\input exos
\fiche{Réduction des endomorphismes}

\titre{Calculs}
                                %+-----------+
                                %|  Calculs  |
                                %+-----------+

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Calcul de valeurs propres

Chercher les valeurs propres des matrices :

%----------------------------------------------------------------------------
{\bf1)}
$\mat(0  &⋯  &0   &1   \cr
     ⋮ &   &⋮  &⋮   \cr
     0  &⋯  &0   &n-1 \cr
     1  &⋯  &n-1 &n   \cr)$
\reponse{\qq $0$ et les racines de $6λ² -6nλ -n(n-1)(2n-1) = 0$.}
%----------------------------------------------------------------------------
{\bf2)}
$\mat(0       &\sinα &\sin2α \cr
      \sinα   &0     &\sin2α \cr
      \sin2α  &\sinα &0      \cr)$.
\reponse{\qq $\sinα+\sin2α$, $-\sinα$, $-\sin2α$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Calcul de valeurs propres

Soient $a₁,…,a_n ∈ ℝ$.
Chercher les valeurs et les vecteurs propres de
$A = \mat(   &     &        & a₁      \cr
             &{(0)}&        & ⋮      \cr
             &     &        & a_{n-1} \cr
          a₁ &⋯    &a_{n-1} & a_n     \cr)$.
On distinguera les cas :

\qq $(a₁,…,a_{n-1}) ≠ (0,…,0)$.
    \reponse{%
    $\rg(A) = 2 ⇒ 0$ est valeur propre d'ordre au moins $n-2$.
    $E₀ = ⦃a₁x₁ +…+ a_{n-1}x_{n-1} = x_n = 0⦄$.\par
    vp $λ ≠ 0$ :
    $λ² - a_nλ - (a₁² +… + a_{n-1}²) = 0$.
    Il y a deux racines distinctes,
    $E_λ = \vect((a₁,…,a_{n-1},λ))$.}

\qq $(a₁,…,a_{n-1}) = (0,…,0)$.
    \reponse{$A$ est diagonale. vp $=0$ et $a_n$.}

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\ex Polynômes de Chebychev

Soit $A = \mat(0 &1  &   &{(0)}\cr
               1 &⋱ &⋱       \cr
                 &⋱ &⋱ &1    \cr
            {(0)}&   &1  &0   \cr) ∈ 𝓜_n(ℝ)$.

\qq Calculer $D_n(θ) = \det(A+(2\cosθ) I)$ par récurrence.
    \reponse{$D_n = 2\cosθ D_{n-1} - D_{n-2} ⇒ D_n = \dfrac{\sin(n+1)θ}{\sinθ}$.}

\qq En déduire les valeurs propres de $A$.
    \reponse{$-2\cos\left(\dfrac{kπ}{n+1}\right)$, $1 ⩽ k ⩽ n$.}

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\ex Matrice tridiagonale

Déterminer les valeurs propres de la matrice
$A = \mat( 1 &-1 &    &   &{(0)}\cr
          -1 &2  &-1  &   &     \cr
             &⋱ &⋱  &⋱  &     \cr
             &   &-1  &2  &-1   \cr
        {(0)}&   &    &-1 &1    \cr) ∈ 𝓜_n(ℝ)$.

\reponse{%
Soit $P_n(x)$ le polynôme caractéristique de~$A$ et $Q_n(x)$ celui de la
matrice obtenue à partir de~$A$ en remplaçant le premier~$1$ par $2$.
On a les relations de récurrence~:
$$P_n(x) = (1-x)Q_{n-1}(x) - Q_{n-2}(x),\qquad
  Q_n(x) = (2-x)Q_{n-1}(x) - Q_{n-2}(x).$$
D'où pour $x∉⦃0,4⦄$~:
$$P_n(x) = \dfrac{(1-α)(1-α^{2n})}{αⁿ(1+α)},\qquad\text{avec }
x = 2 - α - \dfrac1α.$$
Les valeurs propres de~$A$ autres que $0$ et $4$ sont les réels
$x_k=2(1-\cos(kπ/n))$ avec $0<k<n$ et $0$ est aussi valeur propre
(somme des colonnes nulle) donc il n'y en a pas d'autres.}

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\ex Diagonalisation
Diagonaliser les matrices suivantes~:

{\bf 1)} $\matr(1 & 5 \cr 2 & 4)$\reponse{\qq $P=\matr(1 &-5 \cr 1 & 2)$, $D=\diag( 6 ,-1 )$.}
{\bf 2)} $\matr(2 & 5 \cr 4 & 3)$\reponse{\qq $P=\matr(5 & 1 \cr-4 & 1)$, $D=\diag(-2 , 7 )$.}
{\bf 3)} $\matr(5 & 3 \cr-8 &-6)$\reponse{\qq $P=\matr(3 & 1 \cr-8 &-1)$, $D=\diag(-3 , 2 )$.}
{\bf 4)} $\matr(4 & 4 \cr 1 & 4)$\reponse{\qq $P=\matr(2 &-2 \cr 1 & 1)$, $D=\diag( 6 , 2 )$.}
{\bf 5)} $\matr(0 & 1 & 2 \cr  1 & 1 & 1 \cr  1 & 0 &-1)$\reponse{\qq $P=\matr(1 & 3 &-1 \cr -2 & 4 & 0 \cr 1 & 1 & 1)$, $D=\diag( 0 , 2 ,-2)$.}
{\bf 6)} $\matr(1 & 2 & 3 \cr  2 & 1 & 3 \cr  4 & 2 & 0)$\reponse{\qq $P=\matr(2 & 1 & 1 \cr -5 & 1 & 1 \cr 2 &-2 & 1)$, $D=\diag(-1 ,-3 , 6)$.}
{\bf 7)} $\matr(1 & 1 & 0 \cr -1 & 1 & 2 \cr  0 & 0 & 2)$\reponse{\qq $P=\matr(1 & 1 & 1 \cr  i &-i & 1 \cr 0 & 0 & 1)$, $D=\diag(1+i,1-i, 2)$.}

{\bf 8)} $\matr( 2 &-1 &-1 \cr -1 & 2 &-1 \cr -1 &-1 & 2)$\reponse{\qq $P=\matr( 1 & 1 & 1 \cr  1 &-1 & 0 \cr 1 & 0 &-1)$, $D=\diag( 0 , 3 , 3)$.}
{\bf 9)} $\matr( 1 &-1 & 2 \cr  3 &-3 & 6 \cr  2 &-2 & 4)$\reponse{\qq $P=\matr( 1 & 2 & 1 \cr  1 & 0 & 3 \cr 0 &-1 & 2)$, $D=\diag( 0 , 0 , 2)$.}
{\bf10)} $\matr( 7 &-12&-2 \cr  3 &-4 & 0 \cr -2 & 0 &-2)$\reponse{\qq $P=\matr(-4 &-1 &-2 \cr -3 &-1 &-1 \cr 4 & 2 & 1)$, $D=\diag( 0 ,-1 , 2)$.}
{\bf11)} $\matr(-2 & 8 & 6 \cr -4 &10 & 6 \cr  4 &-8 &-4)$\reponse{\qq $P=\matr(-1 & 2 & 3 \cr -1 & 1 & 0 \cr 1 & 0 & 2)$, $D=\diag( 0 , 2 , 2)$.}
{\bf12)} $\matr( 0 & 1 & 0 & 0 \cr  3 & 0 & 2 & 0 \cr  0 & 2 & 0 & 3 \cr 0 & 0 & 1 & 0)$\reponse{\qq $P=\matr(-1 &-1 & 1 &-1 \cr -1 & 1 & 3 & 3  \cr 1 & 1 & 3 &-3 \cr 1 &-1 & 1 & 1)$, $D=\diag( 1 ,-1 , 3 ,-3 )$.}

{\bf13)} $\matr( 1 & 1 & 1 & 1 \cr  1 & 1 &-1 &-1 \cr  1 &-1 & 1 &-1 \cr 1 &-1 &-1 & 1)$\reponse{\qq $P=\matr( 1 & 1 & 1 & 1 \cr  1 & 0 & 0 &-1  \cr 0 & 1 & 0 &-1 \cr 0 & 0 & 1 &-1)$, $D=\diag( 2 , 2 , 2 ,-2 )$.}
{\bf14)} $\matr( 0 & 2 &-2 & 2 \cr -2 & 0 & 2 & 2 \cr -2 & 2 & 0 & 2 \cr 2 & 2 &-2 & 0)$\reponse{\qq $P=\matr( 0 & 1 & 1 & 0 \cr  1 & 0 & 0 &-1  \cr 1 & 0 & 1 & 0 \cr 0 & 1 & 0 & 1)$, $D=\diag( 2 , 2 ,-2 ,-2 )$.}
{\bf15)} $\matr(-5 & 2 & 0 & 0 \cr  0 &-11& 5 & 0 \cr  0 & 7 &-9 & 0 \cr 0 & 3 & 1 & 2)$\reponse{\qq $P=\matr( 1 & 0 &30 &18 \cr  0 & 0 &15 &-99 \cr 0 & 0 &21 &99 \cr 0 & 1 &-11&11)$, $D=\diag(-5 , 2 ,-4 ,-16)$.}
{\bf16)} $\matr( 2 & 0 & 3 & 4 \cr  3 & 1 & 2 & 1 \cr  0 & 0 & 3 & 0 \cr 0 & 0 & 4 &-1)$\reponse{\qq $P=\matr( 1 & 0 & 7 &-8 \cr  3 & 1 &12 & 9  \cr 0 & 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 & 6)$, $D=\diag( 2 , 1 , 3 ,-1 )$.}

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\ex Trigonalisation
Trigonaliser les matrices suivantes~:

{\bf1)} $\matr(1 &-3 & 0 & 3 \cr -2 &-6 & 0 & 13 \cr 0 &-3 & 1 & 3 \cr -1 &-4 & 0 & 8)$  \reponse{\qq $P=\matr(0 & 3 & 6 & 1\cr 0 & 1 & 0 &0 \cr 1 & 0 &1 & 0 \cr 0& 1 & 1 & 0)$, $T=\matr(1 &0 & 3 &-1 \cr &1 & 1 &-2 \cr && 1 & 1 \cr &&& 1)$.}
{\bf2)} $\matr(3 &-1 & 1 &-7 \cr 9 &-3 &-7 &-1 \cr 0 & 0 & 4 &-8 \cr 0 & 0 & 2 &-4)$  \reponse{\qq $P=\matr(1 & 0 & 0 & 0\cr 3 & 1 & 0 &0 \cr 0 & 0 &2 & 0 \cr 0& 0 & 1 & 1)$, $T=\matr(0 &-1 &-5 &-7 \cr &0 & 0 &20 \cr && 0 &-4 \cr &&& 0 )$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Diagonalisation

Diagonaliser $M = \mat({(0)}&&1\cr&⋰\cr1&&{(0)}) ∈ 𝓜_n(𝕂)$.
\reponse{$n$ pair : $P = \mat(1&   &  &   &   &1  \cr
                               &⋱ &  &   &⋰      \cr
                               &   &1 &1          \cr
                               &   &1 &-1         \cr
                               &⋰ &  &   &⋱      \cr
                              1&   &  &   &   &-1 \cr)$,
                    $D = \diag(1,…,1,-1,…,-1)$.\par
       $n$ impair : $P = \mat(1&   &  &  &   &   &1  \cr
                               &⋱ &  &  &   &⋰     \cr
                               &   &1 &  &1          \cr
                               &   &  &1 &           \cr
                               &   &1 &  &-1         \cr
                               &⋰ &  &  &   &⋱     \cr
                              1&   &  &  &   &   &-1\cr)$,
                    $D = \diag(1,…,1,-1,…,-1)$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Diagonalisation

Diagonaliser $M = \mat(   0 &   &     &1  \cr
                          1 &⋱ &{(0)}     \cr
                            &⋱ &⋱        \cr
                       {(0)}&   &1    &0  \cr) ∈ 𝓜_n(ℂ)$.

\reponse{$P = (ω^{(i-1)(1-j)})$, $D = \diag(1,ω,…,ω^{n-1})$
         avec $ω = \exp(2iπ/n)$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Calcul

Diagonaliser la matrice
$M = \mat(e &a &b &c \cr
          a &e &c &b \cr
          b &c &e &a \cr
          c &b &a &e \cr) ∈ 𝓜_4(ℝ)$.
\reponse{$P = \matr(1& 1& 1& 1 \cr
                    1& 1&-1&-1 \cr
                    1&-1& 1&-1 \cr
                    1&-1&-1& 1 \cr)$,
         $D = \diag\,(a+b+c+e,a-b-c+e,-a+b-c+e,-a-b+c+e)$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Calcul

Soit $C_{pq} = \mat(U_{pq} &0 &U_{pq} \cr
    	           0      &0 &0     \cr
    	           U_{pq} &0 &U_{pq} \cr) ∈ 𝓜_n(ℝ)$
où $U_{pq}$ est la matrice $p× q$ dont tous les coefficients valent~1.
Chercher les éléments propres de $C_{p,q}$.
\reponse{$λ = 0$ :
         $E₀ = ⦃x \tq x₁+…+x_q+x_{n-q+1}+…+x_n = 0⦄$,\par
         $λ = 2\min(p,q)$ : $E_λ = \vect
         ((\underbrace{1,…,1}_p,0,…,0,\underbrace{1,…,1}_p))$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Matrice triangulaire

Soit $A = \mat(1 &a &b &c \cr
               0 &1 &d &e \cr
               0 &0 &-1&f \cr
               0 &0 &0 &-1\cr)$.
A quelle condition $A$ est-elle diagonalisable ?

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Sommes par lignes ou colonnes constantes

Soit $A ∈ 𝓜_n(𝕂)$ telle que la somme des coefficients par ligne est constante
($=S$). Montrer que $S$ est une valeur propre de $A$.
Même question avec la somme des coefficients par colonne.

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Matrices stochastiques

Soit $M=(m_{ij}) ∈ 𝓜_n(ℝ)$ telle que :
$∀i,j$, $m_{ij} ⩾ 0$ et $∀i$, $m_{i,1} + m_{i,2} +… + m_{i,n} = 1$
{\it (matrice stochastique)}.

