\input exos
\fiche{Problèmes matriciels}

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\ex $I + a(X^tY - Y\,^tX)$ inversible ?

Soient $X,Y ∈ 𝓜_{n,1}(ℝ)$ indépendantes, $a ∈ ℝ$ et $M$ la matrice
$n×n$ telle que $m_{ij} = x_iy_j - x_jy_i$.

A quelle condition $I + aM$ est-elle inversible ?
\reponse{$M = X^tY - Y\,^tX$.
         Soit $Z ∈ 𝓜_{n,1}(ℝ)$ tq $(I + aM)Z = 0$.
         Donc $Z ∈ \vect(X,Y)$ : $Z = λX + µY$.
         On remplace :
         $(1-a{}^tYX)λ - a{}^tYYµ = a{}^tXXλ + (1+a{}^tYX)µ = 0$.

         CNS $⇔ a²({}^tXX\,^tYY - ({}^tXY)²) + 1 ≠ 0$.}

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\ex Matrice orthogonale pour une forme $(p,q)$

Soit $J=\mat(I_n&0\cr0&-I_p)$ et $M=\mat(A&B\cr C&D)$ telle que ${}^tMJM = J$.
Montrer que $A$ et $D$ sont inversibles.
\reponse{On a ${}^t\!AA - {}^tCC = I_n$.
         Soit $X$ tel que $AX = 0$. Donc ${}^tXX = -{}^t(CX)(CX)$,
         donc $X = 0$.}

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\ex Calcul d'inverse

Soit $A = \matr(a &-b &-c &-d \cr
                b & a & d &-c \cr
                c &-d & a & b \cr
                d & c &-b & a \cr) ∈ 𝓜₄(ℝ)$,
avec $a,b,c,d$ non tous nuls.

Démontrer que $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$.
\reponse{$A\,^t\!A = (a²+b²+c²+d²)I$.}

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\ex Matrices normales

Soit $A ∈ 𝓜_n(ℂ)$ de valeurs propres $λ₁,…,λ_n$.
Montrer que $AA^* = A^*A ⇔ \tr(AA^*) = |λ₁|²+ … + |λ_n|²$.
\reponse{Trigonaliser $A$ dans une base orthonormée.}

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\ex Dérivée d'une orthogonale

Soit $S$, matrice orthogonale d'ordre impair, de coefficients fonction
de~$t$ dérivables. Montrer que $\dfrac{𝕕S}{𝕕t}$ n'est pas inversible.

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\ex Matrice orthogonale~?

Déterminer $a,b,c$, réels non nuls pour que la matrice
$M = -\frac23\matr(-1/2 & a/c & a/b\cr
                    c/a &-1/2 & c/a\cr
                    b/a & a/c &-1/2\cr)$
soit la matrice d'une isométrie.
\reponse{$a=b=±c$.}

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\ex Noyaux de $A$ et ${}^t\!A$

Soit~$A∈𝓜_n(ℝ)$ telle que pour tout~$X∈𝓜_{n,1}(ℝ)$ on a
$\tr({}^tXAX)⩾0$. Comparer les noyaux de~$A$ et~${}^t\!A$.

\reponse{Ils sont égaux (décomposer $A$ en symétrique $+$ antisymétrique).}

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\ex Matrice orthogonale ?

\qq Peut-on définir sur $ℝ²$ une structure euclidienne telle que
    l'endomorphisme $f$ dont la matrice dans la base canonique est
    $M = \matr(1&1\cr-3&-2)$ soit une rotation~?
    \reponse{$\sp(M) = ⦃j,j²⦄ ⇒$ on prend comme base orthonormale
             $a = \mat(1\cr0)$ et
             $b = \frac1{√3}(2f(a)+a) = \mat(√3\cr-2√3)$.}

\qq Généraliser à une matrice $M∈𝓜₂(ℝ)$ quelconque.
    \reponse{$M$ est une matrice de rotation ssi $\sp(M)⊂ 𝕌∖⦃±1⦄$ ou $M=±I$.}

\qq Généraliser à une matrice $M∈𝓜_n(ℝ)$ quelconque.
    \reponse{$M$ est la matrice d'une application orthogonale ssi $\sp(M)⊂𝕌$
             et $M$ est $ℂ$-diagonalisable (alors $M$ est $ℝ$-semblable à une
             matrice diagonale par blocs dont les blocs sont des matrices de
             rotation).}

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\ex Valeurs propres d'une matrice complexe
Soit~$M∈𝓜_n(ℂ)$ et $λ∈\sp(M)$. Montrer que $ℜ(λ)$ est compris entre la plus
grande et la plus petite valeur propre de $½(M+M^*)$.

