\input exos
\fiche{Nombres complexes}

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\ex $⅀ z_i+z_j$

\qq Soient $u,v ∈ ℂ$.
    Montrer que $|u+v| + |u-v| ⩾ |u| + |v|$, et déterminer les cas d'égalité.
    \reponse{$|u+v| + |u-v| ⩾ 2|u|$ et
             $|u+v| + |u-v| ⩾ 2|v|$. Il y a égalité ssi $u = ± v$.}

\qq Soient $z₁,z₂,z₃,z₄ ∈ ℂ$. Montrer que
    $⅀_{k=1}⁴|z_k| ⩽ ⅀_{k=1}³⅀_{ℓ=k+1}⁴ |z_k+z_ℓ|$.
    \reponse{$|z₁| + |z₂| + |z₃| + |z₄| ⩽
              |z₁+z₂| + |z₁-z₂| + |z₃+z₄| + |z₃-z₄|$,

             $|z₁-z₂| + |z₃-z₄| ⩽
              |z₁-z₂ + z₃-z₄| + |z₁-z₂ - z₃+z₄| ⩽
              |z₁+z₃| + |z₂+z₄| + |z₁+z₄| + |z₂+z₃|$.}
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\ex Équations affines

\qq Montrer que toute droite du plan a pour équation complexe :
    $az + \overline{az} = b$ avec $a∈ℂ^*$, $b∈ℝ$.

\qq Soient $a,b,c∈ℂ$, $a,b$ non tous deux nuls. Discuter la nature
    de $E = ⦃ z ∈ ℂ \tq az + b\overline{z} = c ⦄$.
    \reponse{si $|a| ≠ |b|$ : une solution unique,
             si $|a| = |b|$ : une droite ou $∅$.}
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\ex Transformation homographique

Soit $\application f {ℂ∖⦃i⦄} {ℂ∖⦃1⦄} z {\dfrac {z+i}{z-i}}$

\qq Montrer que $f$ est bijective.
\qq Déterminer $f(ℝ)$, $f(𝕌∖⦃i⦄)$, $f(iℝ∖⦃i⦄)$.
    \reponse{$𝕌∖⦃1⦄$, $iℝ$, $ℝ∖⦃1⦄$.}
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\ex

Soient $a,b∈𝕌$ distincts et $z∈ℂ$.
On note $u = \dfrac{z+ab\overline{z}-a-b}{a-b}$.
Montrer que $u² ∈ ℝ$.
\reponse{$\overline{u} = -u$.}

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\ex Triangle équilatéral

Soient $a,b,c∈ℂ$ distincts. Montrer que les propositions suivantes sont
équivalentes :

\qq $⦃a,b,c⦄$ est un triangle équilatéral.
\qq $j$ ou $j²$ est racine de $az² + bz + c = 0$.
\qq $a² + b² + c² = ab + ac + bc$.
\qq $\dfrac 1{a-b} + \dfrac 1{b-c} + \dfrac 1{c-a} = 0$.

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\ex Sommets d'un carré

Soient $a,b,c,d ∈ ℂ$ tels que $a+ib=c+id$ et $a+c= b+d$.

Que pouvez-vous dire des points d'affixes $a,b,c,d$ ?

En déduire qu'il existe $z ∈ ℂ$ tel que $(z-a)⁴ = (z-b)⁴ = (z-c)⁴ = (z-d)⁴$.

