\input exos
\fiche{Matrices}

                                                        \titre{Calculs}
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\ex Équation $AX = B$

Soit $A = \mat(1&2&3\cr 2&3&4\cr 3&4&5 \cr)$.

\qq Montrer que l'équation en $X$ : $AX = B$, $X,B ∈ 𝓜_{3,n}(𝕂)$,
    a des solutions si et seulement si
    les colonnes de $B$ sont des progressions arithmétiques
    (traiter d'abord le cas $n=1$).

\qq Résoudre $AX = \mat(3 &3 \cr 4 &5 \cr 5 &7)$.
    \reponse{$X = \mat( α    & 1 + β \cr
                       -2α   &1 - 2β \cr
                       1 + α & β     \cr)$.}

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\ex Équation $XA = B$

Soient $A = \matr( 1&2&-1 \cr 2&-1&-1 \cr -5&0&3 )$ et
       $B = \matr(-2&1&1  \cr 8&1&-5  \cr 4&3&-3 )$.
Existe-t-il une matrice $X$ telle que $XA = B$ ?
\reponse{$X = \mat(a&2a-1&a \cr b+2&2b+3&b \cr c+2&2c+1&c)$.}

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\ex Équation $aX + (trX)A = B$

Soit $α ∈ 𝕂$, et $A,B ∈ 𝓜_n(𝕂)$. Étudier l'équation d'inconnue
$X ∈ 𝓜_n(𝕂)$ : $α X + (\tr X)A = B$.
\reponse{$(α + \tr A)\tr X = \tr B$.

Si $α(α + \tr A) ≠ 0$, il y a une solution unique :
$X = \dfrac 1α\left(B - \dfrac {\tr B}{α + \tr A}A\right)$.

Si $α = 0$, il y a des solutions ssi $A$ et $B$ sont proportionnelles.

Si $α + \tr A = 0$, il y a des solutions ssi $\tr B = 0$ :
$X = \dfrac 1α B + λ A$.}

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\ex Calcul de $Aⁿ$ par la formule du binôme

Soit $A = \mat( 1&0&0\cr 0&1&1\cr 1&0&1)$.
En écrivant $A = I + J$, calculer $Aⁿ$, $n ∈ ℤ$.
\reponse{$Aⁿ = \mat(1&0&0\cr {½n(n+1)}&1&n\cr n&0&1)$.}

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\ex Calcul de $Aⁿ$ par polynôme annulateur

Soit $A = \mat(1 &2 &3\cr 2 &3 &1\cr 3 &1 &2)$.

\qq Vérifier que $(A-6I)(A²-3I) = 0$.
\qq Soit $n∈ℕ$ et $P_n$ le polynôme de degré inférieur ou égal à 2
    tel que
    $P(6) = 6ⁿ$, $P(√3) = √3ⁿ$, et $P(-√3) = (-√3)ⁿ$.
    Montrer que $Aⁿ = P_n(A)$.
\qq Même question pour $n ∈ ℤ$.

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\ex Calcul de $A^k$

Calculer $A^k$ pour $k ∈ ℕ$ :

{\bf1)} $A = \mat(1&&{(2)}\cr &⋱\cr {(2)}&&1)$.
    \reponse{\qq$\mat(a&&{(b)}\cr &⋱\cr {(b)}&&a)$ avec
             $na = (2n-1)^k + (n-1)(-1)^k$ et
             $nb = (2n-1)^k -      (-1)^k$.}
%
{\bf2)} $A = \mat(1 &2 &3 &4 \cr
                  0 &1 &2 &3 \cr
                  0 &0 &1 &2 \cr
                  0 &0 &0 &1 \cr)$.
    \reponse{\qq$\mat(
             1 &2k &2k²+k  &⅓{(4k³ + 6k² + 2k)}\cr
             0 &1  &2k     &2k²+k              \cr
             0 &0  &1      &2k                 \cr
             0 &0  &0      &1                  \cr)$.}
%
{\bf3)} $A = \mat(x²  &xy  &xz \cr
                  xy  &y²  &yz \cr
                  xz  &yz  &z² \cr)$.
   \reponse{\qq
            $\left[\mat(x\cr y\cr z)\mat(x&y&z)\right]^k
            = (x²+y²+z²)^{k-1}A$.}

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\ex Inversion de matrices

Inverser les matrices suivantes :

{\bf1)} $\mat(0&&{(1)}\cr &⋱\cr {(1)}&&0)$
    \reponse{\qq $\dfrac{A + (2-n)I}{n-1}$.}
%
{\bf2)} $\mat(a&&{(b)}\cr&⋱\cr {(b)}&&a)$
    \reponse{\qq $\dfrac 1{(a-b)(a+(n-1)b)}\mat(
             {a+(n-2)b} &    &{(-b)}     \cr
                        &⋱              \cr
             {(-b)}     &    &{a+(n-2)b} \cr)$.}
%
{\bf3)} $\mat(1    &1  &   &{(0)}\cr
                   &⋱ &⋱       \cr
                   &   &⋱ &1    \cr
              {(0)}&   &   &1    \cr)$
   \reponse{\qq $\mat(1  &-1  &1  &⋯   &±1 \cr
                         &⋱  &⋱ &⋱  &⋮  \cr
                         &    &⋱ &⋱  &1  \cr
                         &    &   &⋱  &-1 \cr
                    {(0)}&    &   &    &1  \cr)$.}
%
{\bf4)} $\mat(1  &\barα &\barα² \cr
              α  &1     &\barα  \cr
              α² &α     &1      \cr)$, $α ∈ ℂ$
   \reponse{\qq $\dfrac 1{1-α\barα}\mat(1  &-\barα   &0      \cr
                                        -α &1+α\barα &-\barα \cr
                                        0  &-α       &1      \cr)$.}