\qq Montrer que 1 est valeur propre de $M$.
\qq Soit $λ$ une valeur propre complexe de $M$. Montrer que $|λ| ⩽ 1$
    (si $(x₁,…,x_n)∈ ℂⁿ$ est un vecteur propre associé, considérer le
    coefficient $x_k$ de plus grand module).
    Montrer que si tous les coefficients $m_{ij}$ sont strictement positifs
    alors $|λ| = 1 ⇒ λ = 1$.

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $(X²-1)P'' + (2X+1)P'$

Soit $𝕂$ un corps de caractéristique nulle,
$E = 𝕂_n[X]$ et $\application u E E P {(X²-1)P''+(2X+1)P'.}$

\qq Chercher la matrice de $u$ dans la base canonique de $𝕂_n[X]$.
    \reponse{$M = \mat( 0 &1 &-2 &   &{(0)}     \cr
                          &2 &2  &⋱            \cr
                          &  &6  &⋱ &{-n(n-1)} \cr
                          &  &   &⋱ &n         \cr
                     {(0)}&  &   &   &{n(n+1)}  \cr)$.}
\qq Montrer que $u$ est diagonalisable.

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $(X-a)P'$

Soit $E = 𝕂_n[X]$ et $\application u E E P {(X-a)P'.}$
Chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de $u$.

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $X(X-1)P' -2nXP$

Soit $E = 𝕂_{2n}[X]$ et $\application u E E P {X(X-1)P'-2nXP.}$
Chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de $u$.
\reponse{$u(X^k) = -kX^k + (k-2n)X^{k+1} ⇒$ la matrice de $u$ est triangulaire
         inférieure. $\sp(u) = ⦃0,-1,…,-2n⦄$.\par
         $λ = -k$ : Résoudre l'équation différentielle
         $⇒ P = cX^k(X-1)^{2n-k}$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $X³P \bmod (X-a)(X-b)(X-c)$

Soient $α, β, γ ∈ 𝕂$ distincts, et $\application φ {𝕂₂[X]} {𝕂₂[X]} P R$
où $R$ est le reste de la division euclidienne de $X³P$ par
$(X-α)(X-β)(X-γ)$. Chercher les valeurs et les vecteurs propres de $φ$.
\reponse{$α³ : (X-β)(X-γ)$, $β³ : (X-α)(X-γ)$, $γ³ : (X-α)(X-β)$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $P(2-X)$

Déterminer les éléments propres de l'endomorphisme
$\application θ {𝕂[X]} {𝕂[X]} P {P(2-X).}$
\reponse{$λ = 1$ : $P = Q((X-1)²)$.
         $λ =-1$ : $P = (X-1)Q((X-1)²)$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $P(X+1) - P'$

Soit $𝕂$ un corps de caractéristique nulle.

Déterminer les éléments propres de l'endomorphisme
$\application θ {𝕂[X]} {𝕂[X]} P {P(X+1) - P'.}$

\reponse{$λ = 1$ : $P = aX+b$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $(X-a)P'+P-P(a)$

Soit $f ∈ 𝓛(ℝ_n[X])$ qui à $P$ associe $(X-a)P'+P-P(a)$.
Donner la matrice de $f$ dans la base $(X^k)_{0⩽k⩽n}$.
Chercher $\Im f$, $\Ker f$ et les éléments propres de $f$.
\reponse{$M = \mat( 0 &-2a &-a² &⋯  &-aⁿ \cr
    	              &2   &-2a	&  &{(0)}\cr
    	              &	  &3	&⋱      \cr
    	              &	  &	&⋱ &-na \cr
    	         {(0)}&	  &	&   &n+1 \cr)$.\par
         $\Ker f = ⦃\text{polynômes constants}⦄$,
         $\Im f = ⦃\text{polynômes divisibles par } X-a ⦄$.\par
         Valeurs propres : $0,2,3,…,n+1$.
         Pour $2⩽k⩽n+1$, $E_k = \vect((X-a)^{k-1})$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $\tr(A)M+\tr(M)A$

Soit $A∈𝓜_n(ℂ)$. L'endomorphisme $f$ de $𝓜_n(ℂ)$ défini par
$f(M) = \tr(A)M+\tr(M)A$ est-il diagonalisable~?
\reponse{Oui ssi $\tr(A)≠ 0$ ou $A=0$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Étude d'une matrice

Soit $A=\mat(a₁  &1    &   &{(0)}\cr
             a₂  &     &⋱ &     \cr
             ⋮  &     &   &1    \cr
             a_n &{(0)}&   &0    \cr)$
où les $a_i$ sont des réels positifs ou nuls, avec $a₁a_n > 0$.
\qq Quel est le polynôme caractérique de~$A$~?
    \reponse{$(-1)ⁿ(Xⁿ-a_nX^{n-1}-…-a₁)$.}
\qq Montrer que $A$ admet une unique valeur propre $r>0$ et que l'on
    a~$r < 1 + \max(a₁,…,a_n)$.
    \reponse{Étude de $x↦ (xⁿ-a_nx^{n-1}-…-a₁)/xⁿ$.}
\qq Soit $λ$ une valeur propre complexe de~$A$.
    Montrer que $|λ| ⩽ r$ et $|λ|=r ⇒ λ=r$.
    \reponse{Inégalité triangulaire.}
\qq Montrer qu'il existe un entier $k$ tel que $A^k$ a tous ses
    coefficients strictement positifs.
    \reponse{Expression générale de $A^k$.}


\xe\titre{Espaces fonctionnels}
                         %+------------------------+
                         %|  Espaces fonctionnels  |
                         %+------------------------+

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $f ↦ f(2x)$

Soit $E = ⦃f:ℝ→ℝ$ continues tq $f(x) ⟶_{x→±∞}0⦄$,
$\application φ ℝ ℝ x {2x}$ et $\application u E E f {f∘φ.}$

Montrer que $u$ n'a pas de valeurs propres
(si $u(f) = λ f$, étudier les limites de $f$ en $0$ ou $±∞$).

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Translation

    Soit $E$ le sous-espace vectoriel de $𝓒(ℝ^+,ℝ)$ des fonctions ayant
    une limite finie en $+∞$.
    Soit $T ∈ 𝓛(E)$ défini par $T(f)(x) = f(x+1).$ Trouver les valeurs
    propres de~$T$.
    \reponse{spec$(T) = {]-1,1]}$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Équation intégrale

Soit $E = 𝓒([0,+∞[,ℝ)$ et $\application u E E f {\tilde f}$
avec $\tilde f(x) = \dfrac1x\displaystyle∫_{t=0}^x f(t)\,𝕕t$.

\qq Montrer que $\tilde f$ peut être prolongée en une fonction continue sur
    $[0,+∞[$.
\qq Chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de $u$.
    \reponse{$0 < λ ⩽ 1$ : $f(x) = Cx^{1/λ-1}$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Endomorphisme sur les suites

Soit $E$ l'espace vectoriel des suites réelles $u=(u_n)_{n⩾1}$
et $f$ l'endomorphisme de~$E$ défini par~:
$$(f(u))_n = \dfrac{u₁+2u₂+…+nu_n}{n²}.$$
Quelles sont les valeurs propres de~$f$~?
\reponse{$1/k$, $k⩾1$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Opérateur intégral

Soit $E = 𝓒([0,1],ℝ)$ et $\application f E E u {\tilde u}$
avec $\tilde u(x) = \displaystyle∫_{t=0}¹ \min(x,t)u(t)\,𝕕t$.

Chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de $f$.
\reponse{$λ = \dfrac1{(π/2+kπ)²}$ : $u(x) = C\sin(π/2+kπ)x$.}

\xe\titre{Polynôme caractéristique}
                       %+----------------------------+
                       %|  Polynôme caractéristique  |
                       %+----------------------------+

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Formules pour une matrice $3×3$

Soit $A = (a_{ij}) ∈ 𝓜_3(ℝ)$.

\qq Vérifier que
    $χ_A(λ) = -λ³ + (\tr A)λ²
       - \left( \mat|a_{11} &a_{12} \cr a_{21} &a_{22}|
              + \mat|a_{11} &a_{13} \cr a_{31} &a_{33}|
              + \mat|a_{22} &a_{23} \cr a_{32} &a_{33}| \right)λ
       +\det(A)$.

\qq Soit $λ$ une valeur propre de $A$ et $L₁,L₂$ deux lignes non
    proportionnelles de $A-λ I$ (s'il en existe).
    On calcule $L = L₁∧L₂$ (produit vectoriel) et $X = {}^tL$.
    Montrer que $X$ est vecteur propre de $A$ pour la valeur propre $λ$.

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Recherche de vecteurs propres pour une valeur propre simple

Soit $A ∈ 𝓜_n(𝕂)$ et $λ ∈ 𝕂$ une valeur propre de $A$ telle que
$\rg(A-λ I) = n-1$.

\qq Quelle est la dimension du sous espace propre $E_λ$ ?
\qq Montrer que les colonnes de $\tcom(A - λ I)$ engendrent $E_λ$.
\qq AN : Diagonaliser $A = \matr(0 & 1 &  2 \cr
                                 1 & 1 &  1 \cr
                                 1 & 0 & -1 \cr)$.
    \reponse{$P = \matr(-1 & 3 & 3 \cr
                         2 & 4 & 0 \cr
                        -1 & 1 &-3 \cr)$,
             $D = \diag(0,2,-2)$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Éléments propres de $C\,{}^tC$

Soit $C = \mat(a₁\cr⋮\cr a_n) ∈ 𝓜_{n,1}(ℝ)$ et $M = C\,{}^tC$.

\qq Chercher le rang de $M$.
    \reponse{1 si $C ≠ 0$, 0 si $C = 0$.}
\qq En déduire le polynôme caractéristique de $M$.
    \reponse{$\dim(E₀) ⩾ n-1 ⇒ X^{n-1}$ divise $χ_M ⇒
             χ_M = (-1)ⁿ(Xⁿ - (a₁²+…+a_n²)X^{n-1})$.}
\qq $M$ est-elle diagonalisable ?
    \reponse{Oui.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $(i/j)$

    Soit $A=(a_{ij}) ∈ 𝓜_n(ℝ)$ telle que $a_{ij} = i/j$.
    $A$ est-elle diagonalisable~?
    \reponse{$\rg A = 1$ donc $\dim\Ker A = n-1$ et $0$ est valeur propre
             d'ordre au moins $n-1$. La somme des valeurs propres est
             $\tr A = n$ donc la dernière valeur propre est $n$ et le
             sous-espace propre associé est de dimension~$1$. Donc $A$
             est diagonalisable.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Matrice compagne

On considère pour $n ∈ ℕ^*$ le polynôme défini par :
$P_n(x) = xⁿ - ⅀_{i=0}^{n-1} α_ix^i$ avec $α₀>0$ et $α_i⩾0$ pour $1⩽i⩽n-1$.

\qq Montrer qu'il existe une unique racine dans $ℝ^{+*}$ pour $P_n$.
    \reponse{La fonction $f_n : x ↦ P_n(x)/xⁿ$ croît strictement
             de $-∞$ à 1 quand $x$ varie de $0$ à $+∞$.}

\qq Soit $A = \mat(1   &1  &0  &⋯  &0  \cr
                   2   &0  &1  &⋱ &⋮ \cr
                   ⋮  &⋮ &⋱ &⋱  &0  \cr
                   ⋮  &⋮ &   &⋱  &1  \cr
                   n   &0  &⋯  &⋯  &0  \cr)$.
    Montrer que $A$ admet une unique valeur propre réelle strictement positive.
    \reponse{$χ_A(x) = (-1)ⁿ(xⁿ - ⅀_{k=1}ⁿ kx^{n-k})$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $I+(x_iy_j)$

Soient $x₁,…,x_n,y₁,…,y_n ∈ ℂ$. Calculer $Δ_n = \det(I+(x_iy_j))$.
\reponse{Soit $M = (x_iy_j)$ : $M$ est de rang inférieur ou égal à $1$, donc
$0$ est valeur propre de $M$ d'ordre au moins $n-1$.
Comme $\tr(M) = x₁y₁ +… + x_ny_n$, le polynôme caractéristique de
$M$ est $$χ_M(x) = (-x)^{n-1}(x₁y₁ +… + x_ny_n - x),$$ et le déterminant demandé
est $Δ_n = χ_M(-1) = x₁y₁ +… + x_ny_n + 1$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Centrale MP 2000

On considère la matrice de $M_n(ℂ)$, $A=\mat(0  &a  &⋯  &a \cr
                                             b  &⋱ &⋱  &⋮\cr
                                             ⋮ &⋱ &⋱  &a \cr
                                             b  &⋯  &b  &0 \cr)$, $a≠ b$.
\qq Montrer que le polynôme caractéristique de $A$ est
    $\dfrac{1}{a-b}(a(X+b)ⁿ-b(X+a)ⁿ)$.
    \reponse{$\det(M+(t))$ est une fonction affine de~$t$.}
\qq Montrer qu'en général les valeurs propres de $A$ sont sur un cercle.
    \reponse{$|λ+a| = k|λ+b|$ et $λ=x+iy ⇒
    (1-k²)(x²+y²)+… = 0$, équation d'un cercle si $|a|≠ |b|$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Centrale MP 2000

Soit $a₁,…,a_n,b₁,…,b_n ∈ ℝ$ et
$A_n=\mat(a₁+b₁ &b₂    &⋯  &⋯ &b_n          \cr
          b₁    &a₂+b₂ &b₃ &⋯      &b_n     \cr
         ⋮     &b₂    &⋱  &⋱     &⋮      \cr
         ⋮     &⋮    &⋱  &⋱     &b_n     \cr
         b₁     &b₂    &⋯  &b_{n-1} & a_n+b_n\cr)$
\qq Calculer $\det A_n$.
    \reponse{$a₁… a_n + b₁a₂… a_n + a₁b₂a₃… a_n +… + a₁… a_{n-1}b_n$.}
\qq Calculer $χ_A$, le polynôme caractéristique de $A$.
\qq On suppose $a₁<a₂<…<a_n$ et, pour tout $i$, $b_i>0$.
    Montrer que $A_n$ est diagonalisable 
    (on pourra utiliser ${χ_A(t)}/{ℿ_{i=1}ⁿ(a_i-t)}$).
    \reponse{$\dfrac{χ_A(t)}{ℿ_{i=1}ⁿ(a_i-t)} =
             1 + ⅀_{i=1}ⁿ\dfrac{b_i}{a_i-t}$ change de signe entre deux $a_i$
             successifs et dans l'un des intervalles $]-∞,a₁[$ ou $]a_n,+∞[$
             donc $χ_A$ admet $n$ racines distinctes.}
\qq Le résultat reste-t-il vrai si l'on suppose $a₁⩽a₂⩽…⩽a_n$ et, pour tout
    $i$, $b_i>0$ ?
    \reponse{Oui. Supposons par exemple $a₁=…=a_p<a_{p+1}<…<a_n$~:
             La question précédente met en évidence $n-p$ racines simples de
             $χ_A$ entre les $a_i$ et $±∞$, et $a₁$ est aussi racine d'ordre
             $p-1$ de $χ_A$. Or les $p$ premières lignes de $A-a₁I$ sont égales
             donc $\rg(A-a₁I)⩽ n-p+1$ et $\dim(\Ker(A-a₁I))⩾ p-1$ d'où la
             diagonalisabilité. Le cas où il y a plusieurs groupes de $a_i$
             égaux se traite de même.}
                                            
%----------------------------------------------------------------------------
\ex Polynômes caractéristiques

Soit $A ∈ 𝓜_n(𝕂)$ inversible et $B = A^{-1}$, $C = A²$.
Exprimer les polynômes caractéristiques $χ_B$ et $χ_C$ en fonction de $χ_A$.
\reponse{$χ_B(X) = \dfrac{(-X)ⁿ}{\det(A)}χ_A\Bigl(\dfrac1X\Bigr)$,
         $χ_C(X²) = χ_A(X)χ_A(-X)$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Matrice compagne

Soit $P = Xⁿ - (a₀ + a₁X +… + a_{n-1}X^{n-1}) ∈ 𝕂_n[X]$.

