\input exos
\fiche{Opérations}

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\ex $x + y - xy$

\qq Sur $E = [0,1]$, on définit l'opération : $x*y = x + y - xy$.
    Vérifier que $*$ est interne, et étudier ses propriétés
    (commutativité, associativité, élément neutre,
    éléments symétrisables, éléments réguliers).
    \reponse{Commutative, associative, $0=$ élt neutre, tout élt
             $≠1$ est régulier, seul 0 est symétrisable.}
\qq Mêmes questions avec $E = ]-∞, 1[$.
    \reponse{Tout élt est symétrisable et $x^{-1} = \dfrac x{x-1}$.}

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\ex $x ↦ axa$ surjective

Soit $*$ une opération associative sur $E$, et $a∈E$ telle que l'application
$\application {} E E x {a*x*a}$ soit surjective.
Montrer qu'il existe un élément neutre, et que $a$ est symétrisable.
\reponse{$∃b∈E \tq a*b*a = a$. Alors $b*a$ est neutre à droite et $a*b$ est
neutre à gauche.}

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\ex Opération induite sur les parties

Soit $*$ une opération sur $E$. Pour $A,B⊂E$, on pose
$A*B = ⦃a*b \tq a∈A,b∈B⦄$.

\qq Étudier les propriétés de $*$ sur $𝓟(E)$ en fonction de celles de
    $*$ sur $E$ (commutativité, associativité, élément neutre, éléments
    symétrisables).
    \reponse{Associative, commutative, $⦃e⦄$ = élt neutre,
             $A$ est symétrisable $⇔ A = ⦃a⦄$ avec $a$ symétrisable.}

\qq Est-ce que $*$ est distributive par rapport à $∪$ ?
    \reponse{Oui.}

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\ex Loi sur $ℤ²$

On définit l'opération dans $ℤ²$ : $(a,b)*(a',b') = (aa', ab'+b)$.

\qq Étudier les propriétés de cette opération.
    \reponse{Non commutative, associative, $(1,0)$ = élt neutre,
             $(a,b)$ est régulier $⇔ a ≠ 0$, inversible $⇔ a = ±1$.}

\qq Pour $z∈ℤ$, on pose $f_{a,b}(z) = az+b$.
    Montrer que $\application φ {ℤ²} {ℤ^ℤ} {(a,b)} {f_{a,b}}$
    est un morphisme pour $*$ et $∘$.
\qq Est-ce un isomorphisme ?

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\ex Composition de relations

Soit $E$ un ensemble, et $𝓕$ l'ensemble des relations binaires sur $E$.
Pour $R,S ∈𝓕$, on définit la relation $R*S$ par~:
$x\,(R*S)\,y ⇔ ∃z∈E \tq x R z \text{ et } z S y$.

A toute fonction $f:E→E$, on associe la relation : $y\,R_f\,x ⇔ y = f(x)$.
\qq Montrer que $*$ est associative, mais non commutative en général.
\qq Simplifier $R_f * R_g$.
\qq Est-ce que $*$ admet un élément neutre ?

\bye
