\input exos
\txtimes
\fiche{Groupes}

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\ex Groupe produit
Soient $G,H$ deux groupes multiplicatifs. On munit $G×H$ de l'opération :
$$∀g,g'∈G,\ ∀h,h'∈H,\ (g,h)\cdot(g',h') = (gg',hh').$$

Montrer que $\cdot$ définit une loi de groupe sur $G×H$.

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\ex Essai de tables
Les opérations suivantes sont-elles des lois de groupe ?

{\bf 1)}
\vtop{\offinterlineskip
\halign{\strut\ $#$ \hfil\vrule&&\ $#$\ \hfil\cr
          &a &b &c \cr
          \omit\vbox to2pt{}\hfil\vrule\cr
          \noalign{\hrule}
          \omit\vbox to2pt{}\hfil\vrule\cr
          a &a &a &a \cr
          b &a &b &b \cr
          c &a &b &c \cr
}}\reponse{{\bf 1)} non, $a$ n'est pas régulier.}
\qquad
{\bf 2)}
\vtop{\offinterlineskip
\halign{\strut\ $#$ \hfil\vrule&&\ $#$\ \hfil\cr
          &a &b &c \cr
          \omit\vbox to2pt{}\hfil\vrule\cr
          \noalign{\hrule}
          \omit\vbox to2pt{}\hfil\vrule\cr
          a &b &c &a \cr
          b &c &a &b \cr
          c &a &b &c \cr
}}\reponse{{\bf 2)} oui, $G ≈ ℤ/3ℤ$.}
\qquad
{\bf 3)}
\vtop{\offinterlineskip
\halign{\strut\ $#$ \hfil\vrule&&\ $#$\ \hfil\cr
          &a &b &c &d \cr
          \omit\vbox to2pt{}\hfil\vrule\cr
          \noalign{\hrule}
          \omit\vbox to2pt{}\hfil\vrule\cr
          a &a &b &c &d \cr
          b &b &a &d &c \cr
          c &d &c &b &a \cr
          d &c &d &a &b \cr
}}\reponse{{\bf 3)} non, il n'y a pas d'élément neutre.}

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\ex Loi $Δ$
Soit $E$ un ensemble et $G = 𝓟(E)$.

\qq Montrer que $(G,Δ)$ est un groupe commutatif.
\qq Pour $a∈E$, on note
    $\appmult {φ_a} G {ℤ/2ℤ}
     {X &{\dot{0} \text{ si } a \notin X}\cr
      X &{\dot{1} \text{ si } a∈X.}\cr}$
    \par
    Montrer que $φ_a$ est un morphisme de groupes.

\qq On prend $E = ⟦1,n⟧$ et on note
    $\application φ G {({ℤ/2ℤ})^n} X {(φ₁(X),…,φ_n(X)).}$
    Montrer que $φ$ est un isomorphisme de groupes.

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\ex Images directes et réciproques

Soit $G$ un groupe additif et $f:G→G'$ un morphisme de groupes.

\qq Montrer que pour tout sous-groupe $H$ de $G$ on a :
    $f^{-1}(f(H)) = H + \Ker f$.
\qq Montrer que pour tout sous-groupe $H'$ de $G'$ on a :
    $f(f^{-1}(H')) = H' ∩ \Im f$.

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\ex Thm du rang

Soit $f:G→G'$ un morphisme de groupes où $G$ est un groupe fini.

Montrer que $\card(\Ker f)×\card(\Im f) = \card(G)$.

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\ex Loi associative régulière

Soit $E$ un ensemble fini muni d'une opération interne $*$ associative
pour laquelle tout élément est régulier à droite et à gauche.
Montrer que $E$ est un groupe.

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\ex partie finie stable par produit

Soit $G$ un groupe multiplicatif et $H$ une partie finie de $G$ non vide,
stable par multiplication. Montrer que $H$ est un sous-groupe de $G$.

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\ex Translations surjectives
Soit $G$ un ensemble non vide muni d'une opération interne $\cdot$
associative telle que :
$$∀a,b∈G,\ ∃x,y∈G \tq a = x\cdot b = b\cdot y.$$

Montrer que $(G,\cdot)$ est un groupe.