La matrice compagne de $P$ est
$M = \mat( 0 &   &{(0)}&a₀     \cr
           1 &⋱  &     &a₁     \cr
             &⋱  &0    &⋮     \cr
        {(0)}&   &1    &a_{n-1}\cr)$.

Soit $E$ un $𝕂$-ev de dimension $n$, $𝓑 = (e₁,…,e_n)$
une base de $E$ et $φ$ l'endomorphisme de $E$ de matrice $M$ dans~$𝓑$.

\qq Déterminer le polynôme caractéristique de $M$.
\qq Calculer $φ^k(e₁)$ pour $0⩽k⩽n$.
\qq En déduire que $µ_M = P$.

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $\sp(A) ∩ \sp(B) = ∅$

Soient $A,B ∈ 𝓜_n(ℂ)$. Montrer que $\sp(A) ∩ \sp(B) = ∅$
si et seulement si $χ_A(B)$ est inversible.

Application~: Soient $A,B,P$ trois matrices carrées complexes avec $P≠0$
telles que $AP = PB$. Montrer que $A$ et $B$ ont une valeur popre commune.

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Matrices à spectres disjoints

Soient $A,B∈𝓜_n(ℂ)$. Montrer l'équivalence entre~:

{\bf a)} $∀C∈𝓜_n(ℂ)$, il existe un unique $X∈𝓜_n(ℂ)$ tel que $AX-XB=C$.\par
{\bf b)} $∀X∈𝓜_n(ℂ)$ on a $AX = XB ⇒ X=0$.\par
{\bf c)} $χ_B(A)$ est inversible.\par
{\bf d)} $A$ et $B$ n'ont pas de valeur propre en commun.

\reponse{%
${\bf a}⇔{\bf b}$~: thm du rang.

${\bf c}⇔{\bf d}$~: immédiat.

${\bf c}⇒{\bf b}$~: si $AX=XB$ alors pour tout polynôme $P$ on a
$P(A)X = XP(B)$.

$\overline{\bf c}⇒\overline{\bf b}$~: prendre $U$ vecteur propre de $A$,
$V$ vecteur propre de ${}^tB$ associés à la même valeur propre et $X=U^tV$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $AB$ et $BA$ ont même polynôme caractéristique

Soient $A,B ∈ 𝓜_n(𝕂)$.

\qq Montrer que $AB$ et $BA$ ont les mêmes valeurs propres.

\qq Montrer que si $A$ ou $B$ est inversible, alors $AB$ et $BA$ ont même
    polynôme caractéristique.

\qq Dans le cas général, on note
    $M = \mat(BA &-B\cr 0 &0    )$,
    $N = \mat(0  &-B\cr 0 &AB   )$,
    $P = \mat(I_n  & 0\cr A &I_n)$
    ($M,N,P ∈ 𝓜_{2n}(𝕂)$).

    Vérifier que $MP$ = $PN$, montrer que $P$ est inversible, et conclure.

%-----------------------------------------------------------------------------
\ex X 2014
Soient $A,B∈𝓜₂(ℤ)$ telles que $A,A+B,A+2B,A+3B,A+4B$ sont inversibles.
Montrer que $A+5B$ l'est.
\reponse{On suppose que {\it inversible\/} signifie {\it inversible dans~$𝓜₂(ℤ)$,}
c'est-à dire que le déterminant vaut~$±1$.

$\det(A+kB)$ est un polynôme en~$k$ de degré inférieur ou égal à~$2$ prenant la
même valeur, $1$ ou $-1$ en trois points distincts~; il est constant.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Trace

Soit l'application $\application Φ{𝓜_n(ℝ)}{𝓜_n(ℝ)}M {^tM.}$
Calculer sa trace par un moyen simple.

\reponse{Somme des valeurs propres $=n$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Fermat pour la trace, ULM-Lyon-Cachan MP$^*$ 2005

Soit $p$ premier et $A∈𝓜_n(ℤ)$. Montrer que $\tr(A^p)≡ \tr(A) \pmod p$.

\reponse{Soit $𝕂=ℤ/pℤ$. Il faut en fait prouver que pour toute matrice
         $A∈𝓜_n(𝕂)$, on a $\tr(A^p)=\tr(A)$. Remarquer qu'on n'a pas forcément
         $A^p=A$ dans $𝓜_n(𝕂)$, c'est faux, entre autres, si $A$
         est nilpotente non nulle.
         Soit $X$ une indéterminée sur $𝕂$. On a dans l'anneau $𝓜_n(𝕂[X])$~:
         $(A-XI_n)^p = A^p-X^pI_n$, d'où, en prenant les déterminants~:
         $χ_{A^p}(X^p) = χ_A(X)^p = χ_A(X^p)$ et on égale les coefficients
         de $X^{(n-1)p}$.}

\ex Facteurs irréductibles (Lacouture)
Soit $𝕂$ un corps quelconque, $n∈ℕ^*$, $M∈𝓜_n(𝕂)$.
On note $µ$ le polynôme minimal de~$M$ et $χ$ son polynôme
caractéristique. Le but de l'exercice est de prouver
que $µ$ et~$χ$ ont mêmes facteurs irréductibles.

\qq Traiter le cas où $χ$ est scindé.
    \reponse{$µ$ divise $χ$ par Cayley-Hamilton et a les mêmes
             racines, les valeurs propres de~$M$.}

\qq Cas général.
    \sq Montrer que pour tout~$P∈𝕂[X]$, il existe $R∈𝓜_n(𝕂[X])$
        tel que $$P(M)-P(X)I_n=(M-XI_n)R(X).$$
        \reponse{Pour $P(X)=X^p$ c'est la factorisation bien connue
                 de~$a^p-b^p$~; pour $P$ quelconque additionner les
                 factorisations pour chaque monôme.}

    \sq Montrer que $χ$ divise $µ^n$ puis conclure.
        \reponse{Prendre $P=µ$ et calculer les déterminants.}

%-----------------------------------------------------------------------------
\ex $AM+B$ et $AM$ ont même polynôme caractéristique, Centrale MP 2012
\qq Soient $A,B∈𝓜_n(ℂ)$ ayant même polynôme caractéristique.
    Montrer que $\tr(A²)=\tr(B²)$.
    \reponse{Trigonaliser.}
\qq Soient $A,B∈𝓜_n(ℂ)$. Montrer l'équivalence entre~:

    {\bf (a)} $∀M∈𝓜_n(ℂ)$, $AM+B$ et $AM$ ont même polynôme caractéristique~;

    {\bf (b)} $B$ est nilpotente et $BA=0$.
    \reponse{{\bf (a)}$⟹${\bf (b)} : $B$ a même polynôme caractéristique
             que la matrice nulle, $(-X)ⁿ$, donc $(-B)ⁿ=0$.
             De plus, pour $M$ quelconque, $\tr((AM+B)²)=\tr((AM)²)$,
             d'où $0=\tr(AMB+BAM)=2\tr(BAM)$. Ceci entraîne classiquement
             $BA=0$.
             \medskip
             {\bf (b)}$⟹${\bf (a)} : pour $λ≠0$, la matrice $B-λI$ est
             inversible et on a pour $M∈𝓜_n(ℂ)$,
             $$\eqalign{\det(AM+B-λI)
                            &=\det(B-λI)\det((B-λI)^{-1}AM+I)\cr
                            &=(-λ)ⁿ\det((B-λI)^{-1}AM+I)\cr
                            &=\det(-λ(B-λI)^{-1}AM-λI).\cr}$$
             De plus, $(B-λI)A=-λA$, donc $A=-λ(B-λI)^{-1}A$ et il vient
             $\det(AM+B-λI)=\det(AM-λI)$ pour tout $λ≠0$, donc aussi
             pour~$λ=0$ par caractère polynomial en~$λ$ des deux membres.}

%----------------------------------------------------------------------------
\xe\titre{Polynôme annulateur}
                       %+-----------------------+
                       %|  Polynôme annulateur  |
                       %+-----------------------+

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Matrice bitriangulaire

Donner une CNS sur $a,b∈ℂ$ pour que la matrice
$M=\mat(0&&{(a)}\cr&⋱\cr{(b)}&&0)$ soit diagonalisable.
\reponse{$a=b$ ou $a,b$ non nuls.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $A² = A$ et $\tr(A) = 0$

Trouver les matrices $A ∈ 𝓜_n(ℝ)$ telles que $A² = A$ et $\tr(A) = 0$.

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $u³ = u²$

Soient $E$ un ev de dimension finie sur $ℂ$ et $u$ un endomorphisme de $E$.

On suppose que $u³ = u²$, $u≠\id$, $u²≠0$, $u²≠u$.

\qq Montrer qu'une valeur propre de $u$ ne peut être que $0$ ou $1$.
\qq Montrer que $1$ et $0$ sont effectivement valeurs propres de $u$.
\qq Montrer que u {\it n'est pas} diagonalisable.
\qq Montrer que $E = {\rm Im} (u²) ⊕ {\rm Ker} (u²)$.
\qq Monter que $u|_F$ avec $F= {\rm Im} (u²)$ est l'identité.

%----------------------------------------------------------------------------
\ex INT gestion 94

Soit $A=\matr( 1 &1  &1  &1  \cr
              -1 &1  &-1 &1  \cr
              -1 &1  &1  &-1 \cr
              -1 &-1 &1  &1  \cr)$.
\qq Calculer $\det A$.
\qq Calculer $(A-xI)(\,{}^t\!A-xI)$ et en déduire $χ_A(x)$.
\reponse{$(A-xI)(\,{}^t\!A-xI) = (x²-2x+4)I$, $χ_A(x) = (x²-2x+4)²$.}
\qq Montrer que $A$ est $ℂ$-diagonalisable.
\reponse{$\,{}^t\!A = 2I-A$ donc $(A-xI)((2-x)I-A) = (x²-2x+4)I$.
         En prenant pour $x$ une des racines du polynôme $x²-2x+4$,
         on obtient un polynôme scindé à racines simples annulant $A$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $XⁿP(1/X)$

Soit $E = 𝕂_n[X]$ et $\application u E E P {XⁿP(1/X).}$

\qq Déterminer $u∘u$. En déduire que si $\car(𝕂)≠2$ alors $u$ est
    diagonalisable.
\qq Étudier le cas $\car(𝕂)=2$.
\qq Lorsque $u$ est diagonalisable, donner une base de vecteurs propres de $u$.

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $A = A^{-1}$

Soit $A ∈ 𝓜_n(ℂ)$ telle que $A = A^{-1}$. $A$ est-elle diagonalisable ?
Calculer $e^A$ ($e^A = ⅀_{k=0}^∞ \dfrac{A^k}{k!}$).
\reponse{$A$ est diagonalisable car $A²=I$. $e^A = (\ch1)I + (\sh1)A$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Endomorphisme de rang 1

Soit $E$ un ev de dimension finie et $u ∈ 𝓛(E)$ tel que $\rg(u)=1$.
Montrer que : $$\Im u ⊂ \Ker u ⇔ u \text{ n'est pas diagonalisable.}$$
\reponse{Si $\Im u⊂\Ker u$ alors $u² = 0$ donc $0$ est l'unique
         valeur propre de $u$ et $u≠0$ donc $u$ n'est pas diagonalisable.\par
         Si $\Im u ⊄ \Ker u$ alors $\Im u ∩ \Ker u = ⦃ 0⦄$
         et donc $\Im u + \Ker u = E$. Or $\Im u$ et $\Ker u$ sont des
         sous-espaces propres de $u$ donc $u$ est diagonalisable.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $u²$ diagonalisable

Soit $E$ un $ℂ$-ev de dimension finie et $u ∈ GL(E)$ tel que $u²$
est diagonalisable. Montrer que $u$ est diagonalisable. Donner un
contre-exemple dans un $ℝ$-ev.

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Racine $p$-ème

Soit $A∈𝓜_n(ℂ)$ inversible diagonalisable et $B∈ 𝓜_n(ℂ)$, $p∈ℕ^*$
tels que $B^p=A$.
 