{\bf5)} $\mat({(0)}&   &a_n  \cr
                   &⋰       \cr
               a₁  &   &{(0)}\cr)$
    \reponse{\qq $\mat({(0)}  &  &1/a_n \cr
                              &⋰       \cr
                         1/a₁ &  &{(0)} \cr)$.}
%
{\bf6)} $\mat(1+\frac 1{λ₁} &   &{(1)}          \cr
                            &⋱                 \cr
              {(1)}         &   &1+\frac 1{λ_n} \cr)$
   \reponse{\qq $\diag(λ_i) - \dfrac 1{1 + λ₁ +… + λ_n}(λ_iλ_j)$.}

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\ex Effet des arrondis

Soient $A = \matl(1   &1/2 &1/3 \cr
                  1/2 &1/3 &1/4 \cr
                  1/3 &1/4 &1/5 \cr)$
et     $B = \matl(1    &0.5  &0.33 \cr
                  0.5  &0.33 &0.25 \cr
                  0.33 &0.25 &0.20 \cr)$.
Calculer $A^{-1}$ et $B^{-1}$.
\reponse{$A^{-1} = \matr( 9 &  -36 &   30 \cr
                        -36 &  192 & -180 \cr
                         30 & -180 &  180 \cr)$,
         $B^{-1} = \frac{100}{63}\matr(
             35 & -175 &  161 \cr
           -175 &  911 & -850 \cr
            161 & -850 &  800 \cr)
                ≈ \matr(
             55.6 &  -277.8 &   255.6 \cr
           -277.8 &  1446.0 & -1349.2 \cr
            255.6 & -1349.2 &  1269.8 \cr)$.}

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\xe
                                                     \titre{Similitude}
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\ex Changement de base

Soit $f$ l'application linéaire de $ℝ⁴$ dans $ℝ³$ dont la matrice
relativement aux bases canoniques, $(I,J,K,L)$ et $(i,j,k)$ est
$\matr(4 &5  &-7 &\phantom-7 \cr
       2 &1  &-1 &3          \cr
       1 &-1 &2  &1          \cr)$.

On définit deux nouvelles bases :
$𝓑 = (I,J,4I+J-3L,-7I+K+5L)$ et $𝓑' = (4i+2j+k,5i+j-k,k)$.

Quelle est la matrice de $f$ relativement à $𝓑$ et $𝓑'$ ?

\reponse{$M = \mat(1 &0 &0 &0 \cr
                   0 &1 &0 &0 \cr
                   0 &0 &0 &0 \cr)$.}

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\ex Matrices semblables

Soient $A = \mat(1 &1 &0 &0 \cr
                 0 &1 &1 &0 \cr
                 0 &0 &1 &1 \cr
                 0 &0 &0 &1 \cr)$
et     $B = \mat(1 &2 &3 &4 \cr
                 0 &1 &2 &3 \cr
                 0 &0 &1 &2 \cr
                 0 &0 &0 &1 \cr)$.
Montrer que si $\car(𝕂)≠2$ alors $A$ et $B$ sont semblables.
On cherchera $P$ inversible telle que $PB = AP$.
\reponse{$P = \mat(a &b  &c     &d        \cr
                   0 &2a &3a+2b &4a+3b+2c \cr
                   0 &0  &4a    &12a+4b   \cr
                   0 &0  &0     &8a       \cr)$
         est inversible pour $a≠ 0$.}

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\ex Matrices semblables

Montrer que $M = \matr(2 &-1/2  &-1/2 \cr
                       0 & 1/2  & 1/2 \cr
                       1 &-1/2  & 1/2 \cr)$
et          $N = \matr(1   &1   &0 \cr
                       0   &1   &1 \cr
                       0   &0   &1 \cr)$
sont semblables.

\reponse{$N = P^{-1}AP$ avec $P = \matr(1 &1  &1  \cr
                                        1 &-1 &1  \cr
                                        1 &1  &-1 \cr)$.}

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\ex Matrices non semblables

Montrer que $A = \mat(1 &2 &3 \cr
                      0 &1 &2 \cr
                      0 &0 &1 \cr)$
et          $B = \mat(3 &1 &2 \cr
                      2 &0 &1 \cr
                      1 &0 &0 \cr)$
ne sont pas semblables.

\reponse{$B-I$ est inversible.}

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\ex Matrices non semblables

Soient $A = \matr( 29 & 38 &-18 \cr
                  -11 &-14 &  7 \cr
                   20 & 27 &-12 \cr)$
et     $B = \matr(  7 & -8 &  4 \cr
                    3 & -3 &  2 \cr
                   -3 &  4 & -1 \cr)$.

Montrer que $A$ et $B$ ont même rang, même déterminant, même trace mais ne sont
pas semblables (calculer $(A-I)²$ et $(B-I)²$).

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\ex Matrices semblables~?

Les matrices
$\mat(0&1&1&0\cr 0&0&1&0\cr 0&0&0&0\cr 0&0&0&0)$ et
$\mat(0&0&0&0\cr 0&0&1&1\cr 0&0&0&1\cr 0&0&0&0)$
sont-elles semblables~?
\reponse{oui, $P=\mat(0&1&0&0\cr 0&0&1&0\cr 0&0&0&1\cr 1&0&0&0)$.}

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\ex Matrices semblables ?