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\ex Ordre d'un élément

\qq Soient $G$ et $G'$ deux groupes et $f$ un morphisme de $G$ dans $G'$.
    Pour $a∈G$, comparer l'ordre de $a$ et celui de $f(a)$.
\qq Soient $a,b∈G$. Comparer les ordres de $a$ et de $bab^{-1}$.
\qq Soient $a,b∈G$. Comparer les ordres de $ab$ et de $ba$.

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\ex Ordre de $ab$

Soient $a,b$ deux éléments d'un groupe multiplicatif $G$ tels que :
$a$ est d'ordre $α$,
$b$ est d'ordre $β$,
$α ∧ β = 1$,
$ab = ba$.
Déterminer l'ordre de $ab$.

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\ex Décomposition d'un élément d'ordre fini

Soit $G$ un groupe multiplicatif et $a∈G$ d'ordre $np$ avec $n ∧ p = 1$.
Montrer qu'il existe $b,c∈G$ uniques tels que
    $b$ est d'ordre $n$,
    $c$ est d'ordre $p$,
    $a = bc = cb$.

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\ex Groupe sans sous-groupe non trivial

Soit $G$ un groupe ayant au moins deux éléments et n'ayant pas de sous-groupe
non trivial.
Montrer que $G$ est monogène, fini, et que $\card G$ est un nombre premier.

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\ex Transport de structure

Soit $G$ un groupe multiplicatif, $E$ un ensemble, et $φ:G→E$ une
bijection.
On définit une opération $*$ sur $E$ par :
$$∀x,y∈E,\ x*y = φ( φ^{-1}(x)φ^{-1}(y)).$$

Montrer que $*$ est une loi de groupe et que les groupes $G$ et $E$ sont
isomorphes.

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\ex Transport de structure

Pour $x,y∈ℝ$, on pose $x*y = x \sqrt{1+y²} + y \sqrt{1+x²}$.

\qq Vérifier que $\sqrt{1+(x* y)²} = \sqrt{1+x²}\sqrt{1+y²} + xy$.
\qq Montrer que $(ℝ,*)$ est un groupe.
\qq Montrer que l'application $\sh$ est un isomorphisme entre $(ℝ,+)$ et
    $(ℝ,*)$.

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\ex Transport de structure

Pour $x,y∈ℝ$, on pose $x*y = \root{\scriptstyle 3}\of {x³+y³}$.
Montrer que $(ℝ,*)$ est un groupe isomorphe à $(ℝ,+)$.

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\ex Centre d'un groupe et commutant

Soit $G$ un groupe multiplicatif.
On note $Z(G) = ⦃ a∈G \tq ∀b∈G,$ on a $ab = ba⦄$ ({\it centre de $G$\/}), et
pour $a∈G$~: $C(a) = ⦃ b∈G \tq ab = ba⦄$ ({\it commutant de $a$\/}).

Montrer que $Z(G)$ et $C(a)$ sont des sous-groupes de $G$.

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\ex Sous-groupes emboîtés

Soit $G$ un groupe additif, et $H,K,L$ trois sous-groupes de $G$ vérifiant :
$H ⊂ K$, $H ∩ L = K ∩ L$, $H + L = K + L$.
Démontrer que $H = K$.

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\ex $\card(HK)$

Soit $G$ un groupe fini et $H,K$ deux sous-groupes de $G$.
On considère l'application $\application φ {H×K} G {(h,k)} {hk.}$

\qq Est-ce que $φ$ est un morphisme de groupes ?
\qq Soit $z∈HK$, $z=h₀k₀$ avec $h₀∈H$ et $k₀∈K$.
    Montrer que les antécédents de $z$ par $φ$ sont les couples
    $(h₀t,t^{-1}k₀)$ avec $t∈H∩K$.
\qq En déduire : $\card(HK)\card(H∩K) = \card(H)\card(K)$.
\qq Montrer : ($HK$ est un sous-groupe de $G$) $⇔ (HK ⊂ KH) ⇔ (HK = KH)$.

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\ex Groupe des automorphismes

\def\aut#1{\fct{Aut}(#1)}

Soit $G$ un groupe multiplicatif. On note $\aut G$ l'ensemble des
isomorphismes $φ:G→G$.

