\input exos
\fiche{Anneaux}

%-----------------------------------------------------------------
\ex Anneau de Boole  
Soit $E$ un ensemble fini et $A =𝓟(E)$.

\qq Montrer que $(A,Δ,∩)$ est un anneau commutatif. Est-il intègre ?
\qq Soit $I$ un idéal de $A$. Montrer que :
    $\cases{∀X∈I,\ ∀Y⊂X,\text{ on a } Y∈I\cr
            ∀X,Y∈I,\text{ on a } X∪Y∈I.}$
\qq En déduire que $I = 𝓟(E')$ avec $E'⊂E$.
\qq Étudier la réciproque.
\qq Si $E$ est infini, montrer que $I=⦃$parties finies de $E⦄$ est un
    idéal qui n'est pas de la forme $𝓟(E')$.


%-----------------------------------------------------------------
\ex Idéaux triviaux
Soit $A$ un anneau commutatif non nul dont les seuls idéaux sont $⦃0⦄$ et $A$.
Montrer que $A$ est un corps.

%-----------------------------------------------------------------
\ex Idéaux premiers
Un idéal $I$ d'un anneau $A$ est dit premier si~:
$∀x,y∈A$, $xy∈I ⇒ x∈I$ ou $y∈I$.

\qq Quels sont les idéaux premiers de~$ℤ$~?
\qq Montrer que si $A$ est commutatif non nul et si tous les idéaux de~$A$
    sont premiers alors $A$ est un corps.
    \reponse{$A$ est intègre car $⦃0⦄$ est premier et si
             $a∈A∖⦃0⦄$ alors $a×a ∈ (a²)$ qui est premier donc
             $a²$ divise $a$ d'où $a$ est inversible.}

%-----------------------------------------------------------------
\ex Thm de Gauss  
Soit $A$ un anneau commutatif et $a,b∈A$. On dit que
$a$ {\it divise} $b$ si $b ∈ aA$ et
$a$ {\it est premier à} $b$ si $aA + bA = A$.

Montrer que si $a$ est premier à $b$ et $a$ divise $bc$, alors $a$ divise $c$.

%-----------------------------------------------------------------
\ex Caractéristique  
Soit $A$ un anneau. On appelle {\it caractéristique de $A$} l'ordre de
$1$ dans le groupe additif $(A,+)$.
On suppose $A$ de caractéristique finie, $n$.

\qq Montrer que : $∀x∈A$, $nx=0$.
\qq Si $A$ est intègre non nul, montrer que $n$ est un nombre premier.
\qq Si $A$ est intègre et commutatif, montrer que $x↦xⁿ$ est un morphisme
    d'anneau.

%-----------------------------------------------------------------
\ex Anneau de caractéristique 2  
Soit $A$ un anneau non nul tel que : $∀x∈A$, $x²=x$.

\qq Exemple d'un tel anneau ?
\qq Quels sont les éléments inversibles de $A$ ? \reponse{1.}
\qq Montrer que : $∀x∈A,\ x+x = 0$. En déduire que $A$ est commutatif.
    \reponse{$x+y = (x+y)² = x²+y²+xy+yx = x+y+xy+yx ⇒  xy+yx = 0$.\par
             Pour $y=1$ : $x+x=0 ⇒  1=-1$.\par
             Pour $y$ quelconque : $xy = -yx = yx$.}

\qq Pour $x,y∈A$ on pose : $x⩽y ⇔ ∃a∈A \tq x=ay$.
    Montrer que c'est une relation d'ordre.
    \reponse{Antisymétrie : si $x = ay$, alors $xy = ay² = ay = x$.
             Donc $(x⩽y)$ et $(y⩽x) ⇒  xy = x = y$.}

%-----------------------------------------------------------------
\ex Eléments nilpotents  
Soit $A$ un anneau commutatif, et $a∈A$. On dit que $a$ est nilpotent s'il
existe $n∈ℕ$ tel que $aⁿ=0$.

