂f/∂y$,
en posant $u = xy$, $v = x/y$.
\reponse{$f(x,y) = g(xy)$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex $x∂f/∂x + y∂f/∂y = 2$
Soit $U$ l'ouvert de $ℝ²$ : $U = ⦃(x,y) \tq x > 0,\ y > 0⦄$.
Trouver les applications $f:U→ℝ$ de classe $𝓒¹$
vérifiant~: $x∂f/∂x + y∂f/∂y = 2$.
On utilisera le changement de variable : $u = xy$, $v = y/x$.
\reponse{$f(x,y) = \ln|xy| + g(y/x)$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex $x∂f/∂x = -y∂f/∂y$
Résoudre sur $ℝ²∖⦃(0,0)⦄$ : $x∂f/∂x = -y∂f/∂y$,
en posant $x = ρ\cosθ$, $y = ρ\sinθ$.
\reponse{$f(x,y) = g(θ)$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex $y∂f/∂x - x∂f/∂y = 2f$

Soit $f:U→ℝ$ de classe $𝓒¹$ vérifiant :
$y∂f/∂x - x∂f/∂y = 2f$. où $U$ est un ouvert de $ℝ²$.

On pose $g(ρ,θ) = f(ρ\cosθ,ρ\sinθ)$.
Calculer $∂g/∂ρ$, $∂g/∂θ$, puis trouver $f$ …

\qq Si $U = ⦃(x,y) \tq  x > 0⦄$.
    \reponse{$g(ρ,θ) = λ(ρ)e^{-2θ}$.}
\qq Si $U = ℝ²$.
    \reponse{$g$ est $2π$-périodique, donc $λ = 0$, et $f = 0$.}

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\ex Ensi Physique P 94

    Résoudre l'équation aux dérivées partielles suivante~:
    $2xy∂f/∂x + (1+y²)∂f/∂y = 0$
    en utilisant, par exemple, le changement de variable~:
    $x=\dfrac{u²+v²}2$ et $y=\dfrac uv$.
    \reponse{$f(x,y) = g\Bigl(\dfrac{1+y²}x\Bigr)$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Fonctions homogènes

Soit $Ω = ⦃ (x,y)∈ℝ² \tq  (x,y)≠(0,0) ⦄$, et
$f:Ω→ℝ$ une fonction de classe $𝓒¹$.

Montrer que $f$ est positivement homogène de degré $α$ si et seulement si :
$$∀(x,y)∈Ω,\ x∂f/∂x(x,y) + y∂f/∂y(x,y) = αf(x,y).$$

On étudiera $g(ρ,θ) = f(ρ\cosθ,ρ\sinθ)$.

%----------------------------------------------------------------------
\ex
Résoudre l'équation : $x²∂²f/∂x² + 2xy∂²f/∂x∂y + y²∂²f/∂y² = α(α-1)f$
où $α$ est un réel fixé, $α ≠ \frac12$.
On posera $x=ρ\cosθ$, $y=ρ\sinθ$.
\reponse{$f(x,y) = ρ^αA(θ) + ρ^{1-α}B(θ)$.}

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\ex Équation d'ordre 2 à coefficients constants

Soient $a,b,c∈ℝ$ non tous nuls. On considère l'équation aux dérivées
partielles : $$(*) ⇔ a∂²f/∂x² + b∂²f/∂x∂y + c∂²f/∂y² = 0$$ où $f$ est une
fonction inconnue : $ℝ² → ℝ$ de classe $𝓒²$.
Soient $α,β∈ ℝ$ distincts, fixés. On fait le changement de
variable : $u = x+αy$, $v = x+βy$.