Soit $u∈𝓛(ℝ³)$ ayant pour matrice dans la base canonique
$M = ½\mat(5 &1 &?\cr 2 &1 &?\cr 1 &0 &0)$ et
$M' = \mat(1 &1 &0\cr 0 &1 &1\cr 0 &0 &1)$ dans une autre base.
Donner la matrice de passage.
\reponse{On doit avoir $(M-I)^3=0$, ce qui impose
         $M = ½\matr(5 &1 &-9\cr 2 &1 &-1\cr 1 &0 &0)$.
         En prenant $Z∈ℝ³$ tel que $(M-I)²Z≠0$, par exemple
         $Z=\mat(1\cr0\cr0)$, puis $Y=(M-I)Z$,
         $X=(M-I)Y$ et $P=\mat(X&Y&Z)$ on obtient une solution.}

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\ex Matrices triangulaires nilpotentes

\qq Soit $A$ une matrice triangulaire à diagonale nulle.
    Montrer que $A$ est nilpotente.
\qq Soit $A ∈ 𝓜_n(𝕂)$ une matrice nilpotente d'indice $n$ et $φ$
    l'endomorphisme de $𝕂ⁿ$ associé.

    On note $E_i = \Ker φ^i$, et $e_i$ un vecteur quelconque choisi
    dans $E_i ∖ E_{i-1}$ $(e₁ ∈ E₁ ∖ ⦃0⦄)$.

    \sq Justifier l'existence de $e_i$.
    \sq Montrer que la famille $(e_i)$ est une base de $𝕂ⁿ$.
    \sq En déduire que $A$ est semblable à une matrice triangulaire à
        diagonale nulle.

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\xe
                                           \titre{Parties remarquables}
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\ex Matrices en damier

Soit $M = (a_{ij}) ∈ 𝓜_n(𝕂)$. On dit que $M$ est {\it en damier\/} si
$a_{ij} = 0$ pour $j-i$ impair.
On note $𝓓$ l'ensemble des matrices $n×n$ en damier.
Montrer que $𝓓$ est une sous-algèbre de $𝓜_n(𝕂)$.
Quelle est sa dimension ?

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\ex Matrices stochastiques

Soit $𝓓 = ⦃A=(a_{ij}) ∈ 𝓜_n(ℝ) \tq ∀i,j$, $a_{ij} ⩾ 0$ et
$∀i$, $⅀_{j=1}ⁿ a_{ij} = 1⦄$.

\qq Montrer que $𝓓$ est stable par multiplication.
\qq Déterminer les matrices $A ∈ 𝓓$ inversibles telles que $A^{-1} ∈ 𝓓$.
    \reponse{%
    Si $A,B ∈ 𝓓$ et $AB = I$, alors pour $i ≠ j$ : $∀k$, $a_{ik}b_{kj} = 0$.

    Soit $a_{i1} ≠ 0$ : alors $b_{1j} = 0$ pour tout $j ≠ i$, donc
    $a_{i1} = b_{1i} = 1$.

    Donc chaque colonne de $A$ contient $n-1$ fois $0$ et une fois $1$.
    $A$ étant inversible, c'est une matrice de permutation.}

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\ex Matrices centrosymétriques

Soit $A = (a_{ij}) ∈ 𝓜_n(𝕂)$. On dit que $A$ est {\it centro-symétrique\/}
si pour tous $i,j$ : ${a_{n+1-i,n+1-j} = a_{ij}}$.
Montrer que si $A$ et $B$ sont centro-symétriques, il en est de même de $AB$.
Montrer que si $A$ est centro-symétrique et inversible alors $A^{-1}$ est aussi
centro-symétrique.

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\ex Algèbre de matrices

On note
$U = \mat(1 &⋯ &1 \cr ⋮ &  &⋮\cr 1 &⋯ &1) ∈ 𝓜_n(ℝ)$
     et $𝓐 = ⦃aU + bI \tq a,b ∈ ℝ⦄$ pour $n ⩾ 2$.

\qq Montrer que $𝓐$ est une sous algèbre commutative de $𝓜_n(ℝ)$.
\qq Soit $M = aU+bI ∈ 𝓐$. Montrer que $M$ possède un inverse dans
    $𝓐$ si et seulement si $b(b+na) ≠ 0$, et le cas échéant, donner $M^{-1}$.
    \reponse{$M^{-1} = \dfrac {-a}{b(na+b)}U + \dfrac 1bI$.}
\qq Montrer que si $b(b+na) = 0$, alors $M$ n'est pas inversible dans $𝓜_n(ℝ)$.
\qq Trouver les matrices $M ∈ 𝓐$ vérifiant : $Mⁿ = I$.
    \reponse{$Mⁿ = \dfrac {(na+b)ⁿ-bⁿ}nU + bⁿI$.
             Si $n$ est pair, $Mⁿ=I ⇔ M=I$ ou $M=±(I-\frac2nU)$.
             Si $n$ est impair, $Mⁿ=I ⇔ M=I$.}

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\ex Centre de $GL_n(𝕂)$

On suppose $\car(𝕂)≠2$ et on note $(E_{ij})$ la base canonique de
$𝓜_n(𝕂)$.

\qq Montrer que $F_{ij} = I + E_{ij}$ est inversible.
\qq En déduire que $\vect(GL_n(𝕂)) = 𝓜_n(𝕂)$.
\qq Quel est le centre de $GL_n(𝕂)$ ?

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\ex Centre de $GL_n(𝕂)$

Soit $f ∈ 𝓛(E)$ ayant même matrice dans toutes les bases de $E$.
Montrer que $f$ est une homothétie.

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\ex Centre des matrices triangulaires unipotentes

On note $𝓖 = ⦃A = (a_{ij}) ∈ 𝓜_n(𝕂)$ tq $a_{ij} = 0$ si $i>j$ et $a_{ii} = 1⦄$.