\qq Exemple : Déterminer les éléments nilpotents de $ℤ/36ℤ$.
\qq Montrer que l'ensemble des éléments nilpotents est un idéal de $A$.
\qq Soit $a$ nilpotent. Montrer que $1 - a$ est inversible.
\qq Soient $a$ nilpotent et $b$ inversible. Montrer que $a+b$ est inversible.

%-----------------------------------------------------------------
\ex $1-ab$ et $1-ba$
Soit $A$ un anneau et $a,b∈A$. Montrer que $1-ab ∈ A^* ⇔ 1-ba ∈ A^*$.
\reponse{Si $(1-ab)c = 1 = c(1-ab)$ alors $abc  = c-1 = cab$
         donc $babca = bca-ba = bcaba$,\par soit $ba(1+bca) = bca = (1+bca)ba$
         et $1+bca$ est inverse de $1-ba$.}

%-----------------------------------------------------------------
\ex Radical d'un idéal  
Soit $A$ un anneau commutatif et $I$ un idéal de $A$.

On note $√I = ⦃x∈A \tq ∃n∈ℕ \tq xⁿ∈I⦄$ (radical de $I$).

\qq Montrer que $√I$ est un idéal de $A$.
\qq Montrer que $√{√I} = √I$.
\qq Montrer que $√{I∩J} = √I ∩ √J$ et $√{I+J} ⊃ √I + √J$.
    \reponse{Réciproque fausse : $A = ℤ[X]$, $I=(X)$, $J=(X+4)$.}
\qq Exemple : $A = ℤ$, $I = 3648ℤ$. Trouver $√I$. \reponse{$114ℤ$.}


%-----------------------------------------------------------------
\ex Produit de deux idéaux  
Soit $A$ un anneau commutatif et $I,J$ deux idéaux de $A$.
On note $IJ = ⦃a₁b₁+…+a_nb_n \tq a_i∈I, b_i∈J⦄$.

\qq Montrer que $IJ$ est un idéal de $A$.
\qq Montrer que $I(J+K) = IJ + IK$.
\qq On suppose $I + J = A$. Montrer que $IJ = I∩J$.
\qq Pour $A = ℤ$, $I = nℤ$, $J = pℤ$, qu'est-ce que $IJ$ ?

%-----------------------------------------------------------------
\ex Relation d'équivalence compatible avec les opérations d'anneau
Soit $A$ un anneau commutatif.

\qq Soit $𝓡$ une relation d'équivalence compatible
    avec l'addition et la multiplication dans $A$. On note $I$ la classe de~$0$.
    Montrer que $I$ est un idéal de $A$.
\qq Réciproquement, soit $J$ un idéal de $A$. On pose $x∼y ⇔ x-y∈J$.
    Montrer que $∼$ est une relation d'équivalence compatible avec $+$ et $×$.

%-----------------------------------------------------------------
\ex Étude de l'anneau $ℤ²$

\qq Soit $d∈ℕ$. On pose $A_d = ⦃(x,y)∈ℤ² \tq x≡y\pmod d⦄$
    ($x=y$ pour $d=0$).
    Montrer que $A_d$ est un sous-anneau de $ℤ²$.
\qq Montrer que l'on obtient ainsi tous les sous-anneaux de $ℤ²$.
    \vskip 1mm
\qq Soit $I$ un idéal de $ℤ²$. On note :
    $I₁ = ⦃x∈ℤ \tq (x,0) ∈ I⦄$ et $I₂ = ⦃y∈ℤ \tq (0,y) ∈ I⦄$.
    Montrer que $I₁$ et $I₂$ sont des idéaux de $ℤ$, et que $I = I₁ × I₂$.
\qq En déduire que $I$ est un idéal monogène.