\reponse{Les diagonales se coupent en leurs milieux, ont même longueur,
         et sont perpendiculaires~; c'est un carré.}
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\ex Configuration de points

Déterminer les nombres $z∈ℂ$ tels que …

\qq $z,z²,z⁴$ sont alignés.
    \reponse{$z∈ℝ$ ou $ℜz=-½$.}
\qq $1,z,z²$ forment un triangle rectangle.
    \reponse{$z ∈ -1 + iℝ$ ou $z ∈ iℝ$ ou $|z+½| = ½$.}
\qq $z,\dfrac 1z,-i$ sont alignés.
    \reponse{$z∈ iℝ$ ou $|z-i| = √2$.}

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\ex $a+b+c=1$

Trouver $a,b,c∈𝕌$ tels que $a+b+c = 1$ et $abc = 1$.
\reponse{$(0,a,a+b,a+b+c = 1)$ forme un losange donc l'un des nombres vaut $1$
         et les deux autres sont opposés~: $⦃a,b,c⦄ = ⦃1,i,-i⦄$.}
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\ex $u+v+w = 0$

Soient $u,v,w$ trois complexes unitaires tels que $u+v+w = 0$.
Montrer que $u=jv=j²w$ ou $u=jw=j²v$.

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\ex $z+1/z = 2$

Trouver les complexes $z ∈ ℂ^*$ tels que $\left|z + \dfrac 1z\right| = 2$.
\reponse{Poser $z=x+iy$.
On trouve les cercles de centre $± i$ et de rayon $√2$ (laborieux).}


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\ex Symétrique par rapport à une droite

Les points $A,B,M$ ayant pour affixes $a,b,z$, calculer l'affixe du symétrique
de $M$ par rapport à la droite~$(AB)$.
\reponse{$z' = \dfrac {(b-a)\overline z + a\overline b - \overline ab}
                      {\overline b - \overline a}$.}

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\ex Orthocentre

Soient $a,b,c,d∈ℂ$ deux à deux distincts.
Montrer que si deux des rapports $\dfrac {d-a}{b-c}, \dfrac {d-b}{c-a},
\dfrac {d-c}{a-b}$ sont imaginaires purs, alors le troisième l'est aussi.
\reponse{$d = $ orthocentre de $abc$.}

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\ex Similitudes dans un triangle

On donne un triangle $ABC$, un réel positif $k$ et un angle $θ$.
On note $S_M$ la similitude directe de centre $M$, de rapport $k$ et
d'angle $θ$.
Soit $C₁$ déduit de $C$ par $S_A$,
     $B₁$ déduit de $B$ par $S_C$,
     $A₁$ déduit de $A$ par $S_B$.
Montrer que les deux triangles $ABC$ et $A₁B₁C₁$ ont même centre de gravité.

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\ex Centre du cercle circonscrit

Soient $a,b,c∈ℂ$, affixes de points $A,B,C$ non alignés.
Calculer l'affixe du centre du cercle circonscrit à $ABC$ en fonction
de $a,b,c$.
\reponse{$ω =
          \dfrac {a(c\overline c-b\overline b)
                + b(a\overline a-c\overline c)
                + c(b\overline b-a\overline a)}
                 {a(\overline c-\overline b)
               + b(\overline a-\overline c)
               + c(\overline b-\overline a)}$.}

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\ex Sphère de $ℝ³$

Soient $u,v ∈ ℂ$ tels que $u+v≠0$.
On pose $x =  \dfrac {1+uv}{u+v}$,
        $y = i\dfrac {1-uv}{u+v}$,
        $z =  \dfrac {u-v}{u+v}$.

\qq CNS sur $u$ et $v$ pour que $x,y,z$ soient réels ?
    \reponse{$z∈ℝ ⇔ ∃α∈ℝ$ tq $u=α v$.\par
             $x,y∈ℝ ⇔ α=1/|v|² ⇔ u=1/{\overline v}$.}
\qq On suppose cette condition réalisée. Montrer que le point $M(x,y,z)$ dans
    l'espace appartient à la sphère de centre $O$ et de rayon 1.
\qq A-t-on ainsi tous les points de cette sphère ?
    \reponse{il manque seulement les deux pôles.}

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\ex Racines de l'unité

Résoudre :