\qq Montrer que $\aut G$ est un groupe pour la loi $∘$.
\qq Déterminer $\aut ℤ$.
\qq Pour $a∈G$ on note $\application {φ_a} G G x {axa^{-1}.}$
    Montrer que $φ_a∈\aut G$, et que l'application
    $a ↦ φ_a$ est un morphisme de groupes.

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\ex Sous-groupes d'un groupe cyclique

Soit $n∈ℕ^*$ et $G = ℤ/nℤ$. Soit $k∈ℤ$ et $d = k∧n$.

\qq Déterminer l'ordre de $\dot k$ dans $G$.
\qq Montrer que $\dot k$ et $\dot d$ engendrent le même sous-groupe de $G$.
\qq Quels sont tous les sous-groupes de $G$ ?

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\ex Morphismes entre deux groupes cycliques

Soit $G$ un groupe cyclique engendré par $a$ d'ordre $n$, $G'$ un deuxième
groupe, et $a'∈G'$.

Montrer qu'il existe un morphisme $φ:G→G'$ tel que $φ(a) = a'$
si et seulement si $a'$ est d'ordre fini divisant~$n$.

Application : déterminer tous les morphismes
$ℤ/nℤ → ℤ$, $ℤ/nℤ → ℂ^*$, $ℤ/nℤ → ℤ/pℤ$.

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\ex Morphismes de $ℚ$ additif

Déterminer tous les morphismes de …

\qq $(ℚ,+)$ dans $(ℚ,+)$.   \reponse{$x↦ax$, $a∈ℚ$.}
\qq $(ℚ,+)$ dans $(ℤ,+)$.   \reponse{$x↦0$.}
\qq $(ℚ,+)$ dans $(ℚ^*,×)$. \reponse{$x↦1$.}

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\ex Sous groupes finis de $ℂ^*$

Déterminer tous les sous-groupes finis de $(ℂ^*,×)$.

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\ex Groupe diédral

Soit $n∈ℕ$, $n ⩾ 3$. On note $ω = e^{2iπ/n}$ et :
$$\application {f_k} ℂ ℂ z {ω^kz} \qquad
  \application {g_k} ℂ ℂ z {ω^k\overline z} \qquad
  (0 ⩽ k < n)$$

\qq Montrer que $G = ⦃f₀,…,f_{n-1}, g₀,…,g_{n-1}⦄$ est un groupe pour
    la composition des applications.

\qq Soit $a > 0$ et $A_k$ le point du plan d'affixe $aω^k$.
    Montrer que $G$ représente le groupe des isométries du polygone
    $A₀… A_{n-1}$.

\qq $G$ est-il cyclique ?

\qq Montrer que $G$ est engendré par les applications $f₁$ et $g₀$ et que
    l'on a : $f₁∘g₀ = g₀∘f₁^{-1}$.

\qq Soit $H$ un groupe quelconque engendré par deux éléments $ρ$ et $σ$
    tels que $ρ$ est d'ordre $n$,
             $σ$ est d'ordre  2,
             $ρσ = σρ^{-1}$.
    Montrer que $G$ et $H$ sont isomorphes.

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\ex Groupe d'ordre pair

Soit $G$ un groupe fini de cardinal pair. Montrer qu'il existe un élément
d'ordre 2.

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\ex Groupe d'ordre impair

Soit $G$ un groupe fini de cardinal impair.
Montrer que : $∀x∈G$, $∃\!!\,y∈G \tq x = y²$.


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\ex Groupe d'exposant 2

Soit $G$ un groupe fini tel que : $∀x∈G$, $x² = e$.

\qq Montrer que $G$ est commutatif (considérer $(xy)(xy)$).
\qq Soit $H$ un sous-groupe de $G$ et $x∈G∖H$.
    On note $K$ le sous groupe engendré par $H∪⦃x⦄$.
    Montrer que $\card K = 2\card H$.
\qq En déduire que $\card G$ est une puissance de 2.

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\ex Groupes d'ordre 6

Déterminer tous les groupes finis de cardinal 6
(on admettra que dans un tel groupe, il existe un élément $a$ d'ordre 2,
et un élément $b$ d'ordre 3).