\qq Montrer que $B$ est diagonalisable.
\reponse{polynôme annulateur simple.}

\qq Si $A$ n'est pas inversible la conclusion subsiste-t-elle~?
\reponse{Non, ctrex = $B$ nilpotent.}

%-----------------------------------------------------------------------------
\ex X 2014
Résoudre dans~$𝓜₂(ℝ)$~: $X²=\mat(0&1\cr0&0\cr)$.
\reponse{$X⁴=0$ donc $X$ est nilpotente et son indice est strictement supérieur
         à~$2$~; il n'y a pas de solution.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $p²$ est un projecteur

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $p ∈ 𝓛(E)$ tel que
$p²$ est un projecteur. Quelles sont les valeurs propres éventuelles de
$p$ ? Montrer que $p$ est diagonalisable si et seulement si $p³=p$.
\reponse{$\sp(p) ⊂ ⦃-1,0,1⦄$. $p$ est diagonalisable si et
         seulement s'il annule un polynôme scindé à racines simples.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $A³ = A + I$

Soit $A ∈ 𝓜_n(ℝ)$ telle que $A³ = A + I$. Montrer que $\det(A) > 0$.
\reponse{$A$ est $ℂ$-diagonalisable et les valeurs propres sont $α > 0$
et $β,\overline β$ avec la même multiplicité.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $A³ + A² + A = 0$

Soit $A ∈ 𝓜_n(ℝ)$ telle que $A³ + A² + A = 0$. Montrer que $\rg A$ est pair.

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $Aⁿ = I$

    Soit $A ∈ 𝓜_n(ℂ)$ telle que $Aⁿ = I$ et $(I,A,…,A^{n-1})$ est libre.
    Montrer que $\tr(A) = 0$.
    \reponse{$A$ est diagonalisable et a $n$ valeurs propres distinctes,
	     sinon il existerait un polynôme annulateur de degré inférieur ou
	     égal à $n-1$. Ces racines sont les $n$ racines $n$-èmes de 1 et
	     leur somme est nulle.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $A^p = I$ et $\sp(A) ⊂ ℝ ⇒ A² = I$

Soit $A ∈ 𝓜_n(ℝ)$. On suppose que les valeurs propres de $A$ sont réelles
et qu'il existe $p ⩾ 1$ tel que $A^p = I$. Montrer que $A² = I$.
\reponse{$A$ est $ℂ$-diagonalisable (polynôme annulateur à racines simples)
         $⇒ \dim(E₁) + \dim(E_{-1}) = n$.
         Les dimensions sont conservées sur $ℝ$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $P(u) = ⅀ P(λ_i)u_i$

Soit $E$ un $𝕂$-ev de dimension finie et $u ∈ 𝓛(E)$.

\qq On suppose $u$ diagonalisable et on note $λ₁,…,λ_p$ ses valeurs propres
    distinctes.

\sq Montrer qu'il existe des endomorphismes $u₁,…,u_p$ tels que pour tout
    polynôme $P ∈ 𝕂[X]$, on ait~: $P(u) = ⅀_{i=1}^p P(λ_i)u_i$.

\sq Montrer qu'il existe un polynôme $P_i$ tel que $u_i = P_i(u)$.

\qq Réciproquement, soit $u,u₁,…,u_p∈𝓛(E)$ et $λ₁,…,λ_p∈𝕂$
    tels que~: $$∀P∈𝕂[X],\ P(u) = ⅀_{i=1}^p P(λ_i) u_i.$$
    Montrer que $u$ est diagonalisable et $\sp(u) ⊂ ⦃λ₁,…,λ_p⦄$.

%----------------------------------------------------------------------
\ex Projecteurs

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$, et $f₁,…,f_n$, $n$ applications
linéaires toutes non nulles.
On suppose~: $∀(i,j)∈⟦1,n⟧²$, $f_i∘f_j=δ_{i,j}f_i$.
Montrer les $f_i$ sont toutes de rang un.
\reponse{Les $f_i$ sont des projecteurs commutant deux à deux, ils sont
         simultanément diagonalisables. Soit $e₁$ tel que $f₁(e₁) = e₁$~:
         $f_i(e₁) = f_i∘ f₁(e₁) = 0$ si $i⩾2$ donc les supports des
         restrictions des $f_i$ à une base propre commnue sont deux à deux
         disjoints non vides, ce sont des singletons.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Projecteurs spectraux

Soit $f$ un endomorphisme diagonalisable d'un ev~$E$ de dimension finie,
$λ$ une valeur propre de~$f$ et $p_λ$ le projecteur sur le
sous-espace propre associé parallèlement à la somme des autres sous-espaces
propres. Montrer que $p_λ$ est un polynôme en~$f$.
\reponse{Soit $P$ un polynôme tel que $P(λ) = 1$ et $P(µ) = 0$ pour
         toutes les autres valeurs propres, $µ$, de~$f$. Alors $p_λ = P(f)$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Endomorphismes anticomutant, Centrale MP 2003
Soit~$E$ un~$ℂ$-ev de dimension~$n∈ℕ^*$ et $u₁,…,u_p$ ($p⩾ 2$)
des endomorphismes de~$E$ vérifiant~:
$$∀k,\ u_k² = -\id_E,\qquad ∀k≠ℓ,\ u_k∘u_ℓ = -u_ℓ∘u_k.$$
\qq Montrer que les~$u_k$ sont des automorphismes et qu'ils sont
    diagonalisables.
\qq Montrer que~$n$ est pair.
\qq Donner le spectre de chaque~$u_k$.
    \reponse{$\sp(u_k)⊂ ⦃i,-i⦄$ d'après la relation $u_k² = -\id_E$.
    Si le spectre était réduit à un élément alors $u_k$ serait scalaire car
    diagonalisable, mais ceci est incompatible avec la relation
    d'anticommutation entre~$u_k$ et $u_ℓ$. Donc $\sp(u_k)=⦃i,-i⦄$.}
\qq Donner les ordres de multiplicité des valeurs propres des~$u_k$.
    \reponse{$u_ℓ$ avec $ℓ≠k$ échange les sous-espaces propres de~$u_k$
             donc ils ont même dimension~$n/2$.}
\qq Calculer~$\det(u_k)$.

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $u²=0$

Soit $E$ un ev de dimension finie et $u∈ 𝓛(E)$ tel que $u∘u = 0$.

\qq Quelle relation y a-t-il entre $\Ker u$ et $\Im u$~?
    Montrer que $2\rg u ⩽ \dim E$.

\qq On suppose ici $\dim E = 4$ et $\rg u = 2$.
    Montrer qu'il existe une base $(e₁,e₂,e₃,e₄)$
    de~$E$ telle que~:
    $u(e₁) = e₂$, $u(e₂) = 0$,
    $u(e₃) = e₄$, $u(e₄) = 0$.

\qq On suppose $\dim E = n$ et $\Im u = \Ker u$.
    Est-ce que $u$ est diagonalisable~?

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Réduction de $M$ tq $M³ = I$

Soit $M ∈ 𝓜_3(ℝ)$ telle que $M ≠ I$, et $M³ = I$.

\qq Quelles sont les valeurs propres complexes de $M$ ?

\qq Montrer que $M$ est semblable à $\mat(1 &0    &0     \cr    
                                          0 &-1/2 &-√3/2 \cr    
                                          0 &√3/2 &-1/2  \cr)$.
   

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Centrale PSI 1998

Soient $u,v,h$ trois endomorphismes de $ℝⁿ$ tels que~:
$$u∘v = v∘u,\quad
  u∘h - h∘u = -2u,\quad
  v∘h - h∘v = -2v.$$

\qq Cas particulier, $n=3$,
    $\fct{Mat}(u) = \mat(0&1&0\cr 0&0&1\cr 0&0&0)$.
    Déterminer si $v$ et $h$ existent et si oui, les donner.
\reponse{Calcul Maple~:
         $h=\mat(c+4&b&a\cr 0&c+2&b\cr 0&0&c)$,
         $v=ku$.}

\qq Cas général.

\sq Que peut-on dire de $\tr(u)$ et $\tr(v)$~?
\sq Montrer que $u$ et $v$ sont non inversibles.
    Montrer que $\Ker u$ et $\Ker v$ sont stables par~$h$.
\sq Déterminer $u^k∘h - h∘u^k$ pour $k∈ℕ$.
    Déterminer $P(u)∘h - h∘P(u)$ pour $P∈ℝ[X]$.
    \reponse{$u^k∘h - h∘u^k = -2ku^k$,
             $P(u)∘h - h∘P(u) = -2u∘P'(u)$.}
\sq Quel est le polynôme minimal de~$u$~?
    \reponse{Si $P(u) = 0$ alors $u∘P'(u) = 0$ donc $P$ (polynôme minimal)
             divise $XP'$ ce qui implique $P(X) = X^k$ pour un certain~$k$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Indépendance du polynôme minimal par rapport au corps

Soient $𝕂⊂𝕃$ deux corps et $A∈ 𝓜_n(𝕂)$.
On note $µ_𝕂(A)$ et $µ_{𝕃}(A)$ les polynômes minimaux
de~$A$ en tant que matrice à coefficients dans $𝕂$ ou dans $𝕃$.
Montrer que ces polynômes sont égaux.

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Trace entière, X MP$^*$ 2004
Caractériser les polynômes $P$ tels que~:
$∀A∈𝓜_n(ℂ)$, $(P(A) = 0) ⇒ (\tr(A)∈ℤ)$.

\reponse{Aucun polynôme constant ne convient. Si $P$ est non constant et $α$
est une racine de~$P$ alors en considérant $A=αI_n$ on obtient une
première condition nécessaire~: $nα∈ℤ$. Si $P$ a une autre racine $β$
alors en prenant $A = \diag(α,…,α,β)$ on obtient
une deuxième condition nécessaire~: $β-α∈ℤ$. Ainsi les polynômes~$P$
cherchés ont la propriété suivante~:
{\it $\deg(P)⩾1$ et il existe $u∈ℤ$ tel que
toutes les racines de~$P$ sont congrues à $u/n$ modulo~$1$.}
Cette condition est clairement suffisante.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Valeurs propres communes

Soient $A,B,C∈𝓜_n(ℂ)$ telles que $AC = CB$ et $\rg(C) = r$.
Montrer que $A$ et $B$ ont au moins $r$ valeurs propres communes.

\reponse{On écrit $C = PJQ$ où $P,Q$ sont inversibles et $J$ est la matrice
canonique de rang~$r$.

Alors $(P^{-1}AP)J = J(QBQ^{-1})$ donc $P^{-1}AP$
et $QBQ^{-1}$ sont triangulaires par blocs avec le même bloc diagonal
$r×r$, ce qui prouve que $χ_A$ et $χ_B$ ont un facteur de degré~$r$ en commun.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Polynôme minimal imposé, Centrale MP 2005

Le polynôme $X⁴+X³+2X²+X+1$ peut-il être le polynôme minimal d'une matrice de
$𝓜₅(ℝ)$ ?
\reponse{Le polynôme s'écrit $(X²+1)(X²+X+1)$. Il n'a donc pas de racine réelle.
         Or tout élément de $𝓜_{5}(ℝ)$ possède au moins une valeur propre et
         cette valeur propre devrait être également racine du polynôme minimal.
         Par conséquent la réponse est non.}

%-----------------------------------------------------------------------------
\ex $\Ker u^p ⊕ \Im u^p$, Polytechnique MP$^*$ 2006

Soit $E$ un $𝕂$-ev de dimension~$n$.
Soit $u∈𝓛(E)$, $P$ son polynôme minimal et $p$ le plus petit exposant
de~$X$ dans l'écriture de~$P$.

\qq Si $p=0$, que dire de~$u$~?
    \reponse{Que c'est un isomorphisme (et réciproquement).}
\qq Si $p=1$, montrer que $E=\Im u ⊕ \Ker u$.
    \reponse{Soit $Q(X) = P(X)/X$. On a $u∘Q(u)=0$ et $X,Q$ sont
    premiers entre eux, d'où $E=\Ker u ⊕ \Ker Q(u)$ et
    $\Im u ⊂ \Ker Q(u)$. On conclut avec le théorème du rang.}
\qq Dans le cas général, montrer que $E = \Ker u^p ⊕ \Im u^p$.
    \reponse{Même méthode.}

%-----------------------------------------------------------------------------
\ex $f²+αf+β\id=0$, Centrale 2015
Soit~$E$ un $ℝ$-ev de dimension finie~$n⩾1$.
Soit $P=X²+αX+β∈ℝ[X]$ sans racine réelle et $f∈𝓛(E)$ tel que $P(f)=0$.
Le but de l'exercice est de prouver qu'il existe une base de~$E$ dans laquelle
la matrice de~$f$ est diagonale par blocs avec pour blocs diagonaux
$\matr(0&1\cr-β&-α)$.

\qq Montrer que $f$ n'admet aucune valeur propre puis que $n$ est pair.
    \reponse{Toute valeur propre de~$f$ doit être racine de~$P$, d'où
             $\sp(f)=∅$. En dimension impaire, $χ_f$ est de degré impair
             donc admet au moins une racine réelle~; c'est absurde.}

\qq Soit~$x∈E$ non nul et $y=f(x)+αx$. On note $H_x=〈x,y〉$.
    Montrer que $H_x$ est un plan stable par~$f$ et que c'est le plus petit
    sev de~$E$ stable par~$f$ et contenant~$x$.
    \reponse{Immédiat.}

\qq Prouver la propriété annoncée.
    \reponse{La matrice de la restriction de~$f$ à~$H_x$ dans la base
             $(y,x)$ est $A=\matr(0&1\cr-β&-α\cr)$.
             Supposons avoir trouvé un sev~$F$ stable par~$f$ et une base
             de~$F$ dans laquelle la matrice de la restriction de~$f$
             est diagonale par blocs avec des blocs diagonaux égaux à~$A$.
             Si $F=E$ le problème est résolu. Sinon, on choisit $x∈E∖F$ et
             on considère le plan~$H_x$. Il est en somme directe avec~$F$
             car $F∩H_x$ est un sev non trivial de~$H_x$ stable par~$f$
             donc de dimension impaire. Le sev $F⊕H_x$ vérifie la même propriété
             que~$F$ (stable par $f$ et la restriction est diagonalisable
             par blocs avec des blocs diagonaux égaux à~$A$). On peut
             donc continuer jusqu'à atteindre~$E$.}
             
%-----------------------------------------------------------------------------
\ex $P(A)$ est nilpotente, Mines-Ponts 2015
Soit $A∈𝓜_n(ℂ)$. Déterminer les polynômes $P$ tels que $P(A)$ soit nilpotente.
\reponse{Toute valeur propre de~$A$ est racine de~$P$.}

%-----------------------------------------------------------------------------
\ex $A^p=I_n$, Mines 2015

Soit $A∈𝓜_n(ℤ)$ telle qu'il existe $p∈ℕ$ vérifiant $A^p=I_n$. On suppose de
plus qu'il existe $m⩾3$ tel que, pour tous $i,j$, $m$ divise $[A-I_n]_{i,j}$.
Déterminer $A$.
\reponse{On écrit $A=I_n+mB$ avec $B∈𝓜_n(ℤ)$. Les valeurs propres de~$B$
sont de la forme $\dfrac{e^{2ikπ/p}-1}m$ avec $k∈ℤ$~; elles ont un module
inférieur ou égal à~$2/m<1$. Le produit des valeurs propres non nulles,
s'il y en a, est au signe près le coefficient de plus bas degré de~$χ_B$
donc un entier. On en déduit que $\sp(B)⊂⦃0⦄$ et $B$ est $ℂ$-diagonalisable,
comme~$A$, d'où $B=0$ et $A=I_n$.}

%----------------------------------------------------------------------------

\xe\titre{Endomorphismes de composition}
                     %+---------------------------------+
                     %|  Endomorphismes de composition  |
                     %+---------------------------------+

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Équation $AM = λM$

Soit $A ∈ 𝓜_n(𝕂)$. Déterminer les scalaires $λ$ et les matrices
$M ∈ 𝓜_n(𝕂)$ telles que $AM = λM$.

