\input exos
\fiche{Espaces vectoriels}

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\ex Sev de $𝕂³$ engendrés par deux vecteurs

On considère les vecteurs de $𝕂³$ :
$a = (1, 2, 1)$,
$b = (1, 3, 2)$,
$c = (1, 1, 0)$,
$d = (3, 8, 5)$.

Soient $F = \vect(a,b)$ et $G = \vect(c,d)$. Comparer $F$ et $G$.
\reponse{$F = G$.}

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\ex Essai de bases
Montrer que dans $ℝ³$, les trois vecteurs $a = (1,0,1)$,
$b = (-1,-1,2)$ et $c = (-2,1,-2)$ forment une base, et calculer
les coordonnées dans cette base d'un vecteur $X = (x,y,z)$.
\reponse{$x'= 2y+z$, $3y'=-x+z$, $3z'=-x+3y+z$.}

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\ex Rang de vecteurs
Dans $ℝ⁴$, trouver le rang de la famille de vecteurs :

$$a = (3,2,1,0),\quad
  b = (2,3,4,5),\quad
  c = (0,1,2,3),\quad
  d = (1,2,1,2),\quad
  e = (0,-1,2,1).$$

\reponse{$r = 3$, $2a - 3b + 5c = b - 2d - e = 0$.}

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\ex Étude de liberté

Étudier la liberté des familles suivantes :
\qq $E=⦃$ fcts : $ℝ→ℝ⦄$,     $𝓕=(\sin, \cos)$.
\qq $E=⦃$ fcts : $ℝ^{+*}→ℝ⦄$, $𝓕=(f_a : x ↦ x^a)$,   $a∈ℝ$.
\qq $E=⦃$ fcts : $ℝ→ℝ⦄$,     $𝓕=(f_a : x ↦ |x-a|)$, $a∈ℝ$.

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\ex Modification des vecteurs d'une famille libre

Soit $E$ un espace vectoriel, $(x₁,…,x_n)$ une famille libre de
vecteurs de $E$, et $α₁,…,α_n$ des scalaires.

On pose $y = ⅀_{i=1}ⁿ α_ix_i$, et $x'_i = x_i + y$.
Étudier à quelle condition la famille $(x'₁,…,x'_n)$ est libre.
\reponse{$⅀_{i=1}ⁿ α_i ≠ -1$.}

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\ex Fonctions affines par morceaux
Soit $0=x₀ < x₁ < … < x_n = 1$ une subdivision de $[0,1]$
et $F$ l'ensemble des fonctions $f:[0,1]→ℝ$ continues dont
la restriction à chaque intervalle $[x_i,x_{i+1}]$ est affine.
Montrer que $F$ est de dimension finie et trouver une base de $F$.

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\ex Somme de sous-espaces

Soient $F,G,H$ trois sous-espaces d'un espace vectoriel $E$.
Comparer $F∩(G + (F∩H))$ et $(F∩G) + (F∩H)$.
\reponse{Il y a égalité.}

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\ex $F∩G = F'∩G'$

Soient $F,G,F',G'$ des sev d'un ev $E$.

Montrer que si $F∩G = F'∩G'$ alors $(F+(G∩F')) ∩ (F+(G∩G')) = F$.
\reponse{L'intersection contient $F$.

Soit $u ∈ (F+(G∩F')) ∩ (F+(G∩G')$ : $u = a + b = a' + b'$
avec $a,a'∈F$, $b∈G∩F'$ et $b'∈G∩G'$.

Alors $b-b' = a'-a ∈ F∩G = F'∩G'$, donc $b∈G'$, donc $b∈F'∩G' ⊂ F$.}

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\ex Projection et symétrie dans $𝕂³$
Dans $𝕂³$, on donne les sous espaces :
$H = ⦃X = (x,y,z) \tq x + y + z = 0⦄$ et $K = \vect(U = (1,1,2))$.

\qq Déterminer $\dim H$ et en donner une base.
\qq Démontrer que $H ⊕ K = 𝕂³$.
\qq Donner les expressions analytiques des projection et symétrie associées :
    $π_H$ et $s_H$.
    \reponse{%
    $π_H$ : $\left⦃\matrix{
             4x' &=& 3x &-&  y &-& z  \cr
             4y' &=& -x &+& 3y &-& z  \cr
             4z' &=&-2x &-& 2y &+&2z, \cr}\right.$\qquad
    $s_H$ : $\left⦃\matrix{
             2x' &=& x  &-&  y &-& z  \cr
             2y' &=&-x  &+&  y &-& z  \cr
             2z' &=&-2x &-& 2y.       \cr}\right.$}

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\ex sev de $𝕂₃[x]$

Soit $𝕂$ un corps de caractéristique nulle, $E = 𝕂₃[X]$,
$F = ⦃P∈E$ tq $P(0) = P(1) = P(2) = 0⦄$,
$G = ⦃P∈E$ tq $P(1) = P(2) = P(3) = 0⦄$,
et $H = ⦃P∈E$ tq $P(X) = P(-X)⦄$.