\qq $(z+1)ⁿ = (z-1)ⁿ$.
    \reponse{$z=-i\cotan\frac {kπ}n$.}
\qq $(z+1)ⁿ = zⁿ = 1$.
    \reponse{Si $6│n$ alors $z=j$ ou $j²$. Sinon il n'y a pas de solution.}
\qq $z⁴ - z³ + z² - z + 1 = 0$.
    \reponse{$z = \exp\dfrac{(2k+1)iπ}5$, $k = 0,1,3,4$.}
\qq $1 + 2z + 2z² + \dots + 2z^{n-1} + zⁿ = 0$.
    \reponse{$z = -1$ ou $z = \exp\dfrac{2ikπ}n$, $1⩽k<n$.}
\qq $\overline z = z^{n-1}$.
\qq $\left(\dfrac{1+ix}{1-ix}\right)ⁿ = \dfrac{1+i\tan a}{1-i\tan a}$.
    \reponse{$x = \tan\left(\dfrac{a+2kπ}n\right)$.}
\qq $\left(\dfrac{z+1}{z-1}\right)³ + \left(\dfrac{z-1}{z+1}\right)³ = 0$.
    \reponse{$z = ± i,\ ± i(2±\sqrt3)$.}

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\ex Sommes sur les racines de l'unité

Soit $ω = e^{2iπ/n}$. Calculer :

\qq $⅀_{k=0}^{n-1} (1+ω^k)ⁿ$.
    \reponse{développer. $S=2n$.}
\qq $⅀_{k=0}^{n-1}⅀_{ℓ=k}^{n-1} \dbin ℓk ω^{k+ℓ}$.
    \reponse{$\dfrac {1 - (1+ω)ⁿ}{1 - ω - ω²} =
              \dfrac {1 + (2\cos(π/n))ⁿ}{1 - ω - ω²}$.}

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\ex Somme des puissances $p$-èmes des racines de l'unité

Soient $n,p∈ℕ^*$ et $𝕌_n$ le groupe des racines $n$-èmes de 1.

\qq Calculer $⅀_{x∈𝕌_n} x^p$.
    \reponse{$Σ=n$ si $p\not≡0\pmod n$, 0 sinon.}
\qq Soit $P∈ℂ_{n-1}[X]$ et $M = \max⦃|P(x)|,\ x∈𝕌_n⦄$.
    Montrer que tous les coefficients de $P$ sont bornés par $M$.
    \reponse{$a_k = ⅀_{x∈𝕌_n} \dfrac {P(x)}{nx^k}$.}

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\ex $⅀ ω^{k²}$

Soient $n∈ℕ^*$, $ω = e^{2iπ/n}$ et
$Z = ⅀_{k=0}^{n-1} ω^{k²}$. On demande de calculer $|Z|²$.
Pour cela …

\qq Écrire $|Z|²$ comme une somme double.
\qq Regrouper les termes diagonalement en tenant compte de la périodicité de
    la fonction $k↦ω^k$.
\qq Terminer le calcul.
\reponse{Pour $n$ impair, $|Z|² = n$.
         Pour $n$ pair, $|Z|² = n(1+(-1)^{n/2})$.}

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\ex $e^{2iπ/7}$

Soit $z=e^{2iπ/7}$ et $u = z + z² + z⁴$, $v = z³ + z⁵ + z⁶$.

\qq Calculer $u+v$ et $u²$.
    \reponse{$u+v = -1$, $u² = u+2v = -2-u$.}
\qq En déduire $\sin\frac{2π}7 + \sin\frac{4π}7 + \sin\frac{8π}7$.
    \reponse{$Σ = ℑu = \frac12√7$.}

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\ex Calcul de produit

Simplifier $x = ℿ_{p=2}ⁿ\left(\dfrac {p³-1}{p³+1}\right)$ en utilisant $1,j,j²$.
\reponse{$x = \dfrac {2(n²+n+1)}{3n(n+1)}$.}


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\ex Position des racines carrées

