\input exos
\fiche{Transformations orthogonales}

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\ex Changement de base unitaire

Soit $E$ un ev hermitien et $𝓑$, $𝓑'$ deux bases orthonormées de $E$.
On note $P$ la matrice de passage de $𝓑$ à $𝓑'$.
Montrer que ${}^t\overline PP = I$. Que peut-on dire de $\det P$ ?

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\ex Isométries affines

Soient $E$ un espace euclidien et $f:E→E$ une application non nécéssairement
linéaire.

\qq On suppose que $f$ conserve le produit scalaire.
    Démontrer que $f$ est linéaire.

\qq On suppose que $f$ conserve les distances, c'est à dire :
    $∀x,y∈E$, $∥f(x) - f(y)∥ = ∥x - y∥$.
    Démontrer que $f = f(0) + g$, avec $g∈𝓞(E)$.

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\ex Projection sur $\vect(u)$

Soient $E$ un espace euclidien et $u$ un vecteur unitaire de matrice $U$ dans
une base orthonormée $𝓑$.

\qq Montrer que $U^tU$ est la matrice dans $𝓑$ de la projection orthogonale
    sur $\vect(u)$.
\qq Trouver la matrice de la symétrie associée.

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\ex $x + λ(x│v)v$

Soient $E$ un espace euclidien, $v∈E∖⦃0⦄$ et $λ∈ℝ$.
On pose pour $x∈E$ :$f(x) = x + λ(x│v)v$.

Déterminer $λ$ pour que $f∈𝓞(E)$. Reconnaître alors $f$.
\reponse{$λ= 0$, $f = \id_E$ et $λ= -\dfrac2{∥v∥²}$,
         $f =$ la symétrie par rapport à $\vect(v)$.}

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\ex $f$ normal, $f²=-\id$

Soit $E$ un ev euclidien et $f ∈ 𝓛(E)$ tel que $f∘f^* = f^*∘f$ et $f² = -\id$.
Montrer que $f$ est orthogonal.
\reponse{$h = f∘f^*$ : $h² = \id$ et $h ⩾ 0 ⇒ h = \id$.}

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\ex Centrale MP 2003
On considère l'endomorphisme de~$ℝ³$ de matrice dans la base canonique~:
$A = \mat(a² &ab-c &ac+b\cr ab+c &b² &bc-a\cr ac-b &bc+a &c²)$
avec~$a,b,c∈ℝ$.
Déterminer $a,b,c$ de sorte que~$f$ soit une isométrie, et la préciser.
\reponse{$^t\!AA = I ⇔ a²+b²+c²=1$. Dans ce cas $\det(A) = \tr(A) = 1$
         donc $f$ est un quart de tour.
         L'axe du quart de tour est engendré par $\mat(a\cr b\cr c)$.}

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\ex Composition de symétries

Soient $E$ un espace euclidien et $F,G$ deux sous-espaces de $E$ tels que
$F ┻ G$. On note $s_F$ et $s_G$ les symétries orthogonales de bases $F$ et~$G$.
Montrer que $s_F∘s_G = s_G∘s_F = s_{(F⊕G)^┻}$.

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\ex Composition de symétries

Soient $F,G$ deux sous-espaces d'un ev euclidien $E$ tels que $F ⊂ G$.
On note $s_F$ et $s_G$ les symétries orthogonales de bases $F$ et~$G$.
Montrer que $s_F∘s_G = s_G∘s_F = s_{F⊕G^┻}$.

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\ex Condition pour que deux réflexions commutent

Soient $E$ un espace euclidien, $H,K$ deux hyperplans de $E$ et
$s_H$, $s_K$ les symétries associées.
Démontrer que $s_H$ et $s_K$ commutent si et seulement si $H = K$ ou
$H^┻ ⊂ K$.

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\ex Similitudes

Soient $E$ un espace euclidien, $f∈𝓛(E)$ et $λ>0$.
On dit que $f$ est une similitude de rapport $λ$ si : $∀x∈E$, $∥f(x)∥ = λ∥x∥$.

\qq Montrer que $f$ est une similitude de rapport $λ$ si et seulement si :
    $∀x,y∈E$, $(f(x)│f(y)) = λ²(x│y)$.
\qq Caractériser les similtudes par leurs matrices dans une base orthonormée.
\qq Montrer que $f$ est une similitude si et seulement si $f$ est non nulle et
    conserve l'orthogonalité, c'est à dire~:
    $∀x,y∈E$, $x┻y ⇒ f(x)┻f(y)$.