\qq Montrer que $F ⊕ G = ⦃P∈E$ tq $P(1) = P(2) = 0⦄$.
\qq Montrer que $F ⊕ G ⊕ H = E$.
\qq Étudier le cas où $\car(𝕂)≠0$.
    \reponse{Soit $p=\car(𝕂)$.\par
             Si $p=2$ alors $F=G$ et $H=E$.\par
             Si $p=3$ alors $F=G$ et $F⊕H=⦃P∈E\tq p₁=p₃⦄$.\par
             Si $p⩾5$ alors $F=\vect(X³-3X²+2X)$,
                             $G=\vect(X³-6X²+11X-6)$,
                             $H=\vect(1,X²)$
                             et les deux questions sont justes.}

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\ex Caractérisation des sommes directes

Soient $F₁$, $F₂$, $F₃$ trois sev de $E$.
Montrer que $F₁+F₂+F₃$ est directe si et seulement si :
$F₁ ∩ F₂ = ⦃0⦄$ et $(F₁ + F₂) ∩ F₃ = ⦃0⦄$.
Généraliser.

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\ex Somme directe dans $E$ $⇒$ somme directe dans $𝓛(E)$

Soit $E=F₁⊕…⊕F_n$ et $𝓕_i = ⦃u∈𝓛(E)$ tq $\Im u ⊂ F_i⦄$.
Montrer que $𝓕₁ ⊕ … ⊕ 𝓕_n = 𝓛(E)$.

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\ex Toute somme peut être rendue directe en réduisant les sev

Soit $E$ un $𝕂$-ev de dimension finie, $F₁,F₂,…,F_n$
des sev de $E$ tels que $F₁ + … + F_n = E$.
Montrer qu'il existe des sev $G₁ ⊂ F₁$, …, $G_n ⊂ F_n$
tels que $G₁ ⊕ G₂ ⊕ … ⊕ G_n = E$.

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\ex Somme et intersection

Soit $E$ un $𝕂$-ev, $E₁,…,E_n$ des sev tels que
$E₁ ⊕ … ⊕ E_n = E$, $F$ un autre sev de $E$, et $F_i = E_i ∩ F$.

\qq Montrer que la somme $G = F₁ + … + F_n$ est directe.
\qq Comparer $F$ et $G$.

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\ex Polynômes trigonométriques

Soit $E$ l'ev $ℝ^ℝ$,
$F$ le sev engendré par les fonctions $f_n:x ↦ \cos(nx)$, $n∈ℕ$, et
$G$ le sev engendré par les fonctions $g_n:x ↦ \cosⁿx$, $n∈ℕ$.
Montrer que $F$ = $G$.

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\ex Intersection et somme de sev
Soit $E$ un ev de dimension finie et $(F_i)_{i∈I}$ une famille de sous-espaces
de $E$.
On note $H = ⋂_{i∈I} F_i$ et
$S = ⅀_{i∈I} F_i = \vect\bigl(⋃_{i∈I} F_i\bigr)$.

Montrer qu'il existe une partie finie, $J$, de $I$ telle que :
$H = ⋂_{i∈J} F_i$ et $S = ⅀_{i∈J} F_i$.

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\ex Supplémentaires
Soit $E = H ⊕ K$ et $(e₁,…,e_k)$ une base de $K$.

\qq Montrer que pour tout $a∈H$, $K_a = \vect(e₁ + a, …, e_k + a)$
    est un supplémentaire de $H$.
\qq Montrer que si $a ≠ b$, alors $K_a ≠ K_b$.

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\ex $\dim H = \dim K ⇔ H$ et $K$ ont un supplémentaire commun
Soient $H,K$ deux sev d'un ev $E$ de dimension finie.
Montrer que $\dim H = \dim K$ si et seulement si $H$ et $K$ ont un
supplémentaire commun (par récurrence sur $\codim H$).
\reponse{$\codim H = 0 :$ supplémentaire = $⦃0⦄$.\par
$\codim H = p :$ Soit $u∈E∖(H∪K)$ : $H⊕𝕂u$ et $K⊕𝕂u$
ont un supplémentaire commun, $L$, donc $H$ et $K$ ont un supplémentaire
commun : $L ⊕ 𝕂u$.}

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\ex Supplémentaire commun, X MP$^*$ 2005

\qq Soit $A = ⦃P∈ℝ[X]$ tq $P=(1-X)Q(X²)$ avec $Q∈ℝ[X]⦄$.
    \sq Montrer que $A$ est un $ℝ$-ev et que l'on a
        $ℝ[X] = A ⊕ ⦃$polynômes pairs$⦄$.