Soit $z ∈ ℂ$ et $p,q$ ses racines carrées.
A quelle condition $z,p,q$ forment-ils un triangle rectangle en $z$~?
\reponse{$|z| = 1$.}

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\ex Équations du second degré

Résoudre dans $ℂ$ : 

\qq $z⁴ - (5-14i)z² -2(5i+12) = 0$.
    \reponse{$z₁ = -z₂ = 3-2i$, $z₃ = -z₄ = 1-i$.}
\qq $z⁴ + 6z³ + 9z² + 100 = 0$.
    \reponse{$z=1±2i$, $z=-4±2i$.}

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\ex Équation du second degré

Comment faut-il choisir $m∈ℂ$ pour que l'équation :
$z² - (2+im)z - (1+im) = 0$ admette deux racines imaginaires conjuguées ?
\reponse{$m=2i$.}

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\ex Équation du second degré

\qq Soient $u,v∈ℂ$. Vérifier que
    $(|u|²-|v|²)² = ¼(|u+v|² + |u-v|²)² - 4|uv|²$.
\qq Soient $α,β∈ℂ$. CNS pour que les racines de
    $z² + αz + β = 0$ aient même module ?
    \reponse{$α = 0$ ou $β = tα²$, $t ⩾ ¼$.}

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\ex Moyennes géométrique et arithmétique

\qq Soient $u,v∈ℂ$. Montrer que $|u+v|² + |u-v|² = 2|u|² + 2|v|²$.
\qq Soient $α,β∈ℂ$, $m = \dfrac {α+β}2$ et $µ$ une racine carrée de $αβ$.
    Montrer que $|α|+|β|  = |m+µ| + |m-µ|$.
    \reponse{éléver au carré :
             $|α|² + |β|² + 2\underbrace{|αβ|}_{|µ|²} =
             \underbrace{|m-µ|² + |m+µ|²}_{2|m|² + 2|µ|²} +
             2\underbrace{|m²-µ²|}_{|α-β|²/4}$.}



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\ex Somme de coefficients binomiaux

A l'aide de formules du binôme, simplifier :

\qq $⅀_{k=0}^{[n/3]}\bin n{3k}$.
    \reponse{$\dfrac {2ⁿ+2\cos(nπ/3)}3$.}
\qq $⅀_{k=0}^{[n/2]}\bin n{2k}(-3)^k$.
    \reponse{$2ⁿ\cos(nπ/3)$.}
\qq $⅀_{k=0}ⁿ\bin nk\cos(kθ)$.
    \reponse{$\left(2\cos\dfracθ2\right)ⁿ\cos\dfrac{nθ}2$.}
\qq $⅀_{k=0}ⁿ\bin nk\sin(k+1)θ$.
    \reponse{$\left(2\cos\dfracθ2\right)ⁿ\sin\dfrac{(n+2)θ}2$.}
\qq $\cos a + \bin n1\cos(a+b) + \bin n2\cos(a+2b) + … + \bin nn\cos(a+nb)$.
    \reponse{$\left(2\cos\dfrac b2\right)ⁿ\cos\left(a+\dfrac {nb}2\right)$.}

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\ex Sommes trigonométriques

Simplifier :

\qq $⅀_{k=0}ⁿ k\cos(kθ)$.
    \reponse{%
    $\dfrac {n\sin\left(\dfrac{(2n+1)θ}2\right)\sin\dfracθ2 -\sin²\dfrac{nθ}2}
            {2\sin²\dfracθ2}$
     si $θ\not≡0\pmod{2π}$.}

\qq $⅀_{k=1}ⁿ\sin³(kθ)$.
    \reponse{%
    $\dfrac {3\sin(nθ/2)\sin\bigl((n+1)θ/2\bigr)}{4\sin(θ/2)}
    -\dfrac {\sin(3nθ/2)\sin\bigl(3(n+1)θ/2\bigr)}{4\sin(3θ/2)}$.}

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\ex Équation trigonométrique

Soit $a∈ℝ$. Résoudre :
$\cases{\cos(a) + \cos(a+x) + \cos(a+y) = 0\cr
        \sin(a) + \sin(a+x) + \sin(a+y) = 0.}$
\reponse{$x ≡ -y ≡ ± \dfrac {2π}3 \pmod {2π}$.}

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\ex $⅀ \cos^{2p}(x+kπ/2p)$

Soit $θ∈ℝ$.

