\input exos
\fiche{Endomorphismes auto-adjoints}

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\ex $A² = 0$
Soit $A∈𝓜_n(ℝ)$. On suppose ${}^t\!A = A$ et $A² = 0$. Montrer que $A=0$.

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\ex Comatrice d'une matrice symétrique

Soit $M∈𝓜_n(ℝ)$ symétrique. Montrer que $\com(M)$ est aussi symétrique.
La réciproque est-elle vraie ?

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\ex Base non orthonormée

Soit $𝓑 = (e₁,…,e_n)$ une base arbitraire d'un ev euclidien $E$,
$G$ la matrice de Gram des $e_i$, $f ∈ 𝓛(E)$ et $M$ sa matrice dans $𝓑$.

\qq Montrer que $f$ est auto-adjoint si et seulement si ${}^tMG = GM$.
\qq Montrer que $f$ est orthogonal si et seulement si ${}^tMGM = G$.

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\ex autoadjoint $⇒$ linéaire

Soit $E$ un ev préhilbertien et $u:E→E$ telle que :
$∀x,y ∈ E$, $(u(x)│y) = (x│ u(y))$.
Montrer que $u$ est linéaire.

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\ex Diagonalisation de matrices symétriques

Diagonaliser dans une base orthonormée :

{\bf1)} $A = \matr(6 &-2 &\phantom-2 \cr -2 &5 &0 \cr 2 &0 &7)$.
        \reponse{\qq $P = ⅓\matr(2 &-1 &2 \cr 2 &2 &-1 \cr -1 &2 &2)$,
                     $D = \diag(3,6,9)$.}
%
{\bf2)} $A = \frac19\matr(23 &2 &-4 \cr 2 &26 &2 \cr -4 &2 &23)$.
        \reponse{\qq $P = ⅓\matr(2 &-1 &2 \cr 2 &2 &-1 \cr -1 &2 &2)$,
                     $D = \diag(3,3,2)$.}

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\ex Diagonalisation de $C\,{}^tC$

Soient $a₁,…,a_n ∈ ℝ$ et $M = (a_ia_j) ∈ 𝓜_n(ℝ)$.
Montrer que $M$ est diagonalisable et déterminer ses éléments propres.

\reponse{Si tous les $a_i$ sont nuls, $M = 0$.\par
         Sinon, $M = C^tC ⇒ E₀ = C^┻$ et $E_ν = \vect(C)$ avec $ν = ∥C∥²$.}

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\ex Décomposition en projections orthogonales

Soit $φ$ l'endomorphisme de matrice dans la base canonique de $ℝ⁴$ :
$M = \mat(2 &0 &0 &3 \cr 0 &2 &3 &0 \cr 0 &3 &2 &0 \cr 3 &0 &0 &2)$.

Montrer qu'il existe des projections orthogonales $p$, $q$ et des réels
$λ$, $µ$ tels que : $φ = λp + µq$, $p∘q = 0$, $p+q = \id_E$.

\reponse{$M = 5\mat(1/2  &0    &0     &1/2   \cr
                    0    &1/2  &1/2   &0     \cr
                    0    &1/2  &1/2   &0     \cr
                    1/2  &0    &0     &1/2   \cr)
              -\mat(1/2  &0    &0     &-1/2  \cr
                    0    &1/2  &-1/2  &0     \cr
                    0    &-1/2 &1/2   &0     \cr
                    -1/2 &0    &0     &1/2   \cr)$.}

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\ex $2XP'(X) + (X²-1)P''(X)$

Soit $E = ℝ_n[X]$. On pose pour $P,Q ∈ E :
(P│Q) = ∫_{-1}¹ P(t)Q(t)\,𝕕t$ et on considère
$$\application u E {ℝ[X]} {P(X)} {2XP'(X) + (X²-1)P''(X).}$$

\qq Montrer que l'on définit un produit scalaire et que $u$ est un
    endomorphisme.
\qq Montrer que $u$ est diagonalisable et que si $P_k,P_ℓ$ sont des vecteurs
    propres de valeurs propres distinctes, alors $(P_k│P_ℓ) = 0$.
    \reponse{$u$ est autoadjoint pour $(\ │\ )$.}
\qq Éléments propres de $u$ pour $n=3$ ?
    \reponse{$P₀ = 1$, $P₂ = X$, $P₆ = 3X²-1$, $P_{12} = 5X³ - 3X$.}

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\ex $(X²-1)P'' + (2X+1)P'$

Pour $P,Q ∈ ℝ_n[X]$ on pose
$(P│Q) = ∫_{t=-1}¹ √{\frac{1-t}{1+t}}P(t)Q(t)\,𝕕t$
et $Φ(P) = (X²-1)P'' + (2X+1)P'$.

\qq Vérifier que $(P│Q)$ existe et qu'on définit ainsi un produit scalaire
    sur $ℝ_n[X]$.

\qq Montrer que pour ce produit scalaire, $Φ$ est auto-adjoint
    (calculer $∫_{t=-1}¹ (1-t)^{3/2}(1+t)^{1/2}P''(t)Q(t)\,𝕕t$
    par parties).
\qq Déterminer les valeurs propres de $Φ$ et montrer qu'il existe une
    base propre de degrés étagés.
    \reponse{$λ_k = k(k+1)$.}

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\ex $\Ker u + \Im u = E$

Soit $E$ un ev euclidien et $u ∈ 𝓛(E)$ auto-adjoint.
Montrer que $\Ker u \mathop{⊕}\limits^┻\Im u = E$.

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\ex $u∘v$ autoadjoint ?

Soient $E$ euclidien et $u,v ∈ 𝓛(E)$ auto-adjoints.
Montrer que $u∘v$ est auto-adjoint si et seulement si $u∘v = v∘u$.

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\ex Composée de projecteurs

Soient $p,q$ deux projecteurs orthogonaux dans un espace euclidien~$E$.

\qq Montrer que $p∘q∘p$ est auto-adjoint.
\qq Montrer que $(\Im p + \Ker q) \mathop{⊕}\limits^┻ (\Ker p ∩ \Im q)  = E$.
\qq En déduire que $p∘q$ est diagonalisable.
    \reponse{$(p∘q)_{|\Im p} = (p∘q∘p)_{|\Im p}$ est
             diagonalisable et $(p∘ q)_{|\Ker q + (\Ker p∩\Im q)} = 0$
             donc tout vecteur de $E$ est somme de vecteurs propres pour
             $p∘q$.}

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\ex Autoadjoint et orthogonal

Soit $E$ un espace euclidien.
Quels sont les endomorphismes de $E$ à la fois auto-adjoints et orthogonaux ?