        A-t-on $ℝ[X] = A ⊕ ⦃$polynômes impairs$⦄$~?
        \reponse{Soit $P∈ℝ[X]$ que l'on décompose en $P=P₁(X²) + XP₂(X²)$ .

                 Alors $P = (P₁+P₂)(X²)-(1-X)P₂(X²) = (1-X)P₁(X²)+X(P₁+P₂)(X²)$,
                 ce qui prouve que les deux sommes sont égales à $ℝ[X]$.
                 Le caractère direct est immédiat.}

    \sq Que peut-on dire si l'on remplace $Q(X²)$ par une fonction $f$ paire~?
        \reponse{Cela ne change pas~$A$~: les éléments de~$A$ sont ceux dont
                 les parties paire et impaire sont opposées (au facteur $X$
                 près), indépendament du fait (vrai) que ces parties sont
                 des polynômes.}

\qq Soient $E₁,E₂$ deux sev d'un ev~$E$ tels que $E₁$ et $E₂$ sont isomorphes
    et $E = E₁ ⊕ E₂$. Montrer que $E₁$ et $E₂$ ont un supplémentaire commun.
    \reponse{Soit $f$ un isomorphisme de $E₁$ sur $E₂$ et $F = ⦃x - f(x)$ tq
             $x∈E₁ ⦄$. Alors $E = E₁⊕F = E₂⊕F$.}

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\ex $E$ n'est pas union de sous-espaces stricts

Soit $𝕂$ un corps infini, $E$ un $𝕂$-ev non nul et $F₁,…,F_n$ des sev
stricts de $E$.
On veut montrer que $E ≠ F₁∪…∪F_n$ :

\qq Traiter le cas $n = 2$.
\qq Cas général : on suppose $F_n ⊄ F₁∪…∪F_{n-1}$ et on choisit
    $x∈F_n∖(F₁∪…∪F_{n-1})$ et $y ∉ F_n$.

    \sq Montrer que : $∀λ∈𝕂$, $λx+y ∉ F_n$.
    \sq Montrer que : $∀i⩽n-1$, il existe au plus un $λ∈𝕂$ tel que $λx+y∈F_i$.
    \sq Conclure.

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\ex Nombres algébriques

On considère que $ℝ$ est un $ℚ$-espace vectoriel.

\qq Montrer que la famille $(1,√2,√3)$ est libre.
\qq Montrer que la famille $(\ln p)$ où $p$ décrit l'ensemble des nombres
    premiers positifs est libre.

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\ex Éléments algébriques
Soient $𝕂,𝕃$ deux corps avec $𝕂 ⊂ 𝕃$.

Un élément $α∈𝕃$ est dit algébrique sur $𝕂$ s'il existe un polynôme non nul
$P∈𝕂[X]$ tel que $P(α) = 0$.

\qq Montrer que $α$ est algébrique sur $𝕂$ si et seulement si $𝕂[α]$ est
    un $𝕂$-ev de dimension finie.

\qq On suppose que $α$ et $β$ sont algébriques sur $𝕂$.
    Montrer que $α + β$ et $αβ$ sont algébriques sur $𝕂$ (étudier $𝕂[α,β]$).

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\ex Corps emboîtés
Soient $ℍ ⊂ 𝕂 ⊂ 𝕃$ trois sous-corps de $ℂ$.

\qq Montrer que $𝕂$ et $𝕃$ sont des $ℍ$-ev et $𝕃$ est un $𝕂$-ev.
\qq Montrer que $𝕃$ est de dimension finie sur $ℍ$ si et seulement si
    $𝕂$ est de dimension finie sur $ℍ$ et
    $𝕃$ est de dimension finie sur $𝕂$.
\qq Application : Montrer que $\overlineℚ$, la clôture algébrique de $ℚ$
    dans~$ℂ$, est un corps algébriquement clos (si $P∈\overlineℚ[X]$,
    considérer le sous-corps de~$ℂ$ engendré par les coefficients de~$P$).

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\ex Surcorps de $ℝ$
Soit $𝔸$ une $ℝ$-algèbre commutative, intègre et de dimension finie.

\qq Montrer que $𝔸$ est un corps.
\qq Si $\dim𝔸 > 1$ montrer que tout élément de $𝔸$ est
    algébrique de degré 1 ou 2 sur $ℝ$. En déduire qu'alors $𝔸$
    est isomorphe à~$ℂ$.

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