\qq Écrire l'équation déduite de $(*)$ par ce changement de variable.
    \reponse{$  (a + bα + cα²)∂²g/∂u²
              + (2a + b(α+β) + 2cαβ)∂²g/∂u∂v
              + (a + bβ + cβ²)∂²g/∂v² = 0$.}
\qq En déduire que l'on peut ramener $(*)$ à l'une des trois formes réduites :\par
    $(1) : ∂²g/∂u∂v  = 0$,\qquad
    $(2) : ∂²g/∂u²  = 0$,\qquad
    $(3) : ∂²g/∂u² + ∂²g/∂v² = 0$.

%----------------------------------------------------------------------
\ex $x²∂²f/∂x² + 2xy∂²f/∂x∂y + y²∂²f/∂y² = 0$
Trouver les applications $f:(ℝ^{+*})²→ℝ$ de classe $𝓒²$
vérifiant : $$x²∂²f/∂x² + 2xy∂²f/∂x∂y + y²∂²f/∂y² = 0.$$
On utilisera le changement de variables : $u = xy$, $v = x/y$.
\reponse{$2u∂²g/∂u² + ∂g/∂u = 0 ⇒
         f(x,y) = A(x/y)√{xy} + B(x/y)$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex $∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² = y/x³$

Soit $g:ℝ→ℝ$ de classe $𝓒²$ et
$\application f {ℝ^*× ℝ} ℝ {(x,y)} {g(y/x).}$

Trouver $g$ telle que $∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² = y/x³$.
\reponse{$2tg'(t) + (1+t²)g''(t) = t ⇒
          g(t) = \frac12 t + λ\arctan t + µ$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex $∂²g/∂x² - 4∂²g/∂y² = 1$

Soit $f:ℝ²→ℝ$ de classe $𝓒²$.
On pose $g(x,y) = f(2x+y,2x-y)$.

\qq Calculer les dérivées partielles secondes de $g$ en fonction de celles
    de $f$.
    \reponse{$∂²g/∂x² = 4∂²f/∂x² + 8∂²f/∂x∂y + 4∂²f/∂y²$\par
             $∂²g/∂y² =  ∂²f/∂x² - 2∂²f/∂x∂y +  ∂²f/∂y²$\par
             $∂²g/∂x∂y = 2∂²f/∂x² - 2∂²f/∂y²$.}

\qq Trouver $f$ telle que $∂²g/∂x² - 4∂²g/∂y² = 1$.
    \reponse{$f(x,y) = \dfrac{xy}{16} + h(x) + k(y)$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex $x²∂²f/∂x² - y² ∂²f/∂y² = 0$

On considère l'équation aux dérivées partielles sur $Ω = (ℝ^{+*})²$ :
$x²∂²f/∂x² - y² ∂²f/∂y² = 0$.

Résoudre cette équation en posant $u = xy$, $v = x/y$.
\reponse{$2u ∂²g/∂u∂v - ∂g/∂v = 0 ⇒
          f(x,y) = g\Bigl(\dfrac xy\Bigr)√{xy} + h(xy)$.}
%----------------------------------------------------------------------
\ex $f(\cos x/\ch y)$ harmonique


Soit $f:{]-1,1[}→ℝ$ de classe $𝓒²$. On considère
$\application g {D ⊂ ℝ²} ℝ {(x,y)} {f(\cos x/\ch y).}$

Déterminer $f$ pour que $g$ vérifie : $∂²g/∂x² + ∂²g/∂y² = 0$.
\reponse{%
$(1-t²)f'' - 2tf' = 0
⇒ f(t) = λ\ln\left|\dfrac {1+t}{1-t} \right| + µ$.}
%----------------------------------------------------------------------
\ex $(x,y) ↦ (x²-y²,2xy)$ préserve les fonctions harmoniques

Pour $(x,y)∈ℝ²$, on pose $u = x²-y²$, $v = 2xy$.

Soit $\application F {ℝ²} ℝ {(u,v)} {F(u,v)}$ et $f$ définie par :
$f(x,y) = F(u,v)$.