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\ex Spectre et rang d'une matrice antisymétrique

Soit $M∈𝓜_n(ℝ)$ antisymétrique et $f$ l'endomorphisme de $ℝⁿ$
canoniquement associé à $M$.

\qq Montrer que les valeurs propres de $M$ sont imaginaires pures.
\qq Montrer que $\Ker f ┻ \Im f$. En déduire que $g = f_{|\Im f}$ est un
    isomorphisme de $\Im f$.
\qq Montrer que $g²$ est diagonalisable. En déduire que $\rg(M)$ est pair.

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\ex Racine carrée

Soit $A ∈ 𝓜_n(ℝ)$ symétrique définie positive.
Montrer qu'il existe une unique matrice $B ∈ 𝓜_n(ℝ)$ symétrique définie
positive telle que $B² = A$.
Calculer $B$ lorsque $A = \mat(1 &2 \cr 2 &5)$.
\reponse{$B = \frac1{√2}\mat(1 &1 \cr 1 &3)$.}

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\ex $A = {}^tBB$

Soit $A ∈ 𝓜_n(ℝ)$. Montrer que $A$ est symétrique définie positive si et
seulement s'il existe $B ∈ GL_n(ℝ)$ telle que $A = {}^tBB$.

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\ex Décomposition de Cholesky

Soit $A ∈ 𝓜_n(ℝ)$ symétrique définie positive.

\qq Montrer qu'il existe une matrice $T$ triangulaire supérieure telle que
    $A = {}^tTT$. Montrer que $T$ est unique si on impose la condition :
    $∀i$, $T_{ii} > 0$.

\qq Application : Montrer que $\det A ⩽ ℿ_{i=1}ⁿ a_{ii}$.

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\ex Mineurs principaux positifs

Soit $A ∈ 𝓜_n(ℝ)$ symétrique.
Pour $1 ⩽ p ⩽ n$, on note $Δ_p$ le déterminant de la sous-matrice
$(a_{ij})_{i,j∈⟦1,p⟧}$.

\qq Montrer que si $A$ est définie positive, alors tous les déterminants
    $Δ_p$ sont strictement positifs.
\qq Réciproque : on suppose $Δ₁ > 0, …, Δ_n > 0$.
    Montrer qu'il existe une matrice $B$ triangulaire supérieure inversible
    telle $A = {}^tBB$. En déduire que $A$ est définie positive.
    \reponse{Récurrence : pour $n=1$ c'est évident.\par
             $n-1⇒n$ : $A = \mat(A'&C'\cr {}^tC' &α)$ avec $A' = {}^tB'B'$.\par
             On cherche $B = \mat(B' &X' \cr 0 &x)$ d'où :
             $X' = {}^tB'^{-1}C'$ et $x² = α - {}^tX'X'
                 = \dfrac{\det A}{\det A'} > 0$.}

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\ex $q$ positive $⇒ q(x) = ∥u(x)∥²$

Soit $E$ un espace euclidien et $q$ une forme quadratique positive.
Montrer qu'il existe un endomorphisme $u$ auto-adjoint tel que :
$∀x∈E$, $q(x) = ∥u(x)∥²$.

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\ex $A$ symétrique et $A^k = I$

Soit $A ∈ 𝓜_n(ℝ)$ symétrique telle qu'il existe $k ∈ ℕ^*$ tel que
$A^k = I$. Montrer que $A² = I$.

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\ex $⅀_{i,j} a_{ij}²$

Soit $A = (a_{ij}) ∈ 𝓜_n(ℝ)$ symétrique de valeurs propres
$λ₁,…,λ_n$. Montrer que $⅀_{i,j} a_{ij}² = ⅀_i λ_i²$.

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\ex $u$ autoadjoint et $\tr(u) = 0$

Soient $E$ un ev euclidien et $u ∈ 𝓛(E)$ auto-adjoint tel que $\tr(u) = 0$.

\qq Montrer qu'il existe un vecteur $x$ non nul tel que $u(x) ┻ x$.
    \reponse{Soit $(u₁,…,u_n)$ une base propre pour $u$. On prend $x=u₁+…+u_n$.}

\qq En déduire qu'il existe une base orthonormée $(e_i)$ telle que :
    $∀i$, $(u(e_i)│e_i) = 0$.
    \reponse{On norme $x$ et on le complète en une base orthonormée.
             La matrice de $u$ dans cette base est symétrique, de trace nulle,
             et la diagonale commence par 0. On termine par récurrence.}

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\ex Matrices symétriques commutant

Soit $(A_i)$ une famille de matrices $n× n$ réelles symétriques
commutant deux à deux. Montrer qu'il existe une matrice symétrique $A$ et des
polynômes $P_i$ tels que : $∀i$, $A_i = P_i(A)$.

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\ex Valeurs propres de $AB$

Soient $A,B ∈ 𝓜_n(ℝ)$ symétriques, $B$ définie positive.
Montrer que les valeurs propres de $AB$ sont réelles.
\reponse{$ABX = λX ⇒ {}^tX^tBABX = λ{}^tXBX$.}

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\ex $\tr(AB) ⩽ \tr(A)\tr(B)$

Soient $A,B ∈ 𝓜_n(ℝ)$ symétriques positives.
Montrer que $0 ⩽ \tr(AB) ⩽ \tr(A)\tr(B)$.
\reponse{Se ramener au cas où $A$ est diagonale.}

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\ex $\det(A+B) ⩾ \det(A) + \det(B)$

Soient $A,B ∈ 𝓜_n(ℝ)$ symétriques définies positives.
Montrer que $\det(A+B) ⩾ \det(A) + \det(B)$.
\reponse{Il existe $P$ inversible telle que $A = {}^tPP$ et $B = {}^tPB'P$
         avec $B'$ symétrique définie positive.