\qq Montrer que $𝓖$ est un sous-groupe de $GL_n(𝕂)$.
\qq En utilisant la base canonique de $𝓜_n(𝕂)$, déterminer le centre de
    $𝓖$ et montrer que c'est un groupe commutatif isomorphe à $(𝕂,+)$.
    \reponse{%
    Pour $i<j$, on doit avoir $M(I+E_{ij}) = (I+E_{ij})M$ donc
    $a_{ki} = 0$ si $k ≠ i$ et $a_{jk} = 0$ si $k ≠ j$. On obtient
    $M = \mat(1 &0  &⋯  &0  &* \cr
                &⋱ &⋱ &   &0  \cr
                &   &⋱ &⋱ &⋮ \cr
                &0  &   &⋱ &0  \cr
                &   &   &   &1  \cr)$.}

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\ex Commutant d'une matrice diagonale

Soit $A ∈ 𝓜_n(𝕂)$ et $𝓒_A = ⦃M ∈ 𝓜_n(𝕂) \tq AM = MA⦄$
({\it commutant de $A$}).
\label{commdiag}

\qq  Montrer que $𝓒_A$ est une sous-algèbre de $𝓜_n(𝕂)$.
\qq Soit $A = \diag(λ₁, λ₂,…, λ_n)$ une matrice
    diagonale dont tous les $λ_i$ sont distincts.

     \sq Chercher $𝓒_A$.
     \sq On suppose $\card(𝕂)⩾n$. 
         Soit $\application φ {𝓜_n(𝕂)} {𝓜_n(𝕂)} M {MA-AM.}$
         Montrer que $\Im φ$ est l'ensemble des matrices à diagonale nulle.

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\ex Matrices de trace nulle

Soit $𝕂$ un corps de caractéristique nulle et
$M ∈ 𝓜_n(𝕂)$ non scalaire telle que $\tr M = 0$.

\qq Montrer qu'il existe une matrice colonne $X₁$ telle que $MX₁$ ne soit
    pas colinéaire à $X₁$.
\qq En déduire que $M$ est semblable à une matrice
    $N = \mat(0&⋯\cr⋮&M₁)$ où $M₁ ∈ 𝓜_{n-1}(𝕂)$ et $\tr M₁ = 0$.
\qq Montrer que $M$ est semblable à une matrice à diagonale nulle.
\qq En utilisant l'exercice \ref{commdiag}, montrer qu'il existe
    $A,B ∈ 𝓜_n(𝕂)$ telles que $M = AB-BA$.

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\ex Tout hyperplan de $𝓜_n(𝕂)$ contient une matrice inversible

Soit $H$ un hyperplan de $𝓜_n(𝕂)$ avec $n⩾2$.

\qq Montrer qu'il existe $A ∈ 𝓜_n(𝕂)$ telle que
    $H = ⦃M \tq \tr(AM) = 0⦄$.
\qq En déduire que $H$ contient une matrice inversible.
    \reponse{Si $A$ est diagonale :
             $M = \mat(0  &⋯  &0   &1 \cr
                       1  &⋱ &    &0 \cr
                          &⋱ &⋱  &⋮ \cr
                       0  &   &1   &0 \cr)$.
    Si $a_{kℓ} ≠ 0$ : $M = I - \dfrac {\tr A}{a_{kℓ}}E_{ℓ k}$.}

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\ex Matrices magiques

Une matrice carrée $M$ est dite {\it magique\/} si les sommes des coefficients
de $M$ par ligne et par colonne sont constantes.
On note $s(M)$ leur valeur commune.

Soit $U = \mat(1 &⋯ &1 \cr
               ⋮&  &⋮\cr
               1 &⋯ &1 \cr)$
et $𝓜 = ⦃$matrices $n×n$ magiques$⦄$.

\qq Montrer que $𝓜$ est une sous-algèbre de $𝓜_n(𝕂)$ et
    $s:𝓜→𝕂$ est un morphisme d'algèbre (calculer $MU$ et $UM$).

\qq Si $M$ est magique inversible, montrer que $M^{-1}$ est aussi magique.

\qq Montrer que si $\car(𝕂)≠2$, $𝓜$ est la somme directe du sev des
    matrices magiques symétriques et du sev des matrices magiques
    antisymétriques.

\qq Pour $M ∈ 𝓜_n(𝕂)$, on note $φ_M$ l'endomorphisme de $𝕂ⁿ$
    canoniquement associé à $M$.

    Soit $𝓗 = ⦃(x₁,… ,x_n) ∈ 𝕂ⁿ \tq x₁ +… + x_n = 0⦄$
    et   $𝓚 = ⦃(x,…,x) ∈ 𝕂ⁿ⦄$.

    \sq Montrer que : $M ∈ 𝓜 ⇔ 𝓗$ et $𝓚$ sont stables par $φ_M$.
    \sq En déduire dim($𝓜$).

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\ex Quaternions

Montrer que
$𝓒 = \left⦃M = \mat(a&b\cr-b&a) ∈ 𝓜_2(ℝ) \right⦄$
est un corps isomorphe à $ℂ$.

Montrer que
$𝓗 = \left⦃M = \mat(a&b\cr-\bar b&\bar a) ∈ 𝓜_2(ℂ) \right⦄$
est un anneau non commutatif où tout élément non nul est inversible.

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\ex Groupes de matrices

Soit $𝓖 ⊂ 𝓜_n(𝕂)$ tel que pour la multiplication, $𝓖$ soit un
groupe. On note $J$ l'élément neutre et pour $M ∈ 𝓖$,
$φ_M$ l'endomorphisme de $𝕂ⁿ$ canoniquement associé à $M$.

\qq Montrer que $φ_J$ est une projection.
    \reponse{$J² = J$.}
\qq Montrer que : $∀M ∈ 𝓖$, $φ_{M|\Kerφ_J} = 0$ et
    $φ_{M|\Imφ_J}$ est un isomorphisme de $\Imφ_J$.
    \reponse{$JM = MJ$.}
\qq On note $k=\rg(J)$.
    Montrer que $𝓖$ est isomorphe à un sous-groupe de $GL_k(𝕂)$.