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\ex Centrale MP 2001

\qq Montrer que toute matrice symétrique réelle positive a ses coefficients
    diagonaux positifs. Montrer que si l'un des coefficients diagonaux $u_{ii}$
    est nul, alors pour tout $j$ on a $u_{ij} = 0$.
    \reponse{Inégalité de Cauchy-Schwarz.}
\qq $U$ est une matrice symétrique réelle positive de la forme
    $U = \mat(A&C\cr{}^tC&B)$ avec $A$ et $B$ carrées.
    Montrer que la matrice $U' = \mat(A&C\cr0&0)$ est diagonalisable.
    \reponse{Il existe $P$ orthogonale de même taille que $A$ telle
             que $D = {}^tPAP$ est diagonale positive.

             Alors $\mat({}^tP&0\cr0&I)U\mat(P&0\cr0&I)
             = \mat(D&{}^tPC\cr{}^tCP&B)$ est symétrique positive
             donc si $d_{ii} = 0$ alors la ligne $i$ de ${}^tPC$ est nulle.
             Ainsi $\mat({}^tP&0\cr0&I)U'\mat(P&0\cr0&I)
             = \mat(D&{}^tPC\cr0&0)$ est, après renumérotation éventuelle des
             lignes et colonnes, de la forme $U'' = \mat(D'&C'\cr0&0)$ où
             $D'$ est diagonale inversible et $U'$ est semblable à $U''$.
             Enfin $U''$ est diagonalisable~:
             $\mat(I&D'^{-1}C'\cr0&I)U''\mat(I&-D'^{-1}C'\cr0&I)
              = \mat(D'&0\cr0&0)$.}

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\ex orthotrigonalisation, Centrale MP 2010
Soit $A∈𝓜_n(ℝ)$ telle que $χ_A$ est scindé sur~$ℝ$.
Montrer qu'il existe $P∈𝓞_n(ℝ)$ telle que $P^{-1}AP$ est triangulaire
supérieure.
\reponse{Transformer une base de trigonalisation de~$A$ par l'algorithme de
Schmidt.}

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\ex Centrale MP 2001

\qq Pour $M∈GL_n(ℝ)$ montrer l'existence de deux matrices orthogonales
    $U$ et $V$ telles que $^tUMV$ soit diagonale.
    \reponse{Si $^tUMV = D$ est diagonale alors $^tMM = VD²\,^tV$. Inversement,
             comme $^tMM$ est symétrique définie positive, il existe
             $D$ diagonale inversible et $V$ orthogonale telles que
             $^tMM = VD²\,^tV$. On pose $M = UD\,^tV$ ce qui définit $U$ puisque
             $D\,^tV$ est inversible et on a $VD²\,^tV= {}^tMM = VD\,^tUUD\,^tV$
             d'où $^tUU = I$.}
\qq Même question pour $M∈𝓜_n(ℝ)$.
    \reponse{$M$ est limite de matrices $M_k$ inversibles que l'on peut
             décomposer sous la forme $M_k = U_kD_k{}^tV_k$ avec $U_k,V_k$
             orthogonales et $D_k$ diagonale.
             Comme $𝓞(n)$ est compact on peut supposer, quitte à extraire des
             sous-suites, que les suites $(U_k)$ et $(V_k)$ convergent vers
             des matrices $U,V$ orthogonales
             d'où ${{}^tUMV = \lim_{k→∞} {}^tU_kM_kV_k = \lim_{k→∞}D_k = D}$
             diagonale.}
\qq Déterminer $U$ et $V$ pour $M=\matr(0&1&\phantom-1\cr -1&0&1\cr -1&-1&0)$.
    \reponse{En diagonalisant $^tMM$ on trouve
             $V = \matr(\frac1{√2} & \phantom-\frac1{√6} & \frac1{√3} \cr
                        0          & \frac2{√6}          &-\frac1{√3} \cr
                  -\frac1{√2}      & \frac1{√6}          & \frac1{√3} \cr)$,
             $D = \matr(√3 &0 &0\cr 0&√3 &0\cr 0&0&\phantom00)$.
             Comme $D$ n'est pas inversible il faut ruser pour trouver $U$.
             On donne des coefficients indéterminés à $U$ et on écrit que
             $^tUMV = D$ ce qui donne
             $U=\matc(a            &b+√2          &c          \cr
                     -a-\frac3{√6} &-b-\frac1{√2} &\phantom0-c\cr
                      a            &b             &c          \cr)$
             avec $a,b,c∈ℝ$. On choisit alors $a,b,c$ de sorte que $U∈𝓞(3)$
             d'où, par exemple, $c=\frac1{√3}$, $a=-\frac1{√6}$, $b=-\frac1{√2}$
             et $U=\matr(-\frac1{√6} &\frac1{√2}  &\frac1{√3}  \cr
                          \frac2{√6} & 0          &-\frac1{√3} \cr
                         -\frac1{√6} &-\frac1{√2} &\frac1{√3}  \cr)$.}

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\ex X MP$^*$ 2001

Soit $A∈𝓜_n(ℝ)$ telle que $A² = -I_n$.