         Alors $A+B = {}^tP(I+B')P$ et $\det(I+B') = ℿ(1+β_i) ⩾ 1 + ℿβ_i$.}

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\ex $f$ quelconque, il existe une BON dont l'image est orthogonale

Soient $E$ un espace euclidien et $f ∈ 𝓛(E)$.
Montrer qu'il existe une base orthonormée
$(e₁,…,e_n)$ dont l'image par $f$ est une famille orthogonale.
\reponse{Soit $𝓑$ une BON fixée, $M = \fct{Mat}_𝓑(f)$,
         $𝓑'$ la BON cherchée et $P$ la matrice de passage de $𝓑$
         à $𝓑'$. On veut que ${}^tM'M'$ soit diagonale avec
         $M' = {}^tPMP$, cad ${}^tP\,^tMMP$ diagonale.}

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\ex Quotients de Rayleigh

Soient $E$ un espace euclidien, $f ∈ 𝓛(E)$ auto-adjoint et
$λ₁ ⩽ λ₂ ⩽ … ⩽ λ_n$ ses valeurs propres.

\qq Montrer : $∀x ∈ E$, $λ₁∥x∥² ⩽ (f(x)│x) ⩽ λ_n ∥x∥²$.
\qq Montrer que si l'une de ces deux inégalités est une égalité pour un vecteur
    $x≠0$, alors $x$ est vecteur propre de~$f$.
\qq Soit $(e₁,…,e_n)$ une base orthonormée de $E$ telle que
    pour tout $i$ : $(f(e_i)│e_i) = λ_i$.
    Montrer que : $∀i$, $f(e_i) = λ_ie_i$.

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\ex $\sp(A+B)$

Soient $A,B ∈ 𝓜_n(ℝ)$ symétriques, $λ,λ'$ leurs plus petites
valeurs propres et $µ,µ'$ leurs plus grandes valeurs propres.
Montrer que toute valeur propre de $A+B$ est comprise entre $λ+λ'$ et $µ+µ'$.

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\ex Comparaison de valeurs propres

Soient $E$ un espace euclidien, $h ∈ 𝓛(E)$ autoadjoint,
$x₀ ∈ E$ unitaire, $p$ la projection orthogonale sur $\vect(x₀)$, et $f = h+p$.
On note $λ₁⩽…⩽λ_n$ les valeurs propres de $h$ et $µ₁⩽…⩽µ_n$ celles de $f$.

Montrer que $λ₁ ⩽ µ₁ ⩽ … ⩽ λ_n ⩽ µ_n$.

\reponse{Soit $(h_i)$ une base diagonale pour $h$,
         $H_i = \vect⦃h₁, …, h_i⦄$ et $(f_i)$, $F_i$ idem pour $f$.

         Pour $x ∈ F_k ∩ H_{k-1}^┻$,
         $λ_k∥x\,∥² + (x│x₀)² ⩽ (h(x)│x) + (x│x₀)² = (f(x)│x) ⩽ µ_k∥x\,∥²$.

         Pour $x ∈ H_{k+1} ∩ F_{k-1}^┻ ∩ x₀^┻$,
         $µ_k∥x\,∥² ⩽ (f(x)│x) = (h(x)│x) ⩽ λ_{k+1}∥x\,∥²$.}

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\ex Mines P' 1996

Soit $E$ un espace euclidien et $f∈𝓛(E)$.

\qq Montrer~: $\Ker f = \Im f ⇒ f + f^* ∈ GL(E)$.
    \reponse{Si $f(x) + f^*(x) = 0$ alors
             $f(x) ∈ \Im f ∩ \Im f^* = \Im f ∩ (\Ker f)^┻ = \Im f ∩ (\Im f)^┻$
             donc $f(x) = f^*(x) = 0$ et
             $x ∈ \Ker f ∩ \Ker f^* = \Ker f ∩ (\Ker f)^┻$.}

\qq Montrer la réciproque lorsque l'on a $f² = 0$.
    \reponse{$f² = 0 ⇒ \Im f ⊂ \Ker f$.\par
             $f+f^* ∈ GL(E) ⇒ \Im f + \Im f^* = \Im f + (\Ker f)^┻ = E
              ⇒ \dim \Im f ⩾ \dim \Ker f$.}

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\ex Rayon spectral

Soient $E$ un espace euclidien et $f∈𝓛(E)$.
Montrer que $\∥f\∥² =\max⦃λ \tq λ ∈ \sp(f^*∘f)⦄$.

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\ex Calcul de norme

Soit $\application f {ℝⁿ} {ℝⁿ} {(x₁,…,x_n)} {(x₁-x_n,x₂-x₁,…,x_n-x_{n-1}).}$
Avec la structure euclidienne canonique de~$ℝⁿ$, calculer la norme de~$f$.
\reponse{$f = \id-r$ où $r(x₁,…,x_n) = (x_n,x₁,…,x_{n-1})$.
         Donc $f^*∘f = 2\id-r-r^{-1}$ a pour valeurs propres les nombres
         $2-2\cos(2kπ/n)$, $k∈⟦0,n-1⟧$ et
         $\∥f\∥=\cases{2&si $n$ est pair\cr2\cos(π/2n)&si $n$ est impair.\cr}$}

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\ex Décomposition polaire d'un endomorphisme

Soient $E$ un ev euclidien et $f∈𝓛(E)$.

\qq En considérant l'endomorphisme $f^*∘f$, montrer que si~$f$
    est inversible alors $f$ se décompose de manière unique sous
    la forme $f = u∘h$ avec $u$ orthogonal et $h$ autoadjoint positif.

\qq Si $f$ est non inversible, montrer qu'une telle décomposition
    existe mais n'est pas unique (on rappelle que $𝓞(E)$ est compact).

\qq Montrer que l'application $f ↦ (u,h)$ est continue sur $GL(E)$.

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\ex Endomorphismes normaux

Soit $E$ un espace vectoriel hermitien.
Un endomorphisme $u∈𝓛(E)$ est dit normal si $u$ et~$u^*$ commutent.

\qq Soit $u$ normal, montrer que si $F$ est un sous-espace propre de~$u$ alors
    $F^┻$ est stable par~$u$. En déduire que $u$ est diagonalisable en
    base orthonormale. La réciproque est-elle vraie~?