Montrer que $∂²F/∂u² + ∂²F/∂v² = 0$ entraîne $∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² = 0$.
\reponse{$Δf = 4(x²+y²)ΔF$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex $x∂²f/∂x² + y∂²f/∂x∂y + ∂²f/∂y² + ∂f/∂x = y$
Soit $f:ℝ²→ℝ$ de classe $𝓒²$ et $g(u,v) = f(uv,u+v)$.

\qq Calculer $∂²g/∂u∂v$.
    \reponse{$∂²g/∂u∂v = uv∂²f/∂x² + (u+v)∂²f/∂x∂y + ∂²f/∂y² + ∂f/∂x$.}
\qq Résoudre l'équation :
    $x∂²f/∂x² + y∂²f/∂x∂y + ∂²f/∂y² + ∂f/∂x = y$.
    \reponse{$f(x,y) = \frac12{xy} + h(u) + k(v)$ avec $u+v=y$, $uv=x$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex $f(√{x²+y²+z²})$ tq $Δf = -f$

Soit $f:ℝ→ℝ$ de classe $𝓒²$ et $g(x,y,z) = f(r)/r$
avec $r = √{x²+y²+z²}$.
Déterminer $f$ de sorte que $∂²g/∂x² + ∂²g/∂y² + ∂²g/∂z² = -g$.
\reponse{$f(r) = A\cos r + B\sin r$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex $x⁴∂²f/∂x² - ∂²f/∂y² = 0$

\qq Trouver les fonctions $g:⦃(u,v)∈ℝ²\tq u > v⦄→ℝ$ de classe $𝓒²$ vérifiant :
    $$∂/∂u(g+v∂g/∂v) = ∂/∂v(g+u∂g/∂u)$$

    (penser au théorème de Poincarré).
    \reponse{Il existe $G$ telle que $∂g/∂u = g+u∂g/∂u = ∂(ug)/∂u$ et
                                     $∂g/∂v = g+v∂g/∂v = ∂(vg)/∂v$.\par
             Donc $G = ug + φ(v) = vg + ψ(u)$, d'où
             $g = \dfrac{φ(v) - ψ(u)}{v-u}$.
             La réciproque est immédiate.}

\qq Résoudre sur $ℝ^{+*}×ℝ$ l'équation : $x⁴∂²f/∂x² - ∂²f/∂y² = 0$ en posant
    $u = y+\dfrac 1x$, $v = y-\dfrac 1x$.
    \reponse{$f(x,y) = x\Bigl(φ\Bigl(y-\dfrac1x\Bigr)
                     + ψ\Bigl(y+\dfrac1x\Bigr)\Bigr)$.}

\xe\titre{Extrémums locaux}

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\ex Étude de points critiques

Chercher les extrémums des fonctions $f(x,y)$ suivantes :
\def\qq{\global\advance\qqnum1\hbox to7mm{\hfil\bf\the\qqnum) }\ignorespaces}
\halign{&\hskip\leftskip\qq#\hfil\cr
%
    $3xy - x³ - y³$
    \reponse{$(0,0)$ : non extrémal\par
             $(1,1)$ : maximum local}
%
&   $-2(x-y)²+x⁴+y⁴$
    \reponse{$(0,0)$ : non extrémal\par
             $±(√2, -√2)$ : minimum absolu}
%
\cr $x²y²(1+3x+2y)$
    \reponse{$(-2/15,-1/5)$ : maximum local \par
             $(x,0)$ : max. local pour $x<-1/3$, min. local pour $x > -1/3$\par
             $(0,y)$ : max. local pour $y<-1/2$, min. local pour $y > -1/2$}
%
&   $2x+y-x⁴-y⁴$
    \reponse{$(2^{-1/3},4^{-1/3})$ : maximum absolu}
%
\cr $\dfrac {xy}{(x+y)(1+x)(1+y)},\ x,y>0$
    \reponse{prendre le log. $(1,1)$ : maximum absolu}
%
&   $xe^y + ye^x$
    \reponse{$(-1,-1)$ : non extrémal}
%
\cr $x(\ln²x + y²)$, $x>0$
    \reponse{$(1,0)$ : minimum absolu\par
             $(e^{-2},0)$ : non extrémal}
%
&   $√{x²+(1-y)²} + √{y²+(1-x)²}$
    \reponse{$= MA + MB ⇒$ minimum absolu sur $[A,B]$}
%
\cr $MA+MB-MO$,\quad $O = \fct{mil}(A,B)$
    \reponse{$M∈\fct{med}(A,B),\ \overline{(\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB})} = ± \dfrac {2π}3$\par
             $M = A,B$ : minimum absolu\par
             $M = O$}
\cr}

