\input exos
\fiche{Ev euclidien orienté de dimension 3}

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\ex Propriétés du produit vectoriel

Soient $u,v,w,t$ quatre vecteurs d'un ev euclidien orienté de
dimension 3. Démontrer :

$$\eqalign{
%
  &(u∧v) │ (w∧t) = (u│w)(v│t) - (u│t)(v│w) \cr
%
  &(u∧v) ∧ (w∧t) = -[u,v,w]t + [u,v,t]w \cr
%
  &   [t,v,w]u + [u,t,w]v + [u,v,t]w = [u,v,w]t. \cr}
$$

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\ex Division vectorielle

Soit $E$ un ev euclidien orienté de dimension 3 et $a,b$ deux vecteurs
donnés, $a ≠ 0$.
Étudier l'équation : $a∧x = b$.
On cherchera une solution particulière de la forme $x = a∧y$.

\reponse{$x = -\dfrac{a∧b}{∥a∥²} + λa$.}
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\ex $a∧b$, $b∧c$, $c∧a$ donnés

Soit $E$ un ev euclidien orienté de dimension 3.\par
Trouver $a,b,c$ connaissant $u = a∧b$, $v = b∧c$ et $w = c∧a$
(calculer $u∧v$).

\reponse{%
$p = [a,b,c] ⇒ u∧v = pb$, $v∧w = pc$, $w∧u = pa$ et $[u,v,w] = p²$.

si $[u,v,w] < 0$ : pas de solutions.

si $[u,v,w] = 0$ et $\rg(u,v,w) > 1$ : pas de solutions.

si $[u,v,w] = 0$ et $\rg(u,v,w) ⩽ 1$ : une infinité de solutions.

si $[u,v,w] > 0$ : deux solutions.
}

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\ex $f(u)∧v + u∧f(v) = g(u∧v)$

Soit $E$ un ev euclidien orienté de dimension 3 et $f ∈ 𝓛(E)$.

\qq  Prouver que : $[f(u),v,w] + [u,f(v),w] + [u,v,f(w)] = [u,v,w]\tr(f)$.

\qq  Montrer qu'il existe $g ∈ 𝓛(E)$ telle que :
     $∀u,v$, on a $f(u)∧v + u∧f(v) = g(u∧v)$.

\qq  Dans une base orthonormale directe, exprimer la matrice de $g$ en
     fonction de celle de $f$.
     \reponse{$G = \tr(F)I - {}^tF$.}

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\ex Applications bilinéaires antisymétriques

Soit $E$ un ev euclidien orienté de dimension 3 et $φ:E×E→ℝ$
une application bilinéaire antisymétrique.

Montrer qu'il existe $f ∈ E^*$ unique telle que : $∀x,y$, $φ(x,y) = f(x∧y)$.

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\ex Volume d'un parallélépipède

Soient $u,v,w$ trois vecteurs d'un ev euclidien orienté de
dimension 3.

On donne $∥u∥ = a$, $∥v∥ = b$, $∥w∥ = c$,
$\overline{(u,v)} ≡ α$,
$\overline{(v,w)} ≡ β$,
$\overline{(w,u)} ≡ γ$.

Quel est le volume du parallélépipède construit sur $u,v,w$ ?

\reponse{$abc√{ 1 - \cos²α - \cos²β - \cos²γ + 2\cosα\cosβ\cosγ }
         =abc√{ (\cosγ - \cos(α+β))(\cos(α-β) - \cosγ)}$.}

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\ex Applications conservant le produit vectoriel

Soit $E$ un ev euclidien orienté de dimension 3.
Trouver les applications $f ∈ 𝓛(E)$ vérifiant :

\qq $∀u,v$, $f(u∧v) = f(u)∧ f(v)$.
\qq $∀u,v$, $f(u∧v) =-f(u)∧ f(v)$.

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\ex Expression d'une rotation

Soit $E$ un ev euclidien orienté de dimension 3, $u ∈ E$ unitaire,
$α ∈ ℝ$ et $f$ la rotation autour de $u$ d'angle de mesure $α$.

\qq Exprimer $f(x)$ en fonction de $u$, $x$ et $α$.
    \reponse{$f(x) = (x|u)u + \cosα(u∧x)∧u + \sinα(u∧x)$.}
\qq On donne les coordonnées de $u$ dans une base orthonormée : $a,b,c$.
    Calculer la matrice de $f$ dans cette base.
    \reponse{$M = (\cosα)I
                + (1-\cosα)\mat(a² &ab &ac \cr
                                ab &b² &bc \cr
                                ac &bc &c² \cr)
                + \sinα\matr(   0  &-c &b  \cr
                                c  &0  &-a \cr
                                -b &a  &0  \cr)$.}

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\ex Conjuguée d'une rotation

Soit $ρ$ une rotation d'un ev euclidien orienté de dimension 3,
et $f ∈ 𝓞(E)$. Reconnaître $f∘ρ∘f^{-1}$.