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\ex Idéaux de $𝓜_n(𝕂)$

Une partie $𝓘 ⊂ 𝓜_n(𝕂)$ est appelée {\it idéal à droite
de $𝓜_n(𝕂)$\/} si c'est un sous-groupe additif vérifiant :
$$∀A ∈ 𝓘,\ ∀B ∈ 𝓜_n(𝕂),\ AB ∈ 𝓘.$$

Pour $A ∈ 𝓜_n(𝕂)$, on note $𝓗_A$ le sev de $𝓜_{n,1}(𝕂)$ engendré par
les colonnes de $A$, et $𝓘_A$ l'idéal à droite engendré par $A$ :
$𝓘_A = ⦃AM \tq M ∈ 𝓜_n(𝕂)⦄$.
\medskip
\qq Soient $A,M ∈ 𝓜_n(𝕂)$. Montrer que : $M ∈ 𝓘_A ⇔ 𝓗_M ⊂ 𝓗_A$.
\qq Soient $A,B ∈ 𝓜_n(𝕂)$. Montrer qu'il existe $C ∈ 𝓜_n(𝕂)$ telle que
    $𝓗_A + 𝓗_B = 𝓗_C$. Simplifier alors $𝓘_A + 𝓘_B$.
\qq Soit $𝓘$ un idéal à droite de $𝓜_n(𝕂)$. Montrer que $𝓘$ est un sev
    de $𝓜_n(𝕂)$, puis qu'il existe $A ∈ 𝓜_n(𝕂)$ telle que $𝓘 = 𝓘_A$.
\qq Que peut-on dire des idéaux {\it à gauche\/} de $𝓜_n(𝕂)$ ?

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\ex Matrices antisymétriques

Soit $E = ⦃$matrices de $𝓜_n(ℝ)$ antisymétriques$⦄$ et
$\application f E E M {^tAM+MA}$ où $A ∈ 𝓜_n(ℝ)$.

\qq Montrer que $f$ est un endomorphisme.
\qq Quelle est la trace de $f$ ?
\reponse{La base canonique de $E$ est $(F_{ij} = E_{ij}-E_{ji})_{1⩽ i<j ⩽ n}$ où
$(E_{ij})$ est la base canonique de $𝓜_n(ℝ)$ :
Si $M ∈ E$, la coordonnée de $M$ suivant $F_{ij}$ est le coefficient d'indices
$i,j$ de $M$. En particulier, en notant $A = (a_{ij})$, la coordonnée de
$f(F_{ij})$ suivant $F_{ij}$ est $a_{ii}+a_{jj}$, donc :
$$\tr f = ⅀_{i,j} (a_{ii} + a_{jj}) = (n-1)\tr A.$$}

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\ex Matrice compagne

Soit $A = \mat(a₁  &1  &0 &⋯  &0 \cr
               a₂  &0  &1 &⋱ &⋮\cr
               ⋮  &⋮ &⋱ &⋱ &0 \cr
               ⋮  &⋮ &   &⋱ &1 \cr
               a_n &0  &⋯  &⋯ &0 \cr) ∈ 𝓜_n(𝕂)$ et $𝓒(A)$ son commutant.

Montrer que pour $M,N ∈ 𝓒(A)$ on a~: $M=N ⇔ M$ et $N$ ont la même
dernière colonne.
En déduire que $𝓒(A) = 𝕂_{n-1}[A]$.

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\xe
                                                     \titre{Opérations}
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\ex Homographies

Pour $M = \mat(a&b\cr c&d) ∈ GL₂(ℝ)$, on note
$\application {f_M} {ℝ ∪ ⦃∞⦄} {ℝ ∪ ⦃∞⦄} x {\dfrac {ax+b}{cx+d}.}$

Montrer que $M ↦ f_M$ est un morphisme de groupes de $GL₂(ℝ)$ dans
$𝓢_{ℝ ∪ ⦃∞⦄}$. Quel est son noyau ?

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\ex Opérations par blocs

\qq Soient $A₁ ∈ 𝓜_{n,p₁}(𝕂)$, $A₂ ∈ 𝓜_{n,p₂}(𝕂)$,
    $B₁ ∈ 𝓜_{p₁,q}(𝕂)$, $B₂ ∈ 𝓜_{p₂,q}(𝕂)$.

    On pose $A = \mat(A₁&A₂) ∈ 𝓜_{n,p₁+p₂}(𝕂)$
    et $B = \mat(B₁\cr B₂) ∈ 𝓜_{p₁+p₂,q}(𝕂)$.

    Montrer que $AB = A₁B₁ + A₂B₂$.

\qq Soit $M = \mat(A & B \cr 0 & C)$
    où $A,B,0,C$ sont des matrices de tailles $p×p$, $p×q$, $q×p$, $q×q$
    (matrice triangulaire par blocs).
    Montrer que $M$ est inversible si et seulement si $A$ et $C$ le sont.
    Le cas échéant, donner $M^{-1}$ sous la même forme.
    \reponse{$M^{-1}=\mat(A^{-1}&-A^{-1}BC^{-1}\cr 0&C^{-1})$.}
\qq En déduire une démonstration de la propriété :
    {\it L'inverse d'une matrice triangulaire est triangulaire.}

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\ex Décomposition d'une matrice en matrices inversibles

Soit $𝕂$ ayant au moins trois éléments et $A ∈ 𝓜_n(𝕂)$. Montrer qu'il existe
$U,V ∈ GL_n(𝕂)$ telles que $A = U+V$. Donner un contre-exemple si
$\card(𝕂)=2$.

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\ex Mines 2014
Existe-t-il une base de~$𝓜_n(ℂ)$ constituée de matrices inversibles~?
\reponse{Oui~: $I_n+E_{ij}$, $i,j∈⟦1,n⟧$.}

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\ex Conjugaison

\qq Soit $P ∈ GL_n(𝕂)$. Montrer que l'application
    $\application {φ_P} {𝓜_n(𝕂)} {𝓜_n(𝕂)} M {P^{-1}MP}$ est un isomorphisme
    d'algèbre.