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\ex Distances aux sommets d'un triangle

Soit $A∈ℝ^p$ fixé et $\application f {ℝ^p} ℝ M {AM²}$
$\application g {ℝ^p} ℝ M {AM}$ (distance euclidienne).

\qq Calculer les gradients de $f$ et $g$ en un point $M$.
\qq Soient $A,B,C$ trois points non alignés du plan. Trouver les points $M$
    du plan réalisant le minimum de :

\def\sq{\global\advance\sqnum1\hbox to7mm{\hfil\bf\char\the\sqnum) }\ignorespaces}
\halign{&\hskip\leftskip\sq#\hfil\cr
%
  $MA² + MB² + MC²$.     \reponse{isobarycentre de $ABC$.}
& $MA   + MB   + MC  $.  \reponse{Point de Fermat ou $A,B,C$.}
& $MA×MB×MC$.            \reponse{$A,B,C$.}
\cr}

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\ex Aire d'un triangle

Soit $ABC$ un triangle de cotés $a,b,c$.

\qq Calculer l'aire, $S$, de $ABC$ en fonction de $a,b,c$.
    \reponse{$4S=√{2a²b² + 2a²c² + 2b²c² - a⁴ - b⁴ - c⁴}$.}
\qq Montrer que $\dfrac{S}{a²+b²+c²}$ est maximal lorsque $ABC$ est équilatéral.
    \reponse{max = $\dfrac4{√3}$.}

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\ex Centrale MP 2000

On considère un vrai triangle $ABC$ et $f$ la fonction définie par~:
$f(M) = d(M,AB)×d(M,AC)×d(M,BC)$.
Montrer que $f$ admet un maximum à l'intérieur du triangle~$ABC$,
et caractériser géométriquement le point~$M_0$ où~$f$ est maximale.
\reponse{Existence d'un maximum par compacité.
Soient $x,y$ les coordonnées d'un point $M$ dans un repère orthonormé du plan et
$(u,v,w)$ les coordonnées barycentriques de $M$ par rapport à $A,B,C$ (avec $u+v+w=1$).
$u,v,w$ sont des fonctions affines de $x,y,z$ et $(AB)$ a pour équation
barycentrique $w=0$ d'où $d(M,AB) = α|w|$ pour un certain réel $α>0$.
De même pour $d(M,AC)$ et $d(M,BC)$ et $f(M) = αβγ|u||v||w|$.
Lorsque $M$ varie dans le triangle, $(u,v,w)$ décrit tous les triplets de réels positifs de
somme~$1$ et on cherche le maximum du produit $uvw$, il est atteint quand $u,v,w$
sont égaux, c'est-à-dire au centre de gravité du triangle.}

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\ex Loi de réfraction

Soient dans $ℝ²$ : $A=(0,a)$, $B=(b,-c)$ et $M=(x,0)$ ($a,b,c > 0$).
Un rayon lumineux parcourt la ligne brisée $AMB$ à la vitesse $v₁$ de $A$ à $M$
et $v₂$ de $M$ à $B$.
On note $α₁ = \overline{(\vec j,\overrightarrow{MA})}$
        $α₂ = \overline{(-\vec j,\overrightarrow{MB})}$.