\qq Soit $u∈𝓛(E)$. Montrer l'équivalence entre les propriétés suivantes~:

{\obeylines%
(1) $u$ est normal.
(2) $∀x∈ E, ∥u(x)∥=∥u^*(x)∥$.
(3) Tout sev stable par~$u$ est stable par~$u^*$.
(4) Si un sev $F$ est stable par~$u$ alors $F^┻$ est stable par $u$.
(5) Il existe $P∈ℂ[X]$ tel que $u^* = P(u)$.
\par}

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\ex $∥u(x)∥ = ∥v(x)∥$

Soit $E$ un espace euclidien et $u,v∈𝓛(E)$. Montrer l'équivalence~:
$$(∀x∈ E,\ ∥u(x)∥=∥v(x)∥) ⇔ (∃w ∈ 𝓞(E)\tq u = w∘v).$$

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\ex $(u(x)│x)$ est réel

Soit $E$ un ev hermitien et $u∈𝓛(E)$.
Montrer que $u=u^*$ si et seulement si pour tout~$x∈E$, $(u(x)│x)$ est réel.
\reponse{$((u-u^*)(x)│x) = 0$.}

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\ex Inégalité
Soient $E$ un espace euclidien et $u∈𝓛(E)$ autoadjoint positif.

Montrer~: $∀x∈ E$, $∥u(x)∥⁴ ⩽ (x│u(x))×(u(x)│u²(x))$.
\reponse{Orthodiagonaliser et appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz.}

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\ex Série d'autoadjoints positifs

Soit $H$ un espace de Hilbert et $(u_n)$ une suite d'endomorphismes
de~$H$ autoadjoints positifs continus telle que la suite
$(u₀+…+u_n)$ est bornée dans~$𝓛_c(H)$.
Montrer que pour tout~$x∈H$ la série $⅀_{n=0}^∞ u_n(x)$ est convergente.

\reponse{Soit $K = \sup⦃\∥u₀+…+u_n\∥⦄$ et~$x∈ H$.
         On note $v_{p,q} = ⅀_{n=p}^q u_n$ pour $p⩽q$.
         La série $⅀ (u_n(x)│x)$ est convergente (termes positifs, sommes
         partielles majorées) donc elle vérifie le critère de Cauchy~:
         $(v_{p,q}(x)│x) ⟶_{p,q→∞}0$.
         \medskip
         Comme $v_{p,q}$ est positif, il vérifie l'inégalité de Cauchy-Schwarz~:
         $$|(v_{p,q}(x)│ y)|² ⩽ (v_{p,q}(x)│x)(v_{p,q}(y)│y)
                             ⩽ 2K∥y∥²(v_{p,q}(x)│x).$$
         En particulier pour $y=v_{p,q}(x)$ on obtient~:
         $∥v_{p,q}(x)∥² ⩽ 2K(v_{p,q}(x)│x)$
         donc la série $⅀ u_n(x)$ est de Cauchy.
         \medskip

         Rmq. exemple où $⅀ u_n$ ne converge pas dans~$𝓛_c(H)$~:
         $H = ℓ²(ℕ)$ et $u_n =$ projection orthogonale sur $〈e_n〉$ où
         $e_n(p) = δ_{n,p}$.
         $⅀ u_n$ converge simplement et non uniformément vers l'identité.}

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\ex Mines MP 2000
Soit $A∈M_n(ℝ)$ telle que $A³={}^t\!A A$. $A$ est-elle diagonalisable dans
$M_n(ℝ)$, dans $M_n(ℂ)$ ? 
\reponse{${}^t\!AA$ est $ℝ$-diagonalisable donc annule un polynôme
         $P$ scindé à racines simples. $A$ annule le polynôme $P(X³)$,
         donc est $ℂ$-diagonalisable si $0$ n'est pas racine de~$P$ ce que
         l'on peut imposer si $A$ est inversible.
         \medskip
         Si $A$ n'est pas inversible, soit $P(X) = XQ(X)$ avec $Q(0)≠ 0$.

         On a $ℝⁿ = \Ker(A³)⊕ \Ker(Q(A³))$ et
         $\Ker(A³) = \Ker({}^t\!AA) = \Ker(A)$
         donc $AQ(A³)=0$ et $A$ est encore $ℂ$-diagonalisable.
         \medskip
         Contre-exemple pour la $ℝ$-diagonalisabilité~: prendre une
         rotation d'angle $2π/3$ dans le plan.}

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\ex Centrale MP 2000 (avec Maple)
Soit~$E$ un espace euclidien, $u$ et~$v$ deux endomorphismes auto-adjoints
de~$E$, $u$ étant défini positif.

\qq Montrer qu'il existe un unique endomorphisme~$w$ tel que
    $u∘w + w∘u = v$. Que peut-on dire de~$w$~?
    \reponse{On se place dans une base propre pour~$u$, soient
    $U,V,W$ les matrices associées avec ${U = \diag(λ_i)}$.
    On doit donc résoudre $(λ_i+λ_j)W_{ij} = V_{ij}$ d'où
    l'existence, l'unicité et la symétrie de~$w$.}
\qq On suppose~$E$ de dimension~$3$, rapporté à une base orthonormale
    dans laquelle $u$ et~$v$ ont pour matrices respectives
    $A=\matr(4&1&1\cr 1&4&-1\cr1&-1&4)$ et
    $B=\matr(0&\phantom-0&-1\cr 0&0&1\cr -1&1&3)$. Déterminer~$w$.
    \reponse{\verbatim?> A := matrix([[4,1,1],[1,4,-1],[1,-1,4]]);
  B := matrix([[0,0,-1],[0,0,1],[-1,1,3]]);
> eigenvals(A); eigenvects(A);
> P := transpose(matrix([[1, 0, 1], [1, 1, 0],[-1, 1, 1]]));
> A1 := evalm(P^(-1)&*A&*P); B1 := evalm(P^(-1)&*B&*P);
> C1 := matrix(3,3);
> for i from 1 to 3 do
    for j from 1 to 3 do C1[i,j] := B1[i,j]/(A1[i,i]+A1[j,j]) od
  od;
> C := evalm(P&*C1&*P^(-1)); evalm(A&*C+C&*A-B);
?endverbatim
$⇒ C=\dfrac1{140}\matr(11&-11&-33\cr -11&11&33\cr -33&33&69)$.}

\qq On revient au cas général. Si~$v$ est défini positif, que dire de~$w$~?
    Si~$w$ est défini positif, que dire de~$v$~?
    \reponse{Si $v$ est défini positif~: on a $(v(x)│x) = 2(u(x)│w(x))$ donc
             si $λ$ est une valeur propre de~$w$ et~$x$ est un vecteur propre
             associé, on a $λ = \dfrac{(v(x)│ x)}{2(u(x)│x)} > 0$ d'où $w$ est
             défini positif.
             \medskip
             Cas $w$ défini positif et $v$ non positif~:
             $U=\mat(1&0\cr0&2)$, $W=\mat(1&1\cr1&1+x)$,
             $V=\mat(2&3\cr3&4x+4)$ avec $0<x<⅛$.}

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\ex Polytechnique MP$^*$ 2000
Soit $E$ un espace euclidien et $s$ une symétrie de~$E$.