%-----------------------------------------------------------------
\ex Idéaux de $𝕂^E$

Soit $𝕂$ un corps, $E$ un ensemble fini, et $A = K^E$. Pour $e∈E$, on pose :
$$I_e = ⦃f∈A \tq f(e)=0⦄,\qquad
  χ_e\ :\ x ↦ \cases{ 1 &si $x=e$\cr 0 &si $x≠e$.}$$


\qq Montrer que $I_e$ est un idéal monogène de $A$.
\qq Soit $f∈A$. Vérifier que $f = ⅀_{e∈E} f(e)χ_e$.
\qq Soit $I$ un idéal quelconque de $A$, et
    $F = ⦃e∈E \tq ∃f∈I \tq f(e)≠0⦄$.
    Montrer que $I$ est un idéal monogène engendré par $⅀_{e∈F}χ_e$.

%-----------------------------------------------------------------
\ex Fonctions trigonométriques  
Soit $A = ⦃f\ :\ ℝ→ℝ$ de la forme
     $f(x) = a_0 + ⅀_{k=1}ⁿ a_k\cos(kx),\ n∈ℕ,\ a_i∈ℝ⦄$.

\qq Montrer que $A$ est un sous-anneau de $ℝ^ℝ$.
\qq Soit $f∈A$. Calculer $∫_{t=0}^{2π} f(t)\cos(nt)\,𝕕t$ en fonction des $a_k$.
    \reponse{$πa_n$.}
\qq En déduire que $A$ est intègre.
    \reponse{Si $f(x)=⅀_{k=0}ⁿ a_k\cos(kx)$ et $g(x)=⅀_{k=0}^p b_k\cos(kx)$
             avec $a_n≠0$ et $b_p≠0$ alors,\par
             $2∫_{t=0}^{2π} f(t)g(t)\cos(nt)\,𝕕t=πa_nb_p≠0$ donc $fg≠0$.}
\qq Soit $\application Φ{ℝ[X]}AP{x↦P(\cos x).}$
    Montrer que $Φ$ est un isomorphisme d'anneaux. En déduire que
    $A$ est principal.

%-----------------------------------------------------------------
\ex Suites croissantes d'idéaux  
Soit $A$ un anneau commutatif et $(I_n)$ une suite croissante d'idéaux de $A$.
On pose $I = ∪_{n ∈ ℕ} I_n$.

\qq Montrer que $I$ est un idéal de $A$.
\qq On suppose que $A$ est principal.
    Montrer qu'il existe $p∈ℕ$ tel que $I=I_p$.
\qq Application~: soit $A$ principal et $a∈A∖⦃0⦄$.
    Montrer que $a$ est produit d'éléments irréductibles
    (on raisonnera par l'absurde).

%-----------------------------------------------------------------
\ex Endomorphismes d'un groupe commutatif  
Soit $G$ un groupe additif et $A = ⦃$morphismes $G→G⦄$.

\qq Montrer que $(A,+,∘)$ est un anneau.
\qq On prend $G = ℤ/nℤ$, $n⩾2$.
    Montrer que $A$ est l'ensemble des applications
    $x↦kx$ avec $k∈G$, et que $A$ est isomorphe à l'anneau $ℤ/nℤ$.

%-----------------------------------------------------------------
\ex Entiers 2-adiques  
Soit $A = ⦃m/n ∈ ℚ \tq n$ est impair$⦄$.

\qq Montrer que $A$ est un sous-anneau de $ℚ$.
\qq Chercher les éléments inversibles dans $A$.
\qq Montrer que les idéaux non nuls de $A$ sont tous monogènes engendrés par
    les nombres de la forme $2^k$, $k∈ ℕ$.

%-----------------------------------------------------------------
\ex Morphismes $ℤⁿ→ℤ$
\label{morphismes}
Chercher les morphismes d'anneaux : $ℤⁿ→ℤ$.
\reponse{$f(x₁,…,x_n) = a₁x₁ + … + a_nx_n$.\par
         $f$ est multiplicative sur la base canonique $⇒$ $a_ia_j = 0$ pour
         $i≠j$.\par
         $f(1,…,1) = 1 ⇒$ un des $a_i$ vaut $1$, et les autres $0$.\par
         conclusion : $f$ = fct coordonnée.}

%-----------------------------------------------------------------
\ex Suites stationnaires  
Soit $A = ⦃$suites d'entiers relatifs stationnaires$⦄$ muni des
opérations usuelles.

