\input exos
\fiche{Propriétés de $ℚ$}

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\ex Parties fractionnaires

Soit $x=p/q ∈ ℚ^*$ avec $p,q$ entiers, $q⩾1$, $p∧q = 1$.
Calculer $⅀_{k=0}^{q-1} ⦃kx⦄$.
\reponse{$=½(q-1)$.}

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\ex Dénominateurs dans un sous-anneau

Soit $A$ un sous-anneau de $ℚ$. On écrit les éléments de $A$ sous forme
irréductible~; soit $P$ l'ensemble des dénominateurs.
Montrer que $A = ⦃ \frac mp \tq m ∈ ℤ$, $p ∈ P⦄$.
\reponse{Si $p ∈ P$ : $∃n∈ℤ$ tel que $\frac np ∈ A$ avec $n∧p=1$.

Alors pour tous $x,y ∈ ℤ$, on a $\frac{nx+py}p ∈ A$, donc $\frac 1pℤ ⊂ A$.}

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\ex Les sous-anneaux de $ℚ$ sont principaux

Soit $A$ un sous-anneau de $ℚ$. Montrer que $A$ est principal
(si $I$ est un idéal de $A$, considérer $I∩ℤ$).

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\ex Décomposition en inverses

Soit $x∈ℚ$, $0<x<1$. On définit une suite $(x_n)$ de rationnels par
récurrence :

{\medskip\advance\leftskip7mm\leavevmode\llap{-- }%
$x₀ = x$,

\leavevmode\llap{-- }%
Si $x_n$ existe et est non nul, soit $k_n∈ℕ^*$ le plus petit entier tel que
$1/k_n⩽ x_n$.

On pose $x_{n+1} = x_n - 1/k_n$,

\leavevmode\llap{-- }%
Si $x_n = 0$, on s'arrête. Dans ce cas, $x = 1/k₀ + 1/k₁ + … + 1/k_{n-1}$.
\medskip}
\qq Montrer que la suite est toujours finie.
    \reponse{Si $x_n=\frac pq≠0$ : $\frac1{k_n}⩽ \frac pq < \frac1{k_n-1}$,
             $⇒ x_{n+1} = \frac{k_np-q}{k_nq}$ et $0⩽k_np-q<p$.
    Donc la suite des numérateurs est strictement décroissante.}

\qq Montrer que si $k_{i+1}$ existe, alors $k_{i+1} > k_i(k_i-1)$.
    \reponse{Car $x_{n+1} = \frac pq-\frac1{k_n} < \frac1{k_n-1}-\frac1{k_n}$.}
\qq Réciproquement, soit une décomposition :
    $x = 1/n₀ + … + 1/n_p$ avec $n_i ∈ ℕ^*$ et $n_{i+1} > n_i(n_i-1)$.
    Montrer que pour tout $i$, on a $n_i = k_i$.
    \reponse{$n_p > n_{p-1}(n_{p-1}-1) ⇒
             \frac 1{n_{p-1}} + \frac 1{n_p} < \frac 1{n_{p-1}-1}$.\par
             $n_{p-1}-1 ⩾ n_{p-2}(n_{p-2}-1) ⇒
             \frac 1{n_{p-2}} + \frac 1{n_{p-1}-1} ⩽ \frac 1{n_{p-2}-1}$,
             etc.\par
             Finalement, $x < \frac 1{n₀-1} ⇒ n₀ = k₀$.\par
             (cf. INA opt. 1977)}

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\ex Combinaison de fractions

Soient $\frac ab < \frac cd$ deux rationnels avec $a,c∈ℤ$, et $b,d∈ℕ^*$.

\qq Prouver que tout rationnel s'écrit : $x = \frac{ma+nc}{mb+nd}$ avec
    $m,n∈ℤ$ et $mb+nd ≠ 0$.
    \reponse{Pour $x = \frac pq$, on peut prendre : $m = qc-pd$, $n = pb-qa$.}
\qq Étudier l'unicité d'une telle écriture.
    \reponse{$(m,n)$ est unique à un facteur près.}
\qq Montrer que $\frac{ma+nc}{mb+nd}$ est compris entre $\frac ab$ et $\frac cd$
    si et seulement si $m$ et $n$ ont même signe.
    \reponse{$\frac{ma+nc}{mb+nd} - \frac ab = \frac{n(bc-ad)}{b(mb+nd)}$,
          et $\frac cd - \frac{ma+nc}{mb+nd} = \frac{m(bc-ad)}{d(mb+nd)}$.}

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\ex Équations algébriques

Déterminer $x ∈ ℚ$ sachant que :

{\bf1)} $2x³-x²+x+1 = 0$.        \reponse{\qq $x=-½$.}
{\bf2)} $6x^5+11x⁴-x³+5x-6 = 0$. \reponse{\qq $x=⅔$.}
{\bf3)} $2x³-x-4 = 0$.           \reponse{\qq pas de solution.}

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\ex $x^y = y^x$

On cherche les couples $(x,y) ∈ (ℚ^{+*})²$ tels que $x < y$
et $x^y = y^x$ ($x^y,y^x∈ℝ$).

On pose $x = \frac pq$, $y = \frac {p'}{q'}$ (formes irréductibles),
$d = pq'∧p'q$, $pq' = ad$ et $p'q = bd$.

\qq Montrer qu'il existe $m,n∈ℕ^*$ tels que :
    $p=m^a$, $p'=m^b$, $q=n^a$ et $q'=n^b$.
    \reponse{$x^y = y^x ⇔ \frac{p^{p'q}}{q^{p'q}} = \frac{p'^{pq'}}{q'^{pq'}}$
    (formes irréductibles)
    $⇒ p^{p'q} = p'^{pq'}$ et $q^{p'q} = q'^{pq'}
     ⇒ p^b = p'^a$ et $q^b = q'^a$.\par
    Comme $a∧b = 1$, on décompose $p,p',q,q'$ en facteurs premiers,
    d'où le résultat.}

\qq En déduire : $b-a = m^{b-a} - n^{b-a}$.
    \reponse{$( pq' = m^a n^b$, $p'q = m^b n^a$, $m∧n = 1$, $a<b )
             ⇒( d=m^a n^a$, $a=n^{b-a}$ et $b = m^{b-a})$.}

\qq Montrer que $b-a ⩽ 1$ et conclure.
    \reponse{$m⩾n+1$ donc si $b-a ⩾ 2$, on a :
             $m^{b-a}-n^{b-a} = (m-n)(m^{b-a-1} + … + n^{b-a-1}) > b-a$.\par
             Donc $b-a=1=m-n$, $a=n$, $x=(1+\frac1n)ⁿ$ et
             $y=(1+\frac1n)^{n+1}$.\par
             Ces valeurs conviennent.}

\bye