\qq Que dire de $s^*∘s$~?
    \reponse{c'est un endomorphisme autoadjoint positif de déterminant~$1$.}
\qq Un polynôme $P$ est dit réciproque si $P(X) = XⁿP(1/X)$,
    pour $P$ de degré~$n$.\par
    Montrer que~:
    $P(X) = \det(X\id+s^*∘s)$ est un polynôme réciproque.
    \reponse{$Xⁿ\det(\id/X+s^*∘s) = \det(\id+Xs^*∘s)
             =\det(s^*∘(\id+Xs^*∘s)∘s) = \det(s^*∘s + X\id)$.}
\qq Montrer que $P(1)⩾2ⁿ$. A quelle condition y a-til égalité~? Y a-t-il des
    conditions sur~$s$~?
    \reponse{$s^*∘s$ est diagonalisable avec des valeurs propres $(λ_i)$
             réelles positives deux à deux inverses pour la même multiplicité.
             $P²(1) = ℿ_{1⩽i⩽n}(1+λ_i)(1+1/λ_i)$
             et $(1+x)(1+1/x)⩾4$ pour tout $x>0$ avec égalité ssi $x=1$.
             \medskip
             Si $P(1) = 2ⁿ$ alors toutes les valeurs propres de~$s^*∘s$
             valent~$1$ et $s^*∘s$ est diagonalisable donc $s^*∘s = \id$
             et $s$ est une symétrie orthogonale. La réciproque est immédiate.}
\qq Soit la matrice $A = \mat(A₁&A₂\cr A_3&A_4)$, carrée, d'ordre~$n$,
    symétrique définie positive, où $A₁$ et $A_4$ sont carrées d'ordres
    respectifs $p$ et~$q$. Montrer que $\det(A)⩽\det(A₁)\det(A_4)$.
    \reponse{Se ramener au cas $A_4=I$ puis calculer $\det A$ par pivotage.}

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\ex Cachan MP$^*$ 2000
On note $P$ l'ensemble des fonctions réelles~$f$ polynomiales par morceaux,
continues sur $[0,1]$ et vérifiant ${f(0)=f(1)=0}$.
Si $f$ et~$g$ sont des fonctions de~$P$, on note
$(f│g) = ∫_{t=0}¹f'(t)g'(t)\,𝕕t$.

\qq Que dire de~$P$ muni de cette application~?
    \reponse{Que c'est un espace préhilbertien.}
\qq Montrer que si $x∈[0,1]$, il existe $g_x∈ P$ telle que
    $∀f∈ P$, $(g_x│f) = f(x)$.
    \reponse{$g_x(t) = \min(t(1-x),x(1-t))$}
\qq On considère $n$ réels vérifiant~: $0<x₁<x₂<…<x_n<1$ et on donne $n$ réels
    $(α_i)_{i∈{⟦1,n⟧}}$.
    On pose $φ(f) = ∥f∥² + ⅀_{i=1}ⁿ (f(x_i)-α_i)²$
    et on demande de trouver le minimum de~$φ$ sur~$P$.
    \reponse{On note $g_i = g_{x_i}$~: $(g₁,…,g_n)$ est libre par
             considération des points anguleux, donc engendre un ev $G$
             de dimension~$n$.
             Soit $f∈ P$~: $f = f₀+f₁$ avec $f₀∈ G$ et $f₁∈ G^┻$.
             Alors $φ(f) = φ(f₀) + ∥f₁∥²$ donc $φ$ est minimale
             en~$f$ ssi $φ_{|G}$ est minimale en~$f₀$ et $f₁=0$.
             Désormais on suppose $f₁=0$ et~$f∈ G$.
             \medskip
             L'application~: $$\application u G {ℝⁿ} f
             {(f(x₁),…,f(x_n)) = ((f│ g₁),…,(f│ g_n))}$$
             est un isomorphisme linéaire. Soit $v$ l'endormophisme autoadjoint
             défini positif de $ℝⁿ$ (pour le produit scalaire canonique) tel
             que~: $∀t∈ℝⁿ$, $(t│v(t)) = ∥u^{-1}(t)∥²$.

             On a donc en notant $α = (α₁,…,α_n)$ et $β = (\id+v)^{-1}(α)$~:
             $$\eqalign{∀t∈ℝⁿ,\ φ(u^{-1}(t))
               &= (t│ v(t)) + (t-α│ t-α)\cr
               &= (t│(\id+v)(t)) - 2(t│ α) + (α│α)\cr
               &= (t-β│(\id+v)(t-β)) + (α│α-β).\cr}$$
             $\id+v$ est autoadjoint défini positif donc le minimum de~$φ$
             est atteint pour $f=u^{-1}(β)$ (solution unique) et vaut
             $(α│α-β)$.}

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\ex Centrale MP 2002

\qq Que peut-on dire de l'adjoint d'un projecteur orthogonal d'un espace
    euclidien~? Réciproque~?
    \reponse{$p$ est un projecteur orthogonal $⇔p$ est un projecteur et
             $p=p^*⇔p^*$ est un projecteur orthogonal.}
\qq Soit $p$ un projecteur d'un espace euclidien tel que $p∘p^*=p^*∘p$.
    Montrer que $p$ est un projecteur orthogonal.
    \reponse{$p$ et $p^*$ commutent donc $\Ker p$ et $\Im p$ sont stables par
    $p$ et par $p^*$, d'où $p^*_{|\Ker p} = (p_{|\Ker p})^* = 0_{\Ker p}$
    et $p^*_{|\Im p} = (p_{|\Im p})^* = \id_{\Im p}$. Ainsi $p=p^*$ ce
    qui implique $\Ker p ┻ \Im p$.}

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\ex IIE MP 2004
Soit $E = 𝓒([0,1],ℝ)$ muni du produit scalaire défini par $(f│g) = ∫₀¹fg$.