%----------------------------------------------------------------------
\ex $v↦v∘u$, Centrale MP 2003
Soit~$E$ un espace vectoriel de dimension finie et $u∈𝓛(E)$.
On considère l'application~$Φ_u$ qui à $v∈𝓛(E)$ associe~$v∘u$.
\qq Montrer que $Φ_u∈𝓛(𝓛(E))$.
\qq Montrer l'équivalence~: ($u$ est diagonalisable) $⇔$
    ($Φ_u$ est diagonalisable)…

\sq en considérant les polynômes annulateurs de~$u$ et de~$Φ_u$.
    \reponse{Pour $p∈𝕂[X]$ on a $P(Φ_u) = v↦ v∘P(u)$ donc $u$ et $Φ_u$ ont
             mêmes polynômes annulateurs.}
\sq en considérant les spectres et sous-espaces propres de~$u$ et de~$Φ_u$.
    \reponse{$(λ∈\sp(Φ_u)) ⇔ (∃v≠0\tq v∘(u-λ\id_E) = 0)
             ⇔ (u-λ\id_E$ n'est pas surjectif$) ⇔ (λ∈\sp(u))$.
             Ainsi $Φ_u$ et $u$ ont même spectre.
             Si $λ∈\sp(u)$ et $v∈𝓛(E)$ on a~:
             $$(Φ_u(v) = λv) ⇔ (\Im(u-λ\id_E) ⊂\Ker v)$$ donc
             $\Ker(Φ_u-λ\id_{𝓛(E)})$ est isomorphe à $𝓛(H,E)$ où $H$ est un
             supplémentaire de~$\Im(u-λ\id_E)$.
             On en déduit~:
             $\dim(\Ker(Φ_u-λ\id_{𝓛(E)})) = \dim(E)\dim(\Ker(u-λ\id_E)$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $f ↦ p∘f∘p$

Soit $p ∈ 𝓛(E)$ une projection et $\application Φ {𝓛(E)} {𝓛(E)} f {p∘f∘p.}$
Déterminer les éléments propres de $Φ$.
\reponse{$λ = 1$ : $\fct{Dir}(p) ⊂ \Ker f$, $\Im f ⊂ \fct{Base}(p)$.\par
         $λ = 0$ : $f(\fct{Base}(p)) ⊂ \fct{Dir}(p)$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $f ↦ u∘f$ et $f ↦ f∘u$

Soit $E$ un $𝕂$-ev de dimension finie et $u ∈ 𝓛(E)$ diagonalisable.

On considère les applications%
$\appmult {} {𝓛(E)} {𝓛(E)} {φ : f &u∘f\cr ψ : f & f∘u.\cr}$

\qq Montrer que $φ$ et $ψ$ sont diagonalisables.
\qq Montrer que $φ-ψ$ est diagonalisable.

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $u∘v - v∘u = \id$

Soient $𝕂$ un corps de caractéristique nulle, $E$ un $𝕂$-ev non nul et
$u,v$ deux endomorphisme de $E$ tels que $u∘v - v∘u = \id_E$.

\qq Simplifier $u^k∘v - v∘u^k$ pour $k∈ℕ$ puis $P(u)∘v - v∘P(u)$ pour $P∈𝕂[X]$.
    \reponse{Pour $P∈𝕂[X]$ on a $P(u)∘v - v∘P(u) = P'(u)$.}
\qq Montrer que $u$ et $v$ n'ont pas de polynômes minimaux.

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $f∘g - g∘f = αf$

Soit $𝕂$ un corps de caractéristique nulle, $E$ un $𝕂$-ev de dimension finie
et $f,g∈𝓛(E)$, $α∈𝕂^*$ tels que $f∘g - g∘f = αf$.

\qq Montrer pour tout entier naturel~$n$~: $fⁿ∘g - g∘fⁿ = nαfⁿ$.
\qq Montrer qu'il existe~$n∈ℕ$ tel que $fⁿ = 0$
    (raisonner par l'absurde et considérer l'application
     $h ↦ h∘g - g∘h$ de $𝓛(E)$ dans $𝓛(E)$).
\qq Donner un contre-exemple avec $\car(𝕂)≠0$.
    \reponse{$𝕂=ℤ/2ℤ$, $\fct{Mat}(f)=\mat(0&1\cr1&0)$,
                       $\fct{Mat}(g)=\mat(0&0\cr0&1)$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex X MP$^*$ 2001

Soit $f$ un endomorphisme de $E$ (ev de dimension finie sur $𝕂$) tel que
$χ_f$ soit irréductible. Montrez que pour aucun endomorphisme $g$
le crochet de Lie $[f,g] = f∘g - g∘f$ n'est de rang un.
\reponse{Supposons qu'il existe $g∈𝓛(E)$ tel que $\rg(f∘g - g∘f) = 1$.
         Alors il existe $ℓ∈E^*$ et $a∈E$ tous deux non nuls tels que~:
         $$∀x∈ E,\ f(g(x)) - g(f(x)) = ℓ(x)a.$$
         D'où par récurrence sur~$k$~:
         $$∀x∈ E,\ f^k(g(x)) - g(f^k(x)) =
             ℓ(x)f^{k-1}(a) + ℓ(f(x))f^{k-2}(a) +… + ℓ(f^{k-1}(x))a.$$

         Comme $χ_f$ est irréductible, le sous-espace $f$-monogène
         engendré par~$a$ est égal à~$E$, soit~: $(a,…,f^{n-1}(a))$ est
         une base de~$E$ avec $n=\dim E$ et $fⁿ(a) = α₀a +… + α_{n-1}f^{n-1}(a)$.

         Alors $µ_f(f) = fⁿ-α_{n-1}f^{n-1} - … - α₀f⁰ = 0$ et~:
         $$∀x∈ E,\ 0 = µ_f(f)(g(x)) - g(µ_f(f)(x)) =
            ℓ(x)f^{n-1}(a) +… + ℓ(f^{n-1}(x) - … - α₁x)a.$$
         Ceci implique $ℓ(x) = 0$ pour tout~$x$, en contradiction avec
         l'hypothèse $\rg(f∘g - g∘f) = 1$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex $½(p∘u + u∘p)$, Mines MP 2003

Soit~$E$ un $ℝ$-espace vectoriel de dimension $n$ finie, $p$ un projecteur de
rang~$r$ et $$\application φ {𝓛(E)}{𝓛(E)} u {½(p∘u + u∘p).}$$
\qq Est-ce que~$φ$ est diagonalisable~?
    \reponse{Oui, les applications $u↦p∘u$ et $u↦u∘p$ le sont
             (ce sont des projecteurs) et elles commutent.}
\qq Déterminer les valeurs propres de~$φ$ et les dimensions des sous-espaces
    propres.
    \reponse{Soit $𝓑$ une base de~$E$ obtenue par concaténation d'une
             base de~$\Ker p$ et d'une base de~$\Im p$.

             Si $\fct{Mat}_𝓑(u) = \mat(A&B\cr C&D)$
             alors $\fct{Mat}_𝓑(φ(u)) = \mat(A&B/2\cr C/2&D)$,
             d'où $\sp(φ) ⊂ ⦃0,½,1⦄$, $d₀ = (n-r)²$,
             $d₁=r²$ et $d_{1/2} = 2r(n-r)$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Crochet de Lie, Ens Cachan MP$^*$ 2003
Soit $Φ:𝓜_n(ℂ)→𝓜_n(ℂ)$ un automorphisme d'ev tel que~:
$∀A,B∈𝓜_n(ℂ)$, $Φ([A,B]) = [Φ(A),Φ(B)]$ où $[X,Y] = XY - YX$.
Montrer~: $∀D∈𝓜_n(ℂ)$, ($D$ est diagonalisable) $⇔$
                        ($Φ(D)$ est diagonalisable).

{\it Indication~: considérer $φ_D$ : $X ↦[D,X]$ et montrer que
($D$ est diagonalisable) $⇔$ ($φ_D$ est diagonalisable).}
\reponse{Si $D$ est diagonalisable alors les applications $X↦DX$ et $X↦XD$
         le sont (annulateur scindé à racines simples) et elles commutent,
         donc elles sont simultanément diagonalisables et leur différence,
         $φ_D$, est aussi diagonalisable.

         Pour la réciproque, on commence par constater que si $P$ est un
         polynôme quelconque, alors~:
         $$∀X∈𝓜_n(ℂ),\ P(φ_D)(X)
           = ⅀_{k=0}^{\deg(P)} (-1)^kD^kX\dfrac{P^{(k)}(D)}{k!}
           = ⅀_{k=0}^{\deg(P)} (-1)^k\dfrac{P^{(k)}(D)}{k!}XD^k.$$
         (formule du binôme pour $P=X^m$ et linéarité de chaque membre par
         rapport à~$P$ pour $P$ quelconque).

         Supposons $φ_D$ diagonalisable, prenons~$P$ annulateur scindé à
         racines simples de~$φ_D$, $X=U^tV$ où $U$ est un vecteur propre de~$D$
         associé à une certaine valeur propre~$λ$ et $V$ un vecteur arbitraire.
         Donc~:
         $$0 = ⅀_{k=0}^{\deg(P)} (-1)^kλ^kU^tV\dfrac{P^{(k)}(D)}{k!}
             = U^tV⅀_{k=0}^{\deg(P)} (-1)^kλ^k\dfrac{P^{(k)}(D)}{k!}
             = U^tVP(D-λI).$$
         Comme $U≠ 0$, ceci implique ${}^tVP(D-λI) = 0$ pour tout~$V$,
         donc $P(D-λI) = 0$. Ainsi $D-λI$ est diagonalisable et $D$ itou.}

\xe\titre{Similitude}
                              %+--------------+
                              %|  Similitude  |
                              %+--------------+

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Matrices réelles semblables sur $ℂ$

Soient $A,B ∈ 𝓜_n(ℝ)$ semblables sur $ℂ$ :
Il existe $P,Q ∈ 𝓜_n(ℝ)$ telles que :
$P+iQ ∈ GL_n(ℂ)$ et $(P+iQ)A = B(P+iQ)$.

\qq Montrer : $∀λ ∈ ℝ$, $(P+λQ)A = B(P+λQ)$.
\qq En déduire que $A$ et $B$ sont semblables sur $ℝ$.

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Trigonalisation de matrices

Soit $A = \matr(-1&\phantom-2&0\cr 2&2&-3 \cr -2&2&1)$
et $φ$ l'endomorphisme de $ℝ³$ canoniquement associé à $A$.

\qq Vérifier que $A$ n'est pas diagonalisable.
    \reponse{1 est valeur propre double, $d₁ = 1$.}
\qq Chercher deux vecteurs propres de $A$ linéairement indépendants.
    \reponse{$\mat(1\cr1\cr1)$, $\mat(2\cr1\cr2)$.}
\qq Compléter ces vecteurs en une base de $ℝ³$.
    \reponse{$\mat(1\cr0\cr0)$.}
\qq Écrire la matrice de $φ$ dans cette base.
    \reponse{$\matr(1&0&6\cr 0&0&-4\cr 0&0&1)$.}
\qq Résoudre le système différentiel : $X' = AX$.
    \reponse{$X = \mat({(6αt + γ)e^t      + 2β} \cr
                       {(6αt + γ + 3α)e^t + β } \cr
                       {(6αt + γ -  α)e^t + 2β} \cr)$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Somme de projecteurs

Soit $E$ un $𝕂$-ev de dimension finie et $u ∈ 𝓛(E)$.
Montrer que $u$ est diagonalisable si et seulement s'il existe des projecteurs
$p₁,…,p_k ∈ 𝓛(E)$ et des scalaires $λ₁,…,λ_k$
tels que : $u = λ₁p₁ +… + λ_kp_k$ et $∀i≠j$, $p_i∘p_j = 0$.

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $A³$ est semblable à $A⁴$

Quelles sont les matrices $A ∈ 𝓜_3(ℂ)$ telles que $A³$ est semblable à $A⁴$ ?
On étudiera séparément les cas :

\qq $A$ a trois valeurs propres distinctes.
    \reponse{$A ∼ \diag(1,α,α^{-1})$ où $α$ est une
             racine primitive $7^{\text{ème}}$ de $1$,\par
             $A ∼ \diag(α,α^{10},α^{-11})$ où $α$
             est une racine primitive $37^{\text{ème}}$ de $1$.}
\qq $A$ a deux valeurs propres distinctes
    \reponse{pas de solution.}
\qq $A$ a une seule valeur propre.
    \reponse{vp${} = 0$ ou $1$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Décomposition de Dunford

Soit $A∈𝓜_n(ℂ)$. Montrer qu'il existe deux matrices $D,N$ telles
que $A = D+N$, $D$ est diagonalisable, $N$ est nilpotente, $DN=ND$.

%----------------------------------------------------------------------
\ex Réduction de Jordan, Mines MP 2003
Soit $f∈𝓛(ℝ³)$ telle que $\sp(f) = ⦃λ⦄$ et $\dim(\Ker(f-λ\id))=2$.