\qq Faire une figure.
\qq Montrer que le temps de parcours est minimal lorsque
    $\dfrac{\sinα₁}{v₁} = \dfrac{\sinα₂}{v₂}$.

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\ex Centrale MP 2001

$D₁$, $D₂$, $D₃$ sont trois droites d'un plan portant les côtés
d'un triangle équilatéral de côté~$a$.
On pose $$\applicationφ{D₁×D₂×D₃}ℝ{(M,N,P)}{MN+NP+PM.}$$
Déterminer $\minφ$ et les triplets $(M,N,P)$ où ce minimum est atteint.
\reponse{Le minimum demandé existe car $φ(M,N,P)→+∞$ quand l'un au
moins des points $M,N,P$ tend vers l'infini sur sa droite personnelle.
Soient $D₁∩D₂ = ⦃A⦄$, $D₂∩D₃ = ⦃B⦄$, $D₃∩D₁ = ⦃C⦄$
et $A'$, $B'$, $C'$ les milieux de $[B,C]$, $[C,A]$ et $[A,B]$.
Déjà on a $φ(B',C',A') = \frac32a$ et $φ(A,N,P)⩾2AP⩾a√3$
donc le minimum n'est pas atteint lorsque l'un des points $M,N,P$ est confondu
avec l'un des points $A,B,C$, ni non plus si l'un des points $M,N,P$
est hors du triangle $ABC$.
Pour $N,P$ fixés hors de $D₁$, on fait varier $M$ sur $D₁$~: $M = A + t\overrightarrow{AB}$ avec $t∈ℝ$
et on considère $f(t) = φ(M,N,P)$.
Alors $f'(t) = \Bigl(\overrightarrow{AB} │ \dfrac{\overrightarrow{MN}}{MN} + \dfrac{\overrightarrow{MP}}{MP}\Bigr)$
donc $f(t)$ est minimal lorsque $D₁$ est la bissectrice extérieure des
demi-droites $[MN)$ et $[MP)$.
\smallskip
Soit $(M,N,P)$ un triplet réalisant le minimum de~$φ$ et $α,β,γ$
les angles du triangle $MNP$ en $P,M$ et $N$. Les angles du triangle
$AMN$ sont $π/3$, $(π-β)/2$ et $(π-γ)/2$ d'où
$2π/3 = β+γ = π-α$ et donc $α = π/3 = β = γ$.
On en déduit que $(MP)$ est paralèle à $(AB)$, $(MN)$ à $(BC)$ et $(NP)$
à $(AC)$ puis que $(M,N,P) = (B',C',A')$.}

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\ex Centrale MP 2006
$E$ désigne l'espace affine euclidien classique. $D₁$, $D₂$, $D₃$
sont trois droites deux à deux non parallèles.
\smallskip
Soit $\application f {D₁×D₂×D₃} ℝ {(M₁,M₂,M₃)}
{∥\overrightarrow{M₁M₂}∥² + ∥\overrightarrow{M₂M₃}∥² + ∥\overrightarrow{M₃M₁}∥².}$

\qq Montrer que $f$ admet un minimum atteint pour un unique triplet.
    \reponse{On fixe $A_i∈ D_i$ et $u_i$ un vecteur directeur
    de~$D_i$. Soit $M_i = A_i + x_iu_i$. Alors

    $$\eqalign{f(M₁,M₂,M₃) &= f(A₁,A₂,A₃)\cr
                    &+ 2\Bigl(
                        (\overrightarrow{A₁A₂}│ x₂u₂ - x₁u₁)
                      + (\overrightarrow{A₂A₃}│ x₃u₃ - x₂u₂)
                      + (\overrightarrow{A₃A₁}│ x₁u₁ - x₃u₃)
                     \Bigr)\cr
                    &+ \Bigl(
                        ∥x₂u₂ - x₁u₁∥²
                      + ∥x₃u₃ - x₂u₂∥²
                      + ∥x₁u₁ - x₃u₃∥²
                     \Bigr)\cr
                    &= a + b(x₁,x₂,x₃) + c(x₁,x₂,x₃).}$$