Soient $u,v$ les endomorphismes de~$E$ définis par
$u(f)(x) = ∫₀^xf$ et $v(f)(x) = ∫_x¹f$.

\qq Montrer que $(u(f)│g) = (f│v(g))$.
\qq Déterminer les valeurs propres de~$u∘v$.
    \reponse{On a pour~$f,g∈ E$~: $u∘v(f) = g ⇔ g$ est $𝓒²$,
             $g(0)=g'(1)=0$ et $g''=-f$.
             En particulier $u∘v$ est injectif, $0$ n'est pas valeur propre
             de~$u∘ v$.
             \medskip
             Pour $λ∈ℝ^*$ et $f∈ E$ on a $u∘v(f) = λf$
             si et seulement si $f$ est de la forme $x↦ ae^{αx} + be^{-αx}$
             avec $α² = -1/λ$ et $a+b=aα e^α - bα e^{-α} = 0$.
             On obtient $f≠0$ en prenant $a≠0$, $b=-a$ et $α=iπ(\frac12+k)$,
             $k∈ℤ$.
             Donc $\sp(u∘v) = \Bigl⦃\dfrac{1}{π²(½+k)²},\ k∈ℤ\Bigr⦄$.}

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\ex Centrale MP 2004
Soit $E$ un espace euclidien de dimension~$n$ et $p$ endomorphismes
autoadjoints $u₁,…,u_p$. Soit $q_i$ la forme quadratique associée à~$u_i$
($q_i(x) = (u_i(x)│x)$). On suppose~:
$$∀x∈ E,\ q₁(x) + … + q_p(x) = ∥x∥²\quad\text{et }\rg(u₁)+…+\rg(u_p) = n.$$

\qq Montrer que $u₁+…+u_p = \id_E$.
    \reponse{$u₁+…+u_p$ est l'endomorphisme autoadjoint associé à $q₁+…+q_p$.}
\qq Montrer que $\Im(u₁)⊕…⊕\Im(u_p) = E$.
    \reponse{$\Im(u₁)+…+\Im(u_p) ⊃\Im(u₁+…+u_p) = E$ et la somme
             des dimensions est égale à~$\dim E$ donc la somme des sous-espaces
             est directe.}
\qq Montrer que les~$u_i$ sont en fait des projecteurs orthogonaux et que la
    somme précédente est orthogonale.
    \reponse{On a $\Ker(u₁) = ⦃x∈E \tq x = u₂(x) + … + u_p(x)⦄
             ⊂ \Im(u₂+…+u_p) = \Im(u₂)⊕…⊕\Im(u_p)$ et les deux
             termes extrêmes ont même dimension, d'où
             $\Ker(u₁) = \Im(u₂)⊕…⊕\Im(u_p)$.
             Comme $u₁$ est autoadjoint, $\Im(u₁) ┻ \Ker(u₁)$ ce qui prouve
             l'orthogonalité de la somme. De plus $\Im(u₁)⊂\Ker(u_j)$ pour
             $j⩾1$ donc $q₁(x) = ∥x∥²$ pour tout~$x∈\Im(u₁)$. En appliquant
             {\bf 1)} à $\Im(u₁)$ on obtient $u₁(x)=x$ pour tout~$x∈\Im(u₁)$
             ce qui prouve que~$u_1$ est un projecteur, et c'est un projecteur
             orthogonal car autoadjoint.}

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\ex Mines MP 2005

Soit $A$ matrice réelle~;
montrer que $A$ est diagonalisable ssi il existe $S$ symétrique réelle définie
positive telle que ${}^t\!A = SAS^{-1}$.

\reponse{$A=P^{-1}DP⇒{}^t\!A = ({}^tPP)A(P^{-1}{}^tP^{-1})$.\par

         $S$ définie positive $⇒ ∃P∈ GL_n(ℝ)$ tq $S={}^tPP$,
         donc ${}^t\!A = SAS^{-1} ⇒ {}^t\!A = {}^tPM{}^tP^{-1}$ avec
         $M = PAP^{-1}$, d'où ${}^tM = M$ est diagonale.}

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\ex Rayon spectral, Centrale MP 2006
Soient $A,B$ des matrices de $𝓜_n(ℝ)$ symétriques et 
$\application f ℝ ℝ t {\max(\sp(A+tB)).}$
Montrer que $f$ est convexe.

\reponse{Pour $A$ symétrique réelle on a
         $\max(\sp(A)) = \sup⦃(x│Ax)/∥x∥²$, $x∈ℝⁿ∖⦃0⦄⦄$
         donc $f$ est la borne supérieure des fontions affines
         $t↦((x│Ax) + t(x│Bx))/∥x∥²$ lorsque $x$ décrit $ℝⁿ∖⦃0⦄$.
         En tant que sup de fonctions convexes, c'est une fonction convexe.}

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\ex ENS 2014
Soit $E=𝓒([a,b],ℝ)$ muni du produit scalaire usuel et de la norme associée.
Soit~$u∈𝓛(E)$ un endomorphisme symétrique laissant stable tous les sev $ℝ_n[X]$ (considérés
comme des sous-espaces de~$E$).
Montrer qu'il existe une famille échelonnée $(P_n)$ de polynômes propres pour~$u$ telle que
pour toute fonction~$f∈E$, on ait $f=⅀_{n=0}^∞(P_n│f)P_n$.
\reponse{$u_{|ℝ_n[X]}$ est symétrique et laisse stable $ℝ_{n-1}[X]$ donc aussi son orthogonal
dans~$ℝ_n[X]$ qui est de dimension~$1$. Soit $P_n$ un polynôme de norme~$1$ dans cet orthogonal.
Par construction, $P_n$ est propre pour~$u$, de degré~$n$ et la suite $(P_n)$ est orthonormale.
C'est une suite totale car~$ℝ[X]$ est dense dans~$E$ pour $∥\ ∥_∞$ donc aussi pour~$∥\ ∥₂$.}

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\ex Endomorphismes à spectres positifs, Mines 2013

$E$ est un espace euclidien, $f$ et $g$ deux endomorphismes symétriques
dont les spectres sont inclus dans $ℝ⁺$.
Exprimer $\ker (f+g)$ et $\Im(f+g)$ en fonction de $\ker f,\, \ker g,\, \Im f,\, \Im g$.
\reponse{Soit $x\in \ker (f+g)$. On a alors $(f(x)+g(x)|x)=0=(f(x)|x)+(g(x)|x)$. Or $f$ et $g$ sont symétriques, donc $(f(x)+g(x)|x)=0$ si et seulement si $(f(x)|x)=(g(x)|x)=0$. Si $0,\lambda_2,\ldots,\lambda_p$ sont les valeurs propres de $f$ et
si $x=\sum_{i=1}^p x_i$ ($x_i\in E_{\lambda_i}(f)$) on a $(f(x)|x)=\sum_{i=1}^p \lambda_i \|x_i\|^2$. On en déduit que $(f(x)|x)=0$ si et seulement si $f(x)=0$. On en déduit que 
$\ker(f+g)\subset \ker f\cap \ker g$. L'inclusion inverse est claire, donc $\ker(f+g)= \ker f\cap \ker g$. Pour des sous-espaces vectoriels $F,G$ d'un espace euclidien on a $(F+G)^\perp=F^\perp \cap G^\perp$ (vrai m\^eme dans un préhilbertien). On passe aux orthogonaux et on obtient $(F\cap G)^\perp =F^\perp +G^\perp$. L'endomorphisme $f+g$ est symétrique 
donc $\Im (f+g)=(\ker (f+g))^\perp=(\ker f\cap \ker g)^\perp=(\ker f)^\perp +(\ker g)^\perp=\Im f+\Im g$ (car $f$ et $g$ sont symétriques).

}
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\ex Spectre de la partie symétrique, TPE MP 2012
Soit $A∈𝓜_n(ℝ)$, $A_s$ sa partie symétrique et $α₁⩽…⩽α_n$ les valeurs
propres de~$A_s$. Montrer que toute valeur propre réelle de~$A$ est comprise
entre $α₁$ et~$α_n$.
\reponse{Si $AX=λX$ alors $λ∥X∥² = (X|AX) = (X|A_sX)$ est compris
         entre $α₁∥X∥²$ et $α_n∥X∥²$.}

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\ex Mines 2016
Soit $E$ un espace euclidien et $u∈𝓛(E)$ auto-adjoint tel que $\sp(u)⊂ℝ^{+*}$.
\qq Montrer que $∀x,y∈E$, $(x│y)²⩽(x│u(x))(y│u^{-1}(y))$.
    \reponse{Par orthodiagonalisation, il existe $v∈𝓛(E)$ auto-adjoint
             tel que $u=v²$.
             En posant $y=u(z)$ il s'agit de prouver que
             $(v(x)│v(z))²⩽(v(x)│v(x))(v(z)│v(z))$ ce qui est un cas particulier
             de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.}

\qq Soit~$e$ un vecteur unitaire.

    Montrer l'existence et déterminer la
    valeur de~$δ_e = \inf⦃(x│u(x))\tq x∈E,\ (x│e)=1⦄$.
    \reponse{Prendre $y=e$~: $δ_e = 1/(e│u^{-1}(e))$.}

\qq Déterminer, sous réserve d'existence, $\inf⦃δ_e\tq ∥e∥=1⦄$.
    \reponse{Décomposer $e$ sur une base orthonormale propre pour~$u$.
             On obtient $\min(\sp(u))$.}
             
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\ex CCP 2017

Pour tout $x$ dans un espace euclidien $E$, on considère
$u(x) = (a|x)a + (b|x)b$ avec $a$ et $b$ unitaires linéairement indépendants.
\qq Montrer que $u$ est un endomorphisme symétrique.
    \reponse{$x↦(a|x)a$ et $x↦(b|x)b$ le sont (projections orthogonales
             sur $〈a〉$ et $〈b〉$).}
\qq Déterminer $\Ker(u)$.
    \reponse{$\Ker(u) = ⦃a,b⦄^┻$.}
\qq Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de $u$.
    \reponse{$0$ sur~$\Ker(u)$, $1±(a|b)$ sur $\fct{vect}(a±b)$.}

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\ex Mines 2017
Soit $A∈S_n(ℝ)$. Montrer que les valeurs propres de $A$ sont positives si
et seulement si pour toute matrice $B∈S_n(ℝ)$ de valeurs propres positives
on a $\tr(AB)⩾0$.
\reponse{$A$ étant symétrique réelle, on peut l'orthodiagonaliser~:
         $A=PDP^{-1}$ avec $P∈O(n)$ et $D$ diagonale.
         Si $B$ est une matrice quelconque, alors $B$ et
         $P^{-1}BP = {}^tPBP$ sont simultanément symétriques à valeurs
         propres positives.
         De plus, $\tr(AB) = \tr(D(P^{-1}BP))$. Donc l'énoncé est inchangé
         si on remplace $A$ par~$D$.
         \medskip
         Si $D$ a une valeur propre $d_{ii}<0$ alors en prenant $B=E_{ii}$
         on trouve $\tr(DB) = d_{ii}<0$. Par contraposée, si $\tr(DB)⩾0$
         pour toute matrice $B$ symétrique à valeurs propres positives,
         alors $D$ est aussi à valeurs propres positives.
         \medskip
         Si les valeurs propres de~$D$ sont positives~:
         soit $S=√D$ la matrice diagonale à coefficients positifs telle
         que $S²=D$ et soit $B∈S_n(ℝ)$ à valeurs propres positives.
         On a $\tr(DB) = \tr(S²B) = \tr(SBS)$ et $SBS$ est une matrice
         symétrique réelle donc diagonalisable.
         Soit $λ∈\sp(SBS)$, $X$ un vecteur propre associé et $Y=SX$.
         On a $λ{}^tXX = {}^tX(SBS)X = {}^tYBY⩾0$ (décomposer $Y$
         sur une base orthonormale propre pour~$B$).
         Ainsi $λ={}^tYBY/{}^tXX⩾0$ et donc $SBS$ est elle aussi à
         valeurs propres positives. Il en résulte $\tr(DB) ⩾0$.}

