\input exos
\fiche{Relations d'équivalence}

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\ex Congruence des carrés modulo 5

On définit la relation $∼$ sur $ℤ$ par $x∼y ⇔ x²≡y² \pmod 5$.

\qq  Déterminer l'ensemble quotient.
\qq  Peut-on définir une addition quotient ? une multiplication quotient ?

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\ex Produit cartésien

Soient deux relations d'équivalence : $𝓡$ sur $E$, et $𝓢$ sur $F$.

On définit sur $E×F$ : $(x,y)∼(x',y') ⇔ x𝓡x'$ et $y𝓢y'$.

\qq   Vérifier que $∼$ est une relation d'équivalence.
\qq   Soit $\application φ {E×F}
            {(E/𝓡) × (F/𝓢)}
            {(x,y)} {(\dot{x}, \dot y)}$

      Démontrer que $φ$ est compatible avec $∼$, et que l'application
      quotient associée est une bijection.

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\ex $X∪A = Y∪A$

Soit $E$ un ensemble et $A⊂E$. On définit la relation sur $𝓟(E)$ :
$X∼Y ⇔ X∪A = Y∪A$.

\qq   Montrer que c'est une relation d'équivalence.
\qq   Soit $\application φ {𝓟(E)} {𝓟(E∖A)} X {X∖A.}$

      Montrer que $φ$ est compatible avec $∼$, et que l'application
      quotient associée est une bijection.

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\ex Équivalences sur $E^E$

Soit $E$ un ensemble non vide. On considère les relations sur $F = E^E$:
$$\eqalign{
    f ∼ g &⇔ ∃n  ∈ℕ^* \tq f^n = g^n,\cr
    f ≈ g &⇔ ∃m,n∈ℕ^* \tq f^n = g^m,\cr
    f ≡ g &⇔ f(E) = g(E).\cr}$$

\qq Montrer que $∼$, $≈$, $≡$ sont des relations d'équivalence.
\qq Pour $f∈F$, on note $f^∼$, $f^≈$, $f^≡$ les classes
    d'équivalence de $f$ modulo $∼$, $≈$, $≡$.

    \sq Comparer $f^∼$, $f^≈$.
    \sq Montrer que toute classe d'équivalence pour $≈$ est réunion de
        classes d'équivalence pour $∼$.
    \sq Que pouvez-vous dire de $f$ s'il existe $g∈f^≈$ injective ?
        surjective ?
    \sq Même question avec $f^≡$.

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\ex Relation d'équivalence quotient

Soient $𝓡$ et $𝓢$ deux relations d'équivalence sur un ensemble $E$
telles que : $∀x,y∈E$, $x𝓡y ⇒ x𝓢y$.

On définit $\dot 𝓢$ sur $E/𝓡$ par : $\dot x \dot 𝓢 \dot y ⇔ x𝓢y$.

Vérifier que $\dot 𝓢$ est une relation d'équivalence, puis définir une
bijection entre $(E/𝓡)/\dot 𝓢$ et $E/𝓢$.

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\ex Complétion d'une relation réflexive et transitive

Soit $𝓡$ une relation binaire sur un ensemble $E$ réflexive et transitive.
On définit les deux relations :
$$\eqalign{ x𝓢y &⇔ ( x𝓡y \text{ et } y𝓡x),\cr
            x𝓣y &⇔ ( x𝓡y \text{ ou } y𝓡x).\cr}$$

Est-ce que $𝓢$ et $𝓣$ sont des relations d'équivalence ?

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\ex Parties saturées pour une relation d'équivalence

Soit $∼$ une relation d'équivalence sur un ensemble $E$. Pour $A⊂E$,
on définit $s(A) = ⋃_{x∈A} \dot x$.

\qq   Comparer $A$ et $s(A)$.
\qq   Simplifier $s(s(A))$.
\qq   Montrer pour $x∈E$ : $(x∈s(A)) ⇔ (\dot x ∩ s(A) ≠ ∅)$.
      En déduire $s(E∖s(A))$.
\qq   Démontrer que $s\left(⋃_{i∈I} A_i \right) = ⋃_{i∈I} s(A_i)$
      et $s\left(⋂_{i∈I} A_i \right) ⊂ ⋂_{i∈I} s(A_i)$.
\qq   Donner un exemple d'inclusion stricte.


\bye