Montrer qu'il existe une base~$𝓑$ dans laquelle
$\fct{Mat}(f) = \mat(λ&0&0\cr0&λ&1\cr0&0&λ)$.
\reponse{On se ramène à $λ=0$ en remplaçant $f$ par~$f-λ\id$.
         $\Im f$ est de dimension~$1$ stable par~$f$ donc $f_{|\Im f}$ est une
         homothétie, c'est l'application nulle vu $\sp(f)$.
         On en déduit~$\Im f⊂\Ker f$.
         Soit~$e₂∈\Im f∖⦃0⦄$, $e₃$ un antécédant de~$e₂$ par~$f$ et $e₁∈\Ker f$
         indépendant de~$e₂$. Alors~$𝓑 = (e₁,e₂,e₃)$ convient.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $A$ et $2A$ sont semblables

Soit~$A∈𝓜_n(ℂ)$ nilpotente. Montrer que~$A$ et $2A$ sont semblables.

\reponse{Soit $f$ un endomorphisme d'un ev $E$ ayant $A$ pour matrice.
         On doit trouver $g∈GL(E)$ tel que ${f∘g = 2g∘f}$. Construction
         de~$g$ par récurrence sur $n=\dim E$.
         \medskip
         $n⩽1$~: on a $f=0$ donc $g=\id_E$ convient.
         \medskip
         $0,…,n-1⇒n$~: $f$ est non surjectif donc l'hypothèse de récurrence
         s'applique à~$f_{|\Im(f)}$.\par
         Soit $g₁ ∈ GL(\Im(f))$ tel que
         $f(g₁(x)) = 2g₁(f(x))$ pour tout~$x∈\Im(f)$. Soit $E = H ⊕ I ⊕ K ⊕ L$
         avec $H=\Im(f)∩\Ker(f)$, $H ⊕ I = \Im(f)$ et $H ⊕ K = \Ker(f)$.
         La restriction de~$f$ à $I⊕L$ induit un isomorphisme sur~$\Im(f)$,
         on note $φ$ l'isomorphisme réciproque. Soit~$g∈𝓛(E)$ définie par~:

         $$g(h+i+k+ℓ) = g₁(h+i) + k + 2φ(g₁(f(ℓ))).$$

         On vérifie facilement que $f∘g = 2g∘f$ et il reste à prouver
         que $g$ est injective. Si $x=h+i+k+ℓ∈\Ker g$ alors
         $g(f(x)) = g₁(f(i+ℓ)) = 0$ donc $i+ℓ∈\Ker f = H⊕ K$ soit
         $i=ℓ=0$. Il reste $g₁(h)+k=0$ ce qui implique $h=k=0$ car
         $g₁(h)∈ \Im f = H⊕ I$.
         \medskip
         Remarque~: la démonstration passe à tout corps de caractéristique
         différente de~$2$.}


\xe\titre{Usage de la réduction}
                         %+-------------------------+
                         %|  Usage de la réduction  |
                         %+-------------------------+

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Ensi PC 1999

Soit $A=\matr(-1&2&1\cr2&-1&-1\cr-4&4&3)$.
\qq Calculer $Aⁿ$.
    \reponse{$A^{2k}=I$, $A^{2k+1}=A$.}
\qq Soit $U₀=\matr(-2\cr4\cr1)$ et $(U_n)$ défini par la relation~:
    $U_{n+1} = AU_n$. Calculer $U_n$ en fonction de~$n$.
\qq Soit $X(t) = \mat({x(t)}\cr{y(t)}\cr{z(t)})$.
    Résoudre $\dfrac{𝕕X}{𝕕t} = AX$.

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Puissances de $A$

Soit $A ∈ 𝓜_3(ℝ)$ ayant pour valeurs propres $1,-2,2$, et $n∈ℕ$.

\qq Montrer que $Aⁿ$ peut s'écrire sous la forme :
    $Aⁿ = α_nA² + β_nA + γ_nI$ avec $α_n,β_n,γ_n ∈ ℝ$.

\qq On considère le polynôme $P = α_nX² + β_nX + γ_n$.
    Montrer que : $P(1) = 1$, $P(2) = 2ⁿ$, $P(-2) = (-2)ⁿ$.

\qq En déduire les coefficients $α_n,β_n,γ_n$.
    \reponse{$α_n = -\frac13 + \frac {2ⁿ}4 + \frac {(-2)ⁿ}{12}$,
             $β_n  = \frac {2ⁿ - (-2)ⁿ}4$,
             $γ_n = \frac43 - \frac {2ⁿ}2 + \frac {(-2)ⁿ}{6}$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Suites récurrentes linéaires

Soit $(u_n)$ une suite réelle vérifiant l'équation de récurrence :
$u_{n+3} = 6u_{n+2} - 11u_{n+1} + 6u_n$.

\qq On pose $X_n = \mat(u_n\cr u_{n+1} \cr u_{n+2})$.
    Montrer qu'il existe une matrice $A ∈ 𝓜_3(ℝ)$ telle que $X_{n+1} = AX_n$.

\qq Diagonaliser $A$.
    En déduire $u_n$ en fonction de $u₀$, $u₁$, $u₂$ et $n$.
    \reponse{$P = \mat(1 &1 &1 \cr 1 & 2 & 3 \cr 1 &4 &9)$,
             $D = \diag(1,2,3)$.\par
             $2u_n = (6-6.2ⁿ+2.3ⁿ)u₀ + (-5+8.2ⁿ-3.3ⁿ)u₁ + (1-2.2ⁿ+3ⁿ)u₂$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Endomorphisme cyclique

Soit $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ de dimension~$n$.

\qq On suppose que pour tout sous-ev $D$ de dimension~1 il existe $x∈D$
    tel que $E = \vect(x,f(x),f²(x),…)$. Que dire de $E$ et $f$~?
\reponse{Le polynôme minimal de $f$ est de degré supérieur ou égal à~$n$ et n'a
         pas de diviseurs non triviaux. Donc $\dim E = 1$ et $f$ est une
         homothétie si $𝕂=ℂ$. Si $𝕂=ℝ$ on peut aussi avoir $\dim E = 2$ et
         $f$ n'a pas de valeurs propres réelles.}

\qq On suppose qu'il existe  $x∈E$
    tel que $E = \vect(x,f(x),f²(x),…)$.
    Montrer que si $f$ est diagonalisable alors ses valeurs propres sont
    toutes distinctes. Montrer que si $f$ est nilpotente alors $f^{n-1}≠ 0$.

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Suite de points

Soit $(M_n)$ une suite de points dans le plan, de coordonnées $(x_n,y_n)$
définies par la relation de récurrence~:
$$x_{n+1} = -x_n + 2y_n,\qquad y_{n+1} = -3x_n + 4y_n.$$

\qq Montrer que, quelque soit $M₀$, les points $M_n$ sont alignés.
    \reponse{Diagonaliser ${}^tM ⇒ y_n -\frac 32x_n = \text{cste}$.}
\qq Étudier la suite $(M_n)$ quand $n$ tend vers l'infini.
    \reponse{$y_n-x_n = 2ⁿ(y₀-x₀)$ donc si $y₀≠x₀$ alors $M_n→∞$
             sinon la suite est constante.}
\qq Quelle est la limite de $y_n/x_n$ (utiliser une méthode géométrique)~?
    \reponse{$\frac32$ si $y₀≠x₀$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Commutant d'une matrice à valeurs propres distinctes

\qq Soit $D = \diag(λ₁,…,λ_n)$ une matrice diagonale
    à valeurs propres distinctes.

\sq Montrer qu'une matrice $M$ commute avec $D$ si et seulement si $M$ est
    diagonale.
\sq Montrer que pour toute matrice $M$ diagonale, il existe un polynôme
    $P ∈ 𝕂_{n-1}[X]$ unique tel que $M = P(D)$.

\qq Soit $A ∈ 𝓜_n(𝕂)$ une matrice à valeurs propres distinctes.
    Montrer que les matrices $M$ commutant avec $A$ sont les polynômes en $A$.

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $XY = YX = A$

Soit $A = \mat(1 &1 \cr 1 &1)$.

\qq $A$ est-elle diagonalisable ?
\qq Trouver toutes les matrices $X,Y ∈ 𝓜_2(𝕂)$ telles que $XY = YX = A$.
    \reponse{$X = \frac 12\mat(a+b &b-a \cr b-a &a+b)$,
             $Y = \frac 1b\mat(1 &1 \cr 1 &1)$ ou l'inverse.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Racine carrée

Soit $A = \mat(9 &0 &0 \cr 1 &4 &0 \cr 1 &1 &1)$.
Trouver les matrices $M ∈ 𝓜_3(ℝ)$ telles que $M² = A$.
\reponse{$M = ±\mat(3&0&0\cr 1/5&±2&0\cr 7/30&±1/3&±1)$
      ou $M = ±\mat(3&0&0\cr 1  &∓2&0\cr 1/2 &∓1  &±1)$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Racine carrée

Soit $A = \mat( 5 &-4  &1 \cr
                8 &-7  &2 \cr
               12 &-12 &4 \cr)$.
Trouver une matrice $B$ différente de $A$ et $-A$ telle que $B²=A$.
\reponse{$A=PDP^{-1}$ avec $P = \matr(1 &1 &0 \cr
                                      2 &0 &1 \cr
                                      3 &-4&4 \cr)$
         et $D = \diag(0,1,1)$.
         On prend $B = PMP^{-1}$ avec $M = \mat(0 &0 &0 \cr
                                                0 &0 &1 \cr
                                                0 &1 &0 \cr)$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Commutant

\qq Trouver le commutant de $\matr(2&-2&1\cr2&-3&2\cr1&2&0)∈𝓜₃(ℝ)$.
     \reponse{$\sp(M)=⦃1,√6-1,√6+1⦄$, $M$ est diagonalisable et son
              commutant est l'ensemble des polynômes en $M$ :
	      $aI + bM + cM²$, $a,b,c∈ℝ$.}
\qq Même question, en considérant $M∈𝓜₃(ℚ)$.
    \reponse{$M$ est cyclique.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Commutant, Centrale MP 2000

Si $A∈ M_n(ℂ)$, on note $𝓒(A)$ le commutant de $A$.
\qq Pour $n=2$, montrer que $𝓒(A)$ est de dimension $2$ ou $4$,
    en donner une base.
    \reponse{Par similitude on se ramène aux cas~:
    $A=\mat(λ&0\cr0&λ)$, $𝓒(A) = 𝓜_2(ℂ)$ ou
    $A=\mat(λ&0\cr0&µ)$, $𝓒(A) = ℂ[A]$ ou
    $A=\mat(λ&1\cr0&λ)$, $𝓒(A) = ℂ[A]$.}
\qq Pour $n∈ ℕ^*$, montrer que $𝓒(A)$ est de dimension $⩾n$ (traiter d'abord
    le cas où $A$ est diagonalisable).
    \reponse{Si $A$ est diagonalisable de valeurs propres $λ_i$
             avec les multiplicités $n_i$ alors $\dim(𝓒(A)) = ⅀n_i² ⩾ n$.

             Dans le cas général, soit $(A_k)$ une suite de matrices
             diagonalisables convergeant vers $A$ et $(C_k¹,…,C_kⁿ)$ une suite
             de $n$-uplets de matrices commutant avec $A_k$ telles que
             $(C_k¹,…,C_kⁿ)$ est une famille orthonormale pour un produit
             scalaire quelconque choisi sur $𝓜_n(ℂ)$. Par compacité il existe
             une sous-suite convergente, donc $n$ matrices $C_∞^i$ formant
             une famille orthonormale et commutant avec~$A$ d'où
             $\dim(𝓒(A))⩾ n$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Ulm MP$^*$ 2001

En se déplaçant uniquement sur les arêtes d'un cube de côté 1, combien y a-t-il
de chemins de longueur~$n$ pour aller d'un point à un autre~?

\reponse{Soit $d_n(i,j)$ le nombre de chemins de longueur~$n$ allant du sommet
         $i$ au sommet $j$. $j$ admet trois voisins $k₁,k₂,k₃$ et l'on a~:
         $d_n(i,j) = d_{n-1}(i,k₁) + d_{n-1}(i,k₂) + d_{n-1}(i,k₃)$.
         On numérote les sommets de $0$ à $7$ de sorte que les voisins du
         sommet~$i$ sont les sommets $i+1 \bmod 8$, $i+2 \bmod 8$ et
         $i+4 \bmod 8$.
         Le vecteur $d_n = (d_n(0,0),…,d_n(0,7))$ vérifie la relation de
         récurrence $d_n = Ad_{n-1}$ où $A$ est la matrice suivante
         ($.$~désigne $0$)~:
         $$A = \mat(. &1 &1 &. &1 &. &. &.\cr
                    1 &. &. &1 &. &1 &. &.\cr
                    1 &. &. &1 &. &. &1 &.\cr
                    . &1 &1 &. &. &. &. &1\cr
                    1 &. &. &. &. &1 &1 &.\cr
                    . &1 &. &. &1 &. &. &1\cr
                    . &. &1 &. &1 &. &. &1\cr
                    . &. &. &1 &. &1 &1 &.\cr)
             = \mat(B &I₄\cr I₄&B)
             =  P\mat(B+I₄ &0\cr 0&B-I₄)P^{-1}$$
         avec $$B = \mat(. &1 &1 &.\cr
                         1 &. &. &1\cr
                         1 &. &. &1\cr
                         . &1 &1 &.\cr)
         \text{ et } P = \mat(I₄ &I₄\cr I₄&-I₄).$$
         De même,
         $$B±I₄ = \mat(C±I₂&I₂\cr I₂&C±I₂)
                = Q\mat(C±I₂+I₂ &0\cr 0&C±I₂-I₂)Q^{-1}$$
         et enfin,
         $$C±I₂±I₂ = \mat(±I₁±I₁&I₁\cr I₁&± I₁±I₁\cr)
                   = R\mat(±I₁±I₁+I₁ &0\cr 0&± I₁±I₁-I₁)R^{-1}.$$
         Donc $A$ est diagonalisable de valeurs propres $-3,-1,1,3$ et on
         peut certainement terminer les calculs pour obtenir $d_n = Aⁿd₀$.}

\xe\titre{Réduction par blocs}
                          %+-----------------------+
                          %|  Réduction par blocs  |
                          %+-----------------------+

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Matrice bloc

Soit $A ∈ 𝓜_n(𝕂)$ non nulle et
$M = \mat(0 &A \cr 0 &0) ∈ 𝓜_{2n}(𝕂)$.
Montrer que $M$ n'est pas diagonalisable.

