\input exos
\fiche{Équations linéaires}

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\ex Systèmes avec paramètre

Étudier l'existence de solutions des systèmes :

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\qq $\left⦃\matrix{
     x      &+&  y &+& (1-m)z  &=& m+2  \cr
     (1+m)x &-&  y &+& 2z      &=& 0    \cr
     2x     &-& my &+& 3z      &=& m+2. \cr}\right.$
\reponse{Système de Cramer ssi $m≠0,±2$ ; compatible ssi $m≠2$.}
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\smallskip\qq $\left⦃\matrix{
     x  &-& my  &+& m²z &=& m   \cr
     mx &-& m²y &+& mz  &=& 1   \cr
     mx &+& y   &-& m³z &=& -1. \cr}\right.$
\reponse{Système de Cramer ssi $m≠0,±1,±i$ ; compatible ssi $m≠0,±i$.}
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\smallskip\qq $\left⦃\matrix{
     x      &+& my &+& z      &=& 1   \cr
     (m+1)x &+& 2y &+& (m-3)z &=& -1  \cr
     (m-1)x & &    &-& 3z     &=& -1. \cr}\right.$
\reponse{Système de Cramer ssi $m≠1,±2i$ ; compatible ssi $m≠1$.}
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\smallskip\qq $\left⦃\matrix{
     3mx     &+& (3m-7)y &+& (m-5)z  &=& m-1  \cr
     (2m-1)x &+& (4m-1)y &+& 2mz     &=& m+1  \cr
     4mx     &+& (5m-7)y &+& (2m-5)z &=& 0.   \cr}\right.$
\reponse{Système de Cramer ssi $m ≠0,-2$ ; sinon incompatible.}
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\smallskip\qq $\left⦃\matrix{
      x       &+&       y &+&       z &= &1       \cr
      ax      &+&      by &+&      cz &= &d       \cr
      a(a-1)x &+& b(b-1)y &+& c(c-1)z &= &d(d-1). \cr}\right.$
\reponse{Système de Cramer ssi $a,b,c$ sont distincts.
         Sinon, il y a des solutions ssi $d∈⦃a,b,c⦄$.}
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\smallskip\qq $\left⦃\matrix{
     x   &+& y &+& z &+& t &=& a \cr
     x   &-& y &-& z &+& t &=& b \cr
     -x  &-& y &+& z &+& t &=& c \cr
     -3x &+& y &-&3z &-&7t &=& d.\cr}\right.$
\reponse{Système compatible ssi $3a+2b+2c+d=0$.}
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\smallskip\qq $\left⦃\matrix{
     4x &+&3y &+&2z &+& t &=& a \cr
      x &+&4y &+&3z &+&2t &=& b \cr
     2x &+& y &+&4z &+&3t &=& c \cr
     3x &+&2y &+& z &+&4t &=& d.\cr}\right.$
\reponse{Système de Cramer.}
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\smallskip\qq $\left⦃\matrix{
     x\cos2α  &+& y\cosα &+& z &=& a \cr
     x\cos2β  &+& y\cosβ &+& z &=& b \cr
     x\cos2γ  &+& y\cosγ &+& z &=& c.\cr}\right.$
\reponse{Système de Cramer ssi $\cosα,\cosβ,\cosγ$ sont distincts.
         Sinon, il y a des solutions ssi les seconds membres
         correspondants sont égaux.}

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\smallskip\qq $\left⦃\matrix{
      ax-by=p\cr
      by-cz=q\cr
      cz-ax=r.\cr}\right.$
\reponse{CN d'existence de solution : $p+q+r = 0$. C'est une CNS si la liste
         $(a,b,c)$ comporte au plus un zéro.}

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\smallskip\qq $\left⦃\matrix{
     ax &+&  by &+&  z &=& 1 \cr
      x &+& aby &+&  z &=& b \cr
      x &+&  by &+& az &=& 1.\cr}\right.$
\reponse{Système de Cramer ssi $a≠1,-2$ et $b≠0$. \par
         Pour $b=0$ : système incompatible.\par
         Pour $a=1$ : système compatible ssi $b=1$.\par
         Pour $a=-2$ : système compatibmle ssi $b=-2$.}
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\smallskip\qq $\left⦃\openup3pt\matrix{
      \dfrac x{1+a} &+& \dfrac y{1+2a} &+& \dfrac z{1+3a} &=& 1 \cr
      \dfrac x{2+a} &+& \dfrac y{2+2a} &+& \dfrac z{2+3a} &=& 1 \cr
      \dfrac x{3+a} &+& \dfrac y{3+2a} &+& \dfrac z{3+3a} &=& 1.\cr}\right.$
\reponse{Décomposition en éléments simples de
$F = \dfrac x{X+a} + \dfrac y{X+2a} + \dfrac z{X+3a}$ avec
$F(1) = F(2) = F(3) = 1$. Il y a une solution unique si $a ≠ 0$.}
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\ex Système incompatible

Soit $(S) ⇔ AX = B$ un système linéaire incompatible. Montrer que les lignes
de $A$ sont liées.

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\ex Combinaison de formes linéaires

Soient $f,f₁,…,f_p$ des formes linéaires sur $𝕂^n$ linéairement
indépendantes.
Montrer que $f$ est combinaison linéaire de $f₁,…,f_p$ si et seulement si
$Ker f ⊃ \Ker f₁ ∩ … ∩ \Ker f_p$.

Indication :
Étudier le système $ \left⦃\matrix{
                               f₁(x) &=& 0  \cr
                                     &⋮    \cr
                               f_p(x) &=& 0 \cr
                               f(x)   &=& 1.\cr }\right.$

\medskip
Le résultat est-il encore vrai si on ne suppose pas $(f₁,…,f_p)$ libre ?

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\ex Orthogonal d'un sev

Soit $E$ un $𝕂$-ev de dimension $n$ et $F$ un sev de $E^*$ dimension $p$.

On note $F^⊥ = ⦃x∈E \tq ∀f∈F$ on a $f(x) = 0⦄$.
Chercher $\dim F^⊥$.

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\ex Système de Vandermonde

Soient $α₁,…,α_n$, $n$ scalaires distincts et
$M$ la matrice $(α_i^{j-1})$ (matrice de Vandermonde).

Montrer que $M$ est inversible en interprétant le système $MX = 0$ dans
$𝕂_{n-1}[x]$.

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\ex Formule d'intégration numérique

Trouver trois réels $α,β,γ$ tels que pour tout polynôme de degré $⩽3$ on ait :
$$∫_{t=2}⁴ P(t)\,𝕕t = αP(2) + βP(3) + γP(4).$$
\reponse{$α = \frac 13$, $β = \frac 43$, $γ = \frac 13$.}

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\ex Système non linéaire

Résoudre le système : $\left⦃\matrix{
  x³y²z⁶    &=& 1 \cr
  x⁴y⁵z^{12} &=& 2 \cr
  x²y²z⁵    &=& 3.\cr }\right.$

\qq Lorsque $x,y,z$ sont réels strictement positifs.
\qq Lorsque $x,y,z∈ℂ$.

\reponse{$\matr(3 &2 &6  \cr
                4 &5 &12 \cr
                2 &2 &5  \cr)^{-1} =
          \matr(-1 & -2 &  6 \cr
                -4 & -3 & 12 \cr
                 2 &  2 & -7 \cr) ⇒
          \left⦃\matrix{
                  x &=& 2^{-2} 3⁶    \cr
                  y &=& 2^{-3}3^{12}  \cr
                  z &=& 2² 3^{-7}.   \cr }\right.$}



\bye