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\ex Similitudes

On définit l'application $φ : A∈𝓜_n(ℝ)↦⅀_{i,j}a_{i,j}²$.
Trouvez les matrices $P∈GL_n(ℝ)$ telles que
pour tout $A$ on ait $φ(P^{-1}AP)=φ(A)$.	
\reponse{$φ(A) = \tr(A\,{}^t\!A)$ donc pour toute matrice $P$
         telle que $P\,{}^t\!P$ soit scalaire (non nulle) on a
         $φ(P^{-1}AP) = φ(A)$.
         Ces matrices sont les matrices de la forme $P = λM$ avec $M$
         orthogonale (matrices de similitude).
         \medskip
         Réciproquement, soit $P$ telle que $φ(P^{-1}AP) = φ(A)$ et
         $Q=P\,{}^t\!P$.

         On a par polarisation~:
         $∀A,B$, $\tr(AQ\,{}^t\!B\,{}^t\!Q^{-1}) = \tr(A\,{}^t\!B)$

         donc pour $B=QC$~:
         $∀A,C$, $\tr(AQ{}^tC) = \tr(A{}^tCQ)$

         ce qui implique~:
         $∀C$, $Q{}^tC = {}^tCQ$ et donc que $Q$ est scalaire.}

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\ex Sev stables

Soient $E$ un espace euclidien, $u∈𝓞(E)$ et $F$ un sev stable par $u$.
Montrer que $F^┻$ est aussi stable par $u$.

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\ex Projection sur le sous-espace invariant

Soient $E$ un espace euclidien et $u∈𝓞(E)$. On note $v = \id_E - u$.

\qq Montrer que $\Ker v = (\Im v)^┻$.
\qq Soit $p$ la projection orthogonale sur $\Ker v$.
    Montrer que :
    $∀x∈E$, $\frac 1m⅀_{k=0}^{m-1}u^k(x) ⟶_{m→∞} p(x)$.

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\ex Endomorphismes orthogonaux diagonalisables

Quels sont-ils ?

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\ex Valeurs propres d'une isométrie

Soient $E$ un espace euclidien de dimension~$n$ et $f∈𝓞(E)$.

\qq On suppose $n$ impair et $f∈𝓞^+(E)$.
    Montrer que 1 est valeur propre de $f$
    (comparer $\det(f-\id)$ et $\det(f^{-1}-\id)$).
\qq Que peut-on dire quand $n$ est pair ?
\qq Soit $n$ quelconque, $f∈𝓞^{-}(E)$.
    Montrer que $-1$ est valeur propre de $f$.

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\ex Caractérisation des symétries orthogonales

Soit $M∈𝓞(n)$.

\qq Montrer que $M$ est la matrice d'une symétrie orthogonale si et seulement si
    $M$ est symétrique.
\qq Dans ce cas, déterminer la base et la direction de cette symétrie en
    fonction des matrices $I+M$ et $I-M$.

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\ex $f$ orthogonal antisymétrique

Soient $E$ un espace euclidien et $f∈𝓞(E)$.
Montrer que les énoncés suivants sont équivalents :

$$f∘f = -\id_E ⇔ ∀x∈E,\ f(x) ┻ x ⇔ ∀x,y∈E,\ (f(x)│y) = -(x│f(y)).$$

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\ex Centre de O(E)

Soient $E$ un espace euclidien, $f∈𝓞(E)$ et $s$ une réflexion par rapport
à un hyperplan $H$. Soit $u∈H^┻$, $u≠0$.

\qq Montrer que $f∘s∘f^{-1}$ est aussi une symétrie et en donner la
    base.
\qq En déduire que $f$ et $s$ commutent si et seulement si $u$ est vecteur
    propre de $f$.
\qq Quel est le centre de $O(E)$ ?

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\ex Nombre de réflexions nécéssaires pour engendrer une application donnée

Soient $E$ un espace euclidien et $f∈𝓞(E)$.
On note $F = \Ker(f - \text{id}_E)$ et $p = \codim(F)$.

\qq Montrer qu'on peut décomposer $f$ en produit d'au plus $p$ réflexions.
\qq Inversement, si $f$ est un produit de $k$ réflexions, démontrer que
    $p ⩽ k$.
\qq Application : trouver $f∈𝓞(E)$ qui se décompose en $n$ réflexions
    et pas moins.

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\ex Prolongement d'une transformation orthogonale
Soient $E$ un espace euclidien.
\qq Soit $F$ un sev de $E$ et $f:F→E$ une application orthogonale.
    Démontrer qu'on peut prolonger $f$ en une application orthogonale
    de $E$ dans $E$.

\qq Soient $u₁,…,u_n$, $v₁,…,v_n$ des vecteurs de $E$ tels que :
    $∀i,j$, $(u_i│u_j) = (v_i│v_j)$.