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Matrice bloc

Soit $𝕂$ un corps de caractéristique nulle, $A ∈ 𝓜_n(𝕂)$ et
$M = \mat(A &0 \cr A &A) ∈ 𝓜_{2n}(𝕂)$.

\qq Comparer les valeurs propres de $A$ et $M$.
\qq Soit $P ∈ 𝕂[X]$ et $Q = XP'$.
    Montrer que $P(M) = \mat({P(A)}& 0 \cr{Q(A)}&{P(A)})$.
    \reponse{Par récurrence pour $P = X^k$, puis par linéarité.}
\qq A quelle condition sur $A$, $M$ est-elle diagonalisable ?
    \reponse{Si $M$ est diagonalisable, on prend $P=µ_M$~:
             donc $µ_A$ divise $P$ et $XP'$ et $P$ est scindé à racines simples.
             La seule racine simple possible est $0$, d'où $A=0$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Ensi P 90

Soit $M ∈ 𝓜_n(ℂ)$ diagonalisable.
Soit $A = \mat(M&M\cr M&M) ∈ 𝓜_{2n}(ℂ)$.
La matrice $A$ est-elle diagonalisable ?
\reponse{S'inspirer du cas $n=1$. Soit $P = \mat(I&I\cr I&-I)$ :
         $P^{-1}AP = \mat(2M&0\cr 0&0)$ est diagonalisable,
         donc $A$ aussi.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Matrice bloc

Soit $A ∈ GL_n(ℂ)$ et $M = \mat(0 &A \cr I &0) ∈ 𝓜_{2n}(ℂ)$.
Montrer que $M$ est diagonalisable si et seulement si $A$ l'est
(chercher les sous-espaces propres de $M$ en fonction de ceux de $A$).
\reponse{$E_λ(M) = \left⦃\mat(λ Y\cr Y) \tq AY = λ²Y \right⦄$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Matrice triangulaire par blocs

Soit $M = \mat(A &B \cr 0 &C)$ avec $A,C$ carrées.
On suppose que $A$ et $C$ sont diagonalisables sans valeurs propres communes.
Montrer que $M$ est diagonalisable.

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Matrice bloc

Soit $M = \mat(A &B \cr C &D) ∈ 𝓜_n(𝕂)$ diagonalisable
avec $A$ carrée d'ordre $p$.

Soit $λ$ une valeur propre de $M$ de multiplicité $m$.
Montrer que si $p > n-m$, alors $λ$ est valeur propre de~$A$.

%----------------------------------------------------------------------
\ex Réduction par blocs, Centrale MP 2003
Soit~$A∈𝓜_n(ℝ)$ et $B = \mat(0&A\cr A&2A)∈𝓜_{2n}(ℝ)$.
Déterminer $\sp(B)$ et fonction de $\sp(A)$.
\reponse{Calcul du polynôme caractéristique de~$B$ par opérations en blocs.
         On obtient $$χ_B(x) = \det(x²I-2xA-A²)
         = (-1)ⁿχ_A\Bigl(\dfrac x{1+√2}\Bigr)χ_A\Bigl(\dfrac x{1-√2}\Bigr)$$
         donc $$\sp(B) = ⦃(1+√2)λ,\ λ∈\sp(A)⦄
                              ∪ ⦃(1-√2)λ,\ λ∈\sp(A)⦄.$$}

%----------------------------------------------------------------------
\ex  $A^m⟶_{m→+∞}0$, Mines MP 2003

Soit $A=\mat(a² &ab &ab &b² \cr
             ab &a² &b² &ab \cr
             ab &b² &a² &ab \cr
             b² &ab &ab &a² \cr)$.
Représenter dans un plan l'ensemble des couples~$(a,b)$ tels que
$A^m⟶_{m→+∞}0$.
\reponse{En prenant $P=\mat(I₂&I₂\cr-I₂&I₂)$
         on trouve $P^{-1}MP = \mat(a²-ab &ab-b² &0     &0     \cr
                                   ab-b² &a²-ab &0     &0     \cr
                                   0     &0     &a²+ab &b²+ab \cr
                                   0     &0     &b²+ab &a²+ab \cr)
                             = \mat(M₁&0\cr0&M₂)$.

         En prenant $P₁=\mat(1&1\cr-1&1)$ on a
         $P₁^{-1}M₁P₁ = \mat({(a-b)²}&0\cr0&a²-b²)$ et 
         $P₁^{-1}M₂P₁ = \mat(a²-b²&0\cr0&{(a+b)²})$.
         \medskip
         Ainsi, $\sp(A) = ⦃(a+b)²,(a-b)²,(a+b)(a-b)⦄$, donc l'ensemble
         cherché est la boule unité ouverte pour~$∥\ ∥₁$.}

\xe\titre{Image et noyau}
                            %+------------------+
                            %|  Image et noyau  |
                            %+------------------+

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Chimie P 1996

Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension~$n$ et $f$ un endomorphisme
de~$E$.

Est-il vrai que~:
$f$ est diagonalisable $⇔$ $\Ker f + \Im f = E$~?

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $u$ est diagonalisable $⇔ \Ker(u-λ\id) + \Im(u-λ\id)$ est directe

Soit $E$ un $𝕂$-ev de dimension finie et $u ∈ 𝓛(E)$ tel que $χ_u$ est scindé.
Pour $λ ∈ \sp(u)$, on note $E_λ = \Ker(u-λ\id)$ et $F_λ = \Im(u-λ\id)$.
Montrer que $u$ est diagonalisable si et seulement si pour
tout $λ∈\sp(u)$, $E_λ ⊕ F_λ = E$.

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $\Ker f ⊕ \Im f$

Soit $E$ un $𝕂$-ev de dimension finie et $f ∈ 𝓛(E)$.
On suppose qu'il existe $P∈𝕂[X]$ tel que $P(f) = 0$ et $P'(0)≠ 0$.
Montrer que $\Ker f ⊕ \Im f = E$.
\reponse{Si $P(0)≠ 0$ alors $f$ est bijective. Si $P(0) = 0$ alors
         $f²∘\text{qqch} = -P'(0)f⇒ \Ker f² = \Ker f$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $rg(f-λ\id)$

Soit $E$ un $ℂ$-ev de dimension finie et $f∈𝓛(E)$.
Montrer que $f$ est diagonalisable si et seulement si
pour tout $λ∈ℂ$ on a $\rg(f-λ\id) = \rg(f-λ\id)²$.

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Nombre de noyaux et d'images

Soit $E$ un $𝕂$-ev de dimension finie et $u∈𝓛(E)$.
Montrer que les ensembles $𝓚 = ⦃\Ker(P(u))$, $P∈𝕂[X]⦄$ et
$𝓘 = ⦃\Im(P(u))$, $P∈𝕂[X]⦄$ sont finis et ont même cardinal.
\reponse{Soit $µ$ le polynôme minimal de~$u$ et $𝓓$ l'ensemble des
         diviseurs unitaires de~$µ$. Pour $P∈𝕂[X]$ et $d=P∧µ$ on
         a facilement $\Ker(P(u)) = \Ker(d(u))$ et $\Im(P(u)) = \Im(d(u))$.
         Ceci montre déjà que $𝓚$ et $𝓘$ sont finis.
         \medskip
         De plus, si $d∈𝓓$ alors l'annulateur minimal de $u_{|\Im(d(u))}$
         est $µ/d$ donc l'application $d↦\Im(d(u))$ est injective sur
         $𝓓$ et $\card(𝓘) = \card(𝓓)$.
         De même, l'annulateur minimal de $u_{|\Ker(d(u))}$ est $d$ car
         $\Ker(d(u)) ⊃ \Im(\fracµd(u))$ et $d$ est l'annulateur minimal
         de $u_{|\Im(\fracµd(u))}$ donc l'application $d↦\Ker(d(u))$
         est injective sur $𝓓$ et $\card(𝓚) = \card(𝓓)$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $\dim(\Ker f²) = 2\dim(\Ker f)$, Mines-Ponts MP 2005

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f∈𝓛(E)$ tel que
$\dim(\Ker f²) = 2\dim(\Ker f) = 2d$. Montrer que s'il existe $g∈𝓛(E)$
et $k∈ℕ^*$ tels que $g^k = f$ alors $k$ divise $d$.

\reponse{En appliquant le théorème du rang à $f_{|\Ker f²}$, on a~:
         $\dim(\Ker f²) = \dim(\Ker f) + \dim(f(\Ker f²))$,
         et $f(\Ker f²)⊂ \Ker f$, donc $f(\Ker f²)= \Ker f$.
         Soit $G_i = \Ker g^i$. Montrons que $g(G_{i+1}) = G_i$
         pour tout~$i∈⟦0,k⟧$~: si $x∈ G_{i+1}$ alors $g^i(g(x)) = g^{i+1}(x) = 0$
         donc $g(x)∈ G_i$.
         Réciproquement, si $y∈ G_i$ alors $y∈ G_k = f(G_{2k})$,
         donc $y$ a un antécédant $x$ par $f$, cet antécédant appartient
         à $G_{i+k}$, et $y = g(g^{k-1}(x)) ∈ g(G_{i+1})$.

         On en déduit, avec
         le théorème du rang appliqué à $g_{|G_{i+1}}$, que
         $\dim(G_{i+1}) = \dim(G_i) + \dim(\Ker g)$ pour tout~$i∈{⟦0,k⟧}$,
         d'où $d = \dim(G_k) = \dim(G₀) + k\dim(\Ker g) = k\dim(\Ker g)$.}

\xe\titre{Sous-espaces stables}
                         %+------------------------+
                         %|  Sous-espaces stables  |
                         %+------------------------+

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Droites et hyperplans stables

Soit $E$ un $ℂ$-ev de dimension finie et $u ∈ 𝓛(E)$.

\qq Montrer qu'il existe une droite vectorielle stable par $u$.
\qq Montrer qu'il existe un hyperplan stable par $u$
    (considérer $\Im(u-λ\id)$ où $λ$ est une valeur propre de~$u$).
\qq Donner un exemple où ces propriétés sont en défaut pour un $ℝ$-ev.

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Plan stable pour une valeur propre non réelle

Soit $M ∈ 𝓜_n(ℝ)$ et $λ = a+ib$ une valeur propre non réelle de $M$
($a ∈ ℝ$, $b ∈ ℝ^*$). On note X un vecteur propre complexe de $M$.

\qq Montrer que $\overline X$ est aussi vecteur propre de $M$.
\qq Montrer que $(X,\overline X)$ est libre dans $ℂⁿ$.
\qq Soient $U = \frac12(X+\overline X)$, $V = \frac1{2i}(X-\overline X)$.
    Montrer que $(U,V)$ est libre dans $ℝⁿ$.
\qq Soit $F = \vect(U,V)$. Montrer que $F$ est stable par $φ$
    (endomorphisme de $ℝⁿ$ associé à $M$) et donner la matrice de
    $φ_{|F}$ dans la base $(U,V)$.

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Plans stables

Soit $E$ un $𝕂$-ev de dimension finie et $f∈𝓛(E)$.

\qq Soit $F$ un plan vectoriel. Montrer que si $F$ est stable par~$f$ alors
    il existe $P∈𝕂₂[x]$ non constant, diviseur de~$µ_f$, tel que
    $F ⊂ \Ker P(f)$.
\qq Réciproquement, soit $P∈𝕂[x]$ un diviseur de~$µ_f$ de degré~$2$.
    Montrer que $\Ker P(f)$ contient un plan stable par~$f$.
\qq Si $𝕂 = ℝ$ montrer que $f$ admet toujours une droite ou un plan stable.

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Recherche de sev stables

Soit $A = \matr(1 &1 &0 \cr -3 &-2 &0 \cr 0 &0 &1)$.

\qq Déterminer les sev de $ℝ³$ stables pour l'endomorphisme associé à $A$.
    \reponse{Valeurs propres : $1,j,j²$.
             sev stables : $⦃0⦄$, $〈e₃〉$, $〈e₁,e₂〉$ et $ℝ³$.}

\qq Quelles sont les matrices réelles commutant avec $A$ ?
    \reponse{$AB = BA ⇒ φ_B(e₃) = λe₃$,
             ${}^t\!A{}^tB = {}^tB{}^t\!A ⇒ φ_{{}^tB}(e₃) = λe₃$,
             d'où $B = \mat(a+µ &a     &0 \cr
                            -3a &-2a+µ &0 \cr
                              0 &0     &λ \cr)$.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Plan affine stable

Soit $E = ℝ³$ et $H:x+2y+3z=1$ un plan {\it affine\/} de $E$.
Montrer que si $H$ est stable par $f∈𝓛(E)$ alors $1$ est
valeur propre de~$f$.

\reponse{Soit $φ(x,y,z) = x+2y+3z$. $f$ conserve la surface de
         niveau $φ=1$ donc par linéarité $φ∘f=φ$ et
         $φ$ est vecteur propre de ${}^tf$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex $χ_u$ irréductible

Soit $u$ un endomorphisme de $E$, espace vectoriel de dimension $n$ sur le
corps $𝕂$. Montrez que seuls $⦃0⦄$ et $E$ sont stables par $u$ si et seulement
si $χ_u$ est irréductible sur $𝕂$.
\reponse{Si $χ_u$ est irréductible, pour $x≠0$ le polynôme minimal de~$x$
         en~$u$ est égal à~$χ_u$ donc le sous-espace cyclique engendré par~$x$
         est égal à~$E$ et il n'y a pas de sous-espace stable non trivial.
         \medskip
         Si seuls $⦃0⦄$ et $E$ sont stables, soit $x≠0$. Le sous-espace
         cyclique engendré par~$x$ est égal à~$E$ donc l'annulateur minimal
         de~$u$ en~$x$ est égal à~$χ_u$. Soit~$P$ un diviseur non trivial
         de~$χ_u$ et $y = P(u)(x)$~: l'annulateur minimal de~$u$ en~$y$
         est $χ_u/P$, absurde.}

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Endomorphisme semi-simple.