\qq Simplifier $\cos⁴θ + \cos⁴(θ + \fracπ4) +
                \cos⁴(θ + \frac{2π}4) +
                \cos⁴(θ + \frac{3π}4)$.
    \reponse{$S = \frac32$.}
\qq Simplifier $\cos^6θ + \cos^6(θ + \fracπ6) + … + \cos^6(θ + \frac{5π}6)$.
    \reponse{$32\cos^6(θ) = \cos6θ + 6\cos4θ + 15\cos2θ + 10$.
             $S = \frac{15}8$.}

\qq Simplifier $\cos^{2p}θ + \cos^{2p}(θ + \fracπ{2p})
                + … + \cos^{2p}(θ + \frac{(2p-1)π}{2p})$.
    \reponse{$S_p = \dfrac {p}{2^{2p-1}}\dbin{2p}p$.}

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\ex $⅀\cos(kx)/\cos x^k = 0$

Résoudre : $⅀_{k=0}^{n-1}\,\dfrac {\cos(kx)}{\cos^kx} = 0$.
\reponse{$x ≡ 0 \pmod {\dfracπ n}$, $x \not≡ \dfrac π2 \pmod π$.}

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\ex $⅀ \bin nkx^{n-k}\cos(kα) = 0$

Résoudre en $x$ : $xⁿ + \bin n1x^{n-1}\cosα + … + \bin nn\cos(nα) = 0$.
\reponse{$(x+e^{iα})ⁿ + (x+e^{-iα})ⁿ = 0
         ⇔ x = \cotan(\frac{(2k+1)π}{2n})\sinα - \cosα$.}


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\ex $⅀ 2^{-k}/\cosθ…\cos(2^kθ)$

Simplifier $⅀_{k=1}ⁿ \dfrac 1{2^k \cosθ \cos2θ \cos4θ … \cos2^{k-1}θ}$.
\reponse{%
$S = \dfrac {u-u^{-1}}{u²-u^{-2}} +
     \dfrac {u-u^{-1}}{u⁴-u^{-4}} + … +
     \dfrac {u-u^{-1}}{u^{2ⁿ}-u^{-2ⁿ}}$.

$\dfrac {u-u^{-1}}{u²-u^{-2}} +
 \dfrac {u-u^{-1}}{u⁴-u^{-4}} =
 \dfrac {u³-u^{-3}}{u⁴-u^{-4}}$.

$\dfrac {u³-u^{-3}}{u⁴-u^{-4}} +
 \dfrac {u-u^{-1}}{u^8-u^{-8}} =
 \dfrac {u^7-u^{-7}}{u^8-u^{-8}}$
…

$S = \dfrac {u^{2ⁿ-1}-u^{-2ⁿ+1}}{u^{2ⁿ}-u^{-2ⁿ}}
   = \dfrac {\sin((2ⁿ-1)θ)}{\sin(2ⁿθ)}$.}

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\ex Calcul de $\tan(nx)$

Soit $n∈ℕ$, et $x∈ℝ$.
Exprimer $\tan(nx)$ en fonction de $\tan x$.
\reponse{$\tan(nx) = \dfrac {\bin n1\tan x - \bin n3\tan³ x + …}
                            {\bin n0       - \bin n2\tan² x + …}$.}

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\ex $z = (1+ia)/(1-ia)$

Soit $z∈𝕌$. Peut-on trouver $a∈ℝ$ tel que $z = \dfrac {1+ia}{1-ia}$ ?
\reponse{$z = e^{iθ}$, $a = \tan\fracθ2$  pour $θ \not≡ π \pmod{2π}$.}

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\ex Homographies, Centrale MP 2012
 
On note $\overline ℂ = ℂ∪⦃∞⦄$. Pour $(a,b,c,d)∈ℂ⁴$ tel que $c≠0$ on pose
$f(z)=\dfrac{az-b}{cz-d}$ pour tout $z∈ℂ∖⦃d/c⦄$,
$f(d/c)=∞$ et $f(∞)=a/c$.