\sq Si $⅀λ_iu_i = 0$, démontrer que $⅀λ_iv_i = 0$.
\sq En déduire qu'il existe $f∈𝓞(E)$ telle que : $∀i$, $f(u_i) = v_i$.

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\ex Action de $𝓞(E)$ sur les sev

Soient $F,G$ deux sev d'un ev euclidien $E$ de mêmes dimensions.

\qq Montrer qu'il existe $u∈𝓞(E)$ tel que $u(F) = G$.
\qq Montrer qu'il existe $u∈𝓞(E)$ tel que $u(F) = G$ et $u(G) = F$.
\reponse{On raisonne par récurrence sur $d = \dim(F) = \dim(G)$.
         Pour $d=0$ il n'y a rien à prouver.

         Pour $d⩾1$ on considère $a∈F$ et $b∈G$ unitaires tels que
         $(a│b)$ soit maximal.
         Soient $F₁$ l'orthogonal de $a$ dans $F$ et $G₁$ l'orthogonal de
         $b$ dans $G$ (sev de dimensions égales à $d-1$).
         Le choix de $a,b$ fait que $F₁$ est orthogonal à $b$ et $G₁$
         est orthogonal à $a$, donc $F₁$ et $G₁$ sont tous deux inclus dans
         l'orthogonal de $\vect(a,b)$. On peut trouver un endomorphisme de cet
         orthogonal qui échange $F₁$ et $G₁$, que l'on complète par la
         symétrie orthogonale dans $\vect(a,b)$ qui échange $a$ et $b$.}

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\ex Transformations orthogonales sur $𝓜_n(ℝ)$

Soit $E = 𝓜_n(ℝ)$ muni du produit scalaire : $(A│B) = \tr({}^t\!AB)$.

\qq Vérifier que c'est un produit scalaire.

\qq Soit $P∈𝓞(n)$. Montrer que les applications
    $φ_P : A↦AP$ et $ψ_P : A↦P^{-1}AP$ sont orthogonales.

\qq Réciproquement, si $φ_P$ ou $ψ_P∈𝓞(𝓜_n(ℝ))$, est-ce que $P∈𝓞(n)$ ?

\reponse{oui pour $φ_P$.

         Pour $ψ_P$ : $∀A,B$, $\tr({}^t\!AB)=\tr({}^tP\,^t\!A^t(P^{-1})P^{-1}BP)
                               =\tr(P\,^tP\,^t\!A^t(P^{-1})P^{-1}B)$.

         Donc $P\,^tP\,^t\!A^t(P^{-1})P^{-1} = A$, donc $P\,^tP$ est scalaire,
         donc $P$ est une matrice de similitude.}

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\ex $A$ = $\com(A)$

Quelles sont les matrices $A∈𝓜_n(ℝ)$ égales à leur comatrice ?
\reponse{$A = 0$ ou $A∈𝓞^+(n)$.}

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\ex $A{}^t\!A + A + {}^t\!A = 0$

\qq Trouver les matrices $A∈𝓜_n(ℝ)$ telles que :
    $A{}^t\!A + A + {}^t\!A = 0$.
    \reponse{$A = P-I$, $P∈𝓞(n)$.}
\qq Montrer que pour une telle matrice, $|\det A| ⩽ 2ⁿ$.
    \reponse{Hadamard.}

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\ex Somme des coefficients d'une matrice orthogonale

Soit $P∈𝓞(n)$. démontrer que : $|⅀_{i,j} P_{ij}| ⩽ n$.
Quand a-t-on égalité ?

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\ex Groupe engendré par les réflexions

Soit $E$ un espace vectoriel hermitien et $G$ le sous-groupe
de~$𝓤(E)$ engendré par les réflexions.

\qq On suppose ici $\dim E⩾2$.
    Soient $u,v∈E$. Montrer qu'il existe une réflexion $σ$
    échangeant $u$ et~$v$ si et seulement si $∥u∥ = ∥v∥$ et $(u│v)∈ℝ$.

\qq Montrer que $G = ⦃f∈𝓤(E) \tq \det(f)∈⦃-1,1⦄⦄$.
\reponse{Tout $f∈G$ vérifie $\det(f)∈⦃-1,1⦄$.