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\ex Centrale 2017
On munit $𝓜_n(ℝ)$ du produit scalaire canonique. Soit $A∈𝓜_n(ℝ)$.
On définit $φ_A:𝓜_n(ℝ)→𝓜_n(ℝ)$ par~: $∀M∈𝓜_n(ℝ)$, $φ_A(M) = {}^t\!AMA$.
\qq Montrer que~: $∀A,B∈𝓜_n(ℝ)$, $φ_{AB} = φ_B∘φ_A$.
\qq Soit $A∈O_n(ℝ)$.
\sq Montrer que $φ_A$ induit une bijection de $O_n(ℝ)$ et $S_n(ℝ)$ sur
    eux-mêmes.
\sq Soit $M∈𝓜_n(ℝ)$. Montrer que :
    $∀P∈𝓜_n(ℝ)$, $P∈M^┻$ si et seulement si $φ_A(P)∈φ_A(M)^┻$.
\qq Soit $n⩾2$ pair. Soit $H$ un hyperplan de $𝓜_n(ℝ)$. Montrer que $H$
    contient une matrice symétrique et orthogonale.
    Que dire en dimension impaire ?
    \reponse{Pour $n$ pair, on note $B$ une matrice dirigeant $H^┻$,
             que l'on décompose en $B=B_s+B_a$ avec $B_s$ symétrique
             et $B_a$ antisymétrique. Soit $A∈O_n(ℝ)$ telle que
             $φ_A(B_s)$ soit diagonale~: $φ_A(B_a)$ est encore antisymétrique
             donc pour toute matrice $P∈O_n(ℝ)∩S_n(ℝ)$, on a $P⊥φ_A(B_a)$.
             On peut de plus choisir $P$ de sorte que $P⊥φ_A(B_s)$, par exemple
             $P=$ (la matrice anti-diagonale de~$1$).
             Alors $Q = φ_A^{-1}(P)$ est symétrique, orthogonale, et dans~$H$.
             \medskip
             Pour $n$ impair, la propriété est fausse~: si $H$ est l'hyperplan
             constitué des matrices de trace nulle, alors $H$ ne contient
             aucune matrice qui soit à la fois orthogonale et symétrique
             (ce serait la matrice d'une symétrie orthogonale par rapport
             à un sev~$F$ et donc sa trace vaudrait $n-2\dim(F)≠0$).}

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\ex Centrale 2017

Soit $M∈S_n(ℝ)$ et $λ₁⩽…⩽λ_n$ ses valeurs propres. Soit $f$ tel que $M=M_β(f)$,
$β$ base canonique de~$ℝ^n$.

\qq Montrer que pour tout vecteur $x$ unitaire on a $λ₁⩽(f(x)|x)⩽λ_n$. Montrer
que $(f(x)|x)=λ₁$ si et seulement si $f(x)=λ₁x$. Montrer que $(f(x)|x)=λ_n$ si
et seulement si $f(x)=λ_n x$. 
\reponse{Soit $(e₁,…,e_n)$ une base orthonormale propre pour $f$ et $x$ un
vecteur unitaire. On a $(f(x)|x)=⅀_{i=1}^n λ_i x_i²$, donc
$λ₁ ⅀_{i=1}^n  x_i²⩽(f(x)|x)⩽λ_n ⅀_{i=1}^n  x_i²$, ou encore
$λ₁ ⩽(f(x)|x)⩽λ_n$. On suppose $ (f(x)|x)=λ₁$. Soit $j$ tel que $λ_j>λ₁$.
Si $x_j≠0$ alors $λ_j x_j²>λ₁ x_j²$ puis $(f(x)|x)>λ₁$. On en déduit que si
$x_j≠0$ alors $λ_j=λ₁$ et donc $f(x)=λ₁ x$. La réciproque est évidente.
On montre de même que $(f(x)|x)=λ_n$ si et seulement si $f(x)=λ_n x$.}

\qq On suppose de plus que $M$ a tous ses coefficients strictement positifs.
\sq Soit $u$ unitaire tel que $f(u)=λ_n u$ et $\overline{u}$ le vecteur des
coordonnées de $u$ prises en valeur absolue. Montrer que
$f(\overline{u})=λ_n  \overline{u}$.
\reponse{On a $|(f(u)|u)|=|^tUMU|=|⅀_{1⩽i,j⩽n} m_{i,j}u_iu_j|⩽
⅀_{1⩽i,j⩽n} m_{i,j}|u_i||u_j|=
(f(\overline{u})|\overline{u})$ et donc on a
$|λ_n|⩽(f(\overline{u})|\overline{u})⩽λ_n$.
On en déduit que $λ_n⩾0$ et que $(f(\overline{u})|\overline{u})=λ_n$, puis
$f(\overline{u})=λ_n \overline{u}$.}

\sq Montrer que les coordonnées de $\overline{u}$ sont strictement positives.
En déduire que l'espace propre associé à $λ_n$ est de dimension 1.
\reponse{On suppose que $\overline{u}_i=0$. On a alors
$0=λ_n \overline{u}_i=⅀_{j≠i} m_{i,j}\overline{u}_j$. Or tous les $m_{i,j}$ sont
$>0$, donc pour tout $j≠i$, $\overline{u}_j=0$ puis $\overline{u}=0$ ce qui est
impossible. Par conséquent les coordonnées de $\overline{u}$ sont strictement
positives et donc toutes les coordonnées d'un vecteur propre associé à $λ_n$
sont non nulles. Soit $v$ un tel vecteur. On suppose que la famille $(u,v)$ est
libre. Alors le vecteur $v-\frac{v₁}{u₁}u$ est non nul et est  vecteur propre
associé à $λ_n$. Or sa première coordonnée est nulle, ce qui est impossible. On
en déduit que l'espace propre associé à $λ_n$ est de dimension 1.}

\sq Montrer que pour tout $1⩽i⩽n$, $|λ_i|⩽λ_n$.
\reponse{On a pour tout $X$ unitaire $|^tXMX|\le{} ^t|X|M|X|⩽λ_n$. Soit $λ$ une
valeur propre de $M$ et $X$ un vecteur propre unitaire associé.
On a $|λ|=|^tXMX|⩽λ_n$.}

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\bye