    $b$ est une forme linéaire et $c$ est une forme quadratique positive,
    et même définie positive car $u₁,u₂,u₃$ sont deux
    à deux non colinéaires. Il en résulte que
    $f(M₁,M₂,M₃) ⟶_{|x₁|+|x₂|+|x₃|→∞}+∞$, donc par
    continuité, $f$ admet un minimum.
    \smallskip
    Choisissons alors $A₁,A₂,A₃$ de sorte que $f(A₁,A₂,A₃)$ soit égal
    à ce minimum. On a alors $b=0$ car $(A₁,A₂,A₃)$ est point critique
    de~$f$, d'où $f(M₁,M₂,M₃) > f(A₁,A₂,A₃)$ si $(x₁,x₂,x₃)≠(0,0,0)$
    vu la définie-positivité de~$c$. Ceci prouve l'unicité du triplet
    où $f$ atteint son minimum.}

\qq Dans le cas où $D₁$, $D₂$, $D₃$ sont coplanaires et délimitent
    un triangle équilatéral, trouver ce triplet.
    \reponse{On soupçonne fortement le triplet constitué des milieux
    des côtés. En notant $A₁,A₂,A₃$ ces milieux, il suffit de
    vérifier que la forme linéaire $b$ de la réponse précédente
    est nulle, et c'est clairement le cas après regroupement autour
    de~$x₁$, $x₂$, $x₃$.}
 
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\ex Ajustement linéaire

Problème d'ajustement linéaire : Etant donné $n$ couples de réels
$(x_i,y_i)\ 1⩽i⩽n$,
on cherche une droite $D$ d'équation $y = ax+b$ telle que
$µ(a,b) = ⅀_{i=1}ⁿ (y_i-ax_i-b)²$ soit minimal.

On note $\overline  x    = \dfrac 1n ⅀_{i=1}ⁿ x_i$,
        $\overline  y    = \dfrac 1n ⅀_{i=1}ⁿ y_i$,
        $\overline {x²} = \dfrac 1n ⅀_{i=1}ⁿ x_i²$,
        $\overline {xy} = \dfrac 1n ⅀_{i=1}ⁿ x_iy_i$,
et on suppose $\overline {x²} ≠ \overline x²$.

\qq  Résoudre le problème.
\qq  Interpréter la relation $\overline {x²} ≠ \overline x²$
     à l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

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\ex Plus court chemin, ENS Ulm-Lyon-Cachan MP$^*$ 2005

Déterminer le plus court chemin entre les pôles nord et sud d'une sphère en dimension $3$.
\reponse{On paramètre le chemin en coordonnéees sphériques par $t↦ (θ(t),φ(t))$.

La longueur du chemin est ${∫_{t=0}^{1}√{φ'^{2}(t)+\sin^{2}(φ(t))θ'^{2}(t)}𝕕t⩾\Bigl|∫_{t=0}^{1}φ'(t)𝕕t\Bigr|}$ avec égalité si et 
seulement si $θ'=0$ et $φ'$ est de signe constant. On trouve donc les méridiens.}

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\ex Point non extrémal

On pose pour $(x,y)∈ℝ²$~:
$$f(x,y) = x²+y²-2x²y - \dfrac{4x⁶y²}{(x⁴+y²)²}\quad\text{si }(x,y)≠ 0,
\qquad f(0,0)=0.$$