         Réciproquement,
         soit $f∈𝓤(E) \tq \det(f)∈⦃-1,1⦄$ et $F = \Ker(f-\id)$.
         On montre que $f$ est composée de réflexions par récurrence sur
         $p=\codim(F)$.
         \medskip
         $p=0 ⇒ f=\id$. $p=1⇒f$ est une réflexion car $F$ est un hyperplan et
         $F^┻$ est stable par~$f$.
         \medskip
         $0,…,p-1⇒p$~: soit $(e₁,…,e_n)$ une BON de~$E$ telle que
         $(e_{p+1},…,e_n)$ est une BON de~$F$ et $e₁$ est vecteur propre de~$f$.
         Soit $e'₁ = f(e₁) = λe₁$, et $σ,σ'$ deux réflexions telles que
         $σ(e₁)=e₂$ et $σ'(e₂)=e'₁$. Alors $g=σ∘σ'∘f∈𝓤(E)$,
         $\det(g) = \det(f)∈⦃-1,1⦄$ et $\codim(\Ker(g-\id)) < p$
         donc $g$ est composée de réflexions et $f$ aussi.}

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\ex Orthotrigonalisation

Montrer que tout endomorphisme d'un espace vectoriel hermitien est
trigonalisable en base orthonormale.

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\ex Réduction des endomorphismes orthogonaux et unitaires

\qq Soit $G$ un sous groupe compact de $GL_n(ℂ)$.
    Si $M∈G$ montrer que $\sp(M)⊂𝕌$.
    En déduire que tout élément de~$G$ est diagonalisable.

\qq Soit $M∈𝓤_n(ℂ)$. Montrer que $M$ est diagonalisable et
    qu'il existe une base orthonormée de~$ℂⁿ$ propre pour~$M$.

\qq Soit $M∈𝓞_n(ℝ)$. Montrer qu'il existe $P∈𝓞_n(ℝ)$
    telle que $P^{-1}MP$ est diagonale par blocs~:

    $P^{-1}MP = \diag(±1,…,±1,R₁,…,R_k)$ où $R_i$
    est une matrice de la forme~:
    $R_i = \mat(\cosθ_i &-\sinθ_i\cr \sinθ_i &\cosθ_i)$.

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\ex Groupes orthogonaux égaux

Soit $E$ un $ℝ$-ev de dimension finie et $∥\ ∥₁$, $∥\ ∥₂$
deux normes euclidiennes telles que les groupes orthogonaux associés sont
égaux. Que peut-on dire de ces normes~?

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\ex Densité, Ens Ulm MP$^*$ 2003
$𝓞_n(ℚ)$ est-il dense dans~$𝓞_n(ℝ)$~?

\reponse{Oui. Pour $n=1$ il y a égalité. Pour~$n=2$ cela résulte de la densité
         de~$𝕌∩ℚ[i]$ dans~$𝕌$ (démonstration ci-dessous). Pour~$n$ quelconque,
         il suffit de voir qu'une réflexion quelconque est limite de réflexions
         à coefficients rationnels (approcher un vecteur non nul normal à
         l'hyperplan de réflexion par une suite de vecteurs rationnels).
         \medskip
         Densité de~$𝕌∩ℚ[i]$ dans~$𝕌$~: pour $p∈ℕ^*$ on considère
         $z_p = \dfrac{(p²-1)+2ip}{p²+1}$.
         On a $z_p∈𝕌∩ℚ[i]$ et $z_p⟶_{p→∞}1$.
         Si~$z∈𝕌$ alors~$d(z,𝕌∩ℚ[i])⩽ d(z,⦃z_p^k,\ k∈ℤ⦄)⩽ ½|1-z_p|$.}
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\ex Famille obtusangle, X 2015
Soient $v₁,…,v_{n+1}∈ℝ^n$ tels que $(vi│v_j)=-1$ pour tous $i,j$ distincts.
\qq Trouver pour $n=2$ un exemple d'une telle suite.
     \reponse{Un vecteur de norme~$√2$ et ses images par les rotations
              d'angles $±\frac{2π}3$.}
\qq Soit $p_i=1/(∥v_i∥²+1)$. Montrer que $⅀_{i=1}^{n+1}p_i=1$
    et $⅀_{i=1}^{n+1}p_iv_i=0$.
    \reponse{La famille $(v₁,…,v_{n+1})$ est liée~: soit $α₁v₁+…+α_{n+1}v_{n+1}=0$
             avec $α₁,…,α_{n+1}$ non tous nuls. On a, en notant
             $α=α₁+…+α_{n+1}$~:
             $$0=\Bigl(⅀_{i=1}^{n+1}α_iv_i\Bigm|v_j\Bigr)=α_j∥v_j∥²-⅀_{i≠j}α_i
                 =α_j(∥v_j∥²+1)-α
                 =\dfrac{α_j}{p_j}-α.$$
             d'où $α_j=p_jα$.
             $α$ est non nul sinon tous les $α_j$ le seraient, donc
             $p_j=α_j/α$, ce qui donne les relations demandées.}