\qq Montrer que $n$ est pair.
    \reponse{$\det(A)² = (-1)ⁿ.$}
\qq Montrer que $A$ est semblable à~$A' = \mat(0 &-I_{n/2}\cr I_{n/2}&0)$.
    \reponse{$A$ est $ℂ$-diagonalisable (annulateur simple) et ses valeurs
             propres sont $i,-i$ avec la même multiplicité ($A$ est réelle).
             La matrice $A'$ donnée a les mêmes propriétés donc $A$ et $A'$
             sont $ℂ$-semblables à la même matrice diagonale, et donc
             $ℂ$-semblables l'une à l'autre. Comme la $ℂ$-similitude
             entre matrices réelles est équivalente à la $ℝ$-similitude
             (résultat bien connu), $A$ et $A'$ sont $ℝ$-semblables.}
\qq On suppose $A∈𝓞(n)$. Montrer que $A$ est semblable à la matrice~$A'$
    précédente avec une matrice de passage orthogonale.
    \reponse{Soit $e₁$ unitaire et $e'₁ = Ae₁$. Alors $e'₁$ est unitaire et
             $Ae'₁ = -e₁$ d'où $$(e₁│e'₁) = (Ae₁│Ae'₁) = -(e₁│e'₁) = 0$$
             donc $(e₁,e'₁)$ est une famille orthonormale. Si $F₁$ est le sev
             engendré par $(e₁,e'₁)$ alors $F₁^┻$ est stable par $A$ donc on
             peut construire par récurrence une base orthonormale
             $(e₁,…,e_{n/2},e'₁,…,e'_{n/2})$ telle que $Ae_i = e'_i$ et
             $Ae'_i = -e_i$.}

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\ex X MP$^*$ 2001

Soient $A$ et $B$ deux matrices hermitiennes et  $C=A+B$. On note
$a₁⩾a₂⩾…⩾a_n$ les valeurs propres de la première,
$b₁⩾b₂⩾…⩾b_n$ celles de la deuxième, $c₁⩾c₂⩾…⩾ c_n$ 
celles de la troisième.
Montrez que pour tout $i$ on a $c_i⩾ a_i+b_n$.
{\it Indication~: se ramener au cas $b_n=0$}.
\reponse{On remplace $A$ par $A + b_nI$ et $B$ par $B-b_nI$ ce
         qui ne modifie pas $C$. Maintenant les valeurs propres de~$B$ sont
         positves donc pour tout~$x∈ℂⁿ$ on a $(Ax│x) ⩽ (Cx│x)$.
         Soit $(x₁,…,x_n)$ une base orthonormale propre pour~$A$
         et $(y₁,…,y_n)$ une base orthonormale propre pour~$C$.
         Si $z∈\vect(x₁,…,x_i)$ alors $(Az│z) ⩾ a_i∥z∥²$
         et si $z∈\vect(y_i,…,y_n)$ alors $(Az│z) ⩽ (Cz│z) ⩽ c_i∥z∥²$.
         Or $\vect(x₁,…, x_i)$ et $\vect(y_i,…, y_n)$ ont une intersection
         non triviale (la somme des dimensions est égale à $n+1$) donc il existe
         $z≠0$ tel que $a_i∥z∥² ⩽ c_i∥z∥²$ d'où $a_i⩽ c_i$.}

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\ex Centrale MP 2002

Soient $n ∈ ℕ^*$, $S_n(ℝ)$ l'espace des matrices $n×n$ symétriques
à coefficients réels, $S_n⁺(ℝ)$ le sous-ensemble des matrices positives,
$S_n^{++}(ℝ)$ le sous-ensemble des matrices définies positives
et $φ ∈ 𝓛(S_n(ℝ))$. On suppose que $φ (S_n^{++}(ℝ))=S_n^{++}(ℝ)$.

\qq Montrer que : $∀M ∈ S_n(ℝ)$, $∃A ∈ ℝ⁺ \tq ∀λ>A$, $M + λI_n ∈ S_n^{++}(ℝ)$.
\reponse{Prendre $A$ supérieur ou égal à la plus petite des valeurs propres
         de~$-M$.}

\qq Montrer que $φ ∈ GL(S_n(ℝ))$ et que $φ (S_n⁺(ℝ))=S_n⁺(ℝ)$.
\reponse{Surjectivité de~$φ$~: $\Im φ$ est un sev de~$S_n(ℝ)$ contenant
         $S_n^{++}(ℝ)$ donc contenant $\vect(S_n^{++}(ℝ)) = S_n(ℝ)$
         d'après la question précédente. On en déduit que $φ$ est un
         isomorphisme grâce au théorème du rang.
         \medskip
         Si $M∈ S_n⁺(ℝ)$ alors $M = \lim_{p→∞}(M+I_n/p)$ donc
         $M∈\overline{S_n^{++}(ℝ)}$.