\qq Montrer que $f$ est continue sur $ℝ²$.
    \reponse{$2x⁴y²⩽(x⁴+y²)²$.}
\qq Soit $θ∈ℝ$ fixé et $g_θ(r) = f(r\cosθ,r\sinθ)$.
    Montrer que $g_θ$ admet un minimum local strict en~$r=0$.
    \reponse{$g_θ(r)\sim r²$.}
\qq Calculer $f(x,x²)$. Conclusion~?
    \reponse{$f(x,x²)=-x⁴$. Donc $(0,0)$ n'est pas minimum local de~$f$.}

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\ex Centrale MP 2001

Soit $f$ une forme linéaire sur $E$ espace euclidien et $g(x) = f(x)e^{-∥x∥²}$.
Montrer que $g$ admet un minimum et un maximum.
\reponse{Il existe une base orthonormale de~$E$ et un réel $λ$
tels que $f(x) = λ x₁$ et $g(x) = λ x₁e^{-x₁²}e^{-x₂²-…-x_n²}$.
Donc $g$ est maximale/minimale pour $x₁=±1/√2$, $x₂=…=x_n=0$.}

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\ex Centrale MP 2000
Soit $Ω$ un ouvert borné de $ℝ²$ et $u:\overline{Ω}→ℝ$ continue sur 
$\overline{Ω}$ et $𝓒²$ sur $Ω$.

\qq On suppose que $Δu>0$. Montrer que $\max\limits_{(x,y)∈ \overline{Ω}}u(x,y)=
    \max\limits_{(x,y)∈ \overline{Ω}∖ Ω}u(x,y)$.
    \reponse{Si $u$ atteint son maximum en $(x,y)∈Ω$ alors $𝕕²u(x,y)$ est
    négative, contradiction avec $Δu(x,y)>0$.}
\qq Même question en supposant seulement $Δu⩾0$.
    \reponse{Soit $u_p(x,y) = u(x,y) + (x²+y²)/p$~: $Δu_p = Δu + 2/p >0$
    donc $u_p$ relève du cas précédent.

    \def\maxl{\max\limits}
    On a $\maxl_Ω u  + \dfrac Mp⩾\maxl_Ω u_p = \maxl_{\overlineΩ∖Ω} u_p
    ⩾\maxl_{\overlineΩ∖Ω} u$ et on passe à la limite.}
\qq Soit $0<r₁<r₂$, $A=⦃(x,y)∈ ℝ² \,|\, r₁²<x²+y²<r₂²⦄$.
    On suppose que $u$ est  
    continue sur $\overline{A}$, $𝓒²$ sur $A$ et que $Δu⩾0$ sur $A$.
    On pose pose
    $M(r)=\max\limits_{x²+y²=r²} (u(x,y))$.

    Montrer que, pour tout $r₁⩽r⩽r₂$, 
    $M(r)⩽\dfrac{M(r₁)\ln(r₂/r)+M(r₂)\ln (r/r₁)}{\ln (r₂/r₁)}$.

    Indication~: la fonction $v$ : $(x,y)↦\ln(x²+y²)$ vérifie $Δv = 0$.
    \reponse{Soit $u₁(x,y) = u(x,y) + α\ln(x²+y²)$ où $α$ est
    tel que $M₁(r₁) = M₁(r₂)$,

    avec
    $M₁(r) = \max\limits_{x²+y²=r²} (u(x,y))$.
    On a $Δu₁⩾0$ d'où $M₁(r)⩽M₁(r₁) = M₁(r₂)$ c'est-à-dire~:
    $$M(r)⩽M(r₁) + α\ln(r₁/r) = M(r₂)-α\ln(r/r₂)
    = \dfrac{M(r₁)\ln(r₂/r)+M(r₂)\ln (r/r₁)}{\ln (r₂/r₁)}.$$}

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\ex Extremums liés, ENS Ulm-Lyon-Cachan MP$^*$ 2005
Soit $B$ la boule unité de $ℝ^{n}$, $f$ de classe $𝓒¹$ sur $B$ et $x∈B$ tel que $f(x)=\max⦃f(y),\ y∈B⦄$.

