\input exos
\fiche{Suites récurentes linéaires}

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\ex Ensi Chimie P' 93

\qq Résoudre $u_{n+2} = ½(u_{n+1} + u_n)$, $u₀ = a$, $u₁ = b$.
    \reponse{$u_n = ⅓((a+2b) + 2(a-b)(-½)ⁿ)$.}
\qq Si $a=0$, trouver $\lim u_n$.
\qq Résoudre : $v_{n+2} = √{v_{n+1}v_n}$.
    \reponse{$v_n = λµ^{(-½)ⁿ}$.}

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\ex Équations de récurrence linéaire

\qq Résoudre : $u_{n+2} - u_n = n-1$, $u₀ = u₁ = 0$.
    \reponse{$u_n = ¼n² - n + ⅜(1-(-1)ⁿ)$.}
\qq Résoudre : $u_{n+2} + u_{n+1} + u_n = n$.
    \reponse{$u_n = ⅓(n-1) + ajⁿ + bj^{2n}$.}

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\ex Système récurrent

On donne $u₀,v₀$. Résoudre le système :
$\cases{ 5u_n = 2u_{n-1} + 3v_{n-1} \cr 5v_n = 2v_{n-1} + 3u_{n-1}.}$
\reponse{%
$2u_n = u₀ + v₀ + (-⅕)ⁿ(u₀ - v₀)$,
$2v_n = u₀ + v₀ - (-⅕)ⁿ(u₀ - v₀)$.}

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\ex Caractérisation des suites polynomiales

Soit $(u_n)$ une suite de réels. On définit les suites dérivées de $(u_n)$ :
$$(u'_n)  = (u_{n+1} - u_n),\qquad
  (u''_n) = (u'_{n+1} - u'_n),\qquad
  …,\qquad
  (u^{(k+1)}_n) = (u^{(k)}_{n+1} - u^{(k)}_n).$$

\qq Exprimer $u^{(k)}_n$ en fonction de $u_n, u_{n+1}, …, u_{n+k}$.
    \reponse{$u^{(k)}_n = ⅀_{p=0}^k \bin kp(-1)^{k-p}u_{n+p}$.}
\qq Montrer que la suite $(u_n)$ est polynomiale si et seulement s'il existe
    $k∈ℕ$ tel que $(u^{(k)}_n) = (0)$.

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\ex Nombre de nombres ne comportant pas 13

Soit $T_n$ le nombre d'entiers naturels de $n$ chiffres exactement ne comportant
pas la séquence 13 en numération décimale.

\qq   Montrer que $T_{n+2} = 10T_{n+1} - T_n$.
\qq   Calculer $T_n$ en fonction de $n$.
      \reponse{$6T_n = (3+√6)(5+2√6)ⁿ + (3-√6)(5-2√6)ⁿ$.}

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\ex $(√3+1)^{2n+1} - (√3-1)^{2n+1}$

On note $x_n = (√3 + 1)^{2n+1}$, $y_n = (√3 - 1)^{2n+1}$, et $z_n = ⎣x_n⎦$.

\qq   Montrer que $z_n = x_n - y_n$.
\qq   En déduire que $2^{n+1}$ divise $z_n$.

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\bye