\qq Soit $φ$ : $A = (a_{ij}) ↦ A' = (a_{n+1-i,n+1-j})$.

    \sq Montrer que $φ$ est un isomorphisme d'algèbre de $𝓜_n(𝕂)$.
    \sq Trouver une matrice $P ∈ GL_n(𝕂)$ telle que $φ = φ_P$.

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\ex Valeurs propres de $AB$ et $BA$

Soient $A ∈ 𝓜_{n,p}(𝕂)$ et $B ∈ 𝓜_{p,n}(𝕂)$. On note $C = I_n - AB$ et
$D = I_p - BA$
($I_n,I_p = $ matrices unité d'ordres $n$ et $p$).

\qq Montrer que si $C$ est inversible, alors $D$ l'est aussi
    (résoudre $DX = 0$).
\qq Le cas échéant, exprimer $D^{-1}$ en fonction de $A,B,C^{-1}$.
    \reponse{$D^{-1} = BC^{-1}A + I_p$.}
\qq En déduire que $AB$ et $BA$ ont les mêmes valeurs propres non nulles.
    Examiner le cas de la valeur propre $0$ si $n = p$.

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\ex $M$ antisymétrique $⇒ I+M$ est inversible

Soit $M ∈ 𝓜_n(ℝ)$ antisymétrique.

\qq Montrer que $I+M$ est inversible (si $MX = 0$, calculer ${}^t(MX)(MX)$).
\qq Soit $A = (I-M)(I+M)^{-1}$. Montrer que ${}^tA = A^{-1}$.

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\ex Équation $X² + X = A$

Soit $A = \mat(1&1\cr 1&1)$. On veut résoudre l'équation dans
$𝓜_2(𝕂)$ : $X² + X = A$.

Soit $X$ une solution et $φ_A$, $φ_X$ les endomorphismes de $𝕂²$
de matrices $A$ et $X$ dans la base canonique.

\qq Montrer que $X$ ou $X+I$ n'est pas inversible.
\qq Si $X$ n'est pas inversible, montrer que $X$ est proportionnelle à $A$
    (on montrera que $\Kerφ_X = \Kerφ_A$ et $\Imφ_X = \Imφ_A$).
\qq Résoudre l'équation.
    \reponse{$X∈⦃-A,½A,A-I,-½A - I⦄$ si $\car(𝕂)≠2$,
             $X∈⦃-A,A-I⦄$ si $\car(𝕂)=2$.}

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\ex Forme bilinéaire trace

\qq Soit $A ∈ 𝓜_{n,p}(𝕂)$ non nulle. Montrer que l'application
    $\application {f_A}{𝓜_{p,n}(𝕂)}{𝕂} X {\tr(AX)}$ est une forme linéaire
    non nulle sur $𝓜_{p,n}(𝕂)$.

\qq Réciproquement : Soit $φ:𝓜_{p,n}(𝕂)→𝕂$ une forme linéaire
    quelconque. Montrer qu'il existe une unique matrice $A ∈ 𝓜_{n,p}(𝕂)$
    telle que $φ = f_A$ (on pourra considérer l'application $A ↦ f_A$).

\qq Soit $φ:𝓜_n(𝕂)→𝕂$ une forme linéaire vérifiant :
    $∀X,Y ∈ 𝓜_n(𝕂),\ φ(XY) = φ(YX)$.
    Montrer qu'il existe $λ ∈ 𝕂$ tel que $φ = λ\tr$.

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\ex Matrice vérifiant $A^k = I$

Soit $A ∈ 𝓜_n(𝕂)$ telle que $A^k = I$ avec $k≠0$ et $k≠\car(𝕂)$.
On pose $B = I + A + A² +… + A^{k-1}$.
Soient $u,v$ les endomorphismes de $𝕂ⁿ$ matrices $A$ et $B$ dans la base
canonique.

\qq Montrer : $\Ker (u-\id) = \Im v$, $\Im(u-\id) = \Ker v$,
    $\Ker v ⊕ \Im v = 𝕂ⁿ$.
\qq En déduire : $\tr B = k\rg B$.
    \reponse{$u_{|\Im v} = \id ⇒ \tr(u_{|\Im v}) = \rg v
                              ⇒ \tr(v_{|\Im v}) = k\rg v$.}

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\ex Suite récurrente linéaire matricielle

Soient $A,B ∈ 𝓜_n(𝕂)$. Exprimer en fonction de $k$ le terme général de la
suite $(M_k)$ de matrices de $𝓜_n(𝕂)$ définie par :
$M₀$ est donnée, $M_{k+1} = AM_k + B$.

\reponse{$M_k = A^kM₀ + S_kB$ avec
$S_k = I + A +… + A^{k-1} = (I-A^k)(I-A)^{-1}$ si $I-A$ est inversible.}

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\ex $A, A², A³$ données $⇒ A^p$

Soit $A ∈ 𝓜_n(𝕂)$. On suppose qu'il existe $λ,µ ∈ 𝕂$ et $U,V ∈ 𝓜_n(𝕂)$
tels que : $A  = λU  + µV$, $A² = λ²U + µ²V$, $A³ = λ³U + µ³V$.

\qq Montrer que : $∀p ∈ ℕ^*$, $A^p = λ^pU + µ^pV$
    (chercher une relation linéaire entre $A$, $A²$, $A³$).
    \reponse{$A³ - (λ+µ)A² + λµ A = 0$.}

\qq On suppose ici $λ≠µ$, $λ≠0$ et $µ≠0$.
    Soit $X$ un vecteur propre de $A$. Montrer que $X$ est vecteur propre de
    $U$ et de $V$ avec les valeurs propres $0,0$ ou $1,0$, ou $0,1$.
    \reponse{$U=\dfrac{µA-A²}{λ(µ-λ)}$, $V=\dfrac{λA-A²}{µ(λ-µ)}$
    et la valeur propre est $0$, $λ$ ou $µ$.}

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\ex $A > 0, X > 0$ et $A^kX = X$

Soit $A ∈ 𝓜_{n,p}(ℝ)$. On dit que $A$ est positive si tous ses
coefficients sont strictement positifs.

Soit $M ∈ 𝓜_n(ℝ)$ positive. On suppose qu'il existe $X ∈ 𝓜_{n,1}(ℝ)$
positif et $k∈ℕ^*$ tels que $M^kX = X$.
Montrer qu'il existe $Y ∈ 𝓜_{n,1}(ℝ)$ positif tel que $MY = Y$.

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\ex Conservation de l'inverse sur un sous-corps

Soit $M ∈ 𝓜_n(ℚ)$. Comparer les énoncés :
$(1)⇔M$ est inversible dans $𝓜_n(ℚ)$ et
$(2)⇔M$ est inversible dans $𝓜_n(ℂ)$.

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\xe
                                                         \titre{Divers}
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\ex Coefficients du binôme

Soit $A ∈ 𝓜_{n+1}(ℚ)$ telle que $a_{ij} = \bin{j-1}{i-1}$.
Interpréter $A$ comme la matrice d'un endomorphisme simple de $ℚ_n[X]$.
En déduire la matrice $A^{-1}$.

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\ex Coefficients du binôme

Soit $A ∈ 𝓜_n(𝕂)$ telle que $a_{ij} = (-1)^{n-j}\bin{n-j}{i-1}$.

\qq Interpréter $A$ comme la matrice d'un endomorphisme de $𝕂_{n-1}[X]$.
    \reponse{$φ(P) = (-X-1)^{n-1}P\left(-\dfrac 1{X+1}\right)$.}
\qq En déduire $A³$.
    \reponse{$I$.}


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\ex Classes d'équivalence dans $𝓜_{n,1}(ℤ)$

\qq Soit $M ∈ 𝓜_n(ℤ)$. Montrer que $M ∈ GL_n(ℤ)$ si et seulement si
    $|\det M| = 1$.
\qq Soit $X = \mat(x₁ \cr ⋮ \cr x_n) ∈ 𝓜_{n,1}(ℤ)$ et
    $d$ le pgcd de $x₁,…, x_n$.
    Montrer qu'il existe $A ∈ GL_n(ℤ)$ telle que
    $AX = \mat(d \cr 0\cr ⋮ \cr 0)$ (par récurrence sur $n$).
\qq Soient $X,Y ∈ 𝓜_{n,1}(ℤ)$. CNS pour qu'il existe $A ∈ GL_n(ℤ)$
    telle que $AX = Y$ ?

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\ex Rayon spectral d'une matrice à coefficients positifs

Soit $A = (a_{ij}) ∈ 𝓜_n(ℝ)$ avec : $∀i,j$, $a_{ij} > 0$.
On munit $𝓜_{n,1}(ℝ)$ de la relation d'ordre :
$$(X ⩾ Y) ⇔ (∀i,\ x_i ⩾ y_i),$$
et on pose pour $X ∈ 𝓜_{n,1}(ℝ)$, $X ⩾ 0$, $X≠ 0$ :
$$\eqalign{R(X) &= \sup⦃ r ⩾ 0 \tq AX ⩾ rX⦄,\cr
           R    &= \sup⦃R(X) \tq X ⩾ 0, X ≠ 0⦄. \cr}$$

\qq Montrer que $R$ est fini et qu'il existe $X₀ ∈ ℝⁿ$ tel que $R(X₀) = R$.
    \reponse{Compacité.}

\qq Montrer que toutes les coordonnées de $X₀$ sont strictement positives.
    \reponse{%
    Si $x₁ = 0$, on pose $Y = \mat(α \cr x₂ \cr ⋮ \cr x_n)$ :

    $R(Y) ⩾ \min\Bigl( a_{11} + \dfrac {a_{12}x₂ +… + a_{1n}x_n}{α},
    \dfrac {α a_{21}}{x₂} + R(X₀),…, \dfrac {α a_{n1}}{x_n} + R(X₀) \Bigr)
    > R(X₀)$ pour $α > 0$ assez petit.}

\qq On pose $AX₀ = RX₀ + Y$. Montrer que $Y = 0$.
    \reponse{%
    Si $y₁ > 0$, on pose $X = X₀ + \mat(α\cr0\cr⋮\cr0)$ :
    $AX - RX = Y + α\mat(a_{11}-R\cr a_{21}\cr⋮\cr a_{n1})$,
    donc pour $α > 0$ assez petit, $R(X) > R$.}

\qq Soit $λ$ une valeur propre complexe de $A$.
    Montrer que $|λ| ⩽ R$, et $(|λ| = R) ⇔ (λ = R)$.
    \reponse{Inégalité triangulaire.}

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\ex ENS MP 2002
Que dire des morphismes de groupe $φ:GL_n(ℝ)→ℤ/pℤ$~?
\reponse{%
Soit $φ$ un tel morphisme. Alors pour toute matrice $M∈ GL_n(ℝ)$
on a $\dot{0} = pφ(M) = φ(M^p)$, donc $φ$ s'annule
sur toute matrice qui est une puissance $p$-ème.
Notons $P(i,j,α)$ la matrice de l'opération élémentaire $L_i ←L_i + α L_j$,
qui est aussi la matrice de l'opération élémentaire $C_j ← C_j + α C_i$.
Toute matrice $M ∈ GL_n(ℝ)$ peut être transformée, à l'aide de ces seules
opérations élémentaires, en une matrice $M' = \diag(1,…,1,\det(M))$
par une adaptation de l'algorithme de Gauss. Comme $P(i,j,α) = P(i,j,α/p)^p$
et $\det(M) = ±(|\det(M)|^{1/p})^p$, on obtient~:
$φ(M) = \dot{0}$ si $\det(M) > 0$ et $φ(M) = φ(\diag(1,…,1,-1)) = x$
si $\det(M) < 0$. Réciproquement, la fonction $φ$ ainsi définie est
effectivement un morphisme de groupe si et seulement si $2x = \dot{0}$, soit
$x=\dot{0}$ pour $p$ impair, et $x∈⦃\dot{0},\dot q⦄$ pour $p=2q$.
}
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\ex Tas de cailloux, Centrale 2014
On s'intéresse aux matrices~$A$ de coefficients $a_{ij}$ entiers, de diagonale
nulle et dont les termes non diagonaux valent $±1$.
\qq Calculer $\det(A)$ dans le cas où tous les termes non diagonaux valent~$1$
    et en déduire que dans le cas général $A$ est inversible si $n$ est pair
    (on pourra raisonner modulo~$2$).
    \reponse{Si $A=\mat[0&(1)\cr(1)&0\cr]∈𝓜_n(ℝ)$ alors $\rg(A+I_n)=1$ donc
             $-1$ est valeur propre de~$A$ d'ordre au moins $n-1$ et la dernière
             valeur propre vaut~$n-1$ puisque $\tr(A)=0$.
             Ainsi $\det(A)=(-1)^{n-1}(n-1)$.
             \medskip
             Dans le cas général, $A$ est congrue modulo~$2$ à la matrice précédente
             donc les déterminants le sont aussi.
             En particulier, si $n$
             est impair, $\det(A)$ est impair donc non nul.}
\qq Que dire du rang de~$A$ si $n$ est impair~?
    \reponse{La sous-matrice obtenue en retirant la dernière ligne et la dernière
             colonne est inversible donc ${\rg(A)⩾n-1}$.}
\qq Soit un tas de $n$ cailloux tel que si l'on en retire un, on puisse toujours
    faire deux tas de même masse avec les $n-1$ cailloux restants.
    Montrer que~$n$ est impair.
    \reponse{Soit $M=(m_i)$ la matrice colonne constituée des masses des cailloux
             (supposées strictement positives). Retirer le caillou~$i$ et diviser les
             $n-1$ restants en deux tas de même masse revient à trouver une matrice
             ligne $L_i$ dont le $i$-ème coefficient est nul et les autres valent~$±1$,
             telle que $L_iM=0$. Si $A$ est la matrice constitué des lignes~$L₁,…,L_n$
             alors $AM=0$ avec $M≠0$ donc $A$ est non inversible et $n$ est impair.}
\qq Montrer que pour~$n$ impair, il existe un nombre fini de masses à une constante
    multiplicative près permettant de réaliser la condition précédente.
    \reponse{Il y a un nombre fini de matrices~$A$ possibles et pour chacune,
             la colonne~$M$ doit être dans le noyau de~$A$ qui est de dimension~$1$
             puisque $\rg(A)⩾n-1$.}
\qq On impose à présent que pour~$n=2k+1$, quelque soit le caillou que l'on retire,
    il est possible de former deux tas de~$k$ cailloux de même masse.
    Montrer que tous les cailloux ont même masse.
    \reponse{Si~$A$ est la matrice associée aux retraits, $A\mat(1\cr⋮\cr1\cr)=0$
             et $AM=0$. Ces deux vecteurs sont proportionnels vu $\rg(A)$.}


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\ex Matrice tridiagonale, ENS ULC 2015

Soit $A∈𝓜_n(ℝ)$ définie par $A=\mat[ 2 & -1 &        &        & (0) \cr
				     -1 & 2   & -1     &        &    \cr
				        & -1  & \ddots & \ddots &    \cr
				        &     & \ddots & \ddots & -1 \cr
				    (0) &     &        & -1     & 2  \cr]$.
\medskip
\qq Montrer que, pour tout $v∈ℝ^n$, si les coefficients de $Av$ sont tous positifs alors les coefficients de $v$ sont tous positifs.
\reponse{Soit $p$ le plus petit indice tel que $v_p=\mathop{\min}\limits_{1⩽i⩽n}v_i$.
Si $p=1$ on obtient $2v_1⩾v_2⩾v_1$ et donc $v_1⩾0$. De même si $p=n$. On suppose que $2⩽p⩽n-1$. On a alors $2v_p⩾v_{p-1}+v_{p+1}⩾2v_p$ avec égalité si et seulement si $v_{p-1}=v_{p+1}=v_p$, ce qui est impossible d'après la définition de $p$. Donc $v_p > 0$.
}
\qq Montrer que $A$ est inversible et que son inverse est à coefficients positifs.
\reponse{Soit $v$ tel que $Av=0$. D'après la question précédente on sait que, pour tout $i$, $v_i⩾0$.  Soit $p$ le plus petit indice tel que $v_p=\mathop{\max}\limits_{1⩽i⩽n}v_i$. Si $p=1$ alors $0=2v_1-v_2⩾v_1$ et donc $v_1=0$ puis $v=0$. De même si $p=n$. On suppose que $2⩽p⩽n-1$. On a alors $2v_p=v_{p-1}+v_{p+1}$, ce qui entraîne $v_{p-1}=v_p$ et contredit la définition de $p$. On en déduit que $v=0$ et donc que $A$ est inversible. Soit $v_i$ la $i$-ème colonne de $A^{-1}$. Tous les coefficients de $Av_i$ sont positifs, donc les  coefficients de $v_i$ sont tous positifs. 
}
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\bye