\qq Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $f$ soit bijective.
    \reponse{En écrivant $f(z)=\dfrac{a}{c}+ \dfrac{ad-bc}{c(cz-d)}$ on voit
             facilement que $f$ est bijective si et seulement si $ad-bc≠0$.}

\qq Montrer qu'il existe $z₀,z₁,z₂$ tels que
    $f(z)=z₁+\dfrac{z₂}{z-z₀}$, $f(∞)=z₁$ et $f(z₀)=∞$.
    \reponse{L'écriture de la question précédente donne $z₁=\dfrac{a}{c}$,
             $z₀=\dfrac{d}{c}$ et $z₂=\dfrac{ad-bc}{c²}$.}

\qq On pose $D=⦃z∈ℂ\tq |z|<1⦄$, $P=⦃z∈ℂ\tq ℑ(z)>0⦄$ et
    $f(z)=\dfrac{z-i}{z+i}.$ Montrer que $f(P)=D$.
    \reponse{Soit $z∈P$. On a $|f(z)|²=\dfrac{|z|²+1-2ℑ(z)}{|z|²+1+2ℑ(z)}<1$
             car $ℑ(z)>0$. On a donc $f(P)⊂D$. Soit $Z∈D$ et $z$ tel que
             $f(z)=\dfrac{z-i}{z+i}=Z$.
             On a alors $z=-i\dfrac{Z+1}{Z-1}$ et l'on obtient
             $ℑ(z)=\dfrac{1-|Z|²}{|Z-1|²}$. On en déduit que $z∈P$,
             puis que $f(P)=D$.}

\qq $f(z)=\dfrac{az-b}{cz-d}$.

    Déterminer toutes les fonctions de ce type
    telles que $f(𝕌)=ℝ∪⦃∞⦄$ avec $𝕌=⦃z∈ℂ\tq|z|=1⦄$.
    \reponse{Il est plus facile de trouver les fonctions réciproques,
             donc celles qui vérifient $f(ℝ∪⦃∞⦄)=𝕌$. On doit avoir, pour tout
             $λ∈ℝ$, $|aλ-b|²=|cλ-d|²$.
             En développant on obtient $|a|=|c|$, $|b|=|d|$ et
             $ℜ(\bar a b)=ℜ(\bar c d)$. Quitte à multiplier par $e^{-iα}$,
             on peut supposer $a=c$, puis mettre $a$ en facteur.
             On se ramène donc à $f^{-1}$ de la forme
             $g(z)=e^{iα} \dfrac{z-γ}{z-δ}.$ On a alors $|γ|=|δ|$ et $ℜ(γ)=ℜ(δ)$.
             On en déduit que $δ =\overline{γ}$ (le cas $δ=γ$ est
             impossible car $g$ est bijective.
             Finalement $g(z)=e^{iα} \dfrac{z-γ}{z-\overline γ}$,
             avec $γ∉ℝ$. En calculant la fonction réciproque on obtient 
             $f(z)=\dfrac{\overline γ z-e^{iα} γ}{z-e^{iα} }$.
             On vérifie bien que
             $f(e^{iθ})=\dfrac{\overline γ+γ -e^{i(α-θ)}-e^{i(θ-α)}}
                             {|e^{iθ}-e^{iα}|²}∈ℝ∪⦃∞⦄$.}

\bye