Application : Déterminer le centre de $𝓞^+(E)$.

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\ex Conjugaison dans $𝓞(ℝ³)$

Soient $f,g ∈ 𝓞(ℝ³)$ ayant même polynôme caractéristique.

Montrer qu'il existe $h ∈ 𝓞(ℝ³)$ tel que $f = h^{-1}∘g∘h$.

Si $f$ et $g$ sont positifs, a-t-on $h$ positif ?
\reponse{Pour $f,g ∈ 𝓞^+(ℝ³)$, $f$ et $g$ ont la même matrice
         réduite dans une base orthonormée convenable, donc sont conjugués
         dans $𝓞(ℝ³)$. $h$ n'est pas toujours positif car les bases
         peuvent ne pas avoir même orientation (ex~: deux rotations inverses).
         Pour $f,g ∈ 𝓞^-(ℝ³)$, considérer $-f$, $-g$.}

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\ex Décomposition des rotations

Soit $(i,j,k)$ une base orthonormée directe d'un ev euclidien orienté de
dimension 3 $E$, et $f ∈ 𝓞^+(E)$.

\qq On suppose $f(j) ┻ i$.
    Montrer qu'il existe $r,r'$ rotations autour de
    $j$ et $i$ telles que $r'∘r = f$.

\qq En déduire que tout $f ∈ 𝓞^+(E)$ se décompose de deux manières
    sous la forme : $f = r''∘r'∘r$ où $r,r''$ sont des rotations
    autour de $j$ et $r'$ est une rotation autour de $i$.

\qq Décomposer $(x,y,z) ↦ (y,x,z)$ et
    $(x,y,z) ↦ (x\cosα-y\sinα, x\sinα+y\cosα, z)$.
    \reponse{$π/2,π/2,π$ et $-π/2,α,π/2$.}
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\ex Sous-groupes finis de $𝓞^+(3)$

Déterminer les sous-groupes de $𝓞^+(3)$ de cardinal 2,3, ou 4.

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\ex Applications antisymétriques

Soit $E$ un ev euclidien et $f ∈ 𝓛(E)$ antisymétrique.

\qq Montrer que $\id_E + f ∈ GL(E)$.
\qq Montrer que $g = (\id - f)∘(\id + f)^{-1} ∈ 𝓞^+(E)$ et
    $\id+g$ est inversible.
    \reponse{matrice dans une BOND.}

\qq Réciproquement, soit $h ∈ 𝓞^+(E)$ tq $\id + h$ soit inversible.
    Montrer qu'il existe $f$ antisymétrique tel que $h = (\id-f)∘(\id+f)^{-1}$.
    \reponse{$f = 2(h+\id)^{-1} - \id$.}

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\ex Applications antisymétriques
Soit $E$ un ev euclidien orienté de dimension 3, $𝓑$ une base orthonormée
directe de $E$ et $f ∈ 𝓛(E)$ de matrice dans $𝓑$ :
$M = \mat( 0 &-γ &β  \cr
           γ &0  &-α \cr
          -β &α  &0  \cr)$.

\qq Reconaître $f$.
    \reponse{$f(x) = u∧x$ avec $u = (α,β,γ)$.}
\qq Montrer que $\id_E + f$ est une bijection et calculer la bijection
    réciproque.
    \reponse{$y = \dfrac{x + (u│x)u-u∧x}{1+∥u∥²}$.}
\qq Montrer que $g = (\id - f)∘(\id + f)^{-1}$ est une rotation et
    préciser son axe et son angle.
    \reponse{axe dirigé par $u$,
             $\cos\theta = \dfrac{1-∥u∥²}{1+∥u∥²}$,
             $\sin\theta = \dfrac{-2∥u∥}{1+∥u∥²}$.}

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\ex Exponentielle d'une application antisymétrique

Soit $E$ un ev euclidien orienté de dimension 3 et
$a ∈ E∖⦃0⦄$. On note $α = ∥a∥$.
Soit $f$ l'endomorphisme de $E$ défini par : $f(x) = a∧x$.

\qq Vérifier que $f³ = -α²f$.
\qq On pose $g(x) = ⅀_{k=0}^∞ \dfrac{f^k(x)}{k!}$.
    Simplifier $g(x)$ et en déduire que $g$ est une rotation.
    \reponse{$g(x) = (\cosα)x
                        + (1-\cosα)\dfrac{(a│x)a}{α²}
                        + \dfrac{\sinα(a∧x)}α$.}

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\ex Matrice à trou

\qq Compléter la matrice $A = \frac17\matr(6 &3 &. \cr
                                          -2 &6 &. \cr
                                           3 &. &. \cr)$
    en une matrice orthogonale positive.
    \reponse{$\frac17\matr(6 &3 &-2 \cr -2 &6 &3 \cr 3 &-2 &6)$.}

\qq Reconnaître l'application de matrice $A$ dans la base canonique
    de $ℝ³$.
    \reponse{rotation autour de $(1,1,1)$ d'angle $\arccos(\frac {11}{14})$.}

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\ex Matrice circulante

Soit $M = \mat(a &b &c \cr c &a &b \cr b &c &a)$.
Montrer que $M$ est une matrice de rotation si et seulement si $a,b,c$ sont
les racines d'un polynôme de la forme $P = X³-X²+λ$ avec $λ∈[0,\frac4{27}]$.

\reponse{Les conditions ${}^tMM = I$ et $\det(M) = 1$ équivalent à :
         $a+b+c = 1$ et $ab+ac+bc = 0$ d'où le polynôme~$P$.

         $P$ a trois racines réelles si et seulement si $0 ⩽ λ ⩽ \frac4{27}$
         (étude de la fonction associée).}

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\ex Expressions analytiques

Reconnaître les endomorphismes de $ℝ³$ définis par les expressions
analytiques dans la base canonique :

{\bf1)} $\cases{ 3x' = 2x+2y+z \cr 3y' = -2x+y+2z \cr 3z' = x-2y+2z \cr}$
        \reponse{\qq rotation autour de $(1,0,1)$ d'angle $-\arccos(1/3)$.}
%       
{\bf2)} $\cases{ 9x' = 8x+y-4z \cr 9y' = -4x+4y-7z \cr 9z'=x+8y+4z \cr}$
        \reponse{\qq rotation autour de $(-3,1,1)$ d'angle $-\arccos(7/18)$.}
%       
{\bf3)} $\cases{ 3x' = -2x+2y-z \cr 3y' = 2x+y-2z \cr 3z' = -x-2y-2z \cr}$
        \reponse{\qq demi-tour autour de $(-1,-2,1)$.}

{\bf4)} $\cases{ 4x' = -2x - y√6 + z√6 \cr
                 4y' = x√6 + y + 3z    \cr
                 4z' = -x√6 + 3y + z   \cr }$
        \reponse{\qq rotation autour de $(0,1,1)$ d'angle $2π/3$.}
%       
{\bf5)} $\cases{x' = \dfrac x{√3} + \dfrac y{√2} - \dfrac z{√6} \cr
                y' = \dfrac x{√3}  + \dfrac {2z}{√6} \cr
                z' = \dfrac x{√3} - \dfrac y{√2} - \dfrac z{√6} \cr}$
        \reponse{\qq rotation autour de $(-2-√3,1+√2,√2 - √3)$
              d'angle $\arccos( \dfrac {√6 - √2 + 1}{2√6} )$.}
%       
{\bf6)} $\cases{ 3x' = x+2y+2z \cr 3y' = 2x+y-2z \cr 3z' = 2x-2y+z \cr}$
        \reponse{\qq symétrie par rapport à $x=y+z$.}

{\bf7)} $\cases{ 7x' = -2x+6y-3z \cr 7y' = 6x+3y+2z \cr 7z' = -3x+2y+6z \cr}$
        \reponse{\qq symétrie par rapport à $3x=2y-z$.}
%       
{\bf8)} $\cases{ 3x' = 2x-2y+z \cr 3y' = -2x-y+2z \cr 3z' = x+2y+2z \cr}$
        \reponse{\qq symétrie par rapport à $x+2y-z=0$.}
%       
{\bf9)} $\cases{ 3x' = 2x+y+2z \cr 3y' = 2x-2y-z \cr 3z' = -x-2y+2z \cr}$
        \reponse{\qq symétrie-rotation autour de $(1,-3,1)$ d'angle
                     $-\arccos(5/6)$.}

{\bf10)} $\cases{ 4x' = -x+3y-z√6 \cr
                  4y' = 3x-y-z√6  \cr
                  4z' = x√6+y√6+2z\cr}$
        \reponse{\qq symétrie-rotation autour de $(1,-1,0)$ d'angle $π/3$.}
%
{\bf11)} $\cases{ 15x'=5x-10z \cr 15y' = -8x+5y+6z \cr 15z' = 6x-10y+8z \cr}$
        \reponse{\qq projection sur $2x+2y+z=0$ puis rotation d'angle
                 $\arccos(3/5)$.}
        (étudier $f_{|\Im f}$).
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\ex Expression analytique
Déterminer la matrice de la rotation $𝓡$ de $ℝ³$ dans une base
orthonormée $(i,j,k)$ telle que ${𝓡}(u)=u$
avec $u=(\frac1{√3},\frac{-1}{√3},\frac1{√3})$
et ${𝓡}(i) = k$. Donner son angle de rotation.
\reponse{$M=\matr(0 &-1 &0\cr 0 &0 &-1\cr 1 &0 &0)$, $\theta = \frac{2π}3$.}


\bye