         Réciproquement, si $M∈\overline{S_n^{++}(ℝ)}$ alors
         $M = \lim_{p→∞}(M_p)$ avec $M_p$
         définie positive, donc pour tout $x∈ℝⁿ$ on a
         ${}^txMx = \lim_{p→∞}({}^txM_px)⩾ 0$, c'est-à-dire $M∈ S_n⁺(ℝ)$.
         Ainsi~: $\overline{S_n^{++}(ℝ)} = S_n⁺(ℝ)$. Comme $φ$ est continue
         (car linéaire en dimension finie) on en déduit $φ(S_n⁺(ℝ))⊂ S_n⁺(ℝ)$.
         De plus, $φ(S_n^{++}(ℝ)) = S_n^{++}(ℝ)$ soit
         $S_n^{++}(ℝ) = φ^{-1}(S_n^{++}(ℝ))$.
         Comme $φ^{-1}$ est une application linéaire continue~:
         $φ^{-1}(S_n⁺(ℝ))⊂ S_n⁺(ℝ)$, d'où $S_n⁺(ℝ)⊂ φ(S_n⁺(ℝ))$.}

\qq On suppose $n = 2$ et $φ(I₂) = I₂$. 
    Montrer que : $∀M ∈ S₂(ℝ)$, $χ_{φ (M)}=χ_M$.

    Montrer que $\det(φ(M))=\det(M)$ (i.e. $φ$ conserve le déterminant).
    \reponse{Soit $M∈ S₂(ℝ)$ de valeurs propres $a,b$ avec $a⩽b$,
             et soient $a'⩽ b'$ les valeurs propres de~$φ(M)$.
             Pour tout $λ>-b$ on a $M+λI₂∈ S₂^{++}(ℝ)$ donc
             $φ(M)+λI₂∈ S₂^{++}(ℝ)$ c'est-à-dire $λ > b'$.
             Ceci prouve que $b'⩽ b$ et on montre l'égalité en
             considérant~$φ^{-1}$.
             De même, en considérant $-M$ on montre que $a'=a$. Finalement
             $χ_M = (X-a)(X-b) = χ_{φ(M)}$. De plus, $\det(M)=ab=\det(φ(M))$.
             \medskip
             Remarque~: soient $A = \mat(1&0\cr0&0)$,
                               $B = \mat(0&0\cr0&1)$,
                               $C = \mat(0&1\cr1&0)$,
             et $A'=φ(A)$, $B'=φ(B)$, $C'=φ(C)$. On sait que $A'$ est
             orthodiagonalisable avec pour valeurs propres $0$ et $1$, donc
             il existe $P∈𝓞(2)$ telle que $A' = {}^tPAP$. $A'+B'=φ(I₂)=I₂$ d'où
             $B' = I₂-A' = {}^tPBP$. Posons $C' = {}^tP\mat(u&v\cr v&w)P$.
             $0=\tr(C) = \tr(C') = u+w$ et $-1=\det(C) = \det(C') = uw-v²$
             donc $w=-u$ et $u²+v²=1$. De plus, $-1=\det(A+C) = -u-u²-v²$
             d'où $u=0$ et $v=±1$.
             \medskip
             Si $v=1$ alors $C' = {}^tPCP$ et par linéarité, $φ(M)={}^tPMP$
             pour toute $M∈ S₂(ℝ)$.
             Si $v=-1$ on trouve de même $φ(M) = {}^tQMQ$ avec
             $Q=P\mat(1&0\cr0&-1)∈ 𝓞(2)$.
             Réciproquement, toute application de la forme $M ↦{}^tPMP$ avec
             $P∈𝓞(2)$ vérifie les hypothèses de la question. Les fonctions $φ$
             linéaires vérifiant la seule condition $φ(S₂^{++}(ℝ)) = S₂^{++}(ℝ)$
             sont les fonctions de la forme $M↦{}^tPMP$ avec $P∈ GL₂(ℝ)$
             (écrire $φ(I₂) = {}^tTT$ puis considérer $M↦{}^tT^{-1}φ(M)T^{-1}$).
             \medskip
             Généralisation en dimension quelconque~?}
    
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\ex Mines MP 2002

Déterminer $⦃M ∈ 𝓜_n(ℝ) \tq M(^tMM)²=I_n⦄$.
\reponse{$M = (^tMM)^{-2}$ est symétrique définie positive, donc diagonalisable
         en base orthonormale. En examinant la forme diagonale on trouve $M=I$.}

\bye