Un endomorphisme $f$ est dit semi-simple si tout sous-espace stable par~$f$
admet un supplémentaire stable par~$f$.
Montrer qu'un endomorphisme d'un $ℂ$-ev de dimension finie est semi-simple
si et seulement s'il est diagonalisable.

%----------------------------------------------------------------------
\ex Endomorphisme semi-simple, Polytechnique MP$^*$ 2000
Soit $E$ un espace vectoriel, $f$ un endomorphisme de~$E$
tel que tout sous-espace de~$E$ admette un supplémentaire stable par~$f$.
Que peut-on dire de~$f$~? Réciproque~?
\reponse{Si~$E$ est de dimension finie, soit~$F$ un hyperplan de~$E$,
         $〈e〉$ un supplémentaire stable et~$H$ un supplémentaire
         de~$〈e〉$ stable. Si $K$ est un sev de~$H$, alors $K$ admet un
         supplémentaire $K'$ dans~$E$ stable et $H∩K'$ est un sev de~$H$
         stable, en somme directe avec~$K$.
         $K'⊄H$ car $K⊂H$ et $K⊕K' = E$ donc $K'+H = E$
         et $\dim(H∩K') = \dim(H)+\dim(K')-\dim(E) = \dim(H)-\dim(K)$
         soit $K⊕(H∩K') = H$. $f_{|H}$ vérifie la même propriété que~$f$ et
         on obtient par récurrence que $f$ est diagonalisable.
         \medskip
         Réciproquement, soit $f$ diagonalisable, $F$ un sev de~$E$ et
         $(e₁,…,e_n)$ une base propre pour~$f$. On montre que $F$ admet un
         supplémentaire stable par récurrence sur $\codim(F)$~:
         si $F=E$ alors $⦃0⦄$ convient et si $F≠E$ alors il existe $i$ tel que
         $e_i∉F$ d'où $F⊕〈e_i〉$ est un sur-espace strict de~$F$, admettant un
         supplémentaire~$G$ stable, d'où $G⊕〈e_i〉$ est supplémentaire de~$F$
         stable.
         \medskip
         Cas $E$ de dimension infinie~: ???}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Sous-espaces stables, Centrale MP 2003
Soit $f∈𝓛(ℝ³)$ ayant pour matrice
$M=\matr(1&1&1\cr1&1&1\cr-1&1&1)$ dans la base canonique de~$ℝ³$.
Déterminer les sous-espaces de~$ℝ³$ stables par~$f$.
\reponse{$\sp(f) = ⦃0,1,2⦄$ donc $f$ est diagonalisable et chaque
         sous-espace propre est de dimension~$1$.
         Comme la restriction d'un diagonalisable à un sous-espace stable est
         encore diagonalisable, les sous-espaces stables par~$f$ sont les huit
         sous-sommes de~$E₀⊕ E₁⊕ E₂$.}

%-----------------------------------------------------------------------------
\ex Mines 2017
Soit $E$ un $ℝ$-espace vectoriel de dimension finie $n$, et $f ∈ 𝓛(E)$.
Montrez que $f$ est diagonalisable si et seulement s'il existe $H₁,…,H_n$
des hyperplans de~$E$ stables par~$f$ tels que $⋂_{i=1}^n H_i = ⦃0⦄$.
\reponse{La condition est nécessaire~: prendre une base propre pour~$f$
         et considérer les hyperplans engendrés par $n-1$ de ces vecteurs
         propres. On démontre sa suffisance par récurrence sur~$n$~:
         \medskip
         Le cas $n=1$ est trivial.
         \medskip
         Dans le cas général, il résulte de la formule de Grassman que
         si $F$ et $G$  sont deux sous-espaces de~$E$ on a
         $\codim(F∩G)⩽\codim(F)+\codim(G)$ où $\codim(X) = \dim(E)-\dim(X)$.
         Puis, par itération~: $\codim(H₁∩…∩H_p)⩽p$ pour tous hyperplans
         $H₁,…,H_p$. En conséquence $\dim(H₁∩…∩H_{n-1})⩾1$ et le fait que
         ce sous-espace ait une intersection avec~$H_n$ nulle implique
         $\dim(H₁∩…∩H_{n-1})⩽1$. Ainsi $H₁∩…∩H_{n-1}$ est une droite stable
         par~$f$ et $H_n$ est un hyperplan lui aussi stable par~$f$ et
         supplémentaire de~$H₁∩…∩H_{n-1}$.
         Les sous-espaces $H'_i = H_i∩H_n$ ($i⩽n-1$) sont des hyperplans
         de~$H_n$
         (s'il y en a un égal à~$H_n$, l'intersection complète ne peut être
         nulle vu sa codimension). Ils sont stables par~$f$ et leur
         intersection est nulle. Par hypothèse de récurrence, il existe une
         base de~$H_n$ propre pour~$f$ et on la complète avec un vecteur
         non nul dans $H₁∩…∩H_{n-1}$.}
%----------------------------------------------------------------------------

\xe\titre{Trigonalisation}
                            %+-------------------+
                            %|  Trigonalisation  |
                            %+-------------------+

%----------------------------------------------------------------------------
\ex $AB=0$

Soient $A,B∈𝓜_n(ℂ)$ telles que $AB = 0$. Montrer que $A$ et $B$
sont simultanément trigonalisables.

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Produit de matrices nilpotentes

Soient $A₁,…,A_n∈𝓜_n(𝕂)$ nilpotentes et commutant deux à deux.
Montrer que $A₁… A_n = 0$.

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Matrices nilpotentes

Soit $A∈𝓜_n(ℂ)$. Montrer que $A$ est nilpotente si et seulement
si pour tout $k∈ℕ^*$ on a $\tr(A^k)=0$.
\reponse{$0$ est valeur propre, se placer dans un hyperplan stable et récurer.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Mines MP 2003
Soit~$E$ un ev de dimension finie et $(u_n)$ une suite d'endomorphismes
diagonalisables convergeant vers un endomorphisme~$u$.
$u$ est-il diagonalisable~?
\reponse{Non. Prendre $\fct{Mat}(u_n) = \mat(0&1\cr0&1/n)$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Mines-Ponts MP 2005

On donne une matrice carrée réelle $M$ d'ordre $n$ non inversible.
Soient $α,β$ les multiplicités de zéro dans $χ_M$ et $µ_M$.
Montrer que $\dim(\Ker M) = α$ si et seulement si $β = 1$.

\reponse{Trigonaliser fortement $M$.}

%-----------------------------------------------------------------------------
\ex ENS 2014
Soit~$𝕂$ un corps fini. Les matrices de~$𝓜_n(𝕂)$ sont-elles toutes
diagonalisables~? Sinon, trigonalisables~?
\reponse{Non, il existe une matrice ayant pour polynôme caractéristique
$1+ℿ_{a∈𝕂}(X-a)$, non scindé.}
%-----------------------------------------------------------------------------

\xe\titre{Divers}
                            %+----------+
                            %|  Divers  |
                            %+----------+

%-----------------------------------------------------------------------------
\ex $∥g - \id∥ < 1$, Ulm MP 2012
Soit $∥\ ∥$ une norme d'algèbre sur $𝓜_n(ℝ)$.
Soit $G$ un sous-groupe de $GL_n(ℝ)$ tel que pour tout
$g∈G$~: $∥g - \id∥ < 1$. Montrer que $G$ est réduit à $⦃\id⦄$.

\reponse{Soit $g∈G$ et $λ∈ℂ$ une valeur propre de~$g$ où $g$ est considérée
         comme une matrice complexe. La suite $(g^k)_{k∈ℤ}$ est à valeurs
         dans~$G$, donc est bornée dans~$𝓜_n(ℝ)$ et dans~$𝓜_n(ℂ)$.
         Il en résulte que la suite $(λ^k)_{k∈ℤ}$ est bornée dans~$ℂ$,
         soit~: $|λ|=1$. De même, $(g-\id)^k⟶0$ quand $k→+∞$ dans~$𝓜_n(ℝ)$
         puis dans~$𝓜_n(ℂ)$, donc $(λ-1)^k⟶0$, soit~: $|λ-1|<1$
         et plus généralement $|λ^p-1|<1$ pour tout~$p∈ℕ$.
         Ceci implique $λ=1$.
         Ainsi $1$ est l'unique valeur propre de~$g$. On écrit
         alors $g=\id+h$ avec $h$ nilpotente,
         d'où $g^k=\id+kh+\bin k2h²+…+\bin k{n-1}h^{n-1}$ est un
         polynôme en~$k$ à valeurs bornées quand $k$ décrit~$ℕ$.
         Ceci implique $h=0$ et finalement $g=\id$.}

%-----------------------------------------------------------------------------
\ex Matrices nilpotentes, Mines MP 2012
Déterminer le sous-espace vectoriel de~$𝓜_n(𝕂)$ engendré par les
matrices nilpotentes.
\reponse{Soit~$V$ ce sous-espace. $V$ contient toutes les matrices
         $E_{ij}$ de la base canonique de~$𝓜_n(𝕂)$ telles que $i≠j$,
         donc toutes les matrices à diagonale nulle. Par ailleurs
         $V$ est inclus dans l'hyperplan constitué des matrices à trace
         nulle. Reste donc à étudier le cas des matrices diagonales
         à trace nulle. Ces matrices sont engendrées par les
         matrices $E_{11}-E_{jj}$ pour $j∈⟦2,n⟧$.
         \medskip
         On a $\mat(1&0\cr0&-1\cr) = \mat(1&1\cr-1&-1\cr)
                                   - \mat(0&1\cr 0&0\cr)
                                   + \mat(0&0\cr 1&0\cr)$
         et ces trois matrices sont nilpotentes, donc
         toute matrice $E_{11}-E_{jj}$ est combinaison linéaire de nilpotentes
         et $V$ est l'ensemble des matrices de trace nulle.}
         
%-----------------------------------------------------------------------------
\ex Ens Lyon MP 2012

Soient $S,R∈GL_n(ℂ)$ telles que $S²=R³=I_n$ et $RS=SR^{-1}$.
Montrer que $S$ et $R$ sont simultanément diagonalisables par blocs,
avec des blocs de taille 1 ou 2.	
\reponse{La propriété est immédiate si $n=1$ ou $n=2$. On procède alors
par récurrence en supposant la propriété vraie pour tout $k<n$.
Soient $S$ et $R$ vérifiant les hypothèses pour $n$~:

 on a $ℂⁿ=\Ker(R-I_n)⊕ \Ker(R²+R+I_n)$ et ces deux sous-espaces
sont stables par $R$ et~$S$. En effet, la stabilité par~$R$ est
évidente et si $RX=X$ alors $RSX=SR^{-1}X=SX$.
De même, si $(R²+R+I_{n+1})X=0$,
alors $(R²+R+I_n)SX=R²SX+RSX+SX=SRX+SR²X+SX=S(X+RX+R²X)=0$.
\medskip
Si aucun de ces sous-espaces n'est égal à $ℂⁿ$ alors on peut appliquer
l'hypothèse de récurrence aux endomorphismes induits par les restrictions de
$R$ et de $S$.
\medskip
Si $\Ker(R-I_n)=ℂⁿ$ alors $R=I_n$ et $R,S$ sont simultanément diagonalisables.
\medskip
Si $\Ker (R²+R+I_n)=ℂⁿ$, alors $0=R²+R+I_n=(R-jI_n)(R-j²I_n)$.
Soit $X$ tel que $RX=jX$. Alors $RSX=SR²X=S(-R-I_n)X=S(-j-1)X=j²SX$.
On en déduit $S$ induit un isomorphisme de $E_j(R)$ sur $E_{j²}(R)$ (on savait
que ces deux sous-espaces étaient de même dimension car $R$ est semblable
à $R^{-1}$. On prend donc $(X₁,X₂,…,X_q)$ une base de $E_j(R)$.
Alors $(X₁,SX₁,…,X_q,SX_q)$ est une base dans laquelle les matrices des
endomorphismes représentés par $R$ et $S$ dans la base canonique sont
diagonales par blocs, chaque bloc étant de la forme
$\mat(j & 0\cr 0 & j²\cr)$ pour $R$ et
$\mat(0 & 1\cr 1 & 0\cr)$ pour $S$.}
	
%-----------------------------------------------------------------------------
\ex Rangs itérés, ULC 2010

Soit $V$ un $ℂ$-espace vectoriel de dimension $d$ et $f∈𝓛(V)$.

\qq Montrer que la suite $(\rg (fⁿ))$ converge. On note $r(f)$ sa limite.
    \reponse{La suite est décroissante minorée, donc elle converge.}
\qq Montrer que si $f∘g=g∘f$ alors $r(f+g)⩽r(f)+r(g)$.
    Trouver un contre-exemple si $g∘f≠f∘g$.
    \reponse{On écrit $χ_f=(-1)ⁿℿ_{k=1}^p(X-λ_k)^{m_k}$.
             Les théorèmes de Cayley-Hamilton et de décomposition des noyaux
             donnent $V=⨁_{k=1}^p \Ker(f-λ_k \id)^{m_k}$. La matrice de $f$
             dans une base adaptée à cette somme directe est diagonale par
             blocs, chaque bloc étant de la forme $λ_k I+N_k$, avec $N_k$
             nilpotente. On voit alors que $r(f)=d-m₀$, $m₀$ multiplicité de
             la valeur propre $0$ (éventuellement $m₀=0$).
             Si $g$ commute avec $f$ alors les sous-espaces
             $\Ker(f-λ_k \id)^{m_k}$ sont stables par $g$. On considère $w$
             l'endomorphisme de $\Ker f^{m₀}$ induit par $g$. On a
             $Ker f^{m₀}=⨁_{k=1}^q \Ker (w-µ_k\id)^{n_k}$. Chacun de ces
             sous-espaces est stable par $f$, on fait une trigonalisation
             forte de la restriction de $f$. La matrice
             de $f+g$ dans la base ainsi construite sera diagonale par blocs,
             chaque bloc étant de la forme $µ_k I+\tilde N_k$.
             On rajoute donc au plus $r(g)$ coefficients diagonaux non nuls.
             On en déduit que $r(f+g)⩽r(f)+r(g)$.}

\qq Exprimer $r(f)$ à partir du polynôme caractéristique de $f$.
    \reponse{On a vu à la question précédente que $r(f)=d-m₀$.}

%-----------------------------------------------------------------------------

\bye