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\ex Groupe d'homographies

Soit $E = ℝ∖⦃0,1⦄$, et $\application f E E x {\dfrac 1x,}$
\qquad $\application g E E x {1-x.}$

Vérifier que $f$ et $g$ sont des bijections et déterminer le groupe engendré par
$f$ et $g$ pour la loi $∘$ (il contient exactement six éléments).


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\ex Groupes de similitudes

Pour $α∈ℂ^*$ et $β∈ℂ$, on note
$\application {f_{α,β}} ℂ ℂ z {α z + β}$

\qq Montrer que l'ensemble des fonctions $f_{α,β}$ est un groupe pour la
    loi $∘$. Est-il commutatif ?
\qq A quelle condition sur $α,β$, $f_{α,β}$ est-elle d'ordre fini ?

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\ex Thm de Lagrange

Soit $G$ un groupe fini et $H$ un sous-groupe de $G$.
On définit une relation sur $G$ par :
$$∀x,y∈G,\ x ∼ y ⇔ ∃h∈H \tq x = hy.$$

\qq Montrer que $∼$ est une relation d'équivalence. Quelle est la classe
    de $e$ ?
\qq Soit $a∈G$. Montrer que $\dot a$ est équipotent à $H$.
\qq En déduire que $\card H$ divise $\card G$ ({\it Théorème de Lagrange\/}).

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\ex Relation d'équivalence avec deux sous-groupes

Soient $H,K$ deux sous-groupes d'un groupe $G$.
Pour $x,y∈G$, on pose : $x ∼ y ⇔ ∃h∈H,\ ∃k∈K \tq y = hxk$.

\qq Montrer que c'est une relation d'équivalence.
\qq Pour $x∈G$, soit $G_x = ⦃(h,k)∈H×K \tq hxk^{-1} = x⦄$.
    Montrer que $G_x$ est un sous-groupe de $H×K$.
\qq Si $H$ et $K$ sont finis, montrer que chaque classe d'équivalence est finie
    de cardinal divisant $\card(H)\card(K)$.

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\ex Groupe d'ordre $ab$ avec $a∧b = 1$

Soit $G$ un groupe commutatif fini d'ordre $n = ab$ avec $a ∧ b = 1$.

On pose $A = ⦃x∈G \tq x^a = e⦄$ et $B = ⦃x∈G \tq x^b = e⦄$.

\qq Montrer que $A$ et $B$ sont des sous-groupes de $G$.
\qq Montrer que $A ∩ B = ⦃e⦄$ et $AB = G$.
    \reponse{Soit $x∈G$ et $u,v∈ℤ$ tq $ua + vb = 1$.
             Alors $x = (x^{ua})(x^{vb})$.}

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\ex Sous-groupes de type fini de $ℚ$

\qq Soit $H$ un sous-groupe additif de $ℚ$ engendré par un nombre fini
    d'éléments. Montrer que $H$ est monogène.
\qq Trouver un sous-groupe non trivial de $ℚ$ qui n'est pas engendré par
    une famille finie.

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\ex $(ℚ,+)$ et ($ℚ^{+*},×)$ ne sont pas isomorphes

Montrer que les groupes $(ℚ,+)$ et $(ℚ^{+*},×)$ ne sont pas isomorphes.

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\ex Sous-groupe infini de $ℂ^*$

Soit $p$ un entier naturel premier. On note $G$ l'ensemble des $z∈ℂ$
pour lesquels existe $n∈ℕ$ tel que $z^{p^n}=1$.

\qq Montrer que $G$ est un groupe multiplicatif infini où tout élément est
    d'ordre fini.
\qq Montrer que tout sous-groupe $H$ de $G$, distinct de $G$, est cyclique
    (on pourra considérer un élément $z₀$ de $G∖H$ et montrer que l'ordre des
    éléments de $H$ n'excède pas celui de $z₀$).


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\ex Centre d'un $p$-groupe

Soit $G$ un groupe fini de cardinal $p^k$ où $p$ est un nombre premier
et $k∈ℕ^*$. On note $Z$ le centre de $G$.

\qq En considérant l'action de $G$ sur lui-même par automorphismes intérieurs
    montrer que $\card(Z) ≡ 0 \pmod p$.
\qq En déduire que tout groupe d'ordre $p²$, $p$ premier, est commutatif
    et est isomorphe soit à $ℤ/p²ℤ$ soit à $(ℤ/pℤ)²$.

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\ex Sous groupes et générateurs de $ℤ²$

On considère le groupe $G = ℤ²$. Une {\it base\/} de $G$ est une
famille $(α=(a,a'), β=(b,b'))$ engendrant $G$.

\qqsq
    Montrer que $(α,β)$ est une base de $G$ si et seulement
    si $\det(α,β) = ±1$.
\sq Montrer que $α = (a,a')$ appartient à une base de $G$ si et
    seulement si $a∧a' = 1$.

\qq Soit $H$ un sous-groupe non trivial de $G$.
    On note $H' = ⦃ux+vy \tq u∈ℤ,\ v∈ℤ, (x,y)∈H⦄$,
    $n$ le plus petit élément de~$H'$ strictement positif
    et $u∈ℤ$, $v∈ℤ$, $(x,y)∈H$ tels que $ux+vy = n$.
    
\sq Montrer que $u∧v = 1$ et que $x$ et $y$ sont divisibles par $n$.
\sq On pose $α = (x/n,y/n)$ et $β = (-v,u)$. Montrer que
    $(α,β)$ est une base de $G$ et qu'il existe $p∈ℕ$
    tel que $(nα,npβ)$ engendre $H$.

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\ex Partie génératrice d'un groupe fini

Soit $G$ un groupe fini de cardinal~$n$. Montrer qu'il existe une
partie génératrice de~$G$ de cardinal inférieur ou égal à~$\log₂(n)$.
\reponse{Soir $⦃e₁,…,e_p⦄$ une partie génératrice de cardinal
minimal. Alors les $2^p$ éléments $e₁^{α₁}… e_p^{α_p}$
avec $α_i∈⦃0,1⦄$ sont distincts (sinon un des $e_i$ appartient
au groupe engendré par les autres) donc $n⩾2^p$.}

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\ex Groupe fini ?
Soit $G$ un groupe ayant un nombre fini de sous-groupes. Montrer que $G$
est fini.
\reponse{Si $a∈G$ est d'ordre infini alors il engendre un sous-groupe
isomorphe à~$ℤ$, qui a une infinité de sous-groupes~; c'est exclus.
Donc tous les sous-groupes monogènes de~$G$ sont finis, et $G$ est
la réunion de ces sous-groupes.}
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\ex Itérations, Centrale 2014
Soit $S$ une partie non vide d'un groupe $G$ fini de cardinal~$n$.
Pour $k⩾1$ on note $A(k)=⦃s₁…s_k\tq ∀i,\ s_i∈S⦄$ .
\qq Montrer que la suite $(\card(A(k))$ est croissante et est stationnaire à partir
    d'un rang~$p⩽n$.
    \reponse{$A(k)=⋃_{s∈S}A(k-1)s$ et $\card(A(k-1)s)=\card(A(k-1))$ par régularité
             de~$s$. Ceci prouve la croissance de la suite~$(\card(A(k)))$.
             Comme elle est à valeurs dans~$⟦1,n⟧$, il existe $p⩽n$
             tel que $\card(A(p))=\card(A(p+1))$. Alors tous les ensembles $A(p)s$,
             $s∈S$, sont égaux à~$A(p+1)$ puis $A(p+2)=⋃_{t∈S}tA(p+1)=⋃_{t∈S}tA(p)s
             = A(p+1)s$ où $s$ est un élément fixé dans~$S$.
             Ainsi $\card(A(p+2))=\card(A(p+1))$ donc la suite $(\card(A(k))_{k⩾p}$
             est constante.}

\qq Montrer que~$A(n)$ est un groupe et donner un exemple où $A(k)$ n'en n'est pas
    un si $k<n$.
    \reponse{Avec le théorème de Lagrange, $s^n=e$ pour tout~$s∈S$ donc la suite
             $(A(k))_{k⩾n}$ est croissante et la suite des cardinaux étant constante,
             on a $A(k)=A(n)$ pour tout~$k⩾n$ ce qui prouve la stabilité de~$A(n)$
             par produit et donc aussi par inversion puisque $s^{-1}=s^{n-1}$.
             \medskip
             Cas où on ne stationne qu'à partir du rang~$n$~:
             $G=ℤ/nℤ$ et $S=⦃1⦄$.}


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\bye