\qq Montrer que $A$ est un anneau.
\qq Chercher les morphismes d'anneaux : $A→ℤ$.
    \reponse{idem \ref{morphismes} : les projections + la valeur de
             stationnement.}
\qq Soit $I = ⦃$suites presque nulles$⦄$. Montrer que c'est un idéal non
    monogène.

%-----------------------------------------------------------------
\ex Entiers de Gauss  
Soit $A = ⦃a + bi \tq a,b ∈ ℤ⦄$.

\qq Montrer que $A$ est un sous-anneau de $ℂ$. Quels sont les éléments
    inversibles ?
    \reponse{$\pm1,\pm i$.}
\qq Soient $u,v∈A$ avec $v≠0$. Montrer qu'il existe $q,r∈A$
    tels que $u = qv + r$ et $|r| < |v|$.
    A-t-on unicité~?
    \reponse{Non : $1+i = 0×2 + (1+i) = 1×2 + (i-1)$.}
\qq Montrer que $A$ est principal.

%-----------------------------------------------------------------
\ex Anneau intègre fini  
Soit $A$ un anneau non nul, commutatif et intègre.

\qq Montrer que si $A$ est fini, alors c'est un corps.
\qq Montrer que si $A$ n'a qu'un nombre fini d'idéaux, alors c'est un corps
    (considérer les idéaux $I_n = xⁿA$ pour $x∈A$ non nul).

%-----------------------------------------------------------------
\ex Corps $𝔽₄$  
Chercher les structures de corps à quatre éléments.
\reponse{$𝕂 = ⦃0,1,a,b⦄$ et $⦃1,a,b⦄$ est un groupe multiplicatif
         d'où $b=a²$, $a³=1$.\par
%
         $\vtop{\offinterlineskip
         \halign{\strut\ $#$\hfil\ \vrule\ &&$#$\hfil\ \cr
         +   &0   &1   &a   &a² \cr
         \omit\hfil\vrule height 2pt\ \cr
         \noalign{\hrule}
         \omit\hfil\vrule height 2pt\ \cr
         0   &0   &1   &a   &a² \cr
         1   &1   &0   &a²  &a   \cr
         a   &a   &a²  &0   &1   \cr
         a²  &a²  &a   &1   &0   \cr}}$\qquad
%
         $\vtop{\offinterlineskip
         \halign{\strut\ $#$\hfil\ \vrule\ &&$#$\hfil\ \cr
         ×&1   &a   &a² \cr
         \omit\hfil\vrule height 2pt\ \cr
         \noalign{\hrule}
         \omit\hfil\vrule height 2pt\ \cr
         1   &1   &a   &a² \cr
         a   &a   &a²  &1   \cr
         a²  &a²  &1   &a   \cr}}$}

%-----------------------------------------------------------------
\ex Groupe multiplicatif d'un corps fini
Soit $𝕂$ un corps fini. Pour $x∈𝕂^*$ on note $O(x)$ l'ordre multiplicatif
de~$x$ et $n$ le ppcm des ordres des éléments de~$𝕂^*$.

\qq Soient $a,b∈ℕ^*$. Montrer qu'il existe $a',b'∈ℕ^*$ tels
    que $a'|a$, $b'|b$, $a'∧b' = 1$ et $a'b' = a∨b$.
\qq Soient $x,y∈𝕂^*$ d'ordres $a$ et $b$. Montrer qu'il existe $u,v$ entiers
    tels que $O(x^uy^v) = a∨b$. En déduire qu'il existe $z∈𝕂^*$ d'ordre~$n$.
\qq Montrer que $n=\card(𝕂^*)$ (ceci prouve que $𝕂^*$ est cyclique).

%-----------------------------------------------------------------
\ex Groupe multiplicatif d'un corps fini
Soit $𝕂$ un corps fini de cardinal $n$.
Si $a,b∈ℕ$ sont tels que $ab = n-1$, on considère l'application
$$\application {f_a} {𝕂^*} {𝕂^*} x {x^a}$$ (remarquer que $f_a$ est
un morphisme de groupe). On note $N_a = \card(\Ker f_a)$.

\qq Expliquer pourquoi $N_a ⩽ a$.
\qq Montrer que $\Im(f_a) ⊂ \Ker f_b$. En déduire que $N_a = a$ et $N_b=b$.
\qq Soit $φ$ l'indicateur d'Euler. Montrer par récurrence sur $a$,
    diviseur de $n-1$, que le nombre d'éléments de $𝕂^*$ d'ordre~$a$ est
    égal à $φ(a)$ (ceci prouve que $𝕂^*$ est cyclique).
    
%-----------------------------------------------------------------
\ex Théorème de Wedderburn
On dit qu'un anneau~$A$ est un {\it anneau à division\/} si $A^*=A∖⦃0⦄$.
L'objet de l'exercice est de démontrer le théorème de Wedderburn~:
{\it tout anneau à division fini est commutatif} (c'est donc un corps fini).
\medskip
\qq {\sl Polynômes cyclotomiques}\par
    Pour $n∈ℕ^*$, soit $𝓟_n$ l'ensemble des racines primitives $n$-èmes de
    l'unité dans $ℂ$ et $Φ_n(X)=ℿ_{ζ ∈ 𝓟_n}(X-ζ)$  ($𝓟₁=⦃1⦄$, $Φ₁(X)=X-1$)

    \sq Démontrer : $Xⁿ-1 = ℿ_{d|n} Φ_d(X)$. En déduire que $Φ_n∈ℤ[X]$.
    \sq Montrer que si $m$ divise $n$ et $m<n$ alors $Φ_n(X)$ divise
        $(Xⁿ-1)/(X^m-1)$ dans $ℤ[X]$.
    \sq Justifier~: $∀p∈ℕ^*$, $|Φ_n(p)|⩾(p-1)^{\card(𝓟_n)}$ avec égalité
        si et seulement si $n=1$.

\medskip
\qq {\sl Cardinal d'un anneau à division}\par
    Soient $A$ un anneau fini à division et $B$ un sous-anneau de~$A$.
    On note $α,β$ les cardinaux de~$A,B$.

    \sq Montrer que $B$ est aussi un anneau à division.
    \sq Pour~$x∈A$, on note $Bx=⦃bx \tq b∈B⦄$ et on considère une
        famille $(x₁,…,x_n)$ de cardinal minimal telle que
        $A=Bx₁+…+Bx_n$. Justifier l'existence d'une telle famille et
        montrer que l'application
        $$\application Φ {Bx₁×…×Bx_n} A {(y₁,…,y_n)}{y₁+…+y_n}$$ est
        une bijection.
    \sq En déduire que $α$ est une puissance de $β$.

\medskip
\qq {\sl Théorème de Wedderburn}\par
    Soit $A$ un anneau à division, $B$ son centre et $α,β$ les cardinaux
    de~$A,B$. Pour $a∈A^*$, on note $𝓒_a$ le commutant de~$a$ et
    $𝓞_a=⦃xax^{-1} \tq x∈A^*⦄$.

    \sq Montrer que $𝓒_a$ est un anneau à division et qu'il existe des
        entiers $m,n$ tels que~:
        $α=β^n$, $\card(𝓒_a)=β^m$ et $m$ divise $n$.
    \sq Montrer que $\card(𝓞_a)=\card(A^*)/\card(𝓒_a^*)$.
        En déduire que si $a∉B$ alors $Φ_n(β)$ divise $\card(𝓞_a)$.
    \sq Pour $a,b∈A$, montrer que $𝓞_a$ et $𝓞_b$ sont soit disjoints,
        soit égaux. En déduire qu'il existe une partition de~$A^*$ de la forme
        $A^*=𝓞_{a₁}⊔…⊔𝓞_{a_k}$.
    \sq Montrer que $Φ_n(β)$ divise $\card(B^*)=β-1$ puis que $n=1$
        (et donc $A=B$, ce qui prouve la commutativité de $A$).

%-----------------------------------------------------------------

\bye