Montrer que $𝛻f(x)=λx$ avec $λ⩾0$.
\reponse{Soit $y∈ B$ orthogonal à $x$. La fonction $g : θ ↦ f(x\cos θ +y\sin θ)$ admet un extrémum en $0$, donc
$g'(0)=0$, soit $𝛻f(x)┻y$. Si $x=0$ on a donc $𝛻f(0) = 0$.
Sinon, $𝛻f(x) = λx$ avec $λ∈ℝ$,
et en faisant un développement limité de $f(x-tx)$ on voit
que $λ⩾0$.} 

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\ex CCP 2016
Soit~$u$ un endomorphisme symétrique d'un espace vectoriel euclidien~$E$
muni du produit scalaire noté $(\ │\ )$ et de la norme associée.
Soit~$b∈E$. On pose $f(x) = (u(x)│x) - (b│x)$.

\qqsq Montrer que $f$ est différentiable en tout point $x$ et que
      sa différentielle vaut $𝕕f_x(h) = (2u(x)-b│h)$.
      \reponse{Développer $f(x+h)$ et utiliser la symétrie de~$u$.}
  \sq En déduire le gradient de~$f$.
      \reponse{$𝛻f(x) = 2u(x)-b$.}
  \sq Justifier que~$f$ est $𝓒¹$ sur~$E$.
      \reponse{$u$ est continue en tant qu'endomorphisme d'un ev de dimension
               finie.}

\qq On suppose $\sp(u)⊂{]0,+∞[}$.
    \sq Trouver les points critiques de~$f$.
        \reponse{$u$ est bijective~; le seul point annulant $𝛻f(x)$ est
                 $x=\frac12u^{-1}(b)$.}
    \sq Montrer que~$f$ n'a pas de maximum global sur~$E$.
        \reponse{Soit $λ∈\sp(u)$ et $x_λ$ un vecteur propre associé.
                 On a $f(tx_λ) = t²λ∥x_λ∥² - t(b│x_λ)⟶_{t→+∞}+∞$.}
    \sq Montrer que~$f$ admet un minimum global en un point que l'on précisera.
        \reponse{Soit~$x₀=\frac12u^{-1}(b)$ le point critique de~$f$.
                 On a $f(x₀+h) = f(x₀) + (u(h)│h)$ et $(u(h)│h)>0$
                 si $h≠0$ par décomposition de~$h$ dans une base orthonormale
                 propre pour~$u$. Donc $f$ admet un minimum global strict
                 en~$x₀$.}

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\ex Mines 2017

\qq Soit $f : U→ℝ$ dérivable, où $U$ est un ouvert de $ℝ$, admettant un
    extremum local en $x₀$. Montrer que $f'(x₀) = 0$.

\qq Donner un théorème équivalent lorsque $U$ est un ouvert de $ℝ²$, et
    le démontrer.

\qq Trouver les extremums de $f : (x, y) ↦ |\sin (x + iy)|²$ sur l'ensemble
    $U = ⦃(x, y)\tq x² + y² ⩽ 1⦄$.
    \reponse{$f(x,y)=\ch²(y)-\cos²(x) = \sh²(y) + \sin²(x)$.
             Le seul point critique dans
             $\interieur U$ est $(x,y)=(0,0)$ et il y a minimum global.
             Comme $U$ est compact et $f$ continue, il y a aussi
             un maximum atteint sur la frontière.
             \medskip
             Soit $φ(θ) = f(\cosθ,\sinθ) = \sin²\cosθ + \sh²\sinθ$~:
             $φ'(θ) = \sin2θ\left(
             \dfrac{\sh(2\sinθ)}{2\sinθ}
           - \dfrac{\sin(2\cosθ)}{2\cosθ}\right)$ s'annule uniquement
             pour $θ\equiv 0\pmod {π/2}$. On obtient $\max(f) = \sh²(1)$.}


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\bye