\qq Montrer que toute sous-famille stricte de~$(v₁,…,v_{n+1})$ est libre.
    \reponse{D'après la question précédente, toute liste de coefficients
             $α_i$ telle que $α₁v₁+…+α_{n+1}v_{n+1}=0$ est proportionnelle
             à $(p₁,…,p_{n+1})$. Comme aucun $p_i$ n'est nul, il n'existe pas
             de relation de dépendance dans une sous-famille stricte.}

\qq Soient $w₁,…,w_{n+1}∈ℝ^n$ telle que $(w_i│w_j)=-1$ pour tous $i,j$ distincts
    et $∥w_i∥=∥v_i∥$ pour tout~$i$. Montrer qu'il existe~$f∈𝓞(ℝ^n)$ telle
    que $f(v_i)=w_i$ pour tout~$i$.
    \reponse{Comme $(v₁,…,v_n)$ est une base de~$ℝ^n$,
             il existe une unique application linéaire $f$ vérifiant
             $f(v_i)=w_i$ pour~$i=1,…,n$. On alors
             $f(v_{n+1})=f(-⅀_{i=1}^np_iv_i/p_{n+1})=-⅀_{i=1}^np_iw_i/p_{n+1}=w_{n+1}$.
             Par ailleurs, la relation $(f(x)│f(y))=(x│y)$ est vraie pour tous
             $x,y∈⦃v₁,…,v_n⦄$ donc par bilinéarité, elle est vraie pour
             tous $x,y∈ℝ^n$. Ainsi $f∈𝓞(ℝ^n)$.}

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\ex X 2014
\qq Soient $u,v∈O_n(ℝ)$ tels que $u+v=2\id$. Montrer que $u=v=\id$.
    \reponse{Avec l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a $(u(x)│x)⩽∥x∥²$ et
             $(v(x)│x)⩽∥x∥²$. Comme $u+v=2\id$, $(u(x)│x)+(v(x)│x)=2∥x∥²$ donc
             on est dans le cas d'égalité, d'où $x,u(x),v(x)$ sont colinéaires de
             même sens et ont même norme, donc sont égaux.}
\qq Que dire de $u,v∈O_n(ℝ)$ et $m∈𝓛(ℝ^n)$ tels que $umu^ {-1} + vmv^{-1}=2m$~?
    \reponse{Matriciellement, $UMU^{-1}+VMV^{-1}=2M$. En munissant $𝓜_n(ℝ)$ du produit
             scalaire usuel défini par~$(A│B)=\tr({}^tAB)$, les applications
             $A↦UAU^{-1}$ et $A↦VBV^{-1}$ sont orthogonales donc, en reprenant les
             calculs précédents, il vient $UMU^{-1}=VMV^{-1}M=M$, soit~:
             $m$ commute avec $u$ et~$v$.}

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\ex Mines 2016
Soit $M∈𝓜₃(ℝ)$ telle que $M$ est inversible et ${}^t\!M + M² = 0$.
Montrer que $M$ est la matrice d'une application conservant le produit
scalaire et déterminer celle-ci.
\reponse{${}^t\!M=-M²$ donc $M⁴=({}^t\!M)²={}^t\!(M²)=-M$ et $M³=-I₃$
         puisque~$M$ est inversible. Il vient alors ${}^t\!M\,M=I₃$,
         soit $M∈𝓞₃(ℝ)$ et $\det(M)³=\det(-I₃)=-1$ donc $\det(M)=-1$.
         \medskip
         Ainsi $M$ est une matrice de réflexion ou une matrice d'anti-rotation
         et est ortho-semblable à une matrice de la forme
         $N=\matr(\cosθ&-\sinθ&0\cr\sinθ&\cosθ&0\cr0&0&-1)$. La relation
         ${}^t\!M=-M²$ donne $3θ\equivπ\pmod{2π}$, donc $M$ est de la
         forme $P\matr(R_{π/3}&0\cr0&-1){}^t\!P$ avec $P∈𝓞₃(ℝ)$ ou $M=-I₃$
         et la réciproque est immédiate.}

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\ex ENS 2017
Quels sont les morphismes continus de~$(ℝ,+)$ dans $(SO(n),×)$~?
{\it Indication~: commencer par les morphismes de classe~$𝓒¹$.}
\reponse{On connaît tous les morphismes continus à valeurs dans~$GL_n(ℝ)$~:
         $t↦\exp(tA)$ avec $A∈𝓜_n(ℝ)$. Ceux à valeurs dans~$SO(n)$
         correspondent au cas~: $A$ antisymétrique.}
